重积分
§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
I =⎰⎰x 2+y 2dxdy 其中D 为：x 2+y 2≤4
D
( I =⎰⎰x 2+y 2dxdy =π. 4. 2-. π. 4. 2=
D
1316
π) 3
2、设D 为圆域x 2+y 2≤a 2, a >0, 若积分
⎰⎰
D
π=a -x -y dxdy 12，求a 的值。
2
2
2
解：
⎰⎰
D
3
a -x -y dxdy =2. 3π. a a =8
2
2
2
141
3、设D 由圆(x -2) 2+(y -1) 2=2围成, 求⎰⎰3dxdy
D
解：由于D 的面积为2π, 故⎰⎰3dxdy =6π
D
4、设D ：{(x , y ) |3≤x ≤5, 0≤y ≤1}，
I 1=⎰⎰ln(x +y ) dxdy , I 2=⎰⎰[ln(x +y )]2dxdy ，比较I 1, 与I 2的大小关系
D
D
解：在D 上，ln(x +y ) ≤ [ln(x +y )]2, 故I 1≤I 2
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x 2+y 2=1, 和曲面z =[f (xy )]2所围的
立体的体积，可用二重积分表示为V =⎰⎰[f (xy )]2dxdy
D :x 2+y 2≤1
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
⎰⎰sin 2x sin 2ydxdy D :0≤x ≤π, 0≤y ≤π
D
(0≤
22sin x sin ydxdy ≤π2) ⎰⎰D
7、设f(x,y)为有界闭区域D ：x 2+y 2≤a 2上的连续函数，求 lim
1
a →0πa 2
⎰⎰f (x , y ) dxdy
D
解：利用积分中值定理及连续性有lim
1a →0πa 2
⎰⎰f (x , y ) dxdy =lim f (ξ, η) =f (0, 0)
D 8
a →0
§ 2 二重积分的计算法
x
dxdy ，其中D 是由抛物线y =x 2+1与直线y=2x，x=0所围成的区y +1D
域，则I=（ ）
7191
A ： -ln 3-ln 2+ B ： ln 3+ln 2-
8282
9191
C ： ln 3-ln 2- D ： ln 3-ln 2-
8482
2、设D 是由不等式x +y ≤1所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰(x +y ) dxdy 为
1、设I =⎰⎰
D
（ ）
12
A ：0 B： C ： D： 1
33
3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ⎰⎰ye xy dxdy 为（ ）
D
1111
A：e 4-e 2-e B ：e 4-e 2+e -e 2
2222
111
C ：e 4+e e 4-e 2
222
1
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分⎰dx ⎰
-1
+x 2
x +1
f (x , y ) dy 为（ ）
1
y -1
A ⎰0dy ⎰-1f (x , y ) dx +⎰1dy ⎰-1
C ⎰0dy ⎰-1f (x , y ) dx +⎰1dy ⎰-1
1
y -1
2
1y -12
y 2-1
f (x , y ) dx B ⎰0dy ⎰-1f (x , y ) dx
-y 2-1
f (x , y ) dx D ⎰0dy ⎰-1
2
-y 2-1
f (x , y ) dx
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D1+D2上的连续函数，则二重
积分⎰⎰f (x 2y ) dxdy 为（ ）
D
A 2⎰⎰f (x 2, y ) dxdy B 4⎰⎰f (x 2, y ) dxdy
D 1
D 2
C 4⎰⎰f (x 2, y ) dxdy D
D 1
12
f (x , y ) dxdy ⎰⎰2D 2
6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分⎰⎰f (x 2y 2) dxdy 为（ ）
D
A2⎰⎰f (x 2, y 2) dxdy 4⎰⎰f (x 2, y 2) dxdy
D 1
D 1
C 8⎰⎰f (x 2, y 2) dxdy D
D 1
122
f (x , y ) dxdy ⎰⎰2D 1
7、. 设f(x,y)为连续函数，则⎰dx ⎰f (x , y ) dy 为( )
a x
A ⎰dy ⎰f (x , y ) dx B ⎰dy ⎰f (x , y ) dx
y
a
a a a y
