1、用字母表示数的意义
用字母可以表示我们已经学过的和今后要学到的任何一个数，用字母表示数可以简明地表达数学运算律、表达公式、表达问题中的数量关系，还可以用字母表示未知数．
例1、如图所示，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c
.
分析：欲求长方体的体积，需知长方体的底面的长和宽及长方体的高，由题意可知长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可用字母表示出它的容积．
解：由题意知，该长方体的底面长为(a－2c)，宽为(b－2c)，高为c，根据长方体的体积公式，该长方体盒子的容积为(a－2c)(b－2c)c.
2、代数式的概念
用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．
代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“
3、代数式书写格式的规定
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“·”或省略不写；数字与字母相乘时，数字应写在字母前，带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，然后与字母相乘，但数字与数字相乘时，一般仍用“×”号．
（2）在代数式中出现了除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”号转化为分数线，分数线具有“÷”号和括号的双重作用，如被除数或除数含有括号时，括号也可省略．
（3）在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位名称写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面．
4、列代数式及方法
在解决实际问题时，把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，就是列代数式． 列代数式时，首先要认真审题，弄清问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式书写格式的规定规范地书写出来．列代数式的关键在于认真审题，要注意分析问题中各术语的含义，如：和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、减少、扩大、缩小等．
例2、下列各式：
（1） （2）a·30 （3）20%xy
（4）a－b＋c （5） （6）t－2℃
其中符合代数式书写要求的个数有（ ）
例3、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.
（1）甲、乙两数的平方差；（2）甲、乙两数差的平方；
（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；
（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.
分析：列代数式时要理清运算顺序，找到关键词，符合书写要求，要仔细分析，注意各题间的区别，如（1）是先平方后作差，而（2）是先作差后平方.
解：（1）x－y（2）(x－y)22 2 （3）(x＋y)(x－y) （4）－x＋y 35、代数式的值及求法
用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．代数式的值一般不是某一个固定的量，而是随着代数式中字母取值的变化而变化．
代数式求值时，第一步是“代入”，即用数值代替代数式里的字母；第二步是“计算”，即按照代数式指明的运算，计算出结果 .
例4、当a=3，b=2，c=时，求代数式的值.
分析：此代数式中有三个字母，代入时，必须将 a、b、c的值同时相应地代替代数式相应的字母，再进行计算.
解：当a=3，b=2，c=时，
.
例5、当x=7时，代数式ax＋bx－5的值为7，当x=－7时，代数式ax＋bx＋5的值为多少？ 33
分析：把 x=7代入条件中不可能求出a、b，但可以把ax＋bx作为一个整体来看，用整体代3
入的方法可以求值.
解：把x=7代入ax＋bx－5，得：343a＋7b－5=7. 3
∴ 343a＋7b=12.
当 x=－7时，ax＋bx＋5=－343a－7b＋5=－(343a＋7b)＋5=－12＋5=－7. 3
例6、在治理沙漠的植树造林活动中，某县今年派出的青年志愿者为100人，每人完成的植树任务为50棵，计划明年派出的人数增加p%，每人的植树任务增加q%，写出明年总植树数的代数式，并求出当p=10，q=20时的植树总数.
分析：分清两个百分比所指的对象，利用题中包含的数量及它们之间的关系，列出代数式，然后代入求值 .
解：依题意知，明年的植树总数为：
100（1＋p%）×50×（1＋q%）=5000（1＋p%）（1＋q%）
当 p=10，q=20时，5000（1＋p%）（1＋q%）
=5000×（1＋10%）×（1＋20%）=6600.
即当p=10，q=20时，植树总数为6600颗．
1、单项式：
（1）由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；
（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；
（3）单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2、多项式：
（1）几个单项式的和叫做多项式；
（2）多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
（3）多项式里次数（视频中应加上“次数”）最高项的次数，叫做多项式的次数.
3、整式：单项式和多项式统称为整式.
