锐角三角函数与特殊角专题训练
【基础知识精讲】
一、 正弦与余弦：
1、 在∆ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记
作sin A ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A .
sin A =
∠A 的对边
⋅
斜边
cos A =
∠A 的邻边
.
斜边
若把∠A 的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，
b a
，cos A =。
c c
2、当∠A 为锐角时， 0
则sin A =
二、 特殊角的正弦值与余弦值：
1
， sin 45 =23
， cos 45 =cos 30 =200
三、 增减性：当0
sin 30 =
2
， sin 60 =22
， cos 60=23． 21． 2
sin α随角度α的增大而增大；cos α随角度α的增大而减小。
四、正切概念：
(1) 在Rt ∆ABC 中，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A 。
即 t a n A =
五、特殊角的正弦值与余弦值：
a ∠A 的对边
（或tan A =）
b ∠A 的邻边
b
tan 30 =
3
； tan 45=1； tan 60= 3
六、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
sin A =cos(90︒-A ),
cos A =sin(90︒-A ) ．
七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 tan A =cot 90 -A ， cot A =tan 90 -A ．
八、同角三角函数之间的关系：
()
()
n =⑴、平方关系：s i 2n A +c o 2A s =1⑵商的关系t a A
cot A =
cos A
sin A ⑶倒数关系tana ·cota=1
s i A n
c o A s
【典型例题】
【基础练习】 一、填空题：
1
=sin =cos 。 2
13. 若sin θ=，且0︒
22
4．在Rt ∆ABC 中, ∠C =90 , ∠A =60 , , 则cos B =_________ 5．在∆ABC ，∠C =90 , AC =3, AB =5, 则cos B =_________
1. cos 30︒+sin 30︒=___________， 2.
6．Rt ∆ABC 中, ∠C =90 , BC =3, AB =5, 则sin A =_________
7．在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，3a =3b ，则∠A =_________，sin A =_________ 8．在Rt ∆ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ） ⎛⎫
9．在∆ABC 中，若sin A -2+ -cos B ⎪=0，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C 的度数
⎪2 ⎝2⎭
是（ ）
10. （1） 如果α是锐角，且sin 2α+sin 254 =1，那么α的度数为（ ）
2
4
，那么cos(90 -α) 的值是（ ） 5
11． 将cos 21︒，cos 37︒，sin 41︒，cos 46︒的值，按由小到大的顺序排列是
（2）．如果α是锐角，且cos α=_____________________
12．在∆ABC 中，∠C =90︒，若cos B =
1
，则sin 2B =________ 5
13．sin 230 +cos 230 的值为__________， sin 272 +sin 218 =________ 14．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ） 15．计算sin 60⋅tan 45-(-
2
1-2
) ，结果正确的是（ ） 16．在Rt ∆ABC 中, ∠C =Rt ∠, 若tan B =2, a =1, 则b =_________
17．等腰梯形腰长为6，底角的正切为为 。
2
，下底长为2，则上底长为 ，高4
C
的值为2
18．在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，cot A =，则co t A +s i n B +t ____________。
19. 比较大小（用>、
sin A _____tan A ， s i n A _____c o _s B ，
20．在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，则tan A ⋅tan B 等于（ ） sin A
_____tan A cos A
二、【计算】
21sin 30︒⋅cos 45︒+cos 30︒⋅sin 45︒ 22sin 60︒+
23．(2sin 30︒+2sin 45︒)(cos30︒+sin 45︒)(sin60︒-cos 45︒) 24.
122
sin 45︒+sin 30︒⋅cos 30︒。
2
1-1（-2）++2sin60°——tan 60︒ 2
【能力提升】
1、如图，在Rt ∆ABC 中, ∠ACB =Rt ∠, CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD =
4, 5
求CD 、BC 的值。
2、比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。 3、若30°
2
3
+-cos α2
4、已知sin 40︒+sin α=1，则锐角α=_________。
2
2
5、在Rt ∆ABC 中，∠C =90, cos A =
14
, sin B =n -那么n 的值是___________。 55
6、已知sin α+cos α=m , sin αcos α=n , 则m 、n 的关系是（ ）
A ．m =n B ．n =2n +1 C ．m 2=2n +1 D ．m 2=1-2n 7、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90，AC =6，D 是AC 上一点，若长为( )A.2 B.3 C.2 D.1 8、如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，
o
DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式
表示）( ) A．a B．
24
a a D． a C．
225
9、已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=
3
, 4
AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ）
A E ⊥BC 于E ，BC=1，cosB=
5
, 求这个菱形的面积。
13
11、（北京市中考试题） 在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，斜边c =5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2m -2=0的两个根，求Rt ∆ABC 较小锐角的正弦值. 12、（上海中考模拟）如图ΔABC 中，AD 是BC 边上的高，tan ∠B=cos∠DAC 。 （1）求证：AC=BD （2）若sin ∠C=
14、（上海中考模拟）已知：如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90, sin B =
12
,BC=12，求AD 的长． 13
3
, D 是BC 边上5
一点，且∠ADC =45︒，DC = 6 。求∠BAD 的正切值. 。
D
C
[思维拓展训练]
1、如图，已知P 为∠AOB 的边OA 上的一点，以P 为顶点的∠MPN 的两边分别交射线OB 于M 、N 两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN 以点P 为旋转中心，PM 边与PO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OB 上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y ＞x ＞0），△POM 的面积为S ．若sinα=二分之根号三。oP=2．（1）当∠MPN 旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：△OPN ∽△PMN ； （3）写出y 与x 之间的关系式；
（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．
2题图
2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB时，求∠BQP 的正切值； （4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
3、如图：直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上. 直线CB 的表达式为y =－
416
x +，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P 自A 点33
出发，在AB 上匀速运行. 动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个
单位. 当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为s （不能构成△OPQ 的动点除外）.
