高考理科常用数学公式总结
1. 德摩根公式 C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B .
2. A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R 3. card (A B ) =cardA +cardB -card (A B )
card (A B C ) =cardA +cardB +cardC -card (A B )
-card (A B ) -card (B C ) -card (C A ) +card (A B C ) .
4. 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; ② 顶点式
f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; ③零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
f (x 1) -f (x 2)
>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x )
a +b x =对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx ) ⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
2
7. 两个函数图象的对称性:①函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. ②函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线
a +b x =对称. ③函数y =f (x ) 和y =f -1(x ) 的图象关于直线y=x对称.
2m
m
8. 分数指数幂
a n =（a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
m -1
a n =m （a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a n
9. log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
10. 对数的换底公式 log a N =
n log m N
. 推论 log a m b n =log a b .
m log m a
n =1⎧s 1,
11. a n =⎨( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ).
s -s , n ≥2⎩n n -1
12. 等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
a
13. 等比数列的通项公式a n =a 1q n -1=1⋅q n (n ∈N *) ；
q
其前n 项和公式 s n =
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
其前n 项的和公式s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
14. 等比差数列{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1
⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；
, q ≠1⎪q -1⎩
⎧nb +n (n -1) d , q =1⎪
其前n 项和公式为s n =⎨. d 1-q n d
⎪(b -1-q ) q -1+1-q n , q ≠1⎩
ab (1+b ) n
15. 分期付款(按揭贷款) 每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为n
(1+b ) -1
b ).
sin θ
16. 同角三角函数的基本关系式 sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=，tan θ⋅cot θ=1.
cos θ
17. 正弦、余弦的诱导公式
n
⎧
n π⎪(-1) 2sin α, sin(+α) =⎨ n -1
2⎪(-1) 2co s α,
⎩n
⎧
n π⎪(-1) 2co s α,
co s(+α) =⎨ n +1
2⎪(-1) 2sin α,
⎩
18. 和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan α±tan β
. tan(α±β) =
1 tan αtan β
sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式); cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
a sin α+
b cos α=
α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决
b
). a
19. 二倍角公式 sin 2α=sin αcos α.
定, tan ϕ=
2tan α
.
1-tan 2α
20. 三角函数的周期公式 函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,
2π
(x +ϕ，) ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =；函数y =t a n ω
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. tan 2α=
ω
x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π. ω
a b c
===2R . sin A sin B sin C
22. 余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
111
23. 面积定理（1）S =ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）.
222
111
（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .
222
(3)S ∆OAB =24. 三角形内角和定理 在△ABC 中，有
C πA +B
A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔=-⇔2C =2π-2(A +B ) .
222
25. 平面两点间的距离公式
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
21. 正弦定理
26. 向量的平行与垂直 设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则 a b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
27. 线段的定比分公式 设P 12的分点, λ是实1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP
数，且PP 1=λPP 2，则
x 1+λx 2⎧ x = ⎪1OP ⎪1+λ1+λOP 2
t =（）. OP =OP =tOP +(1-t ) OP ⇔⇔⎨12
y +λy 1+λ1+λ2⎪y =1
⎪1+λ⎩
28. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) . 33
' ' ' ⎧⎧⎪x =x +h ⎪x =x -h '
⇔⎨29. 点的平移公式 ⎨' ⇔OP =OP +PP (图形F 上的任意一'
⎪⎪⎩y =y +k ⎩y =y -k
' ' ' '
点P(x，y) 在平移后图形F 上的对应点为P (x , y ) ，且PP ' 的坐标为(h , k ) ).
C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (
30. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a 2+b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈
R +⇒2
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0).
（4）柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R . （5）a -b ≤a +b ≤a +b
31. 极值定理 已知x , y 都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当x =y 时和x +y 有最小值2p ；
1
（2）如果和x +y 是定值s ，那么当x =y 时积xy 有最大值s 2.
