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数学（文）达标测（一） 9. 函数A ．
的零点所在的区间是（ ） B ．
C ．
D ．
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共20分）
，4}，B={y|y=3x﹣2，x ∈A}，则A ∩B=（ ） A ．{1} B．{4} C．{1，3}
D ．{1，4}
10. 圆x 2+y2﹣2x ﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ） A ．-
2. 下列函数中，最小正周期为π且为奇函数的是（ ） A ．y=sin
43
B ．-
34
C ． D．2
x 2
B ．y=cos
2
x 2
a
a
C ．y=cos2x D ．y=sin2x
）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是
3. 已知0＜a ＜1，则a 、2、log 2a 的大小关系是（ ） A ．a ＞2＞log 2a
2
a
B ．2＞a ＞log 2a
2
C ．log 2a ＞
4. 已知向量a ，b 的夹角为A ．1 B ．2 5. 已知sinα=A ．-
π1
，且|a |=，|b |=4，则a •b 23
C ． D．2
4
，并且α是第二象限的角，那么tanα5
B ．-
4 33 4
C ．
34 D ． 43
C ．4，﹣ D ．4，
6. cos20°cos40°﹣sin20°sin40°的值等于（ ） A ．
3311
B ．C ． D ．
2442
φ)(x∈R) 在区间 )
上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝
7. 已知m ，n 是两条直线，α，βA ．m ⊥α，α⊥β，m ∥n ⇒n ∥β B ．m ∥α，α∩β=n⇒n ∥m C ．α∥β，m ∥α，m ⊥n ，⇒n ⊥β
D ．m ⊥α，n ⊥β，
8. 若某几何体的三视图（单位：cm 1
倍，纵坐标不变
2π1
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
23
π1
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
26
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 6
B ．向左平移
C ．向左平移
A ．12π cm2
B ．15π cm2
C ．24π cm2
D ．30π cm2
D ．向左平移
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（Ⅰ）求证：OE ∥平面ADF ；
（Ⅱ）若ABCD 为正方形，求证：平面ACE ⊥平面BDF ．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. f （x ）=，则f （f （2））．
2
14. 设扇形的周长为8cm ，面积为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
15. 已知A （3，2）和B （﹣
1，4）两点到直线mx+y+3=0的距离相等，则m 的值为16. 已知圆C ：x +y+6y﹣a=0的圆心到直线x ﹣y ﹣1=0的距离等于圆C 半径的，则a= ．
﹣2中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 34分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
A={1，
2，3，
B={1，4}，
22
三、解答题（本题共6道小题, 第1题12分, 第2题10分, 第3题12分, 第4题12分, 第5题12分, 第6题12分, 共70分）
2
3，4}，A={1，
2，
x }与B={1
，4} （1）求
∁U B
（2）若A
∩B=B
，求x 的值． 18. 计算下列各式的值： （1）
﹣（
）0+
（
）﹣
0.5+
；
2. D （2
）
lg500+lg﹣lg64+50
（lg2+lg5
）2． 19. 已知
|
（
1）求|
（2）求
+|=|+
|=6
，向量
|，|与
﹣
x
【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
．
【解答】解：由于
y=sin的周期为
=4π，不满足条件，排除A ；
与|；
的夹角为
﹣
的夹角．
x
由于y=cos的周期为=4π，不满足条件，排除B ；
20. 已知函数y=
（）﹣（）+1的定义域为[﹣3，2]， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域．
21. 已知函数f (x ) =x cos x -cos 2x (x ∈R )
（Ⅰ）把函数化为A sin(ωx +ϕ) +B 的形式，并求函数f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数f (x
) 单调增区间。
22. 如图ABCD 为矩形，CDFE 为梯形，CE ⊥平面ABCD ，O 为BD 的中点，AB=2EF
由于y=sin2x为奇函数，且它的周期为故选：D ． 3. B
【考点】4M ：对数值大小的比较．
=π，故满足条件，
由于y=cos2x的周期为
=π，且该函数为偶函数，故不满足条件，排除C ；
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【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论． 【解答】解：∵0＜a ＜1， ∴0＜a 2＜1，1＜2a ＜2，log 2a ＜0， ∴2a ＞a 2＞log 2a ， 故选：B ． 4. A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知中向量
，
的夹角为【解答】解：∵
向量，
的夹角为且∴•
=
故选A 5. A
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【解答】解：∵
sinα=且α是第二象限的角，
∴∴故选A 6. C
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】院士利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
，
，
=
=1
，且，
，代入向量数量积公式，即可得到答案．
故选C 7. D
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A ，m ⊥α，α⊥β，m ∥n ⇒n ∥β或n ⊂β，不正确； 对于B ，m ∥α，m ⊂β，α∩β=n⇒n ∥m ，不正确；
对于C ，α，m ∥α，m ⊥n ⇒n 、β位置关系不确定，不正确； ⊥α∥n ，∴n ⊥α，∵n ⊥β，∴α∥β，正确， D
L!
