机电实验一级倒立摆实验报告
学院：机械工程学院
班级：车辆工程
姓名：甘立鹏
学号： 112班 119054038
一 实验目的：
通过倒立摆系统实验来验证所学
的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。通过倒立摆系统实验直观的表现出许多抽象的 控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等 对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战
二 实验原理
1直线一级倒立摆的数学模型
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
牛顿－欧拉方法
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图2-1 直线一级倒立摆模型
图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互 作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的 正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图2-2 小车及摆杆受力分析图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:
把这个等式代入(1)式中，就得到系统的第一个运动方程:
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:
注意:推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度第一个方程，可以得到:
，求解方程组的
将表2.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确 模型。
此时的传递函数为：
H(s)A(s)
6.122s−60
三.根轨迹校正实验
前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为：
H(s)A(s)
6.122
s−60
可知系统没有零点，有两个极点λ1=7.746， λ2=-7.746
画出系统闭环传递函数的根轨迹如图2-11，可以看出闭环传递函数的一个 极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原 点的零点处，然后沿着虚轴向上，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是 位于右半平面，即系统总是不稳定的 Matlab 绘制开环根轨迹程序如下:
图2-11 直线一级倒立摆开环根轨迹图
根轨迹校正及仿真
直线一级倒立摆的根轨迹校正可以转化为如下的问题：对于传递函数为
H(s)A(s)
2. 最大超调量MP
6.122
s−60
的系统，设计控制器使得校正后系统的要求如下 1. 调整时间ts=0.5s；
1. 确定闭环期望极点sd的位置，由最大超调量
2. 未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为
3. 计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为
校正后系统的开环传递函数为：
Q=
K（s+7）s+24
6.122s−60.06
校正后系统的根轨迹如下图所示：
图2-14 校正后根轨迹
校正后的阶跃响应曲线如下图所示：
图2-15 校正后阶跃响应曲线
四 频率响应校正实验
系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷大时，向量
端
点的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性
1. 频率响应分析
由直线一级倒立摆的传递函数绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。 Matlab绘制系统的Bode图和奈奎斯特图程序如下:
图2-17 系统波特图
图2-18 系统奈奎斯特图
2. 频率响应校正器设计及仿真
直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题： 考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：
G（s）=
6.122
s−60
设计控制器( ) c G s ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为500，增 益裕量等于或大于10分贝。 根据要求，控制器设计如下：
1.选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode图，可以看出，给系统增加一个 超前校正就可以，满足设计要求，设超前校正装置为：
G1(s)=
2.根据稳态误差要求计算增益K ：
6.122Ks−60
1s+
6.122KK=s−60s+计算可得
K=98
于是有：G1(s)=
6.122∗98s−60
Matlab绘制增加增益后系统的Bode图
和奈奎斯特图程序如下:
图2-19 增加增益后系统波特图
图2-20 增加增益后系统奈奎斯特图
6.增加校正后系统的伯德图和奈奎斯特曲线图如下：
图2-21 校正后系统的伯德图和奈奎斯特曲线图
从Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈奎斯特图 中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。得到系统的单位 阶跃响应如下：
可以看出，系统在遇到干扰后，在2秒内可以达到新的平衡，但是超调量比 较大。
Matlab绘制校正后系统的Bode图、奈奎斯特图和单位阶跃响应程序如下:
五.Simulink 实时控制实验
图2-23 实验三 频率响应校正实验
上图中的红色方框为设计的频率响应校正器，运行前查看是否为自己设计好 的校正器，并确定保证摆杆此时竖直向下。不用编译链接，直接单击“”按钮，用手捏住摆杆顶端（不要抓住中部或下部），慢慢地提起，到接近竖直方向 时放手，当摆杆与竖直向上的方向夹角小于0.30弧度时，进入稳摆范围，可以观 察到，摆杆直立不倒，小车会向着一个方向运动直到撞到限位开关停下来，然后 单击“”停止实验。
注：由于系统采用近似线性模型，忽略了一些非线性及外界干扰的作用，所
以实物控制与仿真有一定差别。设计控制器时可适当减小开环增益K。 PID校正实验
经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在实际控制中应用较广。在控制理论和技术高速发展的今天，工业过程控制中95%以上的控制回路都具有PID结构，并且许多高级控制都是以PID控制为基础的。本系统采用的硬件驱动器中也有PID结构。
1.PID控制分析
由前面的讨论已知实际系统的物理模型：
H(s)
A(s)6.122s−60
对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。系 统控制结构框图如图2-24，图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递 函数。
图2-24 PID控制结构框图
。H
(s)
A(s)=6.122s2−60
在MATLAB Simulink 下对系统进行仿真：
其中“PID Controller” 为封装（Mask）后的PID 控制器，如下图：
双击可打开参数设置窗口：
图2-27 PID控制器参数设置窗口
图2-30 增加微分控制参数的PID控制器仿真图
从上面仿真结果可以看出，系统在3秒内达到平衡，系统稳态也比较小，但 此时的控制器参数只作参考，用户可以在此基础上继续优化PID参数并按上述步 骤进行仿真以求系统可以更好的稳定。
总结：本次倒立摆实验让我认识到倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，让我接触到以前没有接触到的控制案例。通过对倒立摆实验的学习，是我对控制工程产生了浓厚的兴趣。尤其是老师生动有趣的讲解，更是让我同学们印象深刻。本次课程设计我们所采用的调试工具是MATLAB，以前没接触过，通过这个实验我也初步了解了这个软件的强大。
机电实验一级倒立摆实验报告
学院：机械工程学院
班级：车辆工程
姓名：甘立鹏
学号： 112班 119054038
一 实验目的：
通过倒立摆系统实验来验证所学
