《勾股定理》看数学思想【附练习】
1.数形转化
①“勾股定理”定理是“形→数”的转化。条件是形---“直角三角形”，得出的结论是数---“边之间的数量关系”。
标准格式是：∵△ABC是直角三角形，∠C是直角，∴CA2+CB2=AB2
②“勾股定理”的逆定理是“数→形”的转化。条件是数---“边之间的数量关系”，得出的结论是形---“直角三角形”。
标准格式：∵CA2+CB2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C是直角
应用举例：
如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少？
解：∵△ADC是直角三角形
∴AC²=AD²+DC²=4²+3²=5²（注：这是在用勾股定理）
∵AC²+BC²=5²+12²=169
AB²=13²=169
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形（注：这是在用勾股定理的逆定理）
ACBCCDAD1253424（米2） ∴S地=S△ABC-S△ADC=2222
2.方程思想
我们知道，知道直角三角形的两条边，可以借助勾股定理求出第三边。但是有的问题只知道直角三角形的一条边，这时候，要考虑借助勾股定理列方程解决问题。 例1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，
BC＝8cm，先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，则CD等于（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．5 解：在Rt△ABC中，
AB²=AC²+BC²=6²+8²=100=10²
∴AB=10（cm）
∵AE=AC=6cm， ∴EB=4cm
∵∠AED=∠C=90°
∴∠DEB=90°
∴△DEB是直角三角形
∴DE²+EB²=DB²
设CD=xcm，则DE=CD=xcm，DB=（8-x）cm
∴x²+4²=(8-x)² 解得x=3，所以，CD=3cm
例2：在笔直的公路上A、B两点相距20km，在A的正南方8km处有村庄D，在B的正南方11km处有村庄C.现在要在AB上建一个中转站E，是的C、D两村庄到E站的距离相等。
(1) 利用尺规作图，做出点E的位置。
(2) 计算点E距离点A多远？
解：（1）如图，点E就是要建中转站的位置
（2）设AE=xkm，则EB=(20-x)km
在Rt△ADE中
DE²=AD²+AE²=8²+x²
在Rt△EBC中
EC²=EB²+BC²=(20-x)²+11²
∵DE=EC
∴8²+x²=(20-x)²+11²
457解得 x=km 40
457所以，点E与点A的距离是km 40
典型题目练习
一．折叠问题
1.一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若AC=6，BC=8，求DC的长。
2.如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
D A
E
BCF
其他折叠问题常见图形：
二．最短问题
1. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是多少？
2. 如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过
4个侧面爬行一圈到达Q
点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
3.如图，一圆柱体的底面周长为16，高AB为15，BC是上底面的直径．一只
昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为多少？
4. 如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？
5. 如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？
三．梯子问题
1. 如图，一架云梯AC长为25m，斜靠在一竖直的墙CO上，这时梯子底端A离墙的距离AO是7m，如果梯子的顶端C沿墙下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
2.如图，两墙之间的距离BC=22
米，
当云梯靠在西墙的时候，此时可以达到的高度AB=24米；若云梯底部O不动，使云梯靠在东墙上，此时云梯可以达到的高度DC=20米，试求BO 的距离。
四．芦苇问题
1.有一个边长为1O尺的正方形水池，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为l尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B碰到岸边的B'（如图）时，水恰好没过芦苇．问水深和长各多少？
2. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为多少米？
五．构造直角三角形
1. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方
A形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30° B
2. 如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，
CA村到公路l的距离AC＝1km
B村到公路l的距离BD＝2km，CD=4km
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
六．综合题目
1. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约多少米？
2. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：
222（1）△ACE≌△BCD；（2）ADDBDE．
《勾股定理》看数学思想【附练习】
1.数形转化
①“勾股定理”定理是“形→数”的转化。条件是形---“直角三角形”，得出的结论是数---“边之间的数量关系”。
标准格式是：∵△ABC是直角三角形，∠C是直角，∴CA2+CB2=AB2
②“勾股定理”的逆定理是“数→形”的转化。条件是数---“边之间的数量关系”，得出的结论是形---“直角三角形”。
标准格式：∵CA2+CB2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C是直角
应用举例：
如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少？
解：∵△ADC是直角三角形
∴AC²=AD²+DC²=4²+3²=5²（注：这是在用勾股定理）
∵AC²+BC²=5²+12²=169
AB²=13²=169
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形（注：这是在用勾股定理的逆定理）
ACBCCDAD1253424（米2） ∴S地=S△ABC-S△ADC=2222
2.方程思想
我们知道，知道直角三角形的两条边，可以借助勾股定理求出第三边。但是有的问题只知道直角三角形的一条边，这时候，要考虑借助勾股定理列方程解决问题。 例1：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，
BC＝8cm，先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上， 且与AE重合，则CD等于（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．5 解：在Rt△ABC中，
AB²=AC²+BC²=6²+8²=100=10²
∴AB=10（cm）
∵AE=AC=6cm， ∴EB=4cm
∵∠AED=∠C=90°
∴∠DEB=90°
∴△DEB是直角三角形
∴DE²+EB²=DB²
设CD=xcm，则DE=CD=xcm，DB=（8-x）cm
∴x²+4²=(8-x)² 解得x=3，所以，CD=3cm
例2：在笔直的公路上A、B两点相距20km，在A的正南方8km处有村庄D，在B的正南方11km处有村庄C.现在要在AB上建一个中转站E，是的C、D两村庄到E站的距离相等。
(1) 利用尺规作图，做出点E的位置。
(2) 计算点E距离点A多远？
解：（1）如图，点E就是要建中转站的位置
（2）设AE=xkm，则EB=(20-x)km
在Rt△ADE中
DE²=AD²+AE²=8²+x²
在Rt△EBC中
EC²=EB²+BC²=(20-x)²+11²
∵DE=EC
∴8²+x²=(20-x)²+11²
457解得 x=km 40
457所以，点E与点A的距离是km 40
典型题目练习
一．折叠问题
1.一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若AC=6，BC=8，求DC的长。
2.如图所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
D A
E
BCF
其他折叠问题常见图形：
二．最短问题
1. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为50寸，30寸和10寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长是多少？
2. 如图，长方体的长，宽，高分别为8，4，10．若一只蚂蚁从P点开始经过
4个侧面爬行一圈到达Q
点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？
3.如图，一圆柱体的底面周长为16，高AB为15，BC是上底面的直径．一只
昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则昆虫爬行的最短路程为多少？
4. 如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？
5. 如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？
三．梯子问题
1. 如图，一架云梯AC长为25m，斜靠在一竖直的墙CO上，这时梯子底端A离墙的距离AO是7m，如果梯子的顶端C沿墙下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
2.如图，两墙之间的距离BC=22
米，
当云梯靠在西墙的时候，此时可以达到的高度AB=24米；若云梯底部O不动，使云梯靠在东墙上，此时云梯可以达到的高度DC=20米，试求BO 的距离。
四．芦苇问题
1.有一个边长为1O尺的正方形水池，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为l尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B碰到岸边的B'（如图）时，水恰好没过芦苇．问水深和长各多少？
2. 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为多少米？
五．构造直角三角形
1. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方
A形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30° B
2. 如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，
CA村到公路l的距离AC＝1km
B村到公路l的距离BD＝2km，CD=4km
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
六．综合题目
1. 如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约多少米？
2. 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：
222（1）△ACE≌△BCD；（2）ADDBDE．