例8、指出下列多项式的次数和项数：
（1）3x－2xy＋4xy 2222
（2）－2＋4xy－2
解：（1）四次三项式 （2）四次五项式
例9、若关于x的多项式－5x－（2m－1）x＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项.求m，n32
的值.
解：因为多项式－5x－（2m－1）x＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项，所以2m－1=0，232
－3n=0，即
例10、已知多项式
同，求m、n的值. 是六次四项式，单项式3xy与该多项式的次数相2n5－m
解：依题意，得m＋1＋2=6，2n＋5－m=6，所以m=3 ，n=2．
整式的加减
一、计算整式的运算顺序是先去括号，再合并同类项.
1、整式的加减，实质上就是去括号和合并同类项．
（1）根据去括号法则去掉括号；
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内每一项的符号与原来的符号相同.
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内每一项的符号与原来的符号相反.
③ ㈠：a＋（b＋c）= a＋b＋c； ㈡：a（b＋c）=ab＋ac.
④去多重括号：含有多重括号的多项式，去括号的一般方法是由内到外，即依次去掉小、中、大括号．也可由外到内去括号：去大括号时，把中括号看成一项；去中括号时，把小括号看成一项；最后去小括号．不论用哪种方法，都要边去括号边合并同类项．
（2）准确找出同类项，按照合并同类项法则合并同类项．
在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.
注意：①判断几个单项式(或多项式中的项)是否是同类项有两个条件：Ⅰ所含字母相同；Ⅱ相同字母的指数分别相同，同时具备这两个条件者是同类项，二者缺一不可．
②同类项与系数无关，与字母的排列无关．
③常数项都是同类项．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
2、求多项式的值时，一般先合并同类项，再求值．
3、需要注意的几个问题
①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母．
②π不是字母，而是一个数字，
③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算．
④去括号时，要特别注意括号前面的因数．
4、数学思想方法
（1）整体思想：整体的思想方法就是将一些相互联系的量作为整体来处理的思维方法。它在代数式的化简与求值时是经常用到的．
（2）转化思想：就是要把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。在本章中，整式加减的实质是去括号，合并同类项。合并同类项是把同类项的系数相加减，而字母和字母的指数保持不变，因此，整式的加减最终要转化成数的加减来解决．
（3）数式通性思想：整式的加减是建立在数的运算的基础上的，数的运算性质对于式的运算也同样适用，这种数式通性的思想，可以帮助我们加深对整式加减的理解．
例1、计算：（3x＋2y＋1）－（2x＋3y－5）的结果是___________. 22
答案：x－y＋6 2
例2、长方形的一边等于2a＋3b，另一边比它大a－b，则此长方形的周长等于（ ）
A．3a＋2b B．6a＋4b
C．4a＋6b D．10a＋10b
答案：D
例3、已知两个多项式A、B，A＋B=x－2x＋5，其中多项式B=－2x＋x＋6，则另一个A=_______. 22
答案：3x－3x－1 2
例4、对于有理数a、b，定义a⊙b=3a＋2b，则[（x＋y）⊙（x－y）]⊙3x化简后得（ ）
A．0 B．5x
C．21x＋3y D．9x＋6y
答案：C
例5、已知两个多项式A=2a－5ab＋2b，B=a－ab－3b， 2222
求：（1）2A＋B，（2）A－B.