C ⎰dy ⎰f (x , y ) dx D ⎰dy ⎰f (x , y ) dx
a y a x
8、求 I =⎰⎰
D
3
x 29dxdy D : ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. () 2
4y
ln x
9、设I=⎰dx ⎰
1
I=⎰dx ⎰
1
3
ln x
f (x , y ) dy , 交换积分次序后I 为：
ln 3
3
e
f (x , y ) dy =⎰dy ⎰y f (x , y ) dx
2
x
4
4-x
20
10、改变二次积分的次序： ⎰0dx ⎰0f (x , y ) dy +⎰2dx ⎰0f (x , y ) dy = ⎰x dx ⎰
1x
2
x
1y 2
dx
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰e x +y dxdy 的值
D
解：⎰⎰e
D
x +y
dxdy =⎰dx ⎰e
1l 1
x +y
dy =(⎰e dx )(⎰e y dy ) =(e -1) 2
1
x
1
1
12设 I=⎰⎰R 2-x 2-y 2dxdy , 其中D 是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (πR 3)
3D
13、计算二重积分⎰⎰|x 2+y 2-4|dxdy ，其中D 是圆域x 2+y 2≤9
D
解：⎰⎰|x 2+y 2-4|dxdy =⎰d θ⎰(4-r 2) rdr +⎰d θ⎰(r 2-4) rdr =
D
2
2π22π3
41π 2
14、计算二重积分⎰⎰e
D
max{x 2, y 2}
dxdy ，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
x
2
解： ⎰⎰e max{x
D
2
, y 2}
dxdy =⎰dx ⎰e x dy +⎰d y ⎰e y dx =e -1
11y
2
15、计算二重积分⎰⎰
D
x +y
dxdy ，D ：x 2+y 2≤1, x +y ≥1. 22
x +y
π
1x +y r (cosθ+sin θ) 4-π2d θ 解：⎰⎰2= dxdy =122⎰02r cos θ+sin θD x +y
§ 3 三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰xdxdydz 为
Ω
( )
A ⎰dx ⎰d y ⎰
1
1
1-x -2y 0
xdz B ⎰dx ⎰
1
1-y 20
dz ⎰
1-x -2y
xdy
C ⎰dx ⎰
1
1-x 20
dy ⎰
1-x -2y
2
2
xdz D ⎰dx ⎰dy ⎰xdz
111
2、设Ω是由曲面x +y=2z, 及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz 表示为累次积分，I=（ ）
Ω
A ⎰d θ⎰d ρ⎰2f(ρcos θ, ρsin θ, z)dz B ⎰d θ⎰d ρ⎰2f(ρcos θ, ρsin θ, z) ρdz
2π1
ρ2
2π2
ρ2
C ⎰d θ⎰d ρρ2f(ρcos θ, ρsin θ, z) ρdz D ⎰d θ⎰d ρ⎰f(ρcos θ, ρsin θ, z) ρdz
2
2π222π22
000
3、设Ω是由x 2+y 2+z 2≤1所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰e |z |dv
Ω
解：⎰⎰⎰e |z |dv =⎰e |z |(
Ω
-1
1
x 2+y 2≤1-z 2
z 2
=2πe (1-z ) dz =2π dxdy ) dz ⎰⎰⎰
1
4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰xy 2z 3dxdydz
Ω
(1/364)
z ln(x 2+y 2+z 2+1)
5、设Ω是球域：x +y +z ≤1，求⎰⎰⎰dxdydz (0) 222
x +y +z +1Ω
2
2
2
6、计算⎰⎰⎰(x 2+y 2) dxdydz 其中Ω为：平面z=2与曲面x 2+y 2=2z 2所围成的
Q
64
π) 5
7、计算⎰⎰⎰x 2zdxdydz 其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
区域 (
Q
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求lim
1
解：lim 4⎰⎰⎰f (x 2+y 2+z 2dxdydz
t →0πt
x 2+y 2+z 2≤t 2
1=lim 4t →0πt
1t →0πt 4
x 2+y +z ≤t
f (x 2+y 2+z 2) dxdydz ⎰⎰⎰222
