初中数学动点问题归纳

动点问题

题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线y

x6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，4

同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S

时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的5

坐标．

解：1、A（8，0） B（0，6）

2、当0＜t＜3时，S=t

当3＜t＜8时，S=3／8(8-t)t

提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；

第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；

（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0t2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

注意：第（3）问按直角位置分类讨论图（2）图（1）

图（3）

3、（2009重庆綦江）如图，

已知抛物线ya(x1)2a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，

过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？

（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC和BO之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．

注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。二、特殊四边形边上动点

4、（2009年吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，B60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿

ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间

为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O的三角形），．．．．

解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x

（3）求y与x之间的函数关系式．

提示：第(3)问按点Q到拐点时间B、C所有时间分段分类；提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比。

5、（2009年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

图

（1）

注意：第（2）问按点P到拐点B所用时间分段分类；

第（3）问发现∠MBC=90°，∠BCO与∠ABM互余，画出点P运动过程中， ∠MPB=∠ABM的两种情况，求出t值。利用OB⊥AC,再求OP与AC夹角正切值.

6、(2009年温州)如图，在平面直角坐标系中，点A(，0)，B(3，2)，C（0，2)．动点D以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF上AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒． (1)求∠ABC的度数；

(2)当t为何值时，AB∥DF； (3)设四边形AEFD的面积为S． ①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=x+mx经过动点E，当S

注意：发现特殊性，DE∥OA 7、（07黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且

∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，同时，点Q从点O开始以每秒a（1≤a≤3）个单位长度的速度沿射线OA方向移动，设t(0t8)秒后，直线PQ交OB于点D. （1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

,OD（3）当a3

式；

求t的值及此时直线PQ的解析（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB

相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与OAB不相似？请给出你的结论，并加以证明.

OC∥AB，8、（08黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C

0)B(810)，，C(0，4)，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个三点的坐标分别为A(8，，

单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．

（1）求直线BC的解析式；

2？ 7

（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的

（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．

9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线

y

124

xx10与x轴的交点为点A,与y轴的交点为点B. 189

过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜

时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; 2

(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．提示：第（3）问用相似比的代换，

得PF=OA（定值）。

第（4）问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF. 三、直线上动点

8、（2009年湖南长沙）如图，二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴

0)、C(0，且当x4和x2时二次相交于点C．连结AC、

BC，A、C两点的坐标分别为A(3，

函数的函数值y相等．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到

MN沿MN翻折，B 点达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△B

恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与

△ABC相似？如果存在，请求出点Q

提示：第（2）问发现

特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°

特殊图形四边形BNPM为菱形；

第(3)问注意到△ABC为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC相似的△BNQ ，再判

断是否在对称轴上。 9、（2009眉山）如图，已知直线y点D，抛物线y

x1与y轴交于点A，与x轴交于2

xbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两2

点，且B点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时，以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P，②A为直角顶点时，过点A作AE垂线交x轴于点P，③E为直角顶点时，作法同②；

第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。 10、（2009年兰州）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动

时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

注意：第（4）问按点P分别在AB、BC、CD边上分类讨论；求t值时，灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、（2009年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为

A6,0，B

6,0，C0,，延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于

点E.

（1）求D点的坐标；

（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

提示：第（２）问，平分周长时，直线过菱形的中心；

第（３）问，转化为点Ｇ到Ａ的距离加Ｇ到（２）中直线的距离和最小；发现（２）中直线与ｘ轴夹角为６０°.见“最短路线问

题”专题。

12、(2009年上海市)

D A

PQAD图1

（如图1所示）． PCAB

B C

B （Q）

图2

图3

已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥

BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；

S△APQ3

（2）在图8中，联结AP．当AD，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，y，其

2S△PBC

中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小．

注意：第（2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，

然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。当PC⊥BD时，点Q、B重合，x获得最小值；当P与D重合时，x获得最大值。

第（3）问，灵活运用SSA判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证∠BQP＝∠BCP，得B、Q、C、P四点共圆也可求解。 13、（08宜昌）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为

垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．

（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

RRSS

ACAFF C

(第13题) (第13题)

提示：第（3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p运动到使T与R重合时，PA=TS为最大；当P与A重合时，PA最小。此问与上题中求取值范围类似。

14、(2009年河北)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；

（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值．．．

提示：（３）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t值；有二种成立的情形，ＤＥ∥ＱＢ，ＰＱ∥ＢＣ；

（４）按点P运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t值；有二种情形，ＣＱ＝ＣＰ＝ＡＱ＝t时，ＱＣ＝ＰＣ＝６－ｔ时．

，0)，B(2，0)，C(0，2)，15、（2009年包头）已知二次函数yaxbxc（a0）的图象经过点A(1

直线xm（m2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．提示：

第（2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；

第（3）问，四边形ABEF为平行四边形时，E、F两点纵坐标相等，且AB=EF，对第（2）问中两种情形分别讨论。

四、抛物线上动点

16、（2009年湖北十堰市）如图①，已知抛物线yax2bx3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积

17、（2009年黄石市）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE1，抛物线yax2bx4过

A、D、F三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQMS△FQN，则判断四边形AFQM的形状；

（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且APPH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．

注意：第（2 第（3图形，再证明

三年共同点：

①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；

③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；

⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

NM∥FA且NM＝FA;

单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的

广东中考题（2003）