解：（1）5a－11ab＋b22 （2）a－4ab＋5b 22
例6、化简求值：
分析：先去括号，再合并同类项，然后代入求值．
答案：（1）12 （2）5
例7、甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只羊，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙.结果发现赔了钱，赔钱的原因是（B）
A．a=b B．a>b C．a
例8、一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，若把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字交换位置，从而得到一个新的两位数，它与原来的两位数的差能被9整除吗？为什么？ 解：能被9整除，因为（10a＋b）－（10b＋a）=9a－9b=9（a－b）所以它们的差能被9整除. 例9、已知关于x、y的多项式mx＋2xy－x与3x－2nxy＋3y的差不含二次项，求n的值. 22m
解：依题意得：（mx＋2xy－x）－（3x－2nxy＋3y） 22
＝mx＋2xy－x－3x＋2nxy－3y 22
＝（m－3）x＋（2＋2n）xy－x－3y不含二次项 2
所以m－3＝0，2＋2n＝0 所以m＝3，n＝－1 所以n＝－1 m
例：已知m,n
是自然数，单项式
项式的值． 是5次单项式，当x=―3，y=―2时，求此单
解由题意得
∴，∴ ∴
∴
探索规律
1、数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式．
2、图表中的规律
图形变化也是经常出现的．作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量．所谓找规律，多数情况下，是指变化量的变化规律．所以，抓住了变化量，就等于抓住了解决问题的关键．
3、循环排列规律
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图案就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．
4、图形生长变化规律
从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.
5、与坐标有关规律
这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号．最后用n把第n个点的坐标表示出来．
6、数列求和问题
7、探索规律的方法
（1）依据数列找寻规律
（2）利用计算器找寻规律
（3）依据算式找寻规律
（4）利用“数形结合”思想方法找寻规律
（5）依据图表找寻规律
（6）通过实验、操作找寻规律
例1、观察下列有规律的数：，，，，（ ），，„„
根据此规律写出（1）第5个数是_________，（2）第n个数是_________． 解析：
例2、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）
.
解析：2×3 （3n＋1）======｛4＋（n－1）×3｝
例3、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●„„
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？
解析：200×3+2=602
例4、已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7，„将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25„，按照上述规律排下去，那么虚线框中的第7个数是_________．
解：虚线框中的第7个数位于第2×7－1＝13行中第7个数，
∵前12行共有个数，
虚线框中的第7个数是第13行中的第7个数，∴ 78＋7＝85．∴第7个数是85． 或：这列数依次相差4，8，12，16„„故第7个数为
1＋4×1＋4×2＋4×3＋4×4＋4×5＋4×6
＝1＋4×（1＋2＋3＋4＋5＋6）
＝1＋4×
＝85．
例5、观察表1，寻找规律，表2、表3、表4分别是从表1中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（ ）．
A. 20、29、30 B. 18、30、26
C. 18、20、26 D. 18、30、28
解析：通过对表格的观察、分析，可以从行或列中找到规律，表2中的12、15分别是3的4倍、5倍，应该属于表中第三列，所以a是3的6倍，故
故
到
；同理表3属于第五、六列，；在研究表4之前可以先由排除法得到答案是（B）、（D）两者之一，经验算容易得，所以答案选D．
例6、如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)，第三层每边有三个点，„，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
解析：
我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．
第一层有点数：1；
第二层有点数：1×6；
第三层有点数：2×6；
第四层有点数：3×6；
„„
第n层有点数：(n－1)×6.
因此，这个点阵的第n层有点(n－1)×6个．n层共有点数为
11
例7、阅读下列材料：
1×2＝(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
3×4＝(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5 ＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2＋2×3＋3×4＋„＋10×11（写出过程）；
（2）1×2＋2×3＋3×4＋„＋n×(n＋1) ＝ ______________；
（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋„＋7×8×9 ＝ ______________．
解：（1）∵1×2 ＝(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝(3×4×5－2×3×4)， „„
10×11 ＝(10×11×12－9×10×11)，
∴1×2＋2×3＋3×4＋„＋10×11＝×10×11×12＝440．
（2）
（3）1260．
． 12
1、用字母表示数的意义
用字母可以表示我们已经学过的和今后要学到的任何一个数，用字母表示数可以简明地表达数学运算律、表达公式、表达问题中的数量关系，还可以用字母表示未知数．
例1、如图所示，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c
.