⎰
2π
d θ⎰d ϕ⎰f (r ) r 2sin ϕdr =lim
t →0
πt
4⎰r 2f (r ) dr
t
t 4
=f ' (0)
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积x 2+y 2=2x, x 2+y 2=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
113
A (π+2) B (π+2) (π+2) D π+2
424
(2) 、位于两圆ρ=2sin θ与ρ=4sin θ之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
5867
A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)
3333
(3)、由抛物面z 2+y 2=4x 和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
4557
A (, 0, 0) B (, 0, 0) C (, 0, 0) D (, 0, 0)
3443
(4)、 质量分布均匀(密度为μ) 的立方体所占有空间区
域:Ω={(x , y , z ) |0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )
124
A μμ C μ D μ
333
2、求均匀上半球体(半径为R) 的质心
813R
解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰zdv = 故质心为(0,0,R )
3V Ω8
4、 曲面z =13-x 2-y 2将球面x 2+y 2+z 2=25分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s2, s3, 求s 1:s2:s3
55
解：S 1=⎰⎰dxdy =10π S 3=⎰⎰=20π
2222
25-x -y 25-x -y x 2+y ≤9x 2+y ≤16
S 2=70π
5、求曲面Rz =xy 包含在圆柱x 2+y 2=R 2内部的那部分面积 解：S =
x 2+y ≤R 2
⎰⎰
R 2+x 2+y 22(22-1) πR 2
=
R 3
6、求圆柱体x 2+y 2≤2Rx 包含在抛物面x 2+y 2=2Rz 和xoy 平面之间那部分立
体的体积
123πR 32
(x +y ) dxdy = 解：V =⎰⎰ 2R 4x 2+y ≤2Rx 第九章 自测题
一、选择题: （40分） 1、⎰dx ⎰
01
1-x 0
f (x , y ) dy =( )
1-x 0
A⎰dy ⎰f (x , y ) dx B ⎰dy ⎰
01
1
01
111-x
C ⎰dy ⎰f (x , y ) dx ⎰dy ⎰
01-y
f (x , y ) dx f (x , y ) dx .
D
2、设D 为x 2+y 2≤a 2, 当a =( ) 时, ⎰⎰a 2-x 2-y 2dxdy =π. A 1 B 331 C D 242
3、设I =⎰⎰(x 2+y 2) dxdy , 其中D 由x 2+y 2=a 2所围成, 则I =( B ).
D
A ⎰d θ⎰a rdr =πa B⎰d θ⎰r 2⋅rdr =
2
4
2πa 2πa
14
πa ; 2
2πa 2πa 2
C⎰d θ⎰r 2dr =πa 3 D⎰d θ⎰a 2⋅adr =2πa 4.
00003
4、设Ω是由三个坐标面与平面x +2y -z =1所围成的空间区域, 则
⎰⎰⎰xdxdydz =( ).
Ω
1111 B - C D - .
24482448
z 2x 2y 2
5 、设Ω是锥面2=2+2(a >0, b >0, c >0) 与平面x =0, y =0, z =c 所围成的
c a b
xy
空间区域在第一卦限的部分, 则⎰⎰⎰dxdydz =( ).
z Ω
1111
Aa 2b 2c B a 2b 2b C b 2c 2a D c ab .
36363636
6、计算I =⎰⎰⎰zdv , Ω为z 2=x 2+y 2, z =1围成的立体, 则正确的为( )和（）
A
Ω
A I =⎰d θ⎰rdr ⎰zdz I =⎰d θ⎰rdr ⎰zdz C I =⎰d θ⎰dz ⎰rdr D I =⎰dz ⎰d θ⎰zrdr .
r
2π112π11
02π0101
1
02π
r
z
7、曲面z =x 2+y 2包含在圆柱x 2+y 2=2x 内部的那部分面积s =( )
A 3π B 2π C π D 22.
8、由直线x +y =2, x =2, y =2所围成的质量分布均匀(设面密度为μ) 的平面薄板, 关于x 轴的转动惯量I x =( ).
