对流层大作业
——Mie理论的理解与介绍
学院：物理与光电工程学院
班级：071261班
学号：07126006
姓名：彭甜
指导老师：弓树宏
摘要：
本文首先推导了Mie 散射理论的基本公式，从而可以精确的计算出散射光强与各项参数之间的关系。其次用Mie 理论对微球体颗粒光散射的性质进行了理论分析与数值计算，得出了散射光分布与入射光波长、微球体颗粒半径以及微球体相对折射率之间的关系。而后，分析了Mie 散射与Rayleigh 散射光分布图之间的趋近情况对比
讨论了散射光光强大小的分布，分析了测量不同粒径的颗粒的可行性。最后，全面的给出了Mie 散射理论的应用领域。
目录
摘要····························································2目录·······························································30前言·····················································41Mie 散射的基本公式··············································52用Mie 理论对微球体颗粒光散射分析····························7
2.1入射光波长λ与光散射分布的关系·························7
2.2相对折射率m 与散射光分布的关系·····························8
2.3微球体颗粒半径与散射光分布的影响··························93分析比较Mie 散射与Rayleigh 散射光分布图·····················11
4、Mie 散射理论的应用··································134.1在生物组织上的应用······························134.2在医学上的应用······························13
4.4解释了天空为什么呈现蓝色等······························145参考文献·············································15
0前言：
光波通过透明介质时，由于介质的不均匀性，部分光波偏离原来的传播方向而向不同方向散开。这一现象称为光的散射。人类对光散射现象的认识经历了一个相当漫长的过程，法拉第、丁达尔、瑞利和爱因斯坦都对推动光散射理论的发展做出过贡献。1908年，GustavMie 通过对定态电磁波的麦克斯韦方程组求解，得到了均匀介质中球形颗粒对弹性波散射的严格解，得出了任意直径、任意成分的均匀粒子的散射规律。这就是著名的米氏理论。
Mie 散射理论在环保、能源、天文、气象、医学等领域得到了广泛应用，然而令人遗憾的是，它的解形式颇为复杂，只能通过对其中的无穷级数的有限项求和来实现对光散射中的各个物理量的数值计算。另一方面，已经有许多学者致力于非球形颗粒散射特性的理论研究，并在某些方面取得了突破性进展。
对于Mie 散射理论中Mie 散射级数的计算，它牵扯复杂的贝塞尔无穷级数，非常繁琐。几十年来，国内外学者陆续发表许多有关Mie 散射理论的数值计算方法，特别是近几年随着计算机技术的迅速发展，Mie散射理论大大提高了计算速度和准确度。然而，Mie散射理论的计算方法还不够完善，各个学者的计算结果也有很大差异，所以Mie 散射理论的计算仍然在继续探讨中。
1Mie 散射的基本公式
Mie 散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗粒在平面单色波照射下的严格数学解。由Mie 散射知道r 距离散射体p 处(点
的散射光强为：
式中λ为光波波长；I 0为入射光强；I sca 为散射光强；θ为散射角；ϕ为
偏振光的偏振角。式中和是振幅函数；a n 和b n 是与贝塞尔函数和汉克尔
函数有关的函数：式中和
和