分析：欲求长方体的体积，需知长方体的底面的长和宽及长方体的高，由题意可知长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可用字母表示出它的容积．
解：由题意知，该长方体的底面长为(a－2c)，宽为(b－2c)，高为c，根据长方体的体积公式，该长方体盒子的容积为(a－2c)(b－2c)c.
2、代数式的概念
用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．
代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“
3、代数式书写格式的规定
（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“·”或省略不写；数字与字母相乘时，数字应写在字母前，带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，然后与字母相乘，但数字与数字相乘时，一般仍用“×”号．
（2）在代数式中出现了除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”号转化为分数线，分数线具有“÷”号和括号的双重作用，如被除数或除数含有括号时，括号也可省略．
（3）在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位名称写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面．
4、列代数式及方法
在解决实际问题时，把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，就是列代数式． 列代数式时，首先要认真审题，弄清问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式书写格式的规定规范地书写出来．列代数式的关键在于认真审题，要注意分析问题中各术语的含义，如：和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、减少、扩大、缩小等．
例2、下列各式：
（1） （2）a·30 （3）20%xy
（4）a－b＋c （5） （6）t－2℃
其中符合代数式书写要求的个数有（ ）
例3、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.
（1）甲、乙两数的平方差；（2）甲、乙两数差的平方；
（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；
（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.
分析：列代数式时要理清运算顺序，找到关键词，符合书写要求，要仔细分析，注意各题间的区别，如（1）是先平方后作差，而（2）是先作差后平方.
解：（1）x－y（2）(x－y)22 2 （3）(x＋y)(x－y) （4）－x＋y 35、代数式的值及求法
用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．代数式的值一般不是某一个固定的量，而是随着代数式中字母取值的变化而变化．
代数式求值时，第一步是“代入”，即用数值代替代数式里的字母；第二步是“计算”，即按照代数式指明的运算，计算出结果 .
例4、当a=3，b=2，c=时，求代数式的值.
分析：此代数式中有三个字母，代入时，必须将 a、b、c的值同时相应地代替代数式相应的字母，再进行计算.
解：当a=3，b=2，c=时，
.
例5、当x=7时，代数式ax＋bx－5的值为7，当x=－7时，代数式ax＋bx＋5的值为多少？ 33
分析：把 x=7代入条件中不可能求出a、b，但可以把ax＋bx作为一个整体来看，用整体代3
入的方法可以求值.
解：把x=7代入ax＋bx－5，得：343a＋7b－5=7. 3
∴ 343a＋7b=12.
当 x=－7时，ax＋bx＋5=－343a－7b＋5=－(343a＋7b)＋5=－12＋5=－7. 3
例6、在治理沙漠的植树造林活动中，某县今年派出的青年志愿者为100人，每人完成的植树任务为50棵，计划明年派出的人数增加p%，每人的植树任务增加q%，写出明年总植树数的代数式，并求出当p=10，q=20时的植树总数.
分析：分清两个百分比所指的对象，利用题中包含的数量及它们之间的关系，列出代数式，然后代入求值 .
解：依题意知，明年的植树总数为：
100（1＋p%）×50×（1＋q%）=5000（1＋p%）（1＋q%）
当 p=10，q=20时，5000（1＋p%）（1＋q%）
=5000×（1＋10%）×（1＋20%）=6600.
即当p=10，q=20时，植树总数为6600颗．
1、单项式：
（1）由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；
（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；
（3）单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
2、多项式：
（1）几个单项式的和叫做多项式；
（2）多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
（3）多项式里次数（视频中应加上“次数”）最高项的次数，叫做多项式的次数.
3、整式：单项式和多项式统称为整式.
例8、指出下列多项式的次数和项数：
（1）3x－2xy＋4xy 2222
（2）－2＋4xy－2
解：（1）四次三项式 （2）四次五项式
例9、若关于x的多项式－5x－（2m－1）x＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项.求m，n32
的值.
