_平行四边形知识点汇总

平行四边形的知识点汇总

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。 平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。 平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。

平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(P45) 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(p46) 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。(p46) 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(p47)

平行线之间的距离及特征

平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。

平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。

1.如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形

2.如图所示，在四边形ABCD中，M是BC中点，AM、BD互相平分于点O，那么请说明AM=DC 且AM∥DC

＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？

3.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB

4.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＤＣ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：ＢＤ，ＥＦ互相平分

5.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ．

求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．

矩形

矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形

矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。

矩形性质1：矩形的四个角都是直角。

矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。 （注意：矩形具有平行四边形的一切性质）

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形

菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。

菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

菱形性质1：菱形的四条边都相等。

菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。

菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。

菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 （注意：菱形具有平行四边形的一切性质）

正方形

正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。

正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。

正方形性质1：正方形的四个角都是直角。 正方形性质2：正方形的四条边都相等。

正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。 正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 （注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）

1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：

（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．

A

D

2..如图矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交

BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE

的度数。

3..如图，在矩形ABCD中，点E、F在BC边上，且BE=CF，AF、DE交于点M．求证：AM=DM．

4..已知,如图在菱形ABCD的对角线AC上取两点E、F且AE=CF连接BE、BF、DE、DF. 求证:四边形BEDF是菱形.

5..矩形，菱形由于其特殊的性质，为拼图提供了方便，因而墙面瓷砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多．如图，是一种长30cm，宽20cm的矩形瓷砖，E、F、G、H•分别是矩形各边的中点，阴影部分为淡黄色，中间部分为白色，现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴瓷砖．问：

（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？）

（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？•其中淡黄色的菱形有 多少个？

四边形的典型题目精编

1，如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ） A.∠1+∠2＝180° B.∠2+∠3＝180° C.∠3+∠4＝180° D.∠2+∠4＝180°

2，如图2，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )

A.7 个 B.8个 C.9个 D.11个 F

CDH C DEAF O4AB图1 图2 图3

3，如图3，在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）

A. 110° B .30° C.50° D.70° 4，对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( ) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形

5，下列说法中，正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴 B.正方形的对角线是正方形的对称轴 C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D.菱形的对角线相等

6，菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )

A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线平分一组对角 C

A 图6 图7

7，如图6，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( )

A．600m2 B．551m2 C．550 m 2 D．500m2

8，如图7，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （ ）B

A.3∶4 B.5∶8 C.9∶16 D.1∶2 二、填空题（每题3分，共24分） E A B

E G

D C

B F

C1 图11 图12

1，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.

2，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.

3，如图12，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于＿＿＿cm，四边形EFGH的面积等于＿＿＿cm2.

三、解答题（共40分）

19，如图14，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB＝4，BC＝7.求∠B的度数.

图14

20，如图15，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F.求证：OE＝OF.

O

图15

22，如图18，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.

图18

23，如图19，正方形ABCD中，P是CD边上一点，DF⊥AP，BE⊥AP.求证：AE＝DF.

图19

参考答案：

一、1，D；2，C；3，D；4，A；5，A；6，C；7，C；8，D；9，B；10，B. 二、11，50；12，2；13，S1·S4＝S2·S3；14，150；15

18，4.

三、19，过A点作AE∥CD，有□AECD,则△ABE为等边三角形. 即∠B=60°；20，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AO＝CO，即∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF，则△AOE≌△COF，故OE＝OF；21，在□ABCD中，因为∠ABC＝5∠A，又∠A+∠B＝180°，所以∠A＝30°，而AB∥DC，BE⊥DC，所以BE⊥AB，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AE＝2AD＝8cm，∠A＝30°，所以BE＝

16，9；17，10、6；1

AE＝4cm，由勾股定理，得AB

2

＝

cm），所以□ABCD的周长＝（

）cm；（2）因为BC∥AD，BC＝AD，而AD＝DE，所以DE＝BC且DE∥BC，即四边形BDEC是平行四边形，又BE⊥DC，所以□BDEC是菱形，所以四边形BDEC的周长＝4DE＝16（cm），面积＝

1

DC·BE＝

2

（cm2）；22，易证△AOE≌△COF，所以OE＝OF，所以四边形AFCE是平行四边形，又AC⊥EF，所以四边形AFCE是菱形；23，证△ABE≌△DAF即得；24，证△PBA≌△PCD即得；

25，【答案】：（1） 证明： ∵ABDC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，



∴BADADC120，又∵ABAD，

∴ABDADB30．∴DBCADB30．∴BDC90． 由已知AEBD，∴AE∥DC． 又∵AE为等腰三角形ABD的高， ∴E是BD的中点， ∵F是DC的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．

∴四边形AEFD是平行四边形．



（2）解：在Rt△AED中， ADB30，∵AEx，∴AD2x．



在Rt△DGC中 ∠C=60°，并且DCAD

2x，∴DG．

由（1）知： 在平行四边形AEFD中EFAD2x，又∵DGBC，∴DGEF， ∴四边形DEGF的面积

1

EFDG， 2

∴ y

1

2x2(x0)． 2

平行四边形的知识点汇总

平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。 平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等。 平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等。 平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分。

平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(P45) 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(p46) 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。(p46) 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(p47)

平行线之间的距离及特征

平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。

平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。

1.如图， 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC 上的两点，并且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形