分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔数；是和的导数；α为无因次直径
，D为颗粒的实际直径；λ是入射光的波长，m是散射颗粒相对于周围介质的折射率,它是一个复数,虚部是颗粒对光的吸收的量化。
和是散射角函数，仅与角度θ
有关。其中：
为一阶缔合勒让德函数。
由以上公式可见,Mie散射计算的关键是振幅函数和
。它们是一个无穷求和的过程，理论上无法计算。求解振幅函数的关键是计算a n 和b n 。在a n 和b
n 的表达式中，和（a）
满足下列递推关系：
这些函数的初始值为：它们与散射角有关的和满足下列递推关系式：
有了这些递推公式可以很方便地通过计算机程序求解。但是对于n 的大小,因为计算机不可能计算无穷个数据,所以n 在计算之前就要被确定。用Matlab 数值计算Mie 散射理论值得大小是很重要的方法。
当颗粒直径d 远小于入射光波长λ时，Mie散射近似为瑞丽
（Rayleigh）散射，其光强为：
2用Mie 理论对微球体颗粒光散射分析
由以上Mie 散射理论公式，利用Matlab 语言编写相应的程序可以计算出散射光强的数值结果。改变入射光波长λ、微球体颗粒半径a 、相对折射率m ，则可得出散射光强I s 的分布与它们的关系。
2.1入射光波长λ与光散射分布的关系
上图给出了在不同的入射光波长时散射光强I s 的分布曲线。由图可以
看出：入射光的波长越小，散射光能量越集中分布在散射角小的范围内；从测量的角度（横轴）来说，散射光分布越集中，观察的越清晰、采集的信号越强、测量越准确，因此实际中不应该使用红外光源。一般采用波长较短的紫光或者蓝光作为光源。
2.2相对折射率m 与散射光分布的关系
上图给出了对应于不同的折射率时散射光强I s 的分布曲线。由图可以看出，在
的影响很小。（I 0为θ=0处的光强）处，折射率的变化对光强
2.3微球体颗粒半径与散射光分布的影响
m=1.5
λ=0.442umm=1.5λ=0.1um
m=1.5λ=5.0um
由以上m=1.5,改变λ的三个图中，可看出微球体半径对散射光分布的影响。由图可以看出，对于不同的入射光波长，为颗粒的折射率在m=1.5是，随着半径的变化，散射光的分布都呈现出规律性变化，并且在处的不同直径颗粒的散射光强有较大的差异，因此改变某点光强的大小由Mie 理论的计算公式可以得到精确的微球粒子半径。
3、分析比较Mie 散射与Rayleigh 散射光分布图
通过散射光分布图乡的形状来判断颗粒的直径是一种有效且易于操作的分辨方法，但是有一定的适用范围，只有在图像形状随粒径有明显的变化时才可以用。
首先将散射光强进行归一化处理，这样可以排出散射光绝对强度的影响，只关注散射光分布图像的形状就可以。为了便于讨论，本文
在编程计算时均假设入射光源是较为常用的波长λ=0.6328um的激光器，对于其他波长的光源，结论类似。
在d 取值2-50nm 时，Mie散射与Rayleigh 散射的图像光强分布图像很类似。上图中，左图为d=2nm的Rayleigh 散射图像，右图为d=2nm的Rayleigh 散射图像，两图几乎相同。前向散射（0-90度和270-360度）和后向散射（90-270度）基本对称。
由左图可知，在d 取50-200nm 时，
Mie 散射的光强分布图像逐渐变为
前向大于后向，当d 大于200nm 时，
大部分光散射集中在前向。
d=50、100、200nm
Mie
散射归一化场强
d=340、1000、1960nm
Mie 散射归一化场强（最大值0.5）d=340、1000、1960nmMie 散射归一化场强（最大值0.5）由以上两图可知，在d 取340-1960时，前向散射远大于后向散射，而且在后向逐渐趋于复杂的花瓣状分布。
4、Mie散射理论的应用4.1在生物组织上的应用根据等效颗粒散射模型,运用经典的Mie 理论,对生物组织的散射相函数、各向异性因子及散射系数进行了数值计算.计算结果表明:可见光照射生物组织时,各向异性因子、散射系数随等效颗粒直径增大而增大;等效颗粒直径较小时,各向异性因子、散射系数随入射光波长增大而单调减小;随着等效颗粒直径增大,各向异性因子、散射系数随入射光波长变化不再具有单调性.