A 3μ B 5μ C 4μ D 6μ
二、计算下列二重积分:（20分）
1、⎰⎰(x 2-y 2) d σ, 其中D 是闭区域:0≤y ≤sin x , 0≤x ≤π. (π2-
D
40) 9
2、⎰⎰arctan d σ, 其中D 是由直线y =0及圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1, y =x 所围
D
y x
成的在第一象 限内的闭区域 . (
32
π) 64
3、⎰⎰(y 2+3x -6y +9) d σ, 其中D 是闭区 域:x 2+y 2≤R 2 (
D
π
4
R 4+9πR 2)
4、⎰⎰x 2+y 2-2d σ, 其中D :x 2+y 2≤3. (
D
5π. ) 2
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
1、⎰dy ⎰
12y
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰
1
33-y
f (x , y ) dx (⎰dx x
23-x
f (x , y ) dy )
2
2y -y 2
2
2、⎰dx 0
1
1+1-x 2f (x , y ) dy (⎰dy ⎰
0a 0
1
y 2
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰
1
f (x , y ) dx )
3、⎰d θ⎰f (r cos θ, r sin θ) rdr (⎰d θ⎰f (r cos θ, r sin θ) rdr )
a θθ
四、计算下列三重积分:（15分）
1、⎰⎰⎰y cos(x +z ) dxdydz , Ω:抛物柱面y =x 及平面y =o , z =o , x +z =
Ω
π
2
所围
成的区域 (
1
-) 162
2、⎰⎰⎰(y 2+z 2) dv , 其中Ω是由xoy 平面上曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面与
Ω
π2
250
π) 3
x y z
五、（5分）求平面++=1被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
a b c
122
a b +b 2c 2+c 2a 2) (2
六、（5分）设f (x ) 在[0, 1]上连续, 试证:
11y 113
f (x ) f (y ) f (z ) dxdydz =[f (x ) dx ] ⎰0⎰x ⎰x ⎰06
平面x =5所围 (
F (x ) =⎰f (t ) dt , 则F '(x ) =f (x )
x
且F (t ) =⎰f (x ) dx , F (0) =0
1
1x
⎰0⎰x ⎰x f (x ) f (y ) f (z ) dxdydz =⎰f (x ) dx ⎰f (y )[F (y ) -F (x )]dy =
11y
1
1
⎰
11111
f (x ){[(F 2(1) -F 2(x )]-F (x ) F (1) +F 2(x )}dx =F 3(1) +F 3(1) -F 3(1) =F 3(1)
22626
重积分
§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
I =⎰⎰x 2+y 2dxdy 其中D 为：x 2+y 2≤4
D
( I =⎰⎰x 2+y 2dxdy =π. 4. 2-. π. 4. 2=
D
1316
π) 3
2、设D 为圆域x 2+y 2≤a 2, a >0, 若积分
⎰⎰
D
π=a -x -y dxdy 12，求a 的值。
2
2
2
解：
⎰⎰
D
3
a -x -y dxdy =2. 3π. a a =8
2
2
2
141
3、设D 由圆(x -2) 2+(y -1) 2=2围成, 求⎰⎰3dxdy
D
解：由于D 的面积为2π, 故⎰⎰3dxdy =6π
D
4、设D ：{(x , y ) |3≤x ≤5, 0≤y ≤1}，
I 1=⎰⎰ln(x +y ) dxdy , I 2=⎰⎰[ln(x +y )]2dxdy ，比较I 1, 与I 2的大小关系
D
D
解：在D 上，ln(x +y ) ≤ [ln(x +y )]2, 故I 1≤I 2
5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x 2+y 2=1, 和曲面z =[f (xy )]2所围的
立体的体积，可用二重积分表示为V =⎰⎰[f (xy )]2dxdy
D :x 2+y 2≤1
6、根据二重积分的性质估计下列积分的值
⎰⎰sin 2x sin 2ydxdy D :0≤x ≤π, 0≤y ≤π
D
(0≤
22sin x sin ydxdy ≤π2) ⎰⎰D
7、设f(x,y)为有界闭区域D ：x 2+y 2≤a 2上的连续函数，求 lim
1
a →0πa 2
⎰⎰f (x , y ) dxdy
D
解：利用积分中值定理及连续性有lim
1a →0πa 2
⎰⎰f (x , y ) dxdy =lim f (ξ, η) =f (0, 0)