2.如图所示，在四边形ABCD中，M是BC中点，AM、BD互相平分于点O，那么请说明AM=DC 且AM∥DC

＝6，那么对角线AC和BD的和是多少？

3.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB

4.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＤＣ上的两点，且ＡＥ＝ＣＦ．求证：ＢＤ，ＥＦ互相平分

5.已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ．

求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．

矩形

矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形

矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线。

矩形性质1：矩形的四个角都是直角。

矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分。 （注意：矩形具有平行四边形的一切性质）

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形

菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形。

菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线。

菱形性质1：菱形的四条边都相等。

菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分。

菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角。 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半。

推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形。

菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。 （注意：菱形具有平行四边形的一切性质）

正方形

正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形。

正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线和对角线所在的直线。

正方形性质1：正方形的四个角都是直角。 正方形性质2：正方形的四条边都相等。

正方形性质3：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等。 正方形判定1：有一组邻边相等的矩形是正方形。 正方形判定2：有一个角是直角的菱形是正方形。

正方形判定3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 正方形判定4：对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。 （注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质）

1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：

（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．

A

D

2..如图矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交

BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE

的度数。

3..如图，在矩形ABCD中，点E、F在BC边上，且BE=CF，AF、DE交于点M．求证：AM=DM．

4..已知,如图在菱形ABCD的对角线AC上取两点E、F且AE=CF连接BE、BF、DE、DF. 求证:四边形BEDF是菱形.

5..矩形，菱形由于其特殊的性质，为拼图提供了方便，因而墙面瓷砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多．如图，是一种长30cm，宽20cm的矩形瓷砖，E、F、G、H•分别是矩形各边的中点，阴影部分为淡黄色，中间部分为白色，现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴瓷砖．问：

（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？）

（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？•其中淡黄色的菱形有 多少个？

四边形的典型题目精编

1，如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ） A.∠1+∠2＝180° B.∠2+∠3＝180° C.∠3+∠4＝180° D.∠2+∠4＝180°

2，如图2，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )

A.7 个 B.8个 C.9个 D.11个 F

CDH C DEAF O4AB图1 图2 图3

3，如图3，在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）

A. 110° B .30° C.50° D.70° 4，对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是( ) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形

5，下列说法中，正确的是（ ） A. 正方形是轴对称图形且有四条对称轴 B.正方形的对角线是正方形的对称轴 C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D.菱形的对角线相等

6，菱形、矩形、正方形都具有的性质是( )

A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.对角线平分一组对角 C

A 图6 图7

7，如图6，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( )

A．600m2 B．551m2 C．550 m 2 D．500m2

8，如图7，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是 （ ）B

A.3∶4 B.5∶8 C.9∶16 D.1∶2 二、填空题（每题3分，共24分） E A B

E G

D C

B F

C1 图11 图12

1，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm ，AB＝10cm，按如图11方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝＿＿＿cm.

2，矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB＝2∠BOC.若AC＝18cm,则AD＝＿＿＿cm.

3，如图12，矩形ABCD的相邻两边的长分别是3cm和4cm，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于＿＿＿cm，四边形EFGH的面积等于＿＿＿cm2.

三、解答题（共40分）

19，如图14，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB＝4，BC＝7.求∠B的度数.

图14

20，如图15，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F.求证：OE＝OF.

O

图15

22，如图18，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.

图18

23，如图19，正方形ABCD中，P是CD边上一点，DF⊥AP，BE⊥AP.求证：AE＝DF.

图19

参考答案：

一、1，D；2，C；3，D；4，A；5，A；6，C；7，C；8，D；9，B；10，B. 二、11，50；12，2；13，S1·S4＝S2·S3；14，150；15

18，4.

三、19，过A点作AE∥CD，有□AECD,则△ABE为等边三角形. 即∠B=60°；20，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，AO＝CO，即∠EAO＝∠FCO，又∠AOE＝∠COF，则△AOE≌△COF，故OE＝OF；21，在□ABCD中，因为∠ABC＝5∠A，又∠A+∠B＝180°，所以∠A＝30°，而AB∥DC，BE⊥DC，所以BE⊥AB，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AE＝2AD＝8cm，∠A＝30°，所以BE＝

16，9；17，10、6；1

AE＝4cm，由勾股定理，得AB

2

＝

cm），所以□ABCD的周长＝（

）cm；（2）因为BC∥AD，BC＝AD，而AD＝DE，所以DE＝BC且DE∥BC，即四边形BDEC是平行四边形，又BE⊥DC，所以□BDEC是菱形，所以四边形BDEC的周长＝4DE＝16（cm），面积＝

1

DC·BE＝

2

（cm2）；22，易证△AOE≌△COF，所以OE＝OF，所以四边形AFCE是平行四边形，又AC⊥EF，所以四边形AFCE是菱形；23，证△ABE≌△DAF即得；24，证△PBA≌△PCD即得；

25，【答案】：（1） 证明： ∵ABDC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，



∴BADADC120，又∵ABAD，

∴ABDADB30．∴DBCADB30．∴BDC90． 由已知AEBD，∴AE∥DC． 又∵AE为等腰三角形ABD的高， ∴E是BD的中点， ∵F是DC的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD．

∴四边形AEFD是平行四边形．



（2）解：在Rt△AED中， ADB30，∵AEx，∴AD2x．



在Rt△DGC中 ∠C=60°，并且DCAD

2x，∴DG．

由（1）知： 在平行四边形AEFD中EFAD2x，又∵DGBC，∴DGEF， ∴四边形DEGF的面积

1

EFDG， 2

∴ y

1

2x2(x0)． 2