4.2在医学上的应用
采用Mie 散射理论可以研究聚集和血红细胞对血浆的相对折射
率对血液光透明的影响，结果表明随着聚集的增加，光透明性增强，而聚集较低时，相对折射率也要较小才能使正向散射光强最大。这意味着可以在血液光动力学过程中满足上述条件的时间获得最优的光透明效果。
4.3可以计算大气气溶胶的光学特性在已知了某地区海域的气溶胶粒子谱分布的基础上，用Mie 散射理论可以计算该地区气溶胶粒子的光学特性，并得到气溶胶粒子的散射截面、吸收截面、消光截面与波长的关系，散射相函数以及偏振相函数，并且用实验对两个相函数加以了验证。此结论为研究大气适量辐射传输提供了很好的方法；尤其偏振相函数的提出为今后用偏振的方法研究大气提供了理论依据。
4.4解释了天空为什么呈现蓝色等
米氏(G．Mie)于1908年对任一尺度的粒子的散射问题进行了精确的计算，结果表明当粒子半径r1．4um，在可见光围内散射与波长无关。
5、参考文献
[1]BornM,Wolf E.光学原理[M].第六版.北京科学出版社，1985.Born M,Wolf E.Principles of Optics[M].Beijing
Science Press,1985.(inChinese)
[2]郭硕鸿.电动力学[M].第二版.北京高等教育出版社，1997.Guo shuo-hong.Electrodynamics[M].Thesecond
Edition.Beijing science press,1985.(inChinese)
[3]梁昆淼，数学物理方法[M].第三版，北京高等教育出版社，1998.Liang kun-miao.Mathematical Methods of Physics[M].
The Third Edition.Beijing Higher Education Press,1998. (inChinese)
[4]FletcherD A,Goodson K E,Kino G S.Focusing in
microlenses close to a wavelength in diameter[J].
[5]YounanB Y,Byron Gates,Yadong Yin,et al.Monodi-spersed colloidal spheres:oldmaterials with
new applications[J].
[6]MieG.Beitrage zur optik truber medien speziel koll-oidaler metallosungen[J].AnnPhys,1908,25(4):377-445.
[7]LeungTsang,Jin Au Kong,Kung-Hau Ding.Scattering
of Electomagnetic Wave[M].NewYork:JOHN&SONS Inc, 2001,1-52.
[8]Vande Hulst H C.Lighe Scattering by Small Particles[M].New York:JOHN&SONS Inc,1957,28-102.
[9]BohrenC F,Huffman D R.Absorption and Scattering of Light by small Particles[M].NewYork:JOHN&SONSInc,1983,1-165.
[10]BornM,Wolf E.Principles of Optics.6th ed[M].Cambridge:
Cambridge University Press,1980,633-664.
[11]SunQiang,Wang Zhao-qi,Liu Hong-bo,et.Optical system of
Harmonic diffractive/refractivefor infrared dual color Detector[J].
[12]WayanSudiarta,Petr Chylek.Mie-scattering formalism for
Spherical particles embedded in an absorbing medium[J].JOpt Soc Am,2001,18(6);1275-1278.
[13]RENZhi-bin,Lu Zhen-wu,LIu Yu-Ling,et al.Study of Mie
normalized scattered intensity distributions[J].JournalOf optoelectronics.Laser.
