黄冈市2015年初中毕业生学业水平考试
数学试题 第Ⅰ卷（选择题共21 分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3 分，共21 分）
1. （3 分）（2015•黄冈）9 的平方根是( )
A. ±3 B. ±
考点：平方根．
分析：根据平方根的含义和求法，可得9 的平方根是： ± =±3 ，据此解答即可．
解答：解：9 的平方根是：
± =±3 ．
故选：A ．
点评：此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个
正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. （3 分）（2015•黄冈）下列运算结果正确的是( )
A.x 6÷x 2=x3 B.(-x)-1=1 C.3 D.-3 31 C. (2x3) 2=4x6 D.-2a 2²a 3=-2a6 x
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指数幂．
分析：根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可．
解答：解：A 、x 6÷x 2=x4 ，错误；
B 、(-x)-1=﹣1 ，错误； x
C 、(2x3) 2=4x6 ，正确；
D 、-2a 2²a 3=-2a5，错误；
故选C
点评：此题考查同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．
3. （3 分）（2015•黄冈）如图所示，该几何体的俯视图是(
)
考点：简单组合体的三视图．
分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B ．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
4. （3 分）（2015•黄冈）下列结论正确的是( )
A.3a 2b-a 2b=2
B. 单项式-x 2的系数是-1
C. 使式子x +2有意义的x 的取值范围是x>-2
a 2-1 D. 若分式的值等于0, 则a=±1 a +1
考点：二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．
分析：根据合并同类项，可判断A ；根据单项式的系数是数字因数，可判断B ；根据二次根
式的被开方数是非负数，可判断C ；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D ．
解答：解：A 、合并同类项系数相加字母部分不变，故A 错误；
B 、单项式-x 2的系数是﹣1，故B 正确；
C 、式子x +2有意义的x 的取值范围是x ＞﹣2 ，故C 错误；
a 2-1 D 、分式 的值等于0，则a=1，故D 错误； a +1
故选：B ．
点评：本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不
为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
5. （3 分）（2015•黄冈）如图，a ∥b, ∠1=∠2, ∠3=40°, 则∠4 等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
考点：平行线的性质．
分析：先根据平行线的性质求出∠1+∠2 的度数，再由∠1=∠2 得出∠2 的度数，进而
可得 出结论．
解答：解：∵a ∥b ，∠3=40°，
∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2= ∠4 ．
∵∠1=∠2 ，
∴∠2= 1 ³140°=70°， 2
∴∠4= ∠2=70°．
故选D ．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6. （3 分）（2015•黄冈）如图，在△ABC 中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD=3，则BC 的长为( )
A.6 B 6. C.9 D. 3
考点：含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD ，可得∠DAE=30°，易
得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD 为∠BAC 的角平分线，由角平分线的性质得
DE=CD=3 ，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得
结果．
解答：解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD=BD ，
∴∠DAE= ∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD 为∠BAC 的角平分线，
∵∠C=90°，DE ⊥AB ，
∴DE=CD=3 ，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6 ，
∴BC=9 ，
故选C ．
点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直
角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
7. （3 分）（2015•黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发, 以各自的速度匀速向乙地行驶, 小汽车到达乙地后, 立即以相同的速度沿原路返回甲地. 已知甲、乙两地相距180 千米，货车的速度为60 千米/小时, 小汽车的速度为90 千米/小时, 则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米) 与各自行驶时间t(小时) 之间的函数图象是(
)
考点：函数的图象．
分析：根据出发前都距离乙地 180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两
小时小汽车又返回甲地距离又为180 千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，
而答案．
解答：解：由题意得
出发前都距离乙地180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时
小汽车又返回甲地距离又为180 千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C
符合题意，
故选：C ．
点评：本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题共99 分）
二、填空题（共7 小题，每小题3 分, 共21 分）
8. （3 分）（2015•黄冈）计算：-2=_______
考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 解答：解：-2
=32-2
=22 ．
故答案为：2 2 ．
点评：本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．
9. （3 分）（2015•黄冈）分解因式：x 3-2x 2+x=________
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式x ，进而利用完全平方公式分解因式即可．
解答： 解：x 3-2x 2+x=x（x 2 ﹣2x+1 ）=x（x ﹣1）2 ．
故答案为：x （x ﹣1）2 ．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关
键．
10. （3 分）（2015•黄冈）若方程x 2-2x-1=0 的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x2-x 1x 2 的
值为_________.