解：因为多项式－5x－（2m－1）x＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项，所以2m－1=0，232
－3n=0，即
例10、已知多项式
同，求m、n的值. 是六次四项式，单项式3xy与该多项式的次数相2n5－m
解：依题意，得m＋1＋2=6，2n＋5－m=6，所以m=3 ，n=2．
整式的加减
一、计算整式的运算顺序是先去括号，再合并同类项.
1、整式的加减，实质上就是去括号和合并同类项．
（1）根据去括号法则去掉括号；
①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内每一项的符号与原来的符号相同.
②如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内每一项的符号与原来的符号相反.
③ ㈠：a＋（b＋c）= a＋b＋c； ㈡：a（b＋c）=ab＋ac.
④去多重括号：含有多重括号的多项式，去括号的一般方法是由内到外，即依次去掉小、中、大括号．也可由外到内去括号：去大括号时，把中括号看成一项；去中括号时，把小括号看成一项；最后去小括号．不论用哪种方法，都要边去括号边合并同类项．
（2）准确找出同类项，按照合并同类项法则合并同类项．
在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项.
注意：①判断几个单项式(或多项式中的项)是否是同类项有两个条件：Ⅰ所含字母相同；Ⅱ相同字母的指数分别相同，同时具备这两个条件者是同类项，二者缺一不可．
②同类项与系数无关，与字母的排列无关．
③常数项都是同类项．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
2、求多项式的值时，一般先合并同类项，再求值．
3、需要注意的几个问题
①整式（既单项式和多项式）中，分母一律不能含有字母．
②π不是字母，而是一个数字，
③多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算．
④去括号时，要特别注意括号前面的因数．
4、数学思想方法
（1）整体思想：整体的思想方法就是将一些相互联系的量作为整体来处理的思维方法。它在代数式的化简与求值时是经常用到的．
（2）转化思想：就是要把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。在本章中，整式加减的实质是去括号，合并同类项。合并同类项是把同类项的系数相加减，而字母和字母的指数保持不变，因此，整式的加减最终要转化成数的加减来解决．
（3）数式通性思想：整式的加减是建立在数的运算的基础上的，数的运算性质对于式的运算也同样适用，这种数式通性的思想，可以帮助我们加深对整式加减的理解．
例1、计算：（3x＋2y＋1）－（2x＋3y－5）的结果是___________. 22
答案：x－y＋6 2
例2、长方形的一边等于2a＋3b，另一边比它大a－b，则此长方形的周长等于（ ）
A．3a＋2b B．6a＋4b
C．4a＋6b D．10a＋10b
答案：D
例3、已知两个多项式A、B，A＋B=x－2x＋5，其中多项式B=－2x＋x＋6，则另一个A=_______. 22
答案：3x－3x－1 2
例4、对于有理数a、b，定义a⊙b=3a＋2b，则[（x＋y）⊙（x－y）]⊙3x化简后得（ ）
A．0 B．5x
C．21x＋3y D．9x＋6y
答案：C
例5、已知两个多项式A=2a－5ab＋2b，B=a－ab－3b， 2222
求：（1）2A＋B，（2）A－B.