对流层大作业
——Mie理论的理解与介绍
学院：物理与光电工程学院
班级：071261班
学号：07126006
姓名：彭甜
指导老师：弓树宏
摘要：
本文首先推导了Mie 散射理论的基本公式，从而可以精确的计算出散射光强与各项参数之间的关系。其次用Mie 理论对微球体颗粒光散射的性质进行了理论分析与数值计算，得出了散射光分布与入射光波长、微球体颗粒半径以及微球体相对折射率之间的关系。而后，分析了Mie 散射与Rayleigh 散射光分布图之间的趋近情况对比
讨论了散射光光强大小的分布，分析了测量不同粒径的颗粒的可行性。最后，全面的给出了Mie 散射理论的应用领域。
目录
摘要····························································2目录·······························································30前言·····················································41Mie 散射的基本公式··············································52用Mie 理论对微球体颗粒光散射分析····························7
2.1入射光波长λ与光散射分布的关系·························7
2.2相对折射率m 与散射光分布的关系·····························8
2.3微球体颗粒半径与散射光分布的影响··························93分析比较Mie 散射与Rayleigh 散射光分布图·····················11
4、Mie 散射理论的应用··································134.1在生物组织上的应用······························134.2在医学上的应用······························13
4.4解释了天空为什么呈现蓝色等······························145参考文献·············································15
0前言：
光波通过透明介质时，由于介质的不均匀性，部分光波偏离原来的传播方向而向不同方向散开。这一现象称为光的散射。人类对光散射现象的认识经历了一个相当漫长的过程，法拉第、丁达尔、瑞利和爱因斯坦都对推动光散射理论的发展做出过贡献。1908年，GustavMie 通过对定态电磁波的麦克斯韦方程组求解，得到了均匀介质中球形颗粒对弹性波散射的严格解，得出了任意直径、任意成分的均匀粒子的散射规律。这就是著名的米氏理论。
Mie 散射理论在环保、能源、天文、气象、医学等领域得到了广泛应用，然而令人遗憾的是，它的解形式颇为复杂，只能通过对其中的无穷级数的有限项求和来实现对光散射中的各个物理量的数值计算。另一方面，已经有许多学者致力于非球形颗粒散射特性的理论研究，并在某些方面取得了突破性进展。
对于Mie 散射理论中Mie 散射级数的计算，它牵扯复杂的贝塞尔无穷级数，非常繁琐。几十年来，国内外学者陆续发表许多有关Mie 散射理论的数值计算方法，特别是近几年随着计算机技术的迅速发展，Mie散射理论大大提高了计算速度和准确度。然而，Mie散射理论的计算方法还不够完善，各个学者的计算结果也有很大差异，所以Mie 散射理论的计算仍然在继续探讨中。
1Mie 散射的基本公式
Mie 散射理论是麦克斯韦方程对处在均匀介质中的均匀颗粒在平面单色波照射下的严格数学解。由Mie 散射知道r 距离散射体p 处(点
的散射光强为：
式中λ为光波波长；I 0为入射光强；I sca 为散射光强；θ为散射角；ϕ为
偏振光的偏振角。式中和是振幅函数；a n 和b n 是与贝塞尔函数和汉克尔
函数有关的函数：式中和
和
分别是贝塞尔函数和第一类汉克尔数；是和的导数；α为无因次直径
，D为颗粒的实际直径；λ是入射光的波长，m是散射颗粒相对于周围介质的折射率,它是一个复数,虚部是颗粒对光的吸收的量化。
和是散射角函数，仅与角度θ
有关。其中：
为一阶缔合勒让德函数。
由以上公式可见,Mie散射计算的关键是振幅函数和
。它们是一个无穷求和的过程，理论上无法计算。求解振幅函数的关键是计算a n 和b n 。在a n 和b