D 8
a →0
§ 2 二重积分的计算法
x
dxdy ，其中D 是由抛物线y =x 2+1与直线y=2x，x=0所围成的区y +1D
域，则I=（ ）
7191
A ： -ln 3-ln 2+ B ： ln 3+ln 2-
8282
9191
C ： ln 3-ln 2- D ： ln 3-ln 2-
8482
2、设D 是由不等式x +y ≤1所确定的有界区域，则二重积分⎰⎰(x +y ) dxdy 为
1、设I =⎰⎰
D
（ ）
12
A ：0 B： C ： D： 1
33
3、设D 是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ⎰⎰ye xy dxdy 为（ ）
D
1111
A：e 4-e 2-e B ：e 4-e 2+e -e 2
2222
111
C ：e 4+e e 4-e 2
222
1
4、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分⎰dx ⎰
-1
+x 2
x +1
f (x , y ) dy 为（ ）
1
y -1
A ⎰0dy ⎰-1f (x , y ) dx +⎰1dy ⎰-1
C ⎰0dy ⎰-1f (x , y ) dx +⎰1dy ⎰-1
1
y -1
2
1y -12
y 2-1
f (x , y ) dx B ⎰0dy ⎰-1f (x , y ) dx
-y 2-1
f (x , y ) dx D ⎰0dy ⎰-1
2
-y 2-1
f (x , y ) dx
5、设有界闭域D 1、D 2关于oy 轴对称，f 是域D=D1+D2上的连续函数，则二重
积分⎰⎰f (x 2y ) dxdy 为（ ）
D
A 2⎰⎰f (x 2, y ) dxdy B 4⎰⎰f (x 2, y ) dxdy
D 1
D 2
C 4⎰⎰f (x 2, y ) dxdy D
D 1
12
f (x , y ) dxdy ⎰⎰2D 2
6、设D 1是由ox 轴、oy 轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f 是域D:|x|+|y|≤1
上的连续函数，则二重积分⎰⎰f (x 2y 2) dxdy 为（ ）
D
A2⎰⎰f (x 2, y 2) dxdy 4⎰⎰f (x 2, y 2) dxdy
D 1
D 1
C 8⎰⎰f (x 2, y 2) dxdy D
D 1
122
f (x , y ) dxdy ⎰⎰2D 1
7、. 设f(x,y)为连续函数，则⎰dx ⎰f (x , y ) dy 为( )
a x
A ⎰dy ⎰f (x , y ) dx B ⎰dy ⎰f (x , y ) dx
y
a
a a a y
C ⎰dy ⎰f (x , y ) dx D ⎰dy ⎰f (x , y ) dx
a y a x
8、求 I =⎰⎰
D
3
x 29dxdy D : ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. () 2
4y
ln x
9、设I=⎰dx ⎰
1
I=⎰dx ⎰
1
3
ln x
f (x , y ) dy , 交换积分次序后I 为：
ln 3
3
e
f (x , y ) dy =⎰dy ⎰y f (x , y ) dx
2
x
4
4-x
20
10、改变二次积分的次序： ⎰0dx ⎰0f (x , y ) dy +⎰2dx ⎰0f (x , y ) dy = ⎰x dx ⎰
1x
2
x
1y 2
dx
11、设 D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} ,求⎰⎰e x +y dxdy 的值
D
解：⎰⎰e
D
x +y
dxdy =⎰dx ⎰e
1l 1
x +y
dy =(⎰e dx )(⎰e y dy ) =(e -1) 2
1
x
1
1
12设 I=⎰⎰R 2-x 2-y 2dxdy , 其中D 是由x 2+y2=Rx所围城的区域，求I (πR 3)
3D
13、计算二重积分⎰⎰|x 2+y 2-4|dxdy ，其中D 是圆域x 2+y 2≤9
D
解：⎰⎰|x 2+y 2-4|dxdy =⎰d θ⎰(4-r 2) rdr +⎰d θ⎰(r 2-4) rdr =
D
2
2π22π3
41π 2
14、计算二重积分⎰⎰e
D
max{x 2, y 2}
dxdy ，其中D={(x,y)| 0≤x ≤1,0≤y ≤1}
x
2
解： ⎰⎰e max{x
D
2
, y 2}
dxdy =⎰dx ⎰e x dy +⎰d y ⎰e y dx =e -1
11y
2
15、计算二重积分⎰⎰
D
x +y
dxdy ，D ：x 2+y 2≤1, x +y ≥1. 22
x +y
π
1x +y r (cosθ+sin θ) 4-π2d θ 解：⎰⎰2= dxdy =122⎰02r cos θ+sin θD x +y
§ 3 三重积分
1、设Ω是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则⎰⎰⎰xdxdydz 为