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：先根据根与系数的关系得到x 1 +x2 =2 ，x 1 x 2 = ﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解答：解：根据题意得x 1 +x2 =2 ，x 1 x 2 = ﹣1，
所以x 1+x2-x 1x 2 =2 ﹣（﹣1）=3 ．
故答案为3 ．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1 ，x 2 是一元二次方程ax 2 + bx + c=0 （a ≠0 ）的两根时， x 1 +x2 =-
11. （3 分）（2015•黄冈）计算b c ，x 1 x 2 = a a b a ÷(1-) 的结果是_________. a +b a 2-b 2
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
解答： 解：原式
= 故答案为： ．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. （3 分）（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点,BF 与AC
交于点E, 若∠CBF=20°，则∠AED 等于_________度
.
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE ，再利用SAS 证明△ ABE 与△ ADE 全等，再 利用三角形的内角和解答即可．
解答：解：∵正方形ABCD ，
∴AB=AD ，∠BAE= ∠DAE ，
在△ABE 与△ADE 中，
，
∴△ABE ≌△ADE （SAS ），
∴∠AEB= ∠AED ，∠ABE= ∠ADE ，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED= ∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65°
点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE ，再利用全等
三角形的判定和性质解答．
13. （3 分）（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图, 若∠AOB=120° , 弧AB 的长为12πcm, 则该圆锥的侧面积为_______cm2.
考点：圆锥的计算．
分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
解答：解：设AO=B0=R ，
∵∠AOB=120°，弧AB 的长为12πcm ，
∴ 120 R =12π， 180
解得：R=18 ，
∴圆锥的侧面积为 11lR= ³12π³18=108π， 22
故答案为：108π．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
14. （3 分）（2015•黄冈）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 边上的高为12cm, 则△ABC 的面积为__________cm2.
考点：勾股定理．菁优网版权所有
分析：此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB 、AC 的值，利用勾股定理即可求
出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果．
解答：解：当∠B 为锐角时（如图 1），
在Rt △ABD 中，
BD=
在Rt △ADC 中，
CD=
∴BC=21 ，
∴S △ ABC= = =16cm ， =5cm ， 1 ³21³12=126cm ； 2
当∠B 为钝角时（如图2 ），
在Rt △ABD 中，
BD=
在Rt △ADC 中，
CD= =16cm ， =5cm ，
∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm，
∴S △ ABC= = 1³11³12=66cm ， 2
故答案为：126 或66 ．
点评：本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关
键．
三、解答题（本大题共10 小题，满分共78 分）
⎧2x >3x -2⎪15. （5分）（2015•黄冈）解不等式组：⎨2x -112 ≥x -⎪23⎩3
考点：解一元一次不等式组．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：解：由①得，x ＜2 ，由②得，x ≥ ﹣2 ，
故不等式组的解集为：﹣2≤x ＜2 ．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16. （6分）（2015•黄冈）已知A,B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130 元，问A,B 两件服装的成本各是多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
分析：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得等量关系：①成本共500 元；②
共获利 130 元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
解答：解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得：
，
解得： ，
答：A 服装成本为300 元，B 服装成本200 元．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系，列出方程组．
17. （6 分）（2015•黄冈）已知:如图，在四边形ABCD 中，AB ∥ CD,E,F 为对角线
AC 上两点，且AE=CF，DF ∥BE.
求证：四边形ABCD 为平行四边形.
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：首先证明△AEB ≌△CFD 可得AB=CD ，再由条件AB ∥CD 可利用一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD 为平行四边形．
解答：证明：∵AB ∥CD ，
∴∠DCA= ∠BAC ，
∵DF ∥BE ，
∴∠DFA= ∠BEC ，
∴∠AEB= ∠DFC ，
在△AEB 和△ CFD 中，
∴△AEB ≌△CFD （ASA ），
∴AB=CD ，
∵AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形．
18. （7分）（2015•黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“ 通过”(用√表示) 或“ 淘汰”(用³表示) 的评定结果. 节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.
(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；
(2)求选手A 晋级的概率.
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果；
（2 ）列举出所有情况，让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数
即为所求的概率．
解答：解：（1）画出树状图来说明评委给出A 选手的所有可能结果：
；
（2 ）∵由上可知评委给出A 选手所有可能的结果有8 种．并且它们是等可能的，对
于A 选手，晋级的可能有4 种情况，
∴对于A 选手，晋级的概率是：1 ． 2
点评：本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情
况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
19. （7 分）（2015•黄冈）“ 六一”儿童节前夕，蕲黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计, 发现各班留守儿童人数分别为6 名,7 名,8 名,10 名,12 名这五种情形, 并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据上述统计图, 解答下列问题：
(1)该校有多少个班级? 并补全条形统计图;
(2)该校平均每班有多少名留守儿童? 留守儿童人数的众数是多少？
(3)若该镇所有小学共有60 个教学班, 请根据样本数据, 估计该镇小学生中, 共有多少名留守儿童.