4
32. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ，如果a 与
ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. x 1
x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1 0时，有
x
2
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
34. 无理不等式（1
⎧f (x ) ≥0⎪
. ⎨g (x ) ≥0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
（2
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
. g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨
g (x ) [g (x )]2⎩
⎩⎧f (x ) ≥0⎪
. g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
（3
35. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时,
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) >g (x ) ; log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
(2)当0
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
36. 斜率公式 k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）. x 2-x 1
37. 直线的四种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
（3）两点式 (y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1（4）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
38. 两条直线的平行和垂直 （1）若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2
①l 1 l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
A 1B 1C 1
；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0； =≠
A 2B 2C 2
k -k
39. 夹角公式 tan α=|21|.(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)
1+k 2k 1
①l 1 l 2⇔
tan α=
A 1B 2-A 2B 1
(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).
A 1A 2+B 1B 2
π. 2
40. 点到直线的距离
d =(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
41. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F ＞0).
⎧x =a +r cos θ
（3）圆的参数方程 ⎨.
⎩y =b +r sin θ
（4）圆的直径式方程 (x -x y )(y -2y ) =(0圆的直径的端点是1)(x -x 2) +(y -1
A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
⎧x =a cos θx 2y 2
42. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b y =b sin θ⎩
x 2y 2a 2a 2
43. 椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式 PF 1=e (x +) ，PF 2=e (-x ) .
a b c c x 2y 2
44. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式
a b a 2a 2
PF 1=|e (x +) |，PF 2=|e (-x ) |.
c c
y
45. 抛物线y 2=2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P(x , y ) ，其中
2p
2
y 2=2px .
b 24ac -b 2
(a ≠0) 的图象是抛物线：46. 二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +（1）顶点
2a 4a
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
) ；) ；坐标为(-, （2）焦点的坐标为(-, （3）准线方程是
2a 4a 2a 4a 4ac -b 2-1y =.
4a
2
47. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2|（弦端点
⎧y =kx +b
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程⎨ 消去y 得到ax 2+bx +c =0，∆>0, α为
⎩F (x , y ) =0
直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 48. 圆锥曲线的两类对称问题：
（1）曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. （2）曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的曲线是
2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C ) F (x -, y -) =0.
A 2+B 2A 2+B 2
49. “四线”一方程 对于一般的二次曲线Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0，用x 0x
x 0y +xy 0x +x y +y
代xy ，用0代x ，用0代y 即得方程 222
x y +xy 0x +x y +y
Ax 0x +B ⋅0+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线，切点弦，中
222
点弦，弦中点方程均是此方程得到.
50. 共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．
51. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =xOA +yOB +zOC ，
代x 2，用y 0y 代y 2，用
则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔x +y +z =1． 52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a ，b 〉
=
（a ＝
AB ⋅m
AB 53. 直线与平面所成角β=arc sin (m 为平面α的法向量).
|AB ||m |
m ⋅n m ⋅n
54. 二面角α-l -β的平面角θ=arc cos 或π-arc cos （m ，n 为平
|m ||n ||m ||n |
面α，β的法向量）.
55. 设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ．则cos θ=cos θ1cos θ2. 56. 若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ1, θ2, 与二面角的
2
s 2ϕi n =θs 1i 2+n θ
棱
2
(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ）.
所成的角
; s 2-θi n θ2s 1
是θ
i θn
，
ϕ2则s 有i n
s
|θ1-θ2|≤ϕ≤180 -(θ1+θ2) (当且仅当θ=90 时等号成立). 57. 空间两点间的距离公式 若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
58. 点Q 到直线l 距离h =
|CD ⋅n |
(l 1, l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分59. 异面直线间的距离 d =
|n |
别是l 1, l 2上任一点，d 为l 1
, l 2间的距离).
|AB ⋅n |
（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条60. 点B 到平面α的距离 d =
|n |
斜线，A ∈α）.
61. 异面直线上两点距离公式 d (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA ' 的长度为h. 在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A ' E =m , AF =n , EF =d ).
2
62. l 2=l 12+l 2+l 32⇔cos 2θ1+cos 2θ2+cos 2θ3=1 （长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l 1、l 2、l 3，夹角分别为θ1、θ2、θ3）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.