（1）求出点B 、C 的坐标；（2）求s 随t 变化的函数关系式； （3）当t 为何值时s 有最大值？并求出最大值.
4、如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边0C 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，且tan ∠BFD=
2
4
．若线段OA 的长是一元二3
次方程x —7x 一8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题： (1)求点B 、F 的坐标： (2)求直线ED 的解析式：
(3)在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边 形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6题图
5、如图，在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9， 点E 是CD 上的一个动点(E不与D 重合) ，过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F(当E 运
动到C 时，EF 与AC 重合巫台) ．把△DEF 沿EF 对折，点D 的对应点是点G ，设DE=x， △GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y 。 (1) 求CD 的长及∠1的度数；
(2) 若点G 恰好在BC 上，求此时x 的值；
(3) 求y 与x 之间的函数关系式。并求x 为何值时，y 的值最大? 最大值是多少?
F
D
E
C
(第25题图)
锐角三角函数与特殊角专题训练
【基础知识精讲】
一、 正弦与余弦：
1、 在∆ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记
作sin A ， 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A .
sin A =
∠A 的对边
⋅
斜边
cos A =
∠A 的邻边
.
斜边
若把∠A 的对边BC 记作a ，邻边AC 记作b ，斜边AB 记作c ，
b a
，cos A =。
c c
2、当∠A 为锐角时， 0
则sin A =
二、 特殊角的正弦值与余弦值：
1
， sin 45 =23
， cos 45 =cos 30 =200
三、 增减性：当0
sin 30 =
2
， sin 60 =22
， cos 60=23． 21． 2
sin α随角度α的增大而增大；cos α随角度α的增大而减小。
四、正切概念：
(1) 在Rt ∆ABC 中，∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A 。
即 t a n A =
五、特殊角的正弦值与余弦值：
a ∠A 的对边
（或tan A =）
b ∠A 的邻边
b
tan 30 =
3
； tan 45=1； tan 60= 3
六、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．
sin A =cos(90︒-A ),
cos A =sin(90︒-A ) ．
七、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 tan A =cot 90 -A ， cot A =tan 90 -A ．
八、同角三角函数之间的关系：
()
()
n =⑴、平方关系：s i 2n A +c o 2A s =1⑵商的关系t a A
cot A =
cos A
sin A ⑶倒数关系tana ·cota=1
s i A n
c o A s
【典型例题】
【基础练习】 一、填空题：
1
=sin =cos 。 2
13. 若sin θ=，且0︒
22
4．在Rt ∆ABC 中, ∠C =90 , ∠A =60 , , 则cos B =_________ 5．在∆ABC ，∠C =90 , AC =3, AB =5, 则cos B =_________
1. cos 30︒+sin 30︒=___________， 2.
6．Rt ∆ABC 中, ∠C =90 , BC =3, AB =5, 则sin A =_________
7．在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，3a =3b ，则∠A =_________，sin A =_________ 8．在Rt ∆ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（ ） ⎛⎫
9．在∆ABC 中，若sin A -2+ -cos B ⎪=0，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C 的度数
⎪2 ⎝2⎭
是（ ）
10. （1） 如果α是锐角，且sin 2α+sin 254 =1，那么α的度数为（ ）
2
4
，那么cos(90 -α) 的值是（ ） 5
11． 将cos 21︒，cos 37︒，sin 41︒，cos 46︒的值，按由小到大的顺序排列是
（2）．如果α是锐角，且cos α=_____________________
12．在∆ABC 中，∠C =90︒，若cos B =
1
，则sin 2B =________ 5
13．sin 230 +cos 230 的值为__________， sin 272 +sin 218 =________ 14．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ） 15．计算sin 60⋅tan 45-(-
2
1-2
) ，结果正确的是（ ） 16．在Rt ∆ABC 中, ∠C =Rt ∠, 若tan B =2, a =1, 则b =_________
17．等腰梯形腰长为6，底角的正切为为 。
2
，下底长为2，则上底长为 ，高4
C
的值为2
18．在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，cot A =，则co t A +s i n B +t ____________。
19. 比较大小（用>、
sin A _____tan A ， s i n A _____c o _s B ，
20．在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，则tan A ⋅tan B 等于（ ） sin A
_____tan A cos A
二、【计算】
21sin 30︒⋅cos 45︒+cos 30︒⋅sin 45︒ 22sin 60︒+
23．(2sin 30︒+2sin 45︒)(cos30︒+sin 45︒)(sin60︒-cos 45︒) 24.