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．
分析：（1）根据有7 名留守儿童班级有2 个，所占的百分比是 12.5%，即可求得班级的总
个数；
（2 ）利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出
现次数最多的数确定留守儿童的众数；
（3 ）利用班级数60 乘以（2 ）中求得的平均数即可．
解答：解：（1）该校的班级数是：2÷ 12.5%=16 （个）．
则人数是8 名的班级数是：16 ﹣1 ﹣2 ﹣6 ﹣2=5 （个）．
（2 ）每班的留守儿童的平均数是： ； 1（1³6+2³7+5³8+6³10+12³2 ）=9 （人），众数是 16
10 名；
（3 ）该镇小学生中，共有留守儿童60³9=540 （人）．
答：该镇小学生中共有留守儿童540 人．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.(7 分) （2015•黄冈）如图, 在一次军事演习中, 蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退, 红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截. 红方行驶1000
米到达C 处后, 因前方无法通行, 红方决定调整方向, 再朝南偏西
45°方向前进了相同的距离, 刚好在D 处成功拦截蓝方. 求拦截点D
处到公路的距离(结果不取近似值).
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；
过C 作AB 的垂线，过D
作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离
DA=BE+CF ．解Rt △ BCE ，求出BE=11BC=³1000=500 米；解Rt △ CDF ，求出 22
CF=2CD=5002 米，则DA=BE+CF=（500+5002）米． 2
解答：解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的 垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的 距离DA=BE+CF ．
在Rt △ BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=11BC=³1000=500 米； 22
在Rt △ CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000 米，
∴CF= 2 CD=5002 米， 2
∴DA=BE+CF= （500+5002）米，
故拦截点D 处到公路的距离是（500+500 2 ）米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向
角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. （ 8分）（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN, 过点C 的切线交AB 的延长线于点P.
（1）求证：∠BCP=∠BAN;
（2）求证：AM CB MN BP
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN= ∠CAN ， 根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论．
（2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB ，根据圆内接四边形的性质得到
∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC ∽△MNA ，即可得到结论．
解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+ ∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN= ∠CAN ，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+ ∠PCB=90°，
∴∠BCP= ∠CAN ，
∴∠BCP= ∠BAN ；
（2 ）∵AB=AC，
∴∠ABC= ∠ACB ，
∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°，
∴∠PBC= ∠AMN ，
由（1）知∠BCP= ∠BAN ，
∴△BPC ∽△MNA ，
∴AM CB ． MN BP
点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．
22. （8 分）（2015•黄冈）如图，反比例函数y=
y=k 的图象经过点A （-1,4), 直线y=-x + b(b≠0) 与双曲线x k 在第二、四象限分别相交于P ，Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C,D 两x
点.
(1)求k 的值;
(2)当b=-2 时，求△OCD 的面积；
(3)连接OQ ，是否存在实数b, 使得S △ODQ=S△OCD ？ 若存在，请求出b 的
值；若不存在，请说明理由.
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k= ﹣4 ；
（2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C （﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根据三角形面积公式求解；
（3 ）先表示出C （b ，0 ），根据三角形面积公式，由于S △ ODQ=S△ OCD ，所以点
Q 和 点C 到OD 的距离相等，则Q 的横坐标为（﹣b ，0 ），利用直线解析式可得到Q （﹣ b ，2b ），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b •2b= ﹣4 ，然后解方程即可 得到满足条件的b 的值．
解答： 解：（1）∵反比例函数y= k 的图象经过点A （﹣1，4 ）， x
∴k= ﹣1³4= ﹣4 ；
（2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ，
∵y=0 时，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ，
∴C （﹣2 ，0 ），
∵当x=0 时，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ，
∴D （0，﹣2 ），
∴S △ OCD=1³2³2=2 ； 2
（3 ）存在．
当y=0 时，﹣x+b=0 ，解得x=b ，则C （b ，0 ），
∵S △ ODQ=S△ OCD ，
∴点Q 和点C 到OD 的距离相等，
而Q 点在第四象限，
∴Q 的横坐标为﹣b ，
当x= ﹣b 时，y= ﹣x+b=2b ，则Q （﹣b ，2b ），
∵点Q 在反比例函数y= ﹣4 的图象上， x
∴﹣b •2b= ﹣4 ，解得b= ﹣2 或b=2（舍去），
∴b 的值为﹣2 ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把
两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两
者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．
23. （10 分）（2015•黄冈）我市某风景区门票价格如图所示黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队, 计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120 人，乙团队人数不超过50 人. 设甲团队人数为x 人, 如果甲、乙两团队分别购买门票, 两团队
门票款之和为W 元.
(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值
范围；
(2)若甲团队人数不超过100 人，请说明甲、乙两团队联
合购票比分别购票最多可节约多少钱；
(3“) 五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如
下调整：人数不超过50 人时，门票价格不变；人数超过
50 人但不超过100 人时，每张门票降价a 元; 人数超过
100 人时，每张门票降价2a 元. 在（2）的条件下，若甲、
乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400 元，求a 的值.