解：（1）5a－11ab＋b22 （2）a－4ab＋5b 22
例6、化简求值：
分析：先去括号，再合并同类项，然后代入求值．
答案：（1）12 （2）5
例7、甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只羊，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙.结果发现赔了钱，赔钱的原因是（B）
A．a=b B．a>b C．a
例8、一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，若把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字交换位置，从而得到一个新的两位数，它与原来的两位数的差能被9整除吗？为什么？ 解：能被9整除，因为（10a＋b）－（10b＋a）=9a－9b=9（a－b）所以它们的差能被9整除. 例9、已知关于x、y的多项式mx＋2xy－x与3x－2nxy＋3y的差不含二次项，求n的值. 22m
解：依题意得：（mx＋2xy－x）－（3x－2nxy＋3y） 22
＝mx＋2xy－x－3x＋2nxy－3y 22
＝（m－3）x＋（2＋2n）xy－x－3y不含二次项 2
所以m－3＝0，2＋2n＝0 所以m＝3，n＝－1 所以n＝－1 m
例：已知m,n
是自然数，单项式
项式的值． 是5次单项式，当x=―3，y=―2时，求此单
解由题意得
∴，∴ ∴
∴
探索规律
1、数与式变化规律
通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式．
2、图表中的规律
图形变化也是经常出现的．作这种数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量．所谓找规律，多数情况下，是指变化量的变化规律．所以，抓住了变化量，就等于抓住了解决问题的关键．
3、循环排列规律
循环排列规律是运动着的规律，我们只要根据题目的已知部分分析出图案或数据每隔几个图案就会循环出现，看看最后所求的与循环的第几个一致即可．
4、图形生长变化规律
从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.
5、与坐标有关规律
这类问题把点的坐标与数字规律有机的联系在一起，加大了找规律的难度，点的坐标不仅要考虑数值的大小，还要考虑不同象限的坐标的符号．最后用n把第n个点的坐标表示出来．
6、数列求和问题
7、探索规律的方法
（1）依据数列找寻规律
（2）利用计算器找寻规律
（3）依据算式找寻规律
（4）利用“数形结合”思想方法找寻规律
（5）依据图表找寻规律
（6）通过实验、操作找寻规律
例1、观察下列有规律的数：，，，，（ ），，„„
根据此规律写出（1）第5个数是_________，（2）第n个数是_________． 解析：
例2、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n的代数式表示）
.
解析：2×3 （3n＋1）======｛4＋（n－1）×3｝
例3、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：
●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●„„
从第1个球起到第2004个球止，共有实心球多少个？
解析：200×3+2=602
例4、已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7，„将这列数排成下列形式：中间用虚线围的一列数，从上至下依次为1，5，13，25„，按照上述规律排下去，那么虚线框中的第7个数是_________．
解：虚线框中的第7个数位于第2×7－1＝13行中第7个数，
∵前12行共有个数，
虚线框中的第7个数是第13行中的第7个数，∴ 78＋7＝85．∴第7个数是85． 或：这列数依次相差4，8，12，16„„故第7个数为
1＋4×1＋4×2＋4×3＋4×4＋4×5＋4×6
＝1＋4×（1＋2＋3＋4＋5＋6）
＝1＋4×
＝85．
例5、观察表1，寻找规律，表2、表3、表4分别是从表1中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（ ）．
A. 20、29、30 B. 18、30、26
C. 18、20、26 D. 18、30、28
解析：通过对表格的观察、分析，可以从行或列中找到规律，表2中的12、15分别是3的4倍、5倍，应该属于表中第三列，所以a是3的6倍，故
故
到
；同理表3属于第五、六列，；在研究表4之前可以先由排除法得到答案是（B）、（D）两者之一，经验算容易得，所以答案选D．
例6、如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)，第三层每边有三个点，„，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？
解析：
我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数．
第一层有点数：1；
第二层有点数：1×6；
第三层有点数：2×6；
第四层有点数：3×6；
„„
第n层有点数：(n－1)×6.
因此，这个点阵的第n层有点(n－1)×6个．n层共有点数为
11
例7、阅读下列材料：
1×2＝(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝(2×3×4－1×2×3)，
3×4＝(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得
1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5 ＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2＋2×3＋3×4＋„＋10×11（写出过程）；
（2）1×2＋2×3＋3×4＋„＋n×(n＋1) ＝ ______________；
（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋„＋7×8×9 ＝ ______________．
解：（1）∵1×2 ＝(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝(3×4×5－2×3×4)， „„
10×11 ＝(10×11×12－9×10×11)，
∴1×2＋2×3＋3×4＋„＋10×11＝×10×11×12＝440．
（2）
（3）1260．
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