一元二次方程试题及答案

一元二次方程根与系数的关系

一、选择题

1. （2011•南通）若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）

A、﹣2

B、2 C、﹣5

D、5

分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．

解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B． 点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．

2. （2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1

B.2 C.﹣2

ca

D.﹣1

分析：根据根与系数的关系得出x1x2=

=﹣2，即可得出另一根的值．

解答：解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2==﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

3. （2011湖北荆州，9，3分）关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a，则a的值是（ ） A、1 B、－1 C、1或－1 D、2

分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=－ ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．

解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a（a+1）＞0， 即a2－2a+1＞0，（a－1）2＞0，a≠1，

∵关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a，

∴x1－x1x2+x2=1－a， ∴x1+x2－x1x2=1－a， ∴ 3a+1a－ 2a+2a=1－a，

解得：a=±1，又a≠1， ∴a=－1． 故选：B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1－x1x2+x2=1－a，得出x1+x2－x1x2=1－a是解决问题的关键．

4. （2011湖北咸宁，6，3分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为

（ ）

A、﹣3

B、﹣1 C、1

D、3

分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．

解答：解：设方程另一个根为x1， ∴x1+（﹣1）=2， 解得x1=3． 故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

5. （2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）

A、1 C、2

B、﹣1 D、﹣2

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根． 解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根， ∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2， 解得，x2=2．

即方程的另一个根是2． 故选C．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

6. （2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）

A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2．

分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x－a）（x－b）=1，再有已知条件x1＜

x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．

解答：解：∵x1和x2为方程的两根，

∴（x1－a）（x1－b）=1且（x2－a）（x2－b）=1， ∴（x1－a）和（x1－b）同号且（x2－a）和（x2－b）同号； ∵x1＜x2，

∴（x1－a）和（x1－b）同为负号而（x2－a）和（x2－b）同为正号，可得：x1－a＜0且x1－b＜0，x1＜a且x1＜b， ∴x1＜a，∴x2－a＞0且x2－b＞0， ∴x2＞a且x2＞b， ∴x2＞b，

∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2． 故选C．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，

对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．

7 （2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1 B.2 C.－2 D.－1

分析：根据根与系数的关系得出x1x2=－2，即可得出另一根的值． 解答：解：∵x=1是方程x+bx－2=0的一个根， ∴x1x2=－2，

2

2

∴1×x2=－2，

则方程的另一个根是：－2， 故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

8.（2011湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（ ）

A．4

B．3

C．﹣4

D．﹣3

ca

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=

2

解答并作出选择．

解答：解：∵一元二次方程x+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3， ∴x1•x2=

ca

=3．

故选B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=

二、填空题

1. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．

ca

中的a与c的意义．

考点：根与系数的关系． 专题：计算题．

分析：欲求（a－b）（a+b－2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，

代入数值计算即可．

解答：解：∵a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，

∴ab=－1，a+b=2，∴（a－b）（a+b－2）+ab=（a－b）（2－2）+ab=0+ab=－1， 故答案为：－1．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种

经常使用的解题方法．

2. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=

分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解答：解：根据题意，得 4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0， 解得，m=1； 由韦达定理，知 x1+x2=﹣m； ∴2+x2=﹣1， 解得，x2=﹣3． 故答案是：1．﹣3．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣

ba

ba

2

解出方程的另一个根．

．x1•x2=

ca

来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．

3. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC

分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC•BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB

的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一． 解答：解：连接AD，BD，OD，

∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，

∵四边形DCFE是正方形， ∴DC⊥AB，

∴∠ACD=∠DCB=90°，

∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°， ∴∠A=∠CDB， ∴△ACD∽△DCB， ∴

ACDC

DCBC

，

又∵正方形CDEF的边长为1， ∵AC•BC=DC2=1， ∵AC+BC=AB，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2， ∴OD=

52

，

∴AC+BC=AB=5，

以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣5x+1=0． 故答案为：此题答案不唯一，如：x2﹣5x+1=0．

点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．

4. （2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22． 分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式

变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．

解答：解：∵x1，x2是方程x+x﹣1=0的两个根，

∴x1+x2=﹣

ba

2

=﹣1，x1•x2=

ca

=﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．

故答案是：3．

点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．

5. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ﹣1 ．

分析：先根据一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1）（y2﹣1）进行计算即可．

解答：解：∵一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1．y2， ∴y1+y2=3，y1•y2=1， ∴（y1﹣1）（y2﹣1）， =y1y2﹣y1﹣y2+1， =y1y2﹣（y1+y2）+1， =1﹣3+1， =﹣1．