考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：（1）根据甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人，得到x ≥70，分两种情况：
①当70≤x ≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600，②当100＜x ＜120 时， W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，即可解答；
（2 ）根据甲团队人数不超过100 人，所以x ≤100，由W= ﹣10x+9600，根据70≤x ≤100， 利用一次函数的性质，当x=70 时，W 最大=8900 （元），两团联合购票需120³60=7200 （元），即可解答；
（3 ）根据每张门票降价a 元，可得W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ， 利用一次函数的性质，x=70 时，W 最大= ﹣70a+8900 （元），而两团联合购票需120
（60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元），所以﹣70a+8900 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400，即可解答． 解答：解：（1）∵甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人，
∴120 ﹣x ≤50，
∴x ≥70，
①当70≤x ≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600，
②当100＜x ＜120 时，W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，
综上所述，
W=
（2 ）∵甲团队人数不超过100 人，
∴x ≤100，
∴W= ﹣10x+9600，
∵70≤x ≤100，
∴x=70 时，W 最大=8900 （元），
两团联合购票需 120³60=7200 （元），
∴最多可节约8900 ﹣7200=1700 （元）．
（3 ）∵x ≤100，
∴W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ，
∴x=70 时，W 最大= ﹣70a+8900 （元），
两团联合购票需 120 （60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元），
∵﹣70a+8900 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400 ，
解得：a=10 ．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一
次函数的性质求得最大值．注意确定x 的取值范围．
24. （14 分）（2015•黄冈）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点, 将△BCD 沿直线CD 折叠, 使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所
在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE 的长；
(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运
动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点
C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动. 设运动时间为t 秒，
当t 为何值时，DP=DQ；
(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上, 是否存在
这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请求出M 点的坐标; 若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由折叠的性质可求得CE 、CO ，在Rt △ COE 中，由勾股定理可求得OE ，设AD=m ， 在Rt △ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C 、O 两点，利
用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2 ）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△ DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t 的值；
（3 ）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对
角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐
标，再代入抛物线解析式可求得M 点的坐标．
解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt △ COE 中，OE==3 ，
设AD=m ，则DE=BD=4 ﹣m ，
∵OE=3，
∴AE=5 ﹣3=2，
在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2 +AE2 =DE2 ，即m 2 +22 = （4 ﹣m ）2 ，
3 ， 2
3 ∴D （﹣，﹣5 ）， 2 解得m=
∵C （﹣4 ，0 ），O （0，0 ），
∴设过O 、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4 ），
334 a （﹣+4 ），解得a= ， 223
4416 ∴抛物线解析式为y=x （x+4 ）= x 2 + x ； 333 ∴﹣5= ﹣
（2 ）∵CP=2t ，
∴BP=5 ﹣2t ，
在Rt △ DBP 和Rt △ DEQ 中，
，
∴Rt △ DBP ≌Rt △ DEQ （HL ），
∴BP=EQ ，
∴5 ﹣2t=t ，
∴t= 5 ； 3
（3 ）∵抛物线的对称为直线x= ﹣2 ，
∴设N （﹣2 ，n ），
又由题意可知C （﹣4 ，0 ），E （0，﹣3 ），
设M （m ，y ），
①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时，
则线段EN 的中点横坐标为
∵EN ，CM 互相平分， = ﹣1，线段CM 中点横坐标为，
∴
= ﹣1，解得m=2 ，
又M 点在抛物线上，
∴y=42 16x + x=16 ， 33
∴M （2 ，16）；
②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时，
则线段EM 的中点横坐标为
∵EN ，CM 互相平分， ，线段CN 中点横坐标为
= ﹣3，
∴
= ﹣3，解得m= ﹣6，
又∵M 点在抛物线上，
∴y= 416³ （﹣6 ）2 + ³ （﹣6 ）=16 ， 33
∴M （﹣6，16）；
③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时，
则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2 ，﹣16 ）． 3
16 ）． 3 综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为（2 ，16）或（﹣6，16）或（﹣2 ，﹣
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折 叠的性质、 平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D 点坐标是解题的关键，在 （2 ）中证得全等，得 到关于t 的方程是解题的关键，在（3 ）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综 合性较强，难度适中．
黄冈市2015年初中毕业生学业水平考试
数学试题 第Ⅰ卷（选择题共21 分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3 分，共21 分）
1. （3 分）（2015•黄冈）9 的平方根是( )
A. ±3 B. ±
考点：平方根．
分析：根据平方根的含义和求法，可得9 的平方根是： ± =±3 ，据此解答即可．
解答：解：9 的平方根是：
± =±3 ．
故选：A ．
点评：此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个