的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。通过倒立摆系统实验直观的表现出许多抽象的 控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等 对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战
二 实验原理
1直线一级倒立摆的数学模型
系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
牛顿－欧拉方法
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图2-1 直线一级倒立摆模型
图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互 作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的 正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图2-2 小车及摆杆受力分析图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:
把这个等式代入(1)式中，就得到系统的第一个运动方程:
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:
注意:推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度第一个方程，可以得到:
，求解方程组的
将表2.1中的物理参数代入上面的系统状态方程和传递函数中得到系统精确 模型。
此时的传递函数为：
H(s)A(s)
6.122s−60
三.根轨迹校正实验
前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为：
H(s)A(s)
6.122
s−60
可知系统没有零点，有两个极点λ1=7.746， λ2=-7.746
画出系统闭环传递函数的根轨迹如图2-11，可以看出闭环传递函数的一个 极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左到位于原 点的零点处，然后沿着虚轴向上，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是 位于右半平面，即系统总是不稳定的 Matlab 绘制开环根轨迹程序如下:
图2-11 直线一级倒立摆开环根轨迹图
根轨迹校正及仿真
直线一级倒立摆的根轨迹校正可以转化为如下的问题：对于传递函数为
H(s)A(s)
2. 最大超调量MP
6.122
s−60
的系统，设计控制器使得校正后系统的要求如下 1. 调整时间ts=0.5s；
1. 确定闭环期望极点sd的位置，由最大超调量
2. 未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为
3. 计算超前校正装置应提供的相角，已知系统原来的极点在主导极点产生的滞后相角和为
校正后系统的开环传递函数为：
Q=
K（s+7）s+24
6.122s−60.06
校正后系统的根轨迹如下图所示：
图2-14 校正后根轨迹
校正后的阶跃响应曲线如下图所示：
图2-15 校正后阶跃响应曲线
四 频率响应校正实验
系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，我们在一定范围内改变输入信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下三种比较方便的方法进行分析，一种为伯德图或对数坐标图，伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅值和频率的关系，一幅表示相角和频率的关系；一种是极坐标图，极坐标图表示的是当ω从0变化到无穷大时，向量
端
点的轨迹，极坐标图也常称为奈奎斯特图，奈奎斯特稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性
1. 频率响应分析
由直线一级倒立摆的传递函数绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。 Matlab绘制系统的Bode图和奈奎斯特图程序如下:
图2-17 系统波特图
图2-18 系统奈奎斯特图
2. 频率响应校正器设计及仿真
直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题： 考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：
G（s）=
6.122
s−60
设计控制器( ) c G s ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为500，增 益裕量等于或大于10分贝。 根据要求，控制器设计如下：
1.选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode图，可以看出，给系统增加一个 超前校正就可以，满足设计要求，设超前校正装置为：
G1(s)=
2.根据稳态误差要求计算增益K ：
6.122Ks−60
1s+
6.122KK=s−60s+计算可得
K=98
于是有：G1(s)=
6.122∗98s−60
Matlab绘制增加增益后系统的Bode图
和奈奎斯特图程序如下:
图2-19 增加增益后系统波特图
图2-20 增加增益后系统奈奎斯特图
6.增加校正后系统的伯德图和奈奎斯特曲线图如下：
图2-21 校正后系统的伯德图和奈奎斯特曲线图
从Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈奎斯特图 中可以看出，曲线绕-1点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。得到系统的单位 阶跃响应如下：
可以看出，系统在遇到干扰后，在2秒内可以达到新的平衡，但是超调量比 较大。
Matlab绘制校正后系统的Bode图、奈奎斯特图和单位阶跃响应程序如下:
五.Simulink 实时控制实验
图2-23 实验三 频率响应校正实验
上图中的红色方框为设计的频率响应校正器，运行前查看是否为自己设计好 的校正器，并确定保证摆杆此时竖直向下。不用编译链接，直接单击“”按钮，用手捏住摆杆顶端（不要抓住中部或下部），慢慢地提起，到接近竖直方向 时放手，当摆杆与竖直向上的方向夹角小于0.30弧度时，进入稳摆范围，可以观 察到，摆杆直立不倒，小车会向着一个方向运动直到撞到限位开关停下来，然后 单击“”停止实验。
注：由于系统采用近似线性模型，忽略了一些非线性及外界干扰的作用，所
以实物控制与仿真有一定差别。设计控制器时可适当减小开环增益K。 PID校正实验
经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型。PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在实际控制中应用较广。在控制理论和技术高速发展的今天，工业过程控制中95%以上的控制回路都具有PID结构，并且许多高级控制都是以PID控制为基础的。本系统采用的硬件驱动器中也有PID结构。
1.PID控制分析
由前面的讨论已知实际系统的物理模型：
H(s)
A(s)6.122s−60
对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的情况。系 统控制结构框图如图2-24，图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传递 函数。
图2-24 PID控制结构框图
。H
(s)
A(s)=6.122s2−60
在MATLAB Simulink 下对系统进行仿真：
其中“PID Controller” 为封装（Mask）后的PID 控制器，如下图：
双击可打开参数设置窗口：
图2-27 PID控制器参数设置窗口
图2-30 增加微分控制参数的PID控制器仿真图
从上面仿真结果可以看出，系统在3秒内达到平衡，系统稳态也比较小，但 此时的控制器参数只作参考，用户可以在此基础上继续优化PID参数并按上述步 骤进行仿真以求系统可以更好的稳定。
总结：本次倒立摆实验让我认识到倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，让我接触到以前没有接触到的控制案例。通过对倒立摆实验的学习，是我对控制工程产生了浓厚的兴趣。尤其是老师生动有趣的讲解，更是让我同学们印象深刻。本次课程设计我们所采用的调试工具是MATLAB，以前没接触过，通过这个实验我也初步了解了这个软件的强大。