S ' 63. 面积射影定理 S =
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ' ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 64. 欧拉定理(欧拉公式) V +F -E =2(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)
4
65. 球的半径是R ，则其体积是V =πR 3, 其表面积是S =4πR 2．
3
66. 分类计数原理（加法原理）N =m 1+m 2+ +m n .
a =PA ，向量b =PQ ).
直线l 的方向向量(点P 在直线l 上，
67. 分步计数原理（乘法原理）N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n .
n ！
.(n ，m ∈N *，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
n m m m m -1m m -1=A n 69. 排列恒等式 （1）A n ; （2）A n （3）A n （4）=(n -m +1) A n =nA n -1; -1; n -m
n n +1n m m m -1
. nA n =A n +1-A n ; （5）A n +1=A n +mA n
m
68. 排列数公式 A n =n (n -1) (n -m +1) =
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！70. 组合数公式 C =m ==(n ，m ∈N *，且m ≤n ).
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
m
n
m m n -m m -1m
71.组合数的两个性质(1) C n =C n ;(2) C n +C n =C n +1
m = 72.组合恒等式（1）C n
n -m +1m -1n n m -1m m m
C n ; （2）C n =C n C =C n -1; ; （3）-1n
m n -m m
r r r +1
（4）∑C n =2n ; （5）C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1.
r =0
n
m m 73. 排列数与组合数的关系是：A n . =m ！⋅C n
0n 1n -12n -22r n -r r n n 74. 二项式定理 (a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ; r n -r r 二项展开式的通项公式：T r +1=C n 1，2 ，n ) . a b (r =0，
m
. n
76. 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ．
75. 等可能性事件的概率P (A ) =
78. 独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·„· An )=P(A1) · P(A2) ·„· P(An ) ．
k k n -k 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P . n (k ) =C n P (1-P )
81. 离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）P （2）P ,2, ) ; i ≥0(i =11+P 2+ =1. 82. 数学期望E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n +
83. 数学期望的性质：（1）E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b ；（2）若ξ～B (n , p ) ，则E ξ=np . 84. 方差D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n + 85. 标准差σξ=D ξ.
86. 方差的性质(1)D (ξ)=E ξ2-(E ξ) 2;(2)D (a ξ+b )=a 2D ξ；（3）若ξ～B (n , p ) ，则D ξ=np (1-p ) .
87. 正态分布密度函数f (
x )=
2σ, x ∈(-∞, +∞)式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
-
2
2
2
(x -μ)2
88. 标准正态分布密度函数f (
x )=
-
x 22
, x ∈(-∞, +∞).
⎛x -μ⎫
89. 对于N (μ, σ2) ，取值小于x 的概率F (x )=Φ ⎪.
σ⎝⎭
P (x 1
σσ⎝⎭⎝⎭
n n
⎧
(x i -)(y i -)∑x i y i -nx y ∑⎪
i =1
⎪=i =1n ⎪b =n 90. 回归直线方程 y =a +bx ，其中⎨. 2
x i -)x i 2-2(∑∑⎪i =1i =1
⎪⎪⎩a =-91. 相关系数 r =
∑(x -)(
y -)
i
i
n
=
∑(x -)(
y -)
i
i
n
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
|q |
⎪
q =192. 特殊数列的极限 （1）lim q n =⎨1.
n →∞
⎪不存在|q |
⎧0(k
a k n k +a k -1n k -1+ +a 0⎪a t
（2）lim =⎨(k =t ) .
n →∞b n t +b n t -1+ +b b t t -10⎪k
⎪不存在 (k >t ) ⎩
（3）S =lim
x →x 0
a 11-q n
1-q
(
n →∞
)=
a 1
（S 无穷等比数列a 1q n -1} (|q |
{
93. lim f (x ) =a ⇔lim -f (x ) =lim +f (x ) =a . 这是函数极限存在的一个充要条件.
x →x 0
x →x 0
94. 函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：
（1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ; （2）lim g (x ) =a , lim h (x ) =a （常数）, 则lim f (x ) =a .
x →x 0
x →x 0
x →x 0
本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立.
sin x ⎛1⎫
=1；95. 两个重要的极限 （1）lim （2）lim 1+⎪=e (e=2.718281845„).
x →0x →∞x ⎝x ⎭
x
96. f (x ) 在x 0处的导数（或变化率或微商）
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim . x =x 0
∆x →0∆x ∆x →0∆x
∆s s (t +∆t ) -s (t ) =lim 97. 瞬时速度υ=s '(t ) =lim . ∆t →0∆t ∆t →0∆t
∆v v (t +∆t ) -v (t ) =lim 98. 瞬时加速度a =v '(t ) =lim .