故答案为：﹣1．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

2

2

ba

，x1x2=

2

ca

．

2

6. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x的方程x+（2k+1）x+k－2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ．

分析：由题意设方程x2+（2k+1）x+k2－2=0两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k2

－2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．

解答：解：设方程方程x2+（2k+1）x+k2－2=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k－2，

△=（2k+1）－4×（k－2）=4k+9＞0，∴k＞－

2

2

2

2

2

2

94

，

2

2

∵x1+x2=11，∴（x1+x2）－2 x1•x2=11，∴（2k+1）－2（k－2）=11， 解得k=1或－3；∵k＞－

94

，故答案为k=1．

点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

7. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x﹣2x﹣5=0的两根，则x1+x1x2+x2=． 分析：由于方程x﹣2x﹣5=0的两个实数根为x1，x2，所以直接利用根与系数的关系即可得

到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x1+x1x2+x2的值． 解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣5， x12+x1x2+x22=（x1+x2）

2

2

2

2

2

2

2

﹣x1x2=4+5=9．故答案为9．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种

经常使用的解题方法．

8. （2011四川省宜宾市，12，3分）已知一元二次方程x–6x–5=0两根为a、b， 则 + 的值是

分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=－5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．

答案：解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴a+b=6，ab=－5，

+

=

=

=－

．

1a

1b

2

故答案是：－

．解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴a+b=6，ab=－5，

+

=

=

=－

．

故答案是：－

．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．

10. （2011广西来宾，17，3分）已知一元二次方程x2mx20的两个实数根分别是x1,x2。则x1x2分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．

解答：解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1•x2=

=﹣2．

故答案为﹣2．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

三、解答题

1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值． 分析：根据根与系数的关系（x1＋x2＝—

ba

，x1•x2＝

ca

）列出等式，再由已知条件―x1＝3x2‖

联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可． 解答：解：由根与系数的关系，得 x1＋x2＝4 ①， x1•x2＝k—3 ②（2分） 又∵x1＝3x2 ③，

x13联立①、③，解方程组得（4分）

x21

∴k＝x1·x2＋3＝3×1＋3＝6（5分）

答：方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6．（6分） 点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1＋x2＝—清楚韦达定理中的a、b、c的意义．

2. （2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；

（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2

﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有实数根，

∴△=22﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0．

故K的取值范围是k≤0．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1

x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．

2

ba

，x1•x2＝

ca

．解答此题时，一定要弄

由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2． 又由（1）k≤0， ∴﹣2＜k≤0． ∵k为整数，

∴k的值为﹣1和0．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0． 3. （2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：

如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， x1x2就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m•n= ； （2）计算

1m1n

ba

，x1x2

ca

．这

的值．

分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；

（2）先把变形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可． 解答：解：（1）答案为3，（2）

1m1nmnmn

32

．

=

332

=2．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1x2

ba

，x1x2

ca

．

4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．

分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；

（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式

关系，可得出k的值．

解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得 △=b﹣4ac=4（k﹣1）﹣4k≥0， 解得，k≤

（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1）， 由（1）可知k≤

1212

2

2

2

；

，

∴2（k﹣1）＜0， ∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1， 解得k1=1（舍去），k2=﹣3， ∴k的值是﹣3．

答：（1）k的取值范围是k≤

12

；（2）k的值是﹣3．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．

5. （2011•玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x﹣4x+1的两个实数根． 求：（x1+x2）2÷（

1x1

1x2

2

）的值．

分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据

1x1

1x2

=

x1x2x1x2

即可解答．

2

解答：解：∵一元二次方程x﹣4x+1=0的两个实数根是x1、x2， ∴x1+x2=4，x1•x2=1， ∴（x1+x2）÷（

2

1x1



1x2

）

=42x1x2x1x2

=42÷4 =4．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，

把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。 （1）用列表法求关于x的方程x2bxc0有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。

【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．

7..（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x－4x＋1＝0的两个实数

根．求（x1＋x2）2÷(

1x1

1x2

)的值．

2

分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据

1x1

1x2

x1x2x1x2

即可解答．

2

解答：∵一元二次方程x－4x＋1＝0的两个实数根是x1、x2

∴x1＋x2＝4，x1•x2＝1 ∴（x1＋x2）2÷(

1x1

1x2

)＝42

x1x2x1x2

4

＝42÷＝16÷4＝4．

1

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x的一元二次方程

x4xk30的两个实数根为x1、x2，且满足x13x2，试求出方程的两个

2

实数根及k的值.