正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. （3 分）（2015•黄冈）下列运算结果正确的是( )
A.x 6÷x 2=x3 B.(-x)-1=1 C.3 D.-3 31 C. (2x3) 2=4x6 D.-2a 2²a 3=-2a6 x
考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指数幂．
分析：根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可．
解答：解：A 、x 6÷x 2=x4 ，错误；
B 、(-x)-1=﹣1 ，错误； x
C 、(2x3) 2=4x6 ，正确；
D 、-2a 2²a 3=-2a5，错误；
故选C
点评：此题考查同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．
3. （3 分）（2015•黄冈）如图所示，该几何体的俯视图是(
)
考点：简单组合体的三视图．
分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
解答：解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形．
故选：B ．
点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．
4. （3 分）（2015•黄冈）下列结论正确的是( )
A.3a 2b-a 2b=2
B. 单项式-x 2的系数是-1
C. 使式子x +2有意义的x 的取值范围是x>-2
a 2-1 D. 若分式的值等于0, 则a=±1 a +1
考点：二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．
分析：根据合并同类项，可判断A ；根据单项式的系数是数字因数，可判断B ；根据二次根
式的被开方数是非负数，可判断C ；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D ．
解答：解：A 、合并同类项系数相加字母部分不变，故A 错误；
B 、单项式-x 2的系数是﹣1，故B 正确；
C 、式子x +2有意义的x 的取值范围是x ＞﹣2 ，故C 错误；
a 2-1 D 、分式 的值等于0，则a=1，故D 错误； a +1
故选：B ．
点评：本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不
为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
5. （3 分）（2015•黄冈）如图，a ∥b, ∠1=∠2, ∠3=40°, 则∠4 等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
考点：平行线的性质．
分析：先根据平行线的性质求出∠1+∠2 的度数，再由∠1=∠2 得出∠2 的度数，进而
可得 出结论．
解答：解：∵a ∥b ，∠3=40°，
∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2= ∠4 ．
∵∠1=∠2 ，
∴∠2= 1 ³140°=70°， 2
∴∠4= ∠2=70°．
故选D ．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
6. （3 分）（2015•黄冈）如图，在△ABC 中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD=3，则BC 的长为( )
A.6 B 6. C.9 D. 3
考点：含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD ，可得∠DAE=30°，易
得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD 为∠BAC 的角平分线，由角平分线的性质得
DE=CD=3 ，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得
结果．
解答：解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD=BD ，
∴∠DAE= ∠B=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴AD 为∠BAC 的角平分线，
∵∠C=90°，DE ⊥AB ，
∴DE=CD=3 ，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=6 ，
∴BC=9 ，
故选C ．
点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直
角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
7. （3 分）（2015•黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发, 以各自的速度匀速向乙地行驶, 小汽车到达乙地后, 立即以相同的速度沿原路返回甲地. 已知甲、乙两地相距180 千米，货车的速度为60 千米/小时, 小汽车的速度为90 千米/小时, 则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米) 与各自行驶时间t(小时) 之间的函数图象是(
)
考点：函数的图象．
分析：根据出发前都距离乙地 180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两
小时小汽车又返回甲地距离又为180 千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零，
而答案．
解答：解：由题意得
出发前都距离乙地180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时
小汽车又返回甲地距离又为180 千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C
符合题意，
故选：C ．
点评：本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．
第Ⅱ卷（非选择题共99 分）
二、填空题（共7 小题，每小题3 分, 共21 分）
8. （3 分）（2015•黄冈）计算：-2=_______
考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 解答：解：-2
=32-2
=22 ．
故答案为：2 2 ．
点评：本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．
9. （3 分）（2015•黄冈）分解因式：x 3-2x 2+x=________
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
分析：首先提取公因式x ，进而利用完全平方公式分解因式即可．
解答： 解：x 3-2x 2+x=x（x 2 ﹣2x+1 ）=x（x ﹣1）2 ．
故答案为：x （x ﹣1）2 ．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关
键．
10. （3 分）（2015•黄冈）若方程x 2-2x-1=0 的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x2-x 1x 2 的
值为_________.
考点：根与系数的关系．
专题：计算题．
分析：先根据根与系数的关系得到x 1 +x2 =2 ，x 1 x 2 = ﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
解答：解：根据题意得x 1 +x2 =2 ，x 1 x 2 = ﹣1，
所以x 1+x2-x 1x 2 =2 ﹣（﹣1）=3 ．
故答案为3 ．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x 1 ，x 2 是一元二次方程ax 2 + bx + c=0 （a ≠0 ）的两根时， x 1 +x2 =-
11. （3 分）（2015•黄冈）计算b c ，x 1 x 2 = a a b a ÷(1-) 的结果是_________. a +b a 2-b 2
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分即可得到结果．
解答： 解：原式
= 故答案为： ．
点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. （3 分）（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点,BF 与AC
交于点E, 若∠CBF=20°，则∠AED 等于_________度
.