122
sin 45︒+sin 30︒⋅cos 30︒。
2
1-1（-2）++2sin60°——tan 60︒ 2
【能力提升】
1、如图，在Rt ∆ABC 中, ∠ACB =Rt ∠, CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD =
4, 5
求CD 、BC 的值。
2、比较大小：sin23°______sin33°;cos67.5°_________cos76.5°。 3、若30°
2
3
+-cos α2
4、已知sin 40︒+sin α=1，则锐角α=_________。
2
2
5、在Rt ∆ABC 中，∠C =90, cos A =
14
, sin B =n -那么n 的值是___________。 55
6、已知sin α+cos α=m , sin αcos α=n , 则m 、n 的关系是（ ）
A ．m =n B ．n =2n +1 C ．m 2=2n +1 D ．m 2=1-2n 7、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90，AC =6，D 是AC 上一点，若长为( )A.2 B.3 C.2 D.1 8、如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，
o
DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式
表示）( ) A．a B．
24
a a D． a C．
225
9、已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=
3
, 4
AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是（ ）
A E ⊥BC 于E ，BC=1，cosB=
5
, 求这个菱形的面积。
13
11、（北京市中考试题） 在Rt ∆ABC 中，∠C =90︒，斜边c =5，两直角边的长a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2m -2=0的两个根，求Rt ∆ABC 较小锐角的正弦值. 12、（上海中考模拟）如图ΔABC 中，AD 是BC 边上的高，tan ∠B=cos∠DAC 。 （1）求证：AC=BD （2）若sin ∠C=
14、（上海中考模拟）已知：如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90, sin B =
12
,BC=12，求AD 的长． 13
3
, D 是BC 边上5
一点，且∠ADC =45︒，DC = 6 。求∠BAD 的正切值. 。
D
C
[思维拓展训练]
1、如图，已知P 为∠AOB 的边OA 上的一点，以P 为顶点的∠MPN 的两边分别交射线OB 于M 、N 两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN 以点P 为旋转中心，PM 边与PO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OB 上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y ＞x ＞0），△POM 的面积为S ．若sinα=二分之根号三。oP=2．（1）当∠MPN 旋转30°（即∠OPM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：△OPN ∽△PMN ； （3）写出y 与x 之间的关系式；
（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．
2题图
2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动的时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO=OB时，求∠BQP 的正切值； （4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
3、如图：直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上. 直线CB 的表达式为y =－
416
x +，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P 自A 点33
出发，在AB 上匀速运行. 动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个
单位. 当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为s （不能构成△OPQ 的动点除外）.
（1）求出点B 、C 的坐标；（2）求s 随t 变化的函数关系式； （3）当t 为何值时s 有最大值？并求出最大值.
4、如图，将矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，点D 在边0C 上，点E 在边OA 上，把矩形沿直线DE 翻折，使点O 落在边AB 上的点F 处，且tan ∠BFD=
2
4
．若线段OA 的长是一元二3
次方程x —7x 一8=0的一个根，又2AB=30A．请解答下列问题： (1)求点B 、F 的坐标： (2)求直线ED 的解析式：
(3)在直线ED 、FD 上是否存在点M 、N ，使以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边 形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6题图
5、如图，在直角梯形ABCD 中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°， AB=6，AD=9， 点E 是CD 上的一个动点(E不与D 重合) ，过点E 作EF ∥AC ，交AD 于点F(当E 运
动到C 时，EF 与AC 重合巫台) ．把△DEF 沿EF 对折，点D 的对应点是点G ，设DE=x， △GEF 与梯形ABCD 重叠部分的面积为y 。 (1) 求CD 的长及∠1的度数；
(2) 若点G 恰好在BC 上，求此时x 的值；
(3) 求y 与x 之间的函数关系式。并求x 为何值时，y 的值最大? 最大值是多少?
F
D
E
C
(第25题图)