分析：根据根与系数的关系（x1+x2

=－ ，x1•x2= ）列出等式，再由已知条件―x1=3x2‖联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．

答案：17.解:由根与系数的关系得:x1x24① ，x1x2k3②

又∵x13x2③，联立①、③，解方程组得

∴kx1x233136 答：方程两根为x1=3,x2=1;k=6.

点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1+x2

=－ ，x1•x2= ．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．

x13x21

一元二次方程根与系数的关系

一、选择题

1. （2011•南通）若3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）

A、﹣2

B、2 C、﹣5

D、5

分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得．

解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x=5，即x=2．故选B． 点评：本题考查了根与系数的关系，从两根之和出发计算得．

2. （2011南昌，9，3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1

B.2 C.﹣2

ca

D.﹣1

分析：根据根与系数的关系得出x1x2=

=﹣2，即可得出另一根的值．

解答：解：∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴x1x2==﹣2，∴1×x2=﹣2，则方程的另一个根是：﹣2，故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

3. （2011湖北荆州，9，3分）关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a，则a的值是（ ） A、1 B、－1 C、1或－1 D、2

分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=－ ba，x1x2= ca，整理原式即可得出关于a的方程求出即可．

解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a（a+1）＞0， 即a2－2a+1＞0，（a－1）2＞0，a≠1，

∵关于x的方程ax2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1－x1x2+x2=1－a，

∴x1－x1x2+x2=1－a， ∴x1+x2－x1x2=1－a， ∴ 3a+1a－ 2a+2a=1－a，

解得：a=±1，又a≠1， ∴a=－1． 故选：B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，由x1－x1x2+x2=1－a，得出x1+x2－x1x2=1－a是解决问题的关键．

4. （2011湖北咸宁，6，3分）若关于x的方程x2﹣2x+m=0的一个根为﹣1，则另一个根为

（ ）

A、﹣3

B、﹣1 C、1

D、3

分析：设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）=2，解此方程即可．

解答：解：设方程另一个根为x1， ∴x1+（﹣1）=2， 解得x1=3． 故选D．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

5. （2011•贵港）若关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）

A、1 C、2

B、﹣1 D、﹣2

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根． 解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2=0的两个根， ∴由韦达定理，得x1•x2=﹣2，即﹣x2=﹣2， 解得，x2=2．

即方程的另一个根是2． 故选C．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．

6. （2011年四川省绵阳市，12，3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x－a）（x－b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ）

A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2．

分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x－a）（x－b）=1，再有已知条件x1＜

x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．

解答：解：∵x1和x2为方程的两根，

∴（x1－a）（x1－b）=1且（x2－a）（x2－b）=1， ∴（x1－a）和（x1－b）同号且（x2－a）和（x2－b）同号； ∵x1＜x2，

∴（x1－a）和（x1－b）同为负号而（x2－a）和（x2－b）同为正号，可得：x1－a＜0且x1－b＜0，x1＜a且x1＜b， ∴x1＜a，∴x2－a＞0且x2－b＞0， ∴x2＞a且x2＞b， ∴x2＞b，

∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2． 故选C．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，

对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．

7 （2011年江西省，5，3分）已知x=1是方程x+bx－2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ）

A.1 B.2 C.－2 D.－1

分析：根据根与系数的关系得出x1x2=－2，即可得出另一根的值． 解答：解：∵x=1是方程x+bx－2=0的一个根， ∴x1x2=－2，

2

2

∴1×x2=－2，

则方程的另一个根是：－2， 故选C．

点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．

8.（2011湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两个根，则x1•x2的值是（ ）

A．4

B．3

C．﹣4

D．﹣3

ca

分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=

2

解答并作出选择．

解答：解：∵一元二次方程x+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3， ∴x1•x2=

ca

=3．

故选B．

点评：此题主要考查了根与系数的关系．解答此题时，注意，一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=

