用向量法证明空间中的平行垂直关系
新知新讲
点、直线和平面位置的向量表示
用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
金题精讲
题一：设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断直线l 1，l 2的位置关系：
(1)a =(2，-1，-2) ，b =(6，-3，-6)
a b (2)=(1，2，-2) ，=(-2，3，2)
题二：设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：
(1)u =(-2，2，5) ，v =(6，-4，4)
(2)u =(1，2，-2) ，v =(-2，-4，4)
题三：如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.
(1)求证：BC 1⊥AB 1；
(2)求证：BC 1∥平面CA 1D
.
用向量法证明空间中的平行垂直关系
讲义参考答案
题一：(1)平行 (2)垂直 题二：(1)垂直 (2)平行 题三：以C 1为原点，以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴建系如图 设AC =BC =BB 1=1，则A (1，0，1) ，B (0，1，1) ， B 1(0，1，0) ，C 1(0，0，0)
(1)∵BC →-1) ，AB →
1= (0，-1，1= (-1，1，-1)
∴BC →→
1·AB 1=0-1+1=0
∴BC →⊥AB →
11
∴BC 1⊥AB 1
(2)C (0，0，1) ，A 1
1(1，0，0) ，D (2，1
2，1)
设平面CA 1D 的法向量为m = (x ，y ，z )
CA ， CD =(11
1=(1,0, -1) 2, 2,0)
⎧⎪x -z =0
⎨⎪1
⎩2x +1
2y =0
取 m =(1,-1,1) ，则 BC
1⋅m =0+1-1=0
∴ BC
1⊥m
又BC 1⊄∥平面CA 1D
∴BC 1∥平面CA 1D
用向量法证明空间中的平行垂直关系
新知新讲
点、直线和平面位置的向量表示
用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
金题精讲
题一：设a ，b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断直线l 1，l 2的位置关系：
(1)a =(2，-1，-2) ，b =(6，-3，-6)
a b (2)=(1，2，-2) ，=(-2，3，2)
题二：设u ，v 分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：
(1)u =(-2，2，5) ，v =(6，-4，4)
(2)u =(1，2，-2) ，v =(-2，-4，4)
题三：如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.
(1)求证：BC 1⊥AB 1；
(2)求证：BC 1∥平面CA 1D
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用向量法证明空间中的平行垂直关系
讲义参考答案
题一：(1)平行 (2)垂直 题二：(1)垂直 (2)平行 题三：以C 1为原点，以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 为x 轴、y 轴、z 轴建系如图 设AC =BC =BB 1=1，则A (1，0，1) ，B (0，1，1) ， B 1(0，1，0) ，C 1(0，0，0)
(1)∵BC →-1) ，AB →
1= (0，-1，1= (-1，1，-1)
∴BC →→
1·AB 1=0-1+1=0
∴BC →⊥AB →
11
∴BC 1⊥AB 1
(2)C (0，0，1) ，A 1
1(1，0，0) ，D (2，1
2，1)
设平面CA 1D 的法向量为m = (x ，y ，z )
CA ， CD =(11
1=(1,0, -1) 2, 2,0)
⎧⎪x -z =0
⎨⎪1
⎩2x +1
2y =0
取 m =(1,-1,1) ，则 BC
1⋅m =0+1-1=0
∴ BC
1⊥m
又BC 1⊄∥平面CA 1D
∴BC 1∥平面CA 1D