Ω
( )
A ⎰dx ⎰d y ⎰
1
1
1-x -2y 0
xdz B ⎰dx ⎰
1
1-y 20
dz ⎰
1-x -2y
xdy
C ⎰dx ⎰
1
1-x 20
dy ⎰
1-x -2y
2
2
xdz D ⎰dx ⎰dy ⎰xdz
111
2、设Ω是由曲面x +y=2z, 及z=2所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三重积分⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz 表示为累次积分，I=（ ）
Ω
A ⎰d θ⎰d ρ⎰2f(ρcos θ, ρsin θ, z)dz B ⎰d θ⎰d ρ⎰2f(ρcos θ, ρsin θ, z) ρdz
2π1
ρ2
2π2
ρ2
C ⎰d θ⎰d ρρ2f(ρcos θ, ρsin θ, z) ρdz D ⎰d θ⎰d ρ⎰f(ρcos θ, ρsin θ, z) ρdz
2
2π222π22
000
3、设Ω是由x 2+y 2+z 2≤1所确定的有界闭域，求三重积分⎰⎰⎰e |z |dv
Ω
解：⎰⎰⎰e |z |dv =⎰e |z |(
Ω
-1
1
x 2+y 2≤1-z 2
z 2
=2πe (1-z ) dz =2π dxdy ) dz ⎰⎰⎰
1
4、设Ω是由曲面z=xy, y=x, x=1 及z=0所围成的空间区域，求⎰⎰⎰xy 2z 3dxdydz
Ω
(1/364)
z ln(x 2+y 2+z 2+1)
5、设Ω是球域：x +y +z ≤1，求⎰⎰⎰dxdydz (0) 222
x +y +z +1Ω
2
2
2
6、计算⎰⎰⎰(x 2+y 2) dxdydz 其中Ω为：平面z=2与曲面x 2+y 2=2z 2所围成的
Q
64
π) 5
7、计算⎰⎰⎰x 2zdxdydz 其中Ω是由平面z=0,z=y,y=1以及y=x2所围成的闭区域
区域 (
Q
(2/27))
8、设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0,求lim
1
解：lim 4⎰⎰⎰f (x 2+y 2+z 2dxdydz
t →0πt
x 2+y 2+z 2≤t 2
1=lim 4t →0πt
1t →0πt 4
x 2+y +z ≤t
f (x 2+y 2+z 2) dxdydz ⎰⎰⎰222
⎰
2π
d θ⎰d ϕ⎰f (r ) r 2sin ϕdr =lim
t →0
πt
4⎰r 2f (r ) dr
t
t 4
=f ' (0)
§4 重积分的应用
1、(1)、由面积x 2+y 2=2x, x 2+y 2=4x,y=x,y=0所围成的图形面积为（ ）
113
A (π+2) B (π+2) (π+2) D π+2
424
(2) 、位于两圆ρ=2sin θ与ρ=4sin θ之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
5867
A (0,) B (0,) C (0,) D (0,)
3333
(3)、由抛物面z 2+y 2=4x 和平面x=2所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是 （ ）
4557
A (, 0, 0) B (, 0, 0) C (, 0, 0) D (, 0, 0)
3443
(4)、 质量分布均匀(密度为μ) 的立方体所占有空间区
域:Ω={(x , y , z ) |0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 该立方体到oz 轴的转动惯量I Z =( )
124
A μμ C μ D μ
333
2、求均匀上半球体(半径为R) 的质心
813R
解：显然质心在z 轴上，故x=y=0,z=⎰⎰⎰zdv = 故质心为(0,0,R )
3V Ω8
4、 曲面z =13-x 2-y 2将球面x 2+y 2+z 2=25分割成三部分，由上至下依次记 这三部分曲面的面积为 s 1, s2, s3, 求s 1:s2:s3
55
解：S 1=⎰⎰dxdy =10π S 3=⎰⎰=20π
2222
25-x -y 25-x -y x 2+y ≤9x 2+y ≤16
S 2=70π
5、求曲面Rz =xy 包含在圆柱x 2+y 2=R 2内部的那部分面积 解：S =
x 2+y ≤R 2
⎰⎰
R 2+x 2+y 22(22-1) πR 2
=
R 3
6、求圆柱体x 2+y 2≤2Rx 包含在抛物面x 2+y 2=2Rz 和xoy 平面之间那部分立
体的体积
123πR 32
(x +y ) dxdy = 解：V =⎰⎰ 2R 4x 2+y ≤2Rx 第九章 自测题
一、选择题: （40分） 1、⎰dx ⎰
01
1-x 0
f (x , y ) dy =( )
1-x 0
A⎰dy ⎰f (x , y ) dx B ⎰dy ⎰
01
1
01
111-x
C ⎰dy ⎰f (x , y ) dx ⎰dy ⎰
01-y
f (x , y ) dx f (x , y ) dx .