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE ，再利用SAS 证明△ ABE 与△ ADE 全等，再 利用三角形的内角和解答即可．
解答：解：∵正方形ABCD ，
∴AB=AD ，∠BAE= ∠DAE ，
在△ABE 与△ADE 中，
，
∴△ABE ≌△ADE （SAS ），
∴∠AEB= ∠AED ，∠ABE= ∠ADE ，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABE=70°，
∴∠AED= ∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，
故答案为：65°
点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE ，再利用全等
三角形的判定和性质解答．
13. （3 分）（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图, 若∠AOB=120° , 弧AB 的长为12πcm, 则该圆锥的侧面积为_______cm2.
考点：圆锥的计算．
分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可．
解答：解：设AO=B0=R ，
∵∠AOB=120°，弧AB 的长为12πcm ，
∴ 120 R =12π， 180
解得：R=18 ，
∴圆锥的侧面积为 11lR= ³12π³18=108π， 22
故答案为：108π．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．
14. （3 分）（2015•黄冈）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 边上的高为12cm, 则△ABC 的面积为__________cm2.
考点：勾股定理．菁优网版权所有
分析：此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB 、AC 的值，利用勾股定理即可求
出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果．
解答：解：当∠B 为锐角时（如图 1），
在Rt △ABD 中，
BD=
在Rt △ADC 中，
CD=
∴BC=21 ，
∴S △ ABC= = =16cm ， =5cm ， 1 ³21³12=126cm ； 2
当∠B 为钝角时（如图2 ），
在Rt △ABD 中，
BD=
在Rt △ADC 中，
CD= =16cm ， =5cm ，
∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm，
∴S △ ABC= = 1³11³12=66cm ， 2
故答案为：126 或66 ．
点评：本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关
键．
三、解答题（本大题共10 小题，满分共78 分）
⎧2x >3x -2⎪15. （5分）（2015•黄冈）解不等式组：⎨2x -112 ≥x -⎪23⎩3
考点：解一元一次不等式组．
分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答：解：由①得，x ＜2 ，由②得，x ≥ ﹣2 ，
故不等式组的解集为：﹣2≤x ＜2 ．
点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16. （6分）（2015•黄冈）已知A,B 两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130 元，问A,B 两件服装的成本各是多少元？
考点：二元一次方程组的应用．
分析：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得等量关系：①成本共500 元；②
共获利 130 元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
解答：解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得：
，
解得： ，
答：A 服装成本为300 元，B 服装成本200 元．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系，列出方程组．
17. （6 分）（2015•黄冈）已知:如图，在四边形ABCD 中，AB ∥ CD,E,F 为对角线
AC 上两点，且AE=CF，DF ∥BE.
求证：四边形ABCD 为平行四边形.
考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：首先证明△AEB ≌△CFD 可得AB=CD ，再由条件AB ∥CD 可利用一组对边平行且相
等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD 为平行四边形．
解答：证明：∵AB ∥CD ，
∴∠DCA= ∠BAC ，
∵DF ∥BE ，
∴∠DFA= ∠BEC ，
∴∠AEB= ∠DFC ，
在△AEB 和△ CFD 中，
∴△AEB ≌△CFD （ASA ），
∴AB=CD ，
∵AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 为平行四边形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形．
18. （7分）（2015•黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“ 通过”(用√表示) 或“ 淘汰”(用³表示) 的评定结果. 节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.
(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果；
(2)求选手A 晋级的概率.
考点：列表法与树状图法．
分析：（1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果；
（2 ）列举出所有情况，让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数
即为所求的概率．
解答：解：（1）画出树状图来说明评委给出A 选手的所有可能结果：
；
（2 ）∵由上可知评委给出A 选手所有可能的结果有8 种．并且它们是等可能的，对
于A 选手，晋级的可能有4 种情况，
∴对于A 选手，晋级的概率是：1 ． 2
点评：本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情
况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
19. （7 分）（2015•黄冈）“ 六一”儿童节前夕，蕲黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计, 发现各班留守儿童人数分别为6 名,7 名,8 名,10 名,12 名这五种情形, 并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据上述统计图, 解答下列问题：
(1)该校有多少个班级? 并补全条形统计图;
(2)该校平均每班有多少名留守儿童? 留守儿童人数的众数是多少？
(3)若该镇所有小学共有60 个教学班, 请根据样本数据, 估计该镇小学生中, 共有多少名留守儿童.