r=3，母线长l=5，代入圆锥侧面积公式
r=3，母线长l=5，如图：
则几何体的侧面积为πrl=15π（cm ）． 故选：B ． 9. B
【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f （0），f （），f （），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：
画出函数y=e，y=的图象，由图得一个交点． 【解答】解：画出函数y=e，y=的图象： 由图得一个交点，由于图的局限性，
x
x
2
cos40°sin40°=cos（20°+40°=． 【解答】解：cos20°﹣sin20°）=cos60°
下面从数量关系中找出答案．
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∵，
∵（所以 2×∵﹣
，2）在图象上，
+φ=2k
，
，φ=2kπ
，（k ∈Z ）．
，
∴选B ．
＜φ＜
∴k=0，
10. A
【考点】J2：圆的一般方程；IT ：点到直线的距离公式．
22
【解答】解：圆x +y﹣2x ﹣8y+13=0的圆心坐标为：（12π2π＋φ) ＝0，∴＋φ＝π，
331
倍，纵坐标不变，可得原函数
2故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=解得：a=故选：A ． 11. A
，
=1
，
x=2代入可得答案． ∴f（2）=e
2﹣2
，
【考点】HK ：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL ：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（【解答】解：由图象可知： T=∴ω=
=2；
=
，2）确定φ，推出选项．
=e=1，
∴f （f （2））=f（1）=lg1=0， 故答案为：0
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 14. 2
，∴T=π，
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【考点】G8：扇形面积公式．
【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，由面积公式和周长可得到关于l 和r 的方程组，
求出l 和r ，由弧度的定义求α即可．
【解答】解：
S=（8﹣2r ）r=4，r 2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α
|==2． 故答案为：2． 15. ﹣6
或
【考点】IT ：点到直线的距离公式．
【分析】A （3，2）和B （﹣1，4）两点到直线mx+y+3=0
的距离相等，可得
即可得出．
【解答】解：∵A （3，2）和B （﹣1，4）两点到直线mx+y+3=0的距离相等， ∴
=
，
=
【分析】（1）根据补集的定义进行求解即可． （2）根据集合的交集关系转化为集合关系进行求解． 【解答】解：（1）∵U={1，2，3，4}，B={1，4} ∴∁U B={2，3}
（2）若A ∩B=B，则B ⊆A ， ∵A={1，2x 2}与B={1，4}， ∴x =4±2．
）利用对数运算法则化简求解即可． 1
）
﹣（）+
（）
2
﹣0.5
2
+
=+1﹣
1++e
﹣
2
=+e．
化为：（2m ﹣1）（m+6）=0， 解得
m=
或m=﹣6．
．
（
﹣lg64+50（lg2+lg5）=lg5+2+3lg2﹣lg5﹣3lg2+50（lg10） ﹣lg5﹣3lg2+50=52． 19.
故答案为：﹣6
或16. ﹣1
【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】（1
）求出
（2
）根据（
+
，再计算∴（）•（
=|
||﹣
），（
2
），开方即为答案；
2
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
）=0得出答案． |cosθ=6×6×
cos
=18，
）=
2
【解答】解：（1
）
根据圆C ：x +y+6y﹣a=0的圆心到直线x ﹣y ﹣1=0的距离等于圆C
半径的a 的值． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：x +（y+3）=a+9， ∴圆心坐标为（0，﹣3）， 则圆心到直线x ﹣y ﹣1=0的距离
d=
故答案为﹣1． 17.