D
2、设D 为x 2+y 2≤a 2, 当a =( ) 时, ⎰⎰a 2-x 2-y 2dxdy =π. A 1 B 331 C D 242
3、设I =⎰⎰(x 2+y 2) dxdy , 其中D 由x 2+y 2=a 2所围成, 则I =( B ).
D
A ⎰d θ⎰a rdr =πa B⎰d θ⎰r 2⋅rdr =
2
4
2πa 2πa
14
πa ; 2
2πa 2πa 2
C⎰d θ⎰r 2dr =πa 3 D⎰d θ⎰a 2⋅adr =2πa 4.
00003
4、设Ω是由三个坐标面与平面x +2y -z =1所围成的空间区域, 则
⎰⎰⎰xdxdydz =( ).
Ω
1111 B - C D - .
24482448
z 2x 2y 2
5 、设Ω是锥面2=2+2(a >0, b >0, c >0) 与平面x =0, y =0, z =c 所围成的
c a b
xy
空间区域在第一卦限的部分, 则⎰⎰⎰dxdydz =( ).
z Ω
1111
Aa 2b 2c B a 2b 2b C b 2c 2a D c ab .
36363636
6、计算I =⎰⎰⎰zdv , Ω为z 2=x 2+y 2, z =1围成的立体, 则正确的为( )和（）
A
Ω
A I =⎰d θ⎰rdr ⎰zdz I =⎰d θ⎰rdr ⎰zdz C I =⎰d θ⎰dz ⎰rdr D I =⎰dz ⎰d θ⎰zrdr .
r
2π112π11
02π0101
1
02π
r
z
7、曲面z =x 2+y 2包含在圆柱x 2+y 2=2x 内部的那部分面积s =( )
A 3π B 2π C π D 22.
8、由直线x +y =2, x =2, y =2所围成的质量分布均匀(设面密度为μ) 的平面薄板, 关于x 轴的转动惯量I x =( ).
A 3μ B 5μ C 4μ D 6μ
二、计算下列二重积分:（20分）
1、⎰⎰(x 2-y 2) d σ, 其中D 是闭区域:0≤y ≤sin x , 0≤x ≤π. (π2-
D
40) 9
2、⎰⎰arctan d σ, 其中D 是由直线y =0及圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1, y =x 所围
D
y x
成的在第一象 限内的闭区域 . (
32
π) 64
3、⎰⎰(y 2+3x -6y +9) d σ, 其中D 是闭区 域:x 2+y 2≤R 2 (
D
π
4
R 4+9πR 2)
4、⎰⎰x 2+y 2-2d σ, 其中D :x 2+y 2≤3. (
D
5π. ) 2
三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: （15分）
1、⎰dy ⎰
12y
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰
1
33-y
f (x , y ) dx (⎰dx x
23-x
f (x , y ) dy )
2
2y -y 2
2
2、⎰dx 0
1
1+1-x 2f (x , y ) dy (⎰dy ⎰
0a 0
1
y 2
f (x , y ) dx +⎰dy ⎰
1
f (x , y ) dx )
3、⎰d θ⎰f (r cos θ, r sin θ) rdr (⎰d θ⎰f (r cos θ, r sin θ) rdr )
a θθ
四、计算下列三重积分:（15分）
1、⎰⎰⎰y cos(x +z ) dxdydz , Ω:抛物柱面y =x 及平面y =o , z =o , x +z =
Ω
π
2
所围
成的区域 (
1
-) 162
2、⎰⎰⎰(y 2+z 2) dv , 其中Ω是由xoy 平面上曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面与
Ω
π2
250
π) 3
x y z
五、（5分）求平面++=1被三坐标面所割出的有限部分的面积 .
a b c
122
a b +b 2c 2+c 2a 2) (2
六、（5分）设f (x ) 在[0, 1]上连续, 试证:
11y 113
f (x ) f (y ) f (z ) dxdydz =[f (x ) dx ] ⎰0⎰x ⎰x ⎰06
平面x =5所围 (
F (x ) =⎰f (t ) dt , 则F '(x ) =f (x )
x
且F (t ) =⎰f (x ) dx , F (0) =0
1
1x
⎰0⎰x ⎰x f (x ) f (y ) f (z ) dxdydz =⎰f (x ) dx ⎰f (y )[F (y ) -F (x )]dy =
11y
1
1
⎰
11111
f (x ){[(F 2(1) -F 2(x )]-F (x ) F (1) +F 2(x )}dx =F 3(1) +F 3(1) -F 3(1) =F 3(1)
22626