第1讲 平面的基本性质与异面直线
1. 【易错点剖析】
(1)．求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明．
(2)．忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值．
2．异面直线所成的角：
π(1)异面直线所成角的范围是θ∈⎛0，. 2⎝
(2)求角方法：①利用平移的方法，得到平面角，再构造三角形解决； ②向量法．
3．求异面直线所成的角的步骤：
(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等) 作出异面直线的夹角；
(2)证明作出的角就是所求的角；
(3)利用条件求出这个角；
(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【1】(2010·全国Ⅰ) 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所
成角的大小为________．
【2】(2009·全国Ⅰ) 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的
中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为__________．
【3】(2009·全国Ⅱ改编) 已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE
与CD 1所成的角的余弦值为________．
【4】正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的
角为________．
【5】(2013·上海十四校联考) 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°， P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．
(1)求异面直线AE 和PB 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A －EBC 的体积．
【6】 已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，
(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线； (2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．
【7】(2010·如东二模) 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D
是AB 的中点，E 是AC 的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图(2)．
(1)求异面直线AB 与DE 所成的角；
(2)若M 、N 分别为棱AC 、BC 上的动点，求△DMN 周长的平方的最小值．
【8】如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 中点．求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值．
133【9】在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC 3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝，AC ＝． 22
求AC 和BD 所成的角．
【10】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于
点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60°.
(1)求四棱锥的体积； (2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A
所成角的余弦值．
【11】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．
【12】如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为
OA 的中点．
(1)求四棱锥O —ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小．
【13】如图，三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．
(1)求异面直线AE 和PB 所成的角的余弦值；(2)求三棱锥A —EBC
的体积．
第1讲 平面的基本性质与异面直线
1. 【易错点剖析】
(1)．求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明．
(2)．忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值．
2．异面直线所成的角：
π(1)异面直线所成角的范围是θ∈⎛0，. 2⎝
(2)求角方法：①利用平移的方法，得到平面角，再构造三角形解决； ②向量法．
3．求异面直线所成的角的步骤：
(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位线、平行四边形等) 作出异面直线的夹角；
(2)证明作出的角就是所求的角；
(3)利用条件求出这个角；
(4)如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
【1】(2010·全国Ⅰ) 直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所
成角的大小为________．
【2】(2009·全国Ⅰ) 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的
中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为__________．
【3】(2009·全国Ⅱ改编) 已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE
与CD 1所成的角的余弦值为________．
【4】正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 为SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的
角为________．
【5】(2013·上海十四校联考) 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°， P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．
(1)求异面直线AE 和PB 所成的角的余弦值； (2)求三棱锥A －EBC 的体积．
【6】 已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，
(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线； (2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．
【7】(2010·如东二模) 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D
是AB 的中点，E 是AC 的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图(2)．
(1)求异面直线AB 与DE 所成的角；
(2)若M 、N 分别为棱AC 、BC 上的动点，求△DMN 周长的平方的最小值．
【8】如图正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为AB 中点．求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值．
133【9】在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC 3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝，AC ＝． 22
求AC 和BD 所成的角．
【10】如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 交于
点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60°.
(1)求四棱锥的体积； (2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A
所成角的余弦值．
【11】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，
(1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．
【12】如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为
OA 的中点．
(1)求四棱锥O —ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值的大小．
【13】如图，三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．
(1)求异面直线AE 和PB 所成的角的余弦值；(2)求三棱锥A —EBC
的体积．