=
，∴a=﹣1
2
2
2
2
∴（∴
|
|=
）==6+
，
|
）•（
2
=36+36+36=108
，（﹣
﹣
|=）
=
=6． ﹣
=36﹣36+36=36．
（2
）∵（
=0
，∴
+
与
﹣的夹角为90°．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，属于中档题． 20.
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【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】（1）由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令
t=换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间； （2）由题意，可先求出内层函数的值域，再求外层函数在内层函数上的值域． 【解答】解：（1）令
t=当x ∈[1，2]时，
t=当x ∈[﹣3，1]时，t=
，则y=t2﹣t+1=（t
﹣）2
+ 是减函数，此时
t
是减函数，此时t
，
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接MF ，OM ．欲证明OE ∥平面ADF ，只需推知OE ∥MF 即可； （Ⅱ）根据平面与平面垂直的判定定理进行证明即可． 【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接MF ，OM ， 因为ABCD 为矩形，O 为BD 的中点， ∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1] （2）∵x ∈[﹣3，2]， ∴t
2
2
．
为BD 的中点， 由（1）y=t﹣t+1=（t ﹣）+ ∴函数的值域为21. 解
f (x ) x cos x -cos 2x =
1+cos 2x 2x -2=sin(2x -
π
6
) -
1
2
∴T =
（II ）
2π
=π..........................6分 2
令2k π-
π
2
≤2x -
π
6
≤2k π+
π
2
，解得k π-
π
6
≤x ≤k π+
3
∴f (x ) 的递增区间为[k π-
略 22.
π
, k π+],k ∈Z ..........................12分 63
π
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数学（文）达标测（一） 9. 函数A ．
的零点所在的区间是（ ） B ．
C ．
D ．
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共20分）
，4}，B={y|y=3x﹣2，x ∈A}，则A ∩B=（ ） A ．{1} B．{4} C．{1，3}
D ．{1，4}
10. 圆x 2+y2﹣2x ﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ） A ．-
2. 下列函数中，最小正周期为π且为奇函数的是（ ） A ．y=sin
43
B ．-
34
C ． D．2
x 2
B ．y=cos
2
x 2
a
a
C ．y=cos2x D ．y=sin2x
）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是
3. 已知0＜a ＜1，则a 、2、log 2a 的大小关系是（ ） A ．a ＞2＞log 2a
2
a
B ．2＞a ＞log 2a
2
C ．log 2a ＞
4. 已知向量a ，b 的夹角为A ．1 B ．2 5. 已知sinα=A ．-
π1
，且|a |=，|b |=4，则a •b 23
C ． D．2
4
，并且α是第二象限的角，那么tanα5
B ．-
4 33 4
C ．
34 D ． 43
C ．4，﹣ D ．4，
6. cos20°cos40°﹣sin20°sin40°的值等于（ ） A ．
3311
B ．C ． D ．
2442
φ)(x∈R) 在区间 )
上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝
7. 已知m ，n 是两条直线，α，βA ．m ⊥α，α⊥β，m ∥n ⇒n ∥β B ．m ∥α，α∩β=n⇒n ∥m C ．α∥β，m ∥α，m ⊥n ，⇒n ⊥β
D ．m ⊥α，n ⊥β，
8. 若某几何体的三视图（单位：cm 1
倍，纵坐标不变
2π1
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
23
π1
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
26
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 6
B ．向左平移
C ．向左平移
A ．12π cm2
B ．15π cm2
C ．24π cm2
D ．30π cm2
D ．向左平移
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（Ⅰ）求证：OE ∥平面ADF ；
（Ⅱ）若ABCD 为正方形，求证：平面ACE ⊥平面BDF ．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. f （x ）=，则f （f （2））．
