圆锥曲线中的定点、定值问题探讨
★母题探究★
1、椭圆P的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点M 1⎪，且离心率为
⎝
2⎭⎛
3⎫
12
。
（1）求椭圆P的方程；
（2）若直线y=kx+m与椭圆相交于A、B两点（非左右顶点），且以AB为直径的圆
过椭圆P的右顶点，求证：直线y=kx+m过定点，求该定点的坐标。
2、已知抛物线y=2px(p>0)的焦点F和椭圆
2
x
2
4
+
y
2
3
=1的右焦点重合，直线l 过
点F交抛物线于A、B。 （1）求抛物线的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且MA=mAF,MB=nBF，求证：m+n为定值。
★知识储备★
1、解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x,y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决。 2、解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
1
2
★举一反三★
1、已知双曲线
1a
x
2
a
1b
-
y
2
b
=1与直线x+y=1相交于P、Q两点，且OP⋅OQ=0(O为原
点)，则-的值为 。
2
2、已知圆M的方程为：x2+(y-2)=1，直线l 的方程为x-2y=0，点P在直线l
上，过点P做圆的切线PA,PB，切点为A,B。 （1）若∠APB=600，试求点P的坐标；
（2）若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C,D
两点，当CD=
直线CD的方程；
（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点。
3、（2010江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆
x
2
9
+
y
2
5
=1的左右顶点为
右焦点为F，设过点T（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，A,B，
N(x2,y2)，其中m>0，y1>0,y2
（1）设动点P满足PF
（2）设x1=2,x2=
13
2
-PB
2
=4,求点P，求点T的坐标；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x（其坐标与m无关）。
4、已知椭圆
xa
22
+
yb
22
222
过椭圆上一点P向圆O引两=1(a>b>0)和圆O:x+y=b，
条切线，切点分别是A、B.
（1）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（2）若椭圆上存在点P，使的∠APB=900，求离心率e的取值范围； （3）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：
5、已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆
x+y=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)。
2
2
a
22
+
b
2
2
为定值。
ONOM
（1）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；
（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1⋅k2是定值吗？证明
你的结论。
3
4
6、已知抛物线P：x=2py(p>0)．
2
（1）若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3． （ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；
（2）设过焦点F的动直线l 交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并延长分别交抛物 线的准线于C,D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F。
圆锥曲线中的定点、定值问题探讨
★母题探究★
1、椭圆P的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点M 1⎪，且离心率为
⎝
2⎭⎛
3⎫
12
。
（1）求椭圆P的方程；
（2）若直线y=kx+m与椭圆相交于A、B两点（非左右顶点），且以AB为直径的圆
过椭圆P的右顶点，求证：直线y=kx+m过定点，求该定点的坐标。
2、已知抛物线y=2px(p>0)的焦点F和椭圆
2
x
2
4
+
y
2
3
=1的右焦点重合，直线l 过
点F交抛物线于A、B。 （1）求抛物线的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且MA=mAF,MB=nBF，求证：m+n为定值。
★知识储备★
1、解析几何中证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时与参数没有关系得到一个关于x,y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，当定点具备一定的限制条件时，可特殊解决。 2、解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值。化解这类问题的关键在于引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。
1
2
★举一反三★
1、已知双曲线
1a
x
2
a
1b
-
y
2
b
=1与直线x+y=1相交于P、Q两点，且OP⋅OQ=0(O为原
点)，则-的值为 。
2
2、已知圆M的方程为：x2+(y-2)=1，直线l 的方程为x-2y=0，点P在直线l
上，过点P做圆的切线PA,PB，切点为A,B。 （1）若∠APB=600，试求点P的坐标；
（2）若点P的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C,D
两点，当CD=
直线CD的方程；
（3）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点。
3、（2010江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆
x
2
9
+
y
2
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=1的左右顶点为
右焦点为F，设过点T（t,m）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，A,B，
N(x2,y2)，其中m>0，y1>0,y2
（1）设动点P满足PF
（2）设x1=2,x2=
13
2
-PB
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=4,求点P，求点T的坐标；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x（其坐标与m无关）。
4、已知椭圆
xa
22
+
yb
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222
过椭圆上一点P向圆O引两=1(a>b>0)和圆O:x+y=b，
条切线，切点分别是A、B.
（1）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（2）若椭圆上存在点P，使的∠APB=900，求离心率e的取值范围； （3）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，求证：
5、已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆
x+y=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)。
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2
a
22
+
b
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为定值。
ONOM
（1）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；
（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1⋅k2是定值吗？证明
你的结论。
3
4
6、已知抛物线P：x=2py(p>0)．
2
（1）若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3． （ⅰ）求抛物线P的方程；
（ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；
（2）设过焦点F的动直线l 交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并延长分别交抛物 线的准线于C,D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F。