∆t →0∆t ∆t →0∆t f '(x 0) =y '
=lim
dy df ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==lim =lim . ∆x →0∆x →0dx dx ∆x ∆x
100. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率99. f (x ) 在(a , b ) 的导数f '(x ) =y '=f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .
101. 几种常见函数的导数
(1) C '=0（C 为常数）.
(2) (x n ) ' =nx n -1(n ∈Q ) .
(3) (sinx ) '=cos x .
(4) (cosx ) '=-sin x .
11e ；(loga x ) '=log a . x x
(6) (e x ) '=e x ; (a x ) '=a x ln a . (5) (lnx ) '=
102. 复合函数的求导法则 设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x ' =ϕ' (x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u ' =f ' (u ) ，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x
' ' ' 处有导数，且y x ，或写作f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) . =y u ⋅u x
103. 可导函数y =f (x ) 的微分dy =f '(x ) dx .
104. a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ）
105. 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +
bi |106. 复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ;
(2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ;
(3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; ac +bd bc -ad +i (c +di ≠0) . (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =2c +d 2c 2+d 2
107. 复平面上的两点间的距离公式
d =|z 1-z 2|=（z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）. 108.向量的垂直 非零复数z 1=a +bi ，z 2=c +di 对应的向量分别是OZ 1，OZ 2，则
z OZ 1⊥OZ 2⇔z 1⋅z 2的实部为零⇔2为纯虚数⇔|z 1+z 2|2=|z 1|2+|z 2|2 z 1
⇔|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2⇔|z 1+z 2|=|z 1-z 2|⇔ac +bd =0⇔z 1=λiz 2 (λ为非零实数).
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109. 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0，①若
b -b ∆=b -4ac >0,
则x 1,2=②若∆=b 2-4ac =0, 则x 1=x 2=-; ③2a 2a
若∆=b 2-4ac
2
2轭复数根x =b -4ac
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高考理科常用数学公式总结
1. 德摩根公式 C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B .
2. A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R 3. card (A B ) =cardA +cardB -card (A B )
card (A B C ) =cardA +cardB +cardC -card (A B )
-card (A B ) -card (B C ) -card (C A ) +card (A B C ) .
4. 二次函数的解析式的三种形式 ①一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ; ② 顶点式
f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ; ③零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 5. 设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么
(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]
f (x 1) -f (x 2)
>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；
x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)
x 1-x 2
设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x )
a +b x =对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx ) ⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .
2
7. 两个函数图象的对称性:①函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图象关于直线x =0(即y 轴) 对称. ②函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图象关于直线
a +b x =对称. ③函数y =f (x ) 和y =f -1(x ) 的图象关于直线y=x对称.
2m
m
8. 分数指数幂
a n =（a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
m -1
a n =m （a >0, m , n ∈N *，且n >1）.
a n
9. log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) .
10. 对数的换底公式 log a N =
n log m N
. 推论 log a m b n =log a b .
m log m a
n =1⎧s 1,
11. a n =⎨( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ).
s -s , n ≥2⎩n n -1
12. 等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
a
13. 等比数列的通项公式a n =a 1q n -1=1⋅q n (n ∈N *) ；
q
其前n 项和公式 s n =
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
其前n 项的和公式s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
14. 等比差数列{a n }:a n +1=qa n +d , a 1=b (q ≠0) 的通项公式为
⎧b +(n -1) d , q =1
⎪
a n =⎨bq n +(d -b ) q n -1-d ；
, q ≠1⎪q -1⎩
⎧nb +n (n -1) d , q =1⎪
其前n 项和公式为s n =⎨. d 1-q n d
⎪(b -1-q ) q -1+1-q n , q ≠1⎩
ab (1+b ) n
15. 分期付款(按揭贷款) 每次还款x =元(贷款a 元, n 次还清, 每期利率为n
(1+b ) -1
b ).
