方程与不等式
一、二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法
1、二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．
关于x 、y 的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy ＋cy2＋dx ＋ey ＋f=0(a、b 、c 至少有一个不为0) ，其中ax2、bxy 、cy2叫做二次项，a 、b 、c 分别是二次项的系数；dx 、ey 叫做一次项，d 、e 分别是一次项的系数；f 叫做常数项． 例，xy=1，x2－y=0，x －y －2xy=－3都是二元二次方程；x －y=1，x2y=0都不是二元二次方程． 2、二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键． 二、重点、难点和疑点突破
1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组) (1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程； ③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值； ⑤写出方程组的解． (2)逆用根与系数关系定理法
对“二·一”型二元二次方程组成的形如
2
的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看
成一元二次方程z -az ＋b=0的两个根，解这个方程，求得的z 1和z 2的值，就是x ，y 的值，当x 1=z1时，y 1=z2；当x 2=z2时，y 2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”．
2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 3、“二·二”型方程组的解法
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． 4、“二·二”型方程组的解的情况
由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．
值得注意的是“二·一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解．
三. 一元二次不等式的解法
1
2一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c
设相应的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，∆=b -4ac ，则不等式的解的各种情况
2
如下表：
2
【例1】（1）求关于x 的不等式m x +2>2mx +m 的解． （2）x -2x -8
解：（1）原不等式可化为：m (m -2) x >m -2
(1) 当m -2>0即m >2时，mx >1，不等式的解为x >(2) 当m -2
① 0
2
1
≤3；（4）|x +2
x -5|-|2x +3|
1； m
1； m
1； m
③ m =0时，不等式的解为全体实数．
(3) 当m -2=0即m =2时，不等式无解．
综上所述：当m 2时，不等式的解为x >不等式的解为全体实数；当m =2时，不等式无解．
11；当0
例1 解不等式：
22
（1）x ＋2x －3≤0； （2）x －x ＋6＜0；
22
（3）4x ＋4x ＋1≥0； （4）x －6x ＋9≤0；
2
（5）－4＋x －x ＜0．
例2 解关于x 的不等式x 2-x -a (a -1) >0
例3 已知不等式ax 2+bx +c 3求不等式bx +ax +c >0的解．
练习 1．解下列不等式：
22
（1）3x －x －4＞0； （2）x －x －12≤0；
22
（3）x ＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x ≤0．
22
（5）3x －2x ＋1＜0； （6）3x －4＜0；
22
（7）2x －x ≥－1； （8）4－x ≤0．
22
(9)4+3x －2x ≥0; (10)9x －12x >－4;
22
2.解关于x 的不等式x ＋2x ＋1－a ≤0（a 为常数）．
2
例1、解方程组
例3、解方程组
例4、解方程组
例5、k 为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解； (2)有两个实数解； (3)没有实数解．
例6. 解方程组⎨ 练 习
⎧xy +x =3 (1)
3xy +y =8 (2)⎩
2222⎧⎧⎪3x -2xy -y =0⎪x +2xy +y =4
解方程组：（1）⎨； （2）⎨ 22
⎪⎪(x -y ) -3(x -y ) -18=0(x -y ) +5x -5y =6⎩⎩
（3）⎨
⎧2x -y =0 (1)⎩x -y +3=0 (2)
2
2
方程与不等式
一、二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法
1、二元二次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫二元二次方程．
关于x 、y 的二元二次方程的一般形式为ax2＋bxy ＋cy2＋dx ＋ey ＋f=0(a、b 、c 至少有一个不为0) ，其中ax2、bxy 、cy2叫做二次项，a 、b 、c 分别是二次项的系数；dx 、ey 叫做一次项，d 、e 分别是一次项的系数；f 叫做常数项． 例，xy=1，x2－y=0，x －y －2xy=－3都是二元二次方程；x －y=1，x2y=0都不是二元二次方程． 2、二元二次方程组
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程组成的方程组叫二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的思想和方法
解二元二次方程组的基本思想是“转化”，将二元转化为一元，将二次转化为一次，转化的基本方法是“消元”和“降次”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键． 二、重点、难点和疑点突破
1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法(简称“二·一”型方程组) (1)代入消元法(即代入法)
代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：
①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； ②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程； ③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值； ⑤写出方程组的解． (2)逆用根与系数关系定理法
对“二·一”型二元二次方程组成的形如
2
的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x 、y 看
成一元二次方程z -az ＋b=0的两个根，解这个方程，求得的z 1和z 2的值，就是x ，y 的值，当x 1=z1时，y 1=z2；当x 2=z2时，y 2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”．
2、对“二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 3、“二·二”型方程组的解法
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”、“消元”．它的一般解法是： (1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解． (2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解． 4、“二·二”型方程组的解的情况
由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．
值得注意的是“二·一”型方程组最多有两个解；“二·二”型方程组最多有四个解．解方程组时，既不要漏解，也不要增解．
三. 一元二次不等式的解法
1
2一元二次不等式ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c
设相应的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1、x 2且x 1≤x 2，∆=b -4ac ，则不等式的解的各种情况
2
如下表：
2
【例1】（1）求关于x 的不等式m x +2>2mx +m 的解． （2）x -2x -8
解：（1）原不等式可化为：m (m -2) x >m -2
(1) 当m -2>0即m >2时，mx >1，不等式的解为x >(2) 当m -2
① 0
2
1
≤3；（4）|x +2
x -5|-|2x +3|
1； m
1； m
1； m
③ m =0时，不等式的解为全体实数．
(3) 当m -2=0即m =2时，不等式无解．
综上所述：当m 2时，不等式的解为x >不等式的解为全体实数；当m =2时，不等式无解．
11；当0
例1 解不等式：
22
（1）x ＋2x －3≤0； （2）x －x ＋6＜0；
22
（3）4x ＋4x ＋1≥0； （4）x －6x ＋9≤0；
2
（5）－4＋x －x ＜0．
例2 解关于x 的不等式x 2-x -a (a -1) >0
例3 已知不等式ax 2+bx +c 3求不等式bx +ax +c >0的解．
练习 1．解下列不等式：
22
（1）3x －x －4＞0； （2）x －x －12≤0；
22
（3）x ＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x ≤0．
22
（5）3x －2x ＋1＜0； （6）3x －4＜0；
22
（7）2x －x ≥－1； （8）4－x ≤0．
22
(9)4+3x －2x ≥0; (10)9x －12x >－4;
22
2.解关于x 的不等式x ＋2x ＋1－a ≤0（a 为常数）．
2
例1、解方程组
例3、解方程组
例4、解方程组
例5、k 为何值时，方程组
(1)有一个实数解，并求出此解； (2)有两个实数解； (3)没有实数解．
例6. 解方程组⎨ 练 习
⎧xy +x =3 (1)
3xy +y =8 (2)⎩
2222⎧⎧⎪3x -2xy -y =0⎪x +2xy +y =4
解方程组：（1）⎨； （2）⎨ 22
⎪⎪(x -y ) -3(x -y ) -18=0(x -y ) +5x -5y =6⎩⎩
（3）⎨
⎧2x -y =0 (1)⎩x -y +3=0 (2)
2
2