考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数．
分析：（1）根据有7 名留守儿童班级有2 个，所占的百分比是 12.5%，即可求得班级的总
个数；
（2 ）利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出
现次数最多的数确定留守儿童的众数；
（3 ）利用班级数60 乘以（2 ）中求得的平均数即可．
解答：解：（1）该校的班级数是：2÷ 12.5%=16 （个）．
则人数是8 名的班级数是：16 ﹣1 ﹣2 ﹣6 ﹣2=5 （个）．
（2 ）每班的留守儿童的平均数是： ； 1（1³6+2³7+5³8+6³10+12³2 ）=9 （人），众数是 16
10 名；
（3 ）该镇小学生中，共有留守儿童60³9=540 （人）．
答：该镇小学生中共有留守儿童540 人．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中
得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.(7 分) （2015•黄冈）如图, 在一次军事演习中, 蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退, 红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截. 红方行驶1000
米到达C 处后, 因前方无法通行, 红方决定调整方向, 再朝南偏西
45°方向前进了相同的距离, 刚好在D 处成功拦截蓝方. 求拦截点D
处到公路的距离(结果不取近似值).
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；
过C 作AB 的垂线，过D
作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离
DA=BE+CF ．解Rt △ BCE ，求出BE=11BC=³1000=500 米；解Rt △ CDF ，求出 22
CF=2CD=5002 米，则DA=BE+CF=（500+5002）米． 2
解答：解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的 垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的 距离DA=BE+CF ．
在Rt △ BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=11BC=³1000=500 米； 22
在Rt △ CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000 米，
∴CF= 2 CD=5002 米， 2
∴DA=BE+CF= （500+5002）米，
故拦截点D 处到公路的距离是（500+500 2 ）米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向
角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. （ 8分）（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN, 过点C 的切线交AB 的延长线于点P.
（1）求证：∠BCP=∠BAN;
（2）求证：AM CB MN BP
考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN= ∠CAN ， 根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论．
（2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB ，根据圆内接四边形的性质得到
∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC ∽△MNA ，即可得到结论．
解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠NAC+ ∠ACN=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAN= ∠CAN ，
∵PC 是⊙O 的切线，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACN+ ∠PCB=90°，
∴∠BCP= ∠CAN ，
∴∠BCP= ∠BAN ；
（2 ）∵AB=AC，
∴∠ABC= ∠ACB ，
∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°，
∴∠PBC= ∠AMN ，
由（1）知∠BCP= ∠BAN ，
∴△BPC ∽△MNA ，
∴AM CB ． MN BP
点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，
圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．
22. （8 分）（2015•黄冈）如图，反比例函数y=
y=k 的图象经过点A （-1,4), 直线y=-x + b(b≠0) 与双曲线x k 在第二、四象限分别相交于P ，Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于C,D 两x
点.
(1)求k 的值;
(2)当b=-2 时，求△OCD 的面积；
(3)连接OQ ，是否存在实数b, 使得S △ODQ=S△OCD ？ 若存在，请求出b 的
值；若不存在，请说明理由.
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k= ﹣4 ；
（2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C （﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根据三角形面积公式求解；
（3 ）先表示出C （b ，0 ），根据三角形面积公式，由于S △ ODQ=S△ OCD ，所以点
Q 和 点C 到OD 的距离相等，则Q 的横坐标为（﹣b ，0 ），利用直线解析式可得到Q （﹣ b ，2b ），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b •2b= ﹣4 ，然后解方程即可 得到满足条件的b 的值．
解答： 解：（1）∵反比例函数y= k 的图象经过点A （﹣1，4 ）， x
∴k= ﹣1³4= ﹣4 ；
（2 ）当b= ﹣2 时，直线解析式为y= ﹣x ﹣2 ，
∵y=0 时，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ，
∴C （﹣2 ，0 ），
∵当x=0 时，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ，
∴D （0，﹣2 ），
∴S △ OCD=1³2³2=2 ； 2
（3 ）存在．
当y=0 时，﹣x+b=0 ，解得x=b ，则C （b ，0 ），
∵S △ ODQ=S△ OCD ，
∴点Q 和点C 到OD 的距离相等，
而Q 点在第四象限，
∴Q 的横坐标为﹣b ，
当x= ﹣b 时，y= ﹣x+b=2b ，则Q （﹣b ，2b ），
∵点Q 在反比例函数y= ﹣4 的图象上， x
∴﹣b •2b= ﹣4 ，解得b= ﹣2 或b=2（舍去），
∴b 的值为﹣2 ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把
两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两
者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．
23. （10 分）（2015•黄冈）我市某风景区门票价格如图所示黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队, 计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120 人，乙团队人数不超过50 人. 设甲团队人数为x 人, 如果甲、乙两团队分别购买门票, 两团队
门票款之和为W 元.