sin θ
16. 同角三角函数的基本关系式 sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=，tan θ⋅cot θ=1.
cos θ
17. 正弦、余弦的诱导公式
n
⎧
n π⎪(-1) 2sin α, sin(+α) =⎨ n -1
2⎪(-1) 2co s α,
⎩n
⎧
n π⎪(-1) 2co s α,
co s(+α) =⎨ n +1
2⎪(-1) 2sin α,
⎩
18. 和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan α±tan β
. tan(α±β) =
1 tan αtan β
sin(α+β)sin(α-β) =sin 2α-sin 2β(平方正弦公式); cos(α+β)cos(α-β) =cos 2α-sin 2β.
a sin α+
b cos α=
α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决
b
). a
19. 二倍角公式 sin 2α=sin αcos α.
定, tan ϕ=
2tan α
.
1-tan 2α
20. 三角函数的周期公式 函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,
2π
(x +ϕ，) ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =；函数y =t a n ω
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. tan 2α=
ω
x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π. ω
a b c
===2R . sin A sin B sin C
22. 余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
111
23. 面积定理（1）S =ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高）.
222
111
（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B .
222
(3)S ∆OAB =24. 三角形内角和定理 在△ABC 中，有
C πA +B
A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔=-⇔2C =2π-2(A +B ) .
222
25. 平面两点间的距离公式
d
A , B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
21. 正弦定理
26. 向量的平行与垂直 设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则 a b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
a ⊥b(a≠0) ⇔a ·b=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
27. 线段的定比分公式 设P 12的分点, λ是实1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP
数，且PP 1=λPP 2，则
x 1+λx 2⎧ x = ⎪1OP ⎪1+λ1+λOP 2
t =（）. OP =OP =tOP +(1-t ) OP ⇔⇔⎨12
y +λy 1+λ1+λ2⎪y =1
⎪1+λ⎩
28. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、
x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3
, ) . 33
' ' ' ⎧⎧⎪x =x +h ⎪x =x -h '
⇔⎨29. 点的平移公式 ⎨' ⇔OP =OP +PP (图形F 上的任意一'
⎪⎪⎩y =y +k ⎩y =y -k
' ' ' '
点P(x，y) 在平移后图形F 上的对应点为P (x , y ) ，且PP ' 的坐标为(h , k ) ).
C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (
30. 常用不等式：
（1）a , b ∈R ⇒a 2+b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．
a +b
≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． （2）a , b ∈
R +⇒2
（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0).
（4）柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2) ≥(ac +bd ) 2, a , b , c , d ∈R . （5）a -b ≤a +b ≤a +b
31. 极值定理 已知x , y 都是正数，则有
（1）如果积xy 是定值p ，那么当x =y 时和x +y 有最小值2p ；
1
（2）如果和x +y 是定值s ，那么当x =y 时积xy 有最大值s 2.
4
32. 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ，如果a 与
ax 2+bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2+bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. x 1
x x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 1 0时，有
x
2
x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x
34. 无理不等式（1
⎧f (x ) ≥0⎪
. ⎨g (x ) ≥0
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
（2
⎧f (x ) ≥0
⎧f (x ) ≥0⎪
. g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨
g (x ) [g (x )]2⎩
⎩⎧f (x ) ≥0⎪
. g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
（3
35. 指数不等式与对数不等式 (1)当a >1时,
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) >g (x ) ; log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.