2
14. 设扇形的周长为8cm ，面积为4cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
15. 已知A （3，2）和B （﹣
1，4）两点到直线mx+y+3=0的距离相等，则m 的值为16. 已知圆C ：x +y+6y﹣a=0的圆心到直线x ﹣y ﹣1=0的距离等于圆C 半径的，则a= ．
﹣2中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可． 34分别代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
A={1，
2，3，
B={1，4}，
22
三、解答题（本题共6道小题, 第1题12分, 第2题10分, 第3题12分, 第4题12分, 第5题12分, 第6题12分, 共70分）
2
3，4}，A={1，
2，
x }与B={1
，4} （1）求
∁U B
（2）若A
∩B=B
，求x 的值． 18. 计算下列各式的值： （1）
﹣（
）0+
（
）﹣
0.5+
；
2. D （2
）
lg500+lg﹣lg64+50
（lg2+lg5
）2． 19. 已知
|
（
1）求|
（2）求
+|=|+
|=6
，向量
|，|与
﹣
x
【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
．
【解答】解：由于
y=sin的周期为
=4π，不满足条件，排除A ；
与|；
的夹角为
﹣
的夹角．
x
由于y=cos的周期为=4π，不满足条件，排除B ；
20. 已知函数y=
（）﹣（）+1的定义域为[﹣3，2]， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域．
21. 已知函数f (x ) =x cos x -cos 2x (x ∈R )
（Ⅰ）把函数化为A sin(ωx +ϕ) +B 的形式，并求函数f (x ) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数f (x
) 单调增区间。
22. 如图ABCD 为矩形，CDFE 为梯形，CE ⊥平面ABCD ，O 为BD 的中点，AB=2EF
由于y=sin2x为奇函数，且它的周期为故选：D ． 3. B
【考点】4M ：对数值大小的比较．
=π，故满足条件，
由于y=cos2x的周期为
=π，且该函数为偶函数，故不满足条件，排除C ；
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【分析】根据指数函数，幂函数，对数函数的性质分别判断取值范围即可得到结论． 【解答】解：∵0＜a ＜1， ∴0＜a 2＜1，1＜2a ＜2，log 2a ＜0， ∴2a ＞a 2＞log 2a ， 故选：B ． 4. A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由已知中向量
，
的夹角为【解答】解：∵
向量，
的夹角为且∴•
=
故选A 5. A
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【解答】解：∵
sinα=且α是第二象限的角，
∴∴故选A 6. C
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】院士利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
，
，
=
=1
，且，
，代入向量数量积公式，即可得到答案．
故选C 7. D
【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A ，m ⊥α，α⊥β，m ∥n ⇒n ∥β或n ⊂β，不正确； 对于B ，m ∥α，m ⊂β，α∩β=n⇒n ∥m ，不正确；
对于C ，α，m ∥α，m ⊥n ⇒n 、β位置关系不确定，不正确； ⊥α∥n ，∴n ⊥α，∵n ⊥β，∴α∥β，正确， D
L!
r=3，母线长l=5，代入圆锥侧面积公式
r=3，母线长l=5，如图：
则几何体的侧面积为πrl=15π（cm ）． 故选：B ． 9. B
【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f （0），f （），f （），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：
画出函数y=e，y=的图象，由图得一个交点． 【解答】解：画出函数y=e，y=的图象： 由图得一个交点，由于图的局限性，
x
x
2
cos40°sin40°=cos（20°+40°=． 【解答】解：cos20°﹣sin20°）=cos60°
下面从数量关系中找出答案．
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∵，
∵（所以 2×∵﹣
，2）在图象上，
+φ=2k
，
，φ=2kπ
，（k ∈Z ）．
，
∴选B ．
＜φ＜
∴k=0，
10. A
【考点】J2：圆的一般方程；IT ：点到直线的距离公式．
22
【解答】解：圆x +y﹣2x ﹣8y+13=0的圆心坐标为：（12π2π＋φ) ＝0，∴＋φ＝π，
331
倍，纵坐标不变，可得原函数
2故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=解得：a=故选：A ． 11. A
，
=1
，
x=2代入可得答案． ∴f（2）=e