(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值
范围；
(2)若甲团队人数不超过100 人，请说明甲、乙两团队联
合购票比分别购票最多可节约多少钱；
(3“) 五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如
下调整：人数不超过50 人时，门票价格不变；人数超过
50 人但不超过100 人时，每张门票降价a 元; 人数超过
100 人时，每张门票降价2a 元. 在（2）的条件下，若甲、
乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400 元，求a 的值.
考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
分析：（1）根据甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人，得到x ≥70，分两种情况：
①当70≤x ≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600，②当100＜x ＜120 时， W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，即可解答；
（2 ）根据甲团队人数不超过100 人，所以x ≤100，由W= ﹣10x+9600，根据70≤x ≤100， 利用一次函数的性质，当x=70 时，W 最大=8900 （元），两团联合购票需120³60=7200 （元），即可解答；
（3 ）根据每张门票降价a 元，可得W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ， 利用一次函数的性质，x=70 时，W 最大= ﹣70a+8900 （元），而两团联合购票需120
（60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元），所以﹣70a+8900 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400，即可解答． 解答：解：（1）∵甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人，
∴120 ﹣x ≤50，
∴x ≥70，
①当70≤x ≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600，
②当100＜x ＜120 时，W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，
综上所述，
W=
（2 ）∵甲团队人数不超过100 人，
∴x ≤100，
∴W= ﹣10x+9600，
∵70≤x ≤100，
∴x=70 时，W 最大=8900 （元），
两团联合购票需 120³60=7200 （元），
∴最多可节约8900 ﹣7200=1700 （元）．
（3 ）∵x ≤100，
∴W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ，
∴x=70 时，W 最大= ﹣70a+8900 （元），
两团联合购票需 120 （60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元），
∵﹣70a+8900 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400 ，
解得：a=10 ．
点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式，利用一
次函数的性质求得最大值．注意确定x 的取值范围．
24. （14 分）（2015•黄冈）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点, 将△BCD 沿直线CD 折叠, 使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所
在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE 的长；
(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运
动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点
C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动. 设运动时间为t 秒，
当t 为何值时，DP=DQ；
(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上, 是否存在
这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四
边形？若存在，请求出M 点的坐标; 若不存在，请说明理由.
考点：二次函数综合题．
分析：（1）由折叠的性质可求得CE 、CO ，在Rt △ COE 中，由勾股定理可求得OE ，设AD=m ， 在Rt △ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C 、O 两点，利
用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2 ）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△ DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t 的值；
（3 ）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对
角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐
标，再代入抛物线解析式可求得M 点的坐标．
解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt △ COE 中，OE==3 ，
设AD=m ，则DE=BD=4 ﹣m ，
∵OE=3，
∴AE=5 ﹣3=2，
在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2 +AE2 =DE2 ，即m 2 +22 = （4 ﹣m ）2 ，
3 ， 2
3 ∴D （﹣，﹣5 ）， 2 解得m=
∵C （﹣4 ，0 ），O （0，0 ），
∴设过O 、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4 ），
334 a （﹣+4 ），解得a= ， 223
4416 ∴抛物线解析式为y=x （x+4 ）= x 2 + x ； 333 ∴﹣5= ﹣
（2 ）∵CP=2t ，
∴BP=5 ﹣2t ，
在Rt △ DBP 和Rt △ DEQ 中，
，
∴Rt △ DBP ≌Rt △ DEQ （HL ），
∴BP=EQ ，
∴5 ﹣2t=t ，
∴t= 5 ； 3
（3 ）∵抛物线的对称为直线x= ﹣2 ，
∴设N （﹣2 ，n ），
又由题意可知C （﹣4 ，0 ），E （0，﹣3 ），
设M （m ，y ），
①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时，
则线段EN 的中点横坐标为
∵EN ，CM 互相平分， = ﹣1，线段CM 中点横坐标为，
∴
= ﹣1，解得m=2 ，
又M 点在抛物线上，
∴y=42 16x + x=16 ， 33
∴M （2 ，16）；
②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时，
则线段EM 的中点横坐标为
∵EN ，CM 互相平分， ，线段CN 中点横坐标为
= ﹣3，
∴
= ﹣3，解得m= ﹣6，
又∵M 点在抛物线上，
∴y= 416³ （﹣6 ）2 + ³ （﹣6 ）=16 ， 33
∴M （﹣6，16）；
③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时，
则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2 ，﹣16 ）． 3
16 ）． 3 综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为（2 ，16）或（﹣6，16）或（﹣2 ，﹣
点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折 叠的性质、 平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D 点坐标是解题的关键，在 （2 ）中证得全等，得 到关于t 的方程是解题的关键，在（3 ）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综 合性较强，难度适中．