⎪f (x ) >g (x ) ⎩
(2)当0
a f (x ) >a g (x )
⎧f (x ) >0⎪
⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0
⎪f (x )
36. 斜率公式 k =
y 2-y 1
（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）. x 2-x 1
37. 直线的四种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
（3）两点式 (y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1（4）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
38. 两条直线的平行和垂直 （1）若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2
①l 1 l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2; ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
(2)若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
A 1B 1C 1
；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0； =≠
A 2B 2C 2
k -k
39. 夹角公式 tan α=|21|.(l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2, k 1k 2≠-1)
1+k 2k 1
①l 1 l 2⇔
tan α=
A 1B 2-A 2B 1
(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0, l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, A 1A 2+B 1B 2≠0).
A 1A 2+B 1B 2
π. 2
40. 点到直线的距离
d =(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
41. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. 直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是
（2）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F ＞0).
⎧x =a +r cos θ
（3）圆的参数方程 ⎨.
⎩y =b +r sin θ
（4）圆的直径式方程 (x -x y )(y -2y ) =(0圆的直径的端点是1)(x -x 2) +(y -1
A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) ).
⎧x =a cos θx 2y 2
42. 椭圆2+2=1(a >b >0) 的参数方程是⎨.
a b y =b sin θ⎩
x 2y 2a 2a 2
43. 椭圆2+2=1(a >b >0) 焦半径公式 PF 1=e (x +) ，PF 2=e (-x ) .
a b c c x 2y 2
44. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的焦半径公式
a b a 2a 2
PF 1=|e (x +) |，PF 2=|e (-x ) |.
c c
y
45. 抛物线y 2=2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P(x , y ) ，其中
2p
2
y 2=2px .
b 24ac -b 2
(a ≠0) 的图象是抛物线：46. 二次函数y =ax +bx +c =a (x +) +（1）顶点
2a 4a
b 4ac -b 2b 4ac -b 2+1
) ；) ；坐标为(-, （2）焦点的坐标为(-, （3）准线方程是
2a 4a 2a 4a 4ac -b 2-1y =.
4a
2
47. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB =
AB ==|x 1-x 2|=|y 1-y 2|（弦端点
⎧y =kx +b
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程⎨ 消去y 得到ax 2+bx +c =0，∆>0, α为
⎩F (x , y ) =0
直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 48. 圆锥曲线的两类对称问题：
（1）曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. （2）曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的曲线是
2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C ) F (x -, y -) =0.
A 2+B 2A 2+B 2
49. “四线”一方程 对于一般的二次曲线Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0，用x 0x
x 0y +xy 0x +x y +y
代xy ，用0代x ，用0代y 即得方程 222
x y +xy 0x +x y +y
Ax 0x +B ⋅0+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线，切点弦，中
222
点弦，弦中点方程均是此方程得到.
50. 共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．
51. 对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP =xOA +yOB +zOC ，
代x 2，用y 0y 代y 2，用
则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔x +y +z =1． 52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a ，b 〉
=
（a ＝
AB ⋅m
AB 53. 直线与平面所成角β=arc sin (m 为平面α的法向量).
|AB ||m |
m ⋅n m ⋅n
54. 二面角α-l -β的平面角θ=arc cos 或π-arc cos （m ，n 为平
|m ||n ||m ||n |
面α，β的法向量）.
55. 设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ．则cos θ=cos θ1cos θ2. 56. 若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ1, θ2, 与二面角的
2
s 2ϕi n =θs 1i 2+n θ
棱
2
(a 1, a 2, a 3) ，b ＝(b 1, b 2, b 3) ）.
所成的角
; s 2-θi n θ2s 1
是θ
i θn
，
ϕ2则s 有i n
s
|θ1-θ2|≤ϕ≤180 -(θ1+θ2) (当且仅当θ=90 时等号成立). 57. 空间两点间的距离公式 若A (x 1, y 1, z 1) ，B (x 2, y 2, z 2) ，则
58. 点Q 到直线l 距离h =
|CD ⋅n |
(l 1, l 2是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分59. 异面直线间的距离 d =
|n |
别是l 1, l 2上任一点，d 为l 1
, l 2间的距离).
|AB ⋅n |
（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条60. 点B 到平面α的距离 d =
|n |
斜线，A ∈α）.
61. 异面直线上两点距离公式 d (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA ' 的长度为h. 在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A ' E =m , AF =n , EF =d ).