二、填空题

1. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于____．

ca

中的a与c的意义．

考点：根与系数的关系． 专题：计算题．

分析：欲求（a－b）（a+b－2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，

代入数值计算即可．

解答：解：∵a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，

∴ab=－1，a+b=2，∴（a－b）（a+b－2）+ab=（a－b）（2－2）+ab=0+ab=－1， 故答案为：－1．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种

经常使用的解题方法．

2. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=

分析：根据一元二次方程的解定义，将x=2代入关于x的方程x+mx﹣6=0，然后解关于m的一元一次方程；再根据根与系数的关系x1+x2=﹣解答：解：根据题意，得 4+2m﹣6=0，即2m﹣2=0， 解得，m=1； 由韦达定理，知 x1+x2=﹣m； ∴2+x2=﹣1， 解得，x2=﹣3． 故答案是：1．﹣3．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解．根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣

ba

ba

2

解出方程的另一个根．

．x1•x2=

ca

来计算时，要弄清楚a．b．c的意义．

3. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC

分析：连接AD，BD，OD，由AB为直径与四边形DCFE是正方形，即可证得△ACD∽△DCB，则可求得AC•BC=DC2=1，又由勾股定理求得AB

的值，即可得AC+BC=AB，根据根与系数的关系即可求得答案．注意此题答案不唯一． 解答：解：连接AD，BD，OD，

∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，

∵四边形DCFE是正方形， ∴DC⊥AB，

∴∠ACD=∠DCB=90°，

∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°， ∴∠A=∠CDB， ∴△ACD∽△DCB， ∴

ACDC

DCBC

，

又∵正方形CDEF的边长为1， ∵AC•BC=DC2=1， ∵AC+BC=AB，

在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2， ∴OD=

52

，

∴AC+BC=AB=5，

以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣5x+1=0． 故答案为：此题答案不唯一，如：x2﹣5x+1=0．

点评：此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．

4. （2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22． 分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式

变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．

解答：解：∵x1，x2是方程x+x﹣1=0的两个根，

∴x1+x2=﹣

ba

2

=﹣1，x1•x2=

ca

=﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．

故答案是：3．

点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．

5. （2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ﹣1 ．

分析：先根据一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，求出y1+y2及y1•y2的值，再代入（y1﹣1）（y2﹣1）进行计算即可．

解答：解：∵一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1．y2， ∴y1+y2=3，y1•y2=1， ∴（y1﹣1）（y2﹣1）， =y1y2﹣y1﹣y2+1， =y1y2﹣（y1+y2）+1， =1﹣3+1， =﹣1．

故答案为：﹣1．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

2

2

ba

，x1x2=

2

ca

．

2

6. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x的方程x+（2k+1）x+k－2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ．

分析：由题意设方程x2+（2k+1）x+k2－2=0两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k2

－2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．

解答：解：设方程方程x2+（2k+1）x+k2－2=0设其两根为x1，x2，得x1+x2=－（2k+1），x1•x2=k－2，

△=（2k+1）－4×（k－2）=4k+9＞0，∴k＞－

2

2

2

2

2

2

94

，

2

2

∵x1+x2=11，∴（x1+x2）－2 x1•x2=11，∴（2k+1）－2（k－2）=11， 解得k=1或－3；∵k＞－

94

，故答案为k=1．

点评：此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

7. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x﹣2x﹣5=0的两根，则x1+x1x2+x2=． 分析：由于方程x﹣2x﹣5=0的两个实数根为x1，x2，所以直接利用根与系数的关系即可得

到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出x1+x1x2+x2的值． 解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，∴x1+x2=2，x1•x2=﹣5， x12+x1x2+x22=（x1+x2）

2

2

2

2

2

2

2

﹣x1x2=4+5=9．故答案为9．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种

经常使用的解题方法．

8. （2011四川省宜宾市，12，3分）已知一元二次方程x–6x–5=0两根为a、b， 则 + 的值是

分析：根据根与系数的关系，得到a+b=6，ab=－5，把a+b和ab的值代入化简后的代数式，求出代数式的值．

答案：解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴a+b=6，ab=－5，

+

=

=

=－

．

1a

1b

2

故答案是：－

．解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴a+b=6，ab=－5，

+

=

=

=－

．

故答案是：－

．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值．

10. （2011广西来宾，17，3分）已知一元二次方程x2mx20的两个实数根分别是x1,x2。则x1x2分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=即可得到答案．