2﹣2
，
【考点】HK ：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL ：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义． 【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（【解答】解：由图象可知： T=∴ω=
=2；
=
，2）确定φ，推出选项．
=e=1，
∴f （f （2））=f（1）=lg1=0， 故答案为：0
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题． 14. 2
，∴T=π，
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【考点】G8：扇形面积公式．
【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，由面积公式和周长可得到关于l 和r 的方程组，
求出l 和r ，由弧度的定义求α即可．
【解答】解：
S=（8﹣2r ）r=4，r 2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α
|==2． 故答案为：2． 15. ﹣6
或
【考点】IT ：点到直线的距离公式．
【分析】A （3，2）和B （﹣1，4）两点到直线mx+y+3=0
的距离相等，可得
即可得出．
【解答】解：∵A （3，2）和B （﹣1，4）两点到直线mx+y+3=0的距离相等， ∴
=
，
=
【分析】（1）根据补集的定义进行求解即可． （2）根据集合的交集关系转化为集合关系进行求解． 【解答】解：（1）∵U={1，2，3，4}，B={1，4} ∴∁U B={2，3}
（2）若A ∩B=B，则B ⊆A ， ∵A={1，2x 2}与B={1，4}， ∴x =4±2．
）利用对数运算法则化简求解即可． 1
）
﹣（）+
（）
2
﹣0.5
2
+
=+1﹣
1++e
﹣
2
=+e．
化为：（2m ﹣1）（m+6）=0， 解得
m=
或m=﹣6．
．
（
﹣lg64+50（lg2+lg5）=lg5+2+3lg2﹣lg5﹣3lg2+50（lg10） ﹣lg5﹣3lg2+50=52． 19.
故答案为：﹣6
或16. ﹣1
【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角． 【分析】（1
）求出
（2
）根据（
+
，再计算∴（）•（
=|
||﹣
），（
2
），开方即为答案；
2
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
）=0得出答案． |cosθ=6×6×
cos
=18，
）=
2
【解答】解：（1
）
根据圆C ：x +y+6y﹣a=0的圆心到直线x ﹣y ﹣1=0的距离等于圆C
半径的a 的值． 【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：x +（y+3）=a+9， ∴圆心坐标为（0，﹣3）， 则圆心到直线x ﹣y ﹣1=0的距离
d=
故答案为﹣1． 17.
=
，∴a=﹣1
2
2
2
2
∴（∴
|
|=
）==6+
，
|
）•（
2
=36+36+36=108
，（﹣
﹣
|=）
=
=6． ﹣
=36﹣36+36=36．
（2
）∵（
=0
，∴
+
与
﹣的夹角为90°．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算性质，属于中档题． 20.
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【考点】指数函数单调性的应用．
【分析】（1）由题意，此函数是一个内层函数是指数函数外层函数是二次函数的复合函数，可令
t=换元求出外层函数，分别研究内外层函数的单调性，结合函数的定义域判断出函数的单调区间； （2）由题意，可先求出内层函数的值域，再求外层函数在内层函数上的值域． 【解答】解：（1）令
t=当x ∈[1，2]时，
t=当x ∈[﹣3，1]时，t=
，则y=t2﹣t+1=（t
﹣）2
+ 是减函数，此时
t
是减函数，此时t
，
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接MF ，OM ．欲证明OE ∥平面ADF ，只需推知OE ∥MF 即可； （Ⅱ）根据平面与平面垂直的判定定理进行证明即可． 【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AD 的中点M ，连接MF ，OM ， 因为ABCD 为矩形，O 为BD 的中点， ∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1] （2）∵x ∈[﹣3，2]， ∴t
2
2
．
为BD 的中点， 由（1）y=t﹣t+1=（t ﹣）+ ∴函数的值域为21. 解
f (x ) x cos x -cos 2x =
1+cos 2x 2x -2=sin(2x -
π
6
) -
1
2
∴T =
（II ）
2π
=π..........................6分 2
令2k π-
π
2
≤2x -
π
6
≤2k π+
π
2
，解得k π-
π
6
≤x ≤k π+
3
∴f (x ) 的递增区间为[k π-
略 22.
π
, k π+],k ∈Z ..........................12分 63
π