2
62. l 2=l 12+l 2+l 32⇔cos 2θ1+cos 2θ2+cos 2θ3=1 （长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l 1、l 2、l 3，夹角分别为θ1、θ2、θ3）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.
S ' 63. 面积射影定理 S =
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ' ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 64. 欧拉定理(欧拉公式) V +F -E =2(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F)
4
65. 球的半径是R ，则其体积是V =πR 3, 其表面积是S =4πR 2．
3
66. 分类计数原理（加法原理）N =m 1+m 2+ +m n .
a =PA ，向量b =PQ ).
直线l 的方向向量(点P 在直线l 上，
67. 分步计数原理（乘法原理）N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n .
n ！
.(n ，m ∈N *，且m ≤n ) ．
(n -m ) ！
n m m m m -1m m -1=A n 69. 排列恒等式 （1）A n ; （2）A n （3）A n （4）=(n -m +1) A n =nA n -1; -1; n -m
n n +1n m m m -1
. nA n =A n +1-A n ; （5）A n +1=A n +mA n
m
68. 排列数公式 A n =n (n -1) (n -m +1) =
A n m n (n -1) (n -m +1) n ！70. 组合数公式 C =m ==(n ，m ∈N *，且m ≤n ).
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m
m
n
m m n -m m -1m
71.组合数的两个性质(1) C n =C n ;(2) C n +C n =C n +1
m = 72.组合恒等式（1）C n
n -m +1m -1n n m -1m m m
C n ; （2）C n =C n C =C n -1; ; （3）-1n
m n -m m
r r r +1
（4）∑C n =2n ; （5）C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1.
r =0
n
m m 73. 排列数与组合数的关系是：A n . =m ！⋅C n
0n 1n -12n -22r n -r r n n 74. 二项式定理 (a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b ; r n -r r 二项展开式的通项公式：T r +1=C n 1，2 ，n ) . a b (r =0，
m
. n
76. 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A 2＋„＋A n )=P(A1) ＋P(A2) ＋„＋P(An ) ．
75. 等可能性事件的概率P (A ) =
78. 独立事件A ，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·„· An )=P(A1) · P(A2) ·„· P(An ) ．
k k n -k 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率P . n (k ) =C n P (1-P )
81. 离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）P （2）P ,2, ) ; i ≥0(i =11+P 2+ =1. 82. 数学期望E ξ=x 1P 1+x 2P 2+ +x n P n +
83. 数学期望的性质：（1）E (a ξ+b ) =aE (ξ) +b ；（2）若ξ～B (n , p ) ，则E ξ=np . 84. 方差D ξ=(x 1-E ξ)⋅p 1+(x 2-E ξ)⋅p 2+ +(x n -E ξ)⋅p n + 85. 标准差σξ=D ξ.
86. 方差的性质(1)D (ξ)=E ξ2-(E ξ) 2;(2)D (a ξ+b )=a 2D ξ；（3）若ξ～B (n , p ) ，则D ξ=np (1-p ) .
87. 正态分布密度函数f (
x )=
2σ, x ∈(-∞, +∞)式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
-
2
2
2
(x -μ)2
88. 标准正态分布密度函数f (
x )=
-
x 22
, x ∈(-∞, +∞).
⎛x -μ⎫
89. 对于N (μ, σ2) ，取值小于x 的概率F (x )=Φ ⎪.
σ⎝⎭
P (x 1
σσ⎝⎭⎝⎭
n n
⎧
(x i -)(y i -)∑x i y i -nx y ∑⎪
i =1
⎪=i =1n ⎪b =n 90. 回归直线方程 y =a +bx ，其中⎨. 2
x i -)x i 2-2(∑∑⎪i =1i =1
⎪⎪⎩a =-91. 相关系数 r =
∑(x -)(
y -)
i
i
n
=
∑(x -)(
y -)
i
i
n
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
|q |
⎪
q =192. 特殊数列的极限 （1）lim q n =⎨1.