解答：解：∵一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1•x2=

=﹣2．

故答案为﹣2．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：设方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

三、解答题

1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值． 分析：根据根与系数的关系（x1＋x2＝—

ba

，x1•x2＝

ca

）列出等式，再由已知条件―x1＝3x2‖

联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可． 解答：解：由根与系数的关系，得 x1＋x2＝4 ①， x1•x2＝k—3 ②（2分） 又∵x1＝3x2 ③，

x13联立①、③，解方程组得（4分）

x21

∴k＝x1·x2＋3＝3×1＋3＝6（5分）

答：方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6．（6分） 点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1＋x2＝—清楚韦达定理中的a、b、c的意义．

2. （2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2． （1）求k的取值范围；

（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；

（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2

﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有实数根，

∴△=22﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0．

故K的取值范围是k≤0．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1

x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．

2

ba

，x1•x2＝

ca

．解答此题时，一定要弄

由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2． 又由（1）k≤0， ∴﹣2＜k≤0． ∵k为整数，

∴k的值为﹣1和0．

点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0． 3. （2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：

如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， x1x2就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m•n= ； （2）计算

1m1n

ba

，x1x2

ca

．这

的值．

分析：（1）直接根据韦达定理计算即可得到m+n和mn；

（2）先把变形，用m+n和mn表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可． 解答：解：（1）答案为3，（2）

1m1nmnmn

32

．

=

332

=2．

点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1x2

ba

，x1x2

ca

．

4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．

（1）求k的取值范围；

（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．

分析：（1）方程有两个实数根，可得△=b2﹣4ac≥0，代入可解出k的取值范围；

（2）结合（1）中k的取值范围，由题意可知，x1+x2=2（k﹣1）＜0，去绝对值号结合等式

关系，可得出k的值．

解答：解：（1）由方程有两个实数根，可得 △=b﹣4ac=4（k﹣1）﹣4k≥0， 解得，k≤

（2）依据题意可得，x1+x2=2（k﹣1）， 由（1）可知k≤

1212

2

2

2

；

，

∴2（k﹣1）＜0， ∴﹣2（k﹣1）=k2﹣1， 解得k1=1（舍去），k2=﹣3， ∴k的值是﹣3．

答：（1）k的取值范围是k≤

12

；（2）k的值是﹣3．

点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式相结合解题是一种经常使用的解题方法；注意k的取值范围是正确解答的关键．

5. （2011•玉林，20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x﹣4x+1的两个实数根． 求：（x1+x2）2÷（

1x1

1x2

2

）的值．

分析：先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据

1x1

1x2

=

x1x2x1x2

即可解答．

2

解答：解：∵一元二次方程x﹣4x+1=0的两个实数根是x1、x2， ∴x1+x2=4，x1•x2=1， ∴（x1+x2）÷（

2

1x1



1x2

）

=42x1x2x1x2

=42÷4 =4．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，

把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。 （1）用列表法求关于x的方程x2bxc0有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。

【点评】此题考查了列表法求概率与一元二次方程根的情况的判定．注意△＞0，有两个不相等的实数根，△=0，有两个相等的实数根，△＜0，没有实数根．

7..（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x－4x＋1＝0的两个实数

根．求（x1＋x2）2÷(

1x1

1x2

)的值．

2

分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据

1x1

1x2

x1x2x1x2

即可解答．

2

解答：∵一元二次方程x－4x＋1＝0的两个实数根是x1、x2

∴x1＋x2＝4，x1•x2＝1 ∴（x1＋x2）2÷(

1x1

1x2

)＝42

x1x2x1x2

4

＝42÷＝16÷4＝4．

1

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，是一道基础题型．

8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x的一元二次方程

x4xk30的两个实数根为x1、x2，且满足x13x2，试求出方程的两个

2

实数根及k的值.

分析：根据根与系数的关系（x1+x2

=－ ，x1•x2= ）列出等式，再由已知条件―x1=3x2‖联立组成三元一次方程组，然后解方程组即可．

答案：17.解:由根与系数的关系得:x1x24① ，x1x2k3②

又∵x13x2③，联立①、③，解方程组得

∴kx1x233136 答：方程两根为x1=3,x2=1;k=6.

点评：此题主要考查了根与系数的关系：x1+x2

=－ ，x1•x2= ．解答此题时，一定要弄清楚韦达定理中的a、b、c的意义．

x13x21