n →∞
⎪不存在|q |
⎧0(k
a k n k +a k -1n k -1+ +a 0⎪a t
（2）lim =⎨(k =t ) .
n →∞b n t +b n t -1+ +b b t t -10⎪k
⎪不存在 (k >t ) ⎩
（3）S =lim
x →x 0
a 11-q n
1-q
(
n →∞
)=
a 1
（S 无穷等比数列a 1q n -1} (|q |
{
93. lim f (x ) =a ⇔lim -f (x ) =lim +f (x ) =a . 这是函数极限存在的一个充要条件.
x →x 0
x →x 0
94. 函数的夹逼性定理 如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：
（1）g (x ) ≤f (x ) ≤h (x ) ; （2）lim g (x ) =a , lim h (x ) =a （常数）, 则lim f (x ) =a .
x →x 0
x →x 0
x →x 0
本定理对于单侧极限和x →∞的情况仍然成立.
sin x ⎛1⎫
=1；95. 两个重要的极限 （1）lim （2）lim 1+⎪=e (e=2.718281845„).
x →0x →∞x ⎝x ⎭
x
96. f (x ) 在x 0处的导数（或变化率或微商）
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim . x =x 0
∆x →0∆x ∆x →0∆x
∆s s (t +∆t ) -s (t ) =lim 97. 瞬时速度υ=s '(t ) =lim . ∆t →0∆t ∆t →0∆t
∆v v (t +∆t ) -v (t ) =lim 98. 瞬时加速度a =v '(t ) =lim .
∆t →0∆t ∆t →0∆t f '(x 0) =y '
=lim
dy df ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ==lim =lim . ∆x →0∆x →0dx dx ∆x ∆x
100. 函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率99. f (x ) 在(a , b ) 的导数f '(x ) =y '=f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .
101. 几种常见函数的导数
(1) C '=0（C 为常数）.
(2) (x n ) ' =nx n -1(n ∈Q ) .
(3) (sinx ) '=cos x .
(4) (cosx ) '=-sin x .
11e ；(loga x ) '=log a . x x
(6) (e x ) '=e x ; (a x ) '=a x ln a . (5) (lnx ) '=
102. 复合函数的求导法则 设函数u =ϕ(x ) 在点x 处有导数u x ' =ϕ' (x ) ，函数y =f (u ) 在点x 处的对应点U 处有导数y u ' =f ' (u ) ，则复合函数y =f (ϕ(x )) 在点x
' ' ' 处有导数，且y x ，或写作f x ' (ϕ(x )) =f ' (u ) ϕ' (x ) . =y u ⋅u x
103. 可导函数y =f (x ) 的微分dy =f '(x ) dx .
104. a +bi =c +di ⇔a =c , b =d . （a , b , c , d ∈R ）
105. 复数z =a +bi 的模（或绝对值）|z |=|a +
bi |106. 复数的四则运算法则
(1)(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i ;
(2)(a +bi ) -(c +di ) =(a -c ) +(b -d ) i ;
(3)(a +bi )(c +di ) =(ac -bd ) +(bc +ad ) i ; ac +bd bc -ad +i (c +di ≠0) . (4)(a +bi ) ÷(c +di ) =2c +d 2c 2+d 2
107. 复平面上的两点间的距离公式
d =|z 1-z 2|=（z 1=x 1+y 1i ，z 2=x 2+y 2i ）. 108.向量的垂直 非零复数z 1=a +bi ，z 2=c +di 对应的向量分别是OZ 1，OZ 2，则
z OZ 1⊥OZ 2⇔z 1⋅z 2的实部为零⇔2为纯虚数⇔|z 1+z 2|2=|z 1|2+|z 2|2 z 1
⇔|z 1-z 2|2=|z 1|2+|z 2|2⇔|z 1+z 2|=|z 1-z 2|⇔ac +bd =0⇔z 1=λiz 2 (λ为非零实数).
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109. 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0，①若
b -b ∆=b -4ac >0,
则x 1,2=②若∆=b 2-4ac =0, 则x 1=x 2=-; ③2a 2a
若∆=b 2-4ac
2
2轭复数根x =b -4ac
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