n 的表达式中，和（a）
满足下列递推关系：
这些函数的初始值为：它们与散射角有关的和满足下列递推关系式：
有了这些递推公式可以很方便地通过计算机程序求解。但是对于n 的大小,因为计算机不可能计算无穷个数据,所以n 在计算之前就要被确定。用Matlab 数值计算Mie 散射理论值得大小是很重要的方法。
当颗粒直径d 远小于入射光波长λ时，Mie散射近似为瑞丽
（Rayleigh）散射，其光强为：
2用Mie 理论对微球体颗粒光散射分析
由以上Mie 散射理论公式，利用Matlab 语言编写相应的程序可以计算出散射光强的数值结果。改变入射光波长λ、微球体颗粒半径a 、相对折射率m ，则可得出散射光强I s 的分布与它们的关系。
2.1入射光波长λ与光散射分布的关系
上图给出了在不同的入射光波长时散射光强I s 的分布曲线。由图可以
看出：入射光的波长越小，散射光能量越集中分布在散射角小的范围内；从测量的角度（横轴）来说，散射光分布越集中，观察的越清晰、采集的信号越强、测量越准确，因此实际中不应该使用红外光源。一般采用波长较短的紫光或者蓝光作为光源。
2.2相对折射率m 与散射光分布的关系
上图给出了对应于不同的折射率时散射光强I s 的分布曲线。由图可以看出，在
的影响很小。（I 0为θ=0处的光强）处，折射率的变化对光强
2.3微球体颗粒半径与散射光分布的影响
m=1.5
λ=0.442umm=1.5λ=0.1um
m=1.5λ=5.0um
由以上m=1.5,改变λ的三个图中，可看出微球体半径对散射光分布的影响。由图可以看出，对于不同的入射光波长，为颗粒的折射率在m=1.5是，随着半径的变化，散射光的分布都呈现出规律性变化，并且在处的不同直径颗粒的散射光强有较大的差异，因此改变某点光强的大小由Mie 理论的计算公式可以得到精确的微球粒子半径。
3、分析比较Mie 散射与Rayleigh 散射光分布图
通过散射光分布图乡的形状来判断颗粒的直径是一种有效且易于操作的分辨方法，但是有一定的适用范围，只有在图像形状随粒径有明显的变化时才可以用。
首先将散射光强进行归一化处理，这样可以排出散射光绝对强度的影响，只关注散射光分布图像的形状就可以。为了便于讨论，本文
在编程计算时均假设入射光源是较为常用的波长λ=0.6328um的激光器，对于其他波长的光源，结论类似。
在d 取值2-50nm 时，Mie散射与Rayleigh 散射的图像光强分布图像很类似。上图中，左图为d=2nm的Rayleigh 散射图像，右图为d=2nm的Rayleigh 散射图像，两图几乎相同。前向散射（0-90度和270-360度）和后向散射（90-270度）基本对称。
由左图可知，在d 取50-200nm 时，
Mie 散射的光强分布图像逐渐变为
前向大于后向，当d 大于200nm 时，
大部分光散射集中在前向。
d=50、100、200nm
Mie
散射归一化场强
d=340、1000、1960nm
Mie 散射归一化场强（最大值0.5）d=340、1000、1960nmMie 散射归一化场强（最大值0.5）由以上两图可知，在d 取340-1960时，前向散射远大于后向散射，而且在后向逐渐趋于复杂的花瓣状分布。
4、Mie散射理论的应用4.1在生物组织上的应用根据等效颗粒散射模型,运用经典的Mie 理论,对生物组织的散射相函数、各向异性因子及散射系数进行了数值计算.计算结果表明:可见光照射生物组织时,各向异性因子、散射系数随等效颗粒直径增大而增大;等效颗粒直径较小时,各向异性因子、散射系数随入射光波长增大而单调减小;随着等效颗粒直径增大,各向异性因子、散射系数随入射光波长变化不再具有单调性.
4.2在医学上的应用
采用Mie 散射理论可以研究聚集和血红细胞对血浆的相对折射
率对血液光透明的影响，结果表明随着聚集的增加，光透明性增强，而聚集较低时，相对折射率也要较小才能使正向散射光强最大。这意味着可以在血液光动力学过程中满足上述条件的时间获得最优的光透明效果。
4.3可以计算大气气溶胶的光学特性在已知了某地区海域的气溶胶粒子谱分布的基础上，用Mie 散射理论可以计算该地区气溶胶粒子的光学特性，并得到气溶胶粒子的散射截面、吸收截面、消光截面与波长的关系，散射相函数以及偏振相函数，并且用实验对两个相函数加以了验证。此结论为研究大气适量辐射传输提供了很好的方法；尤其偏振相函数的提出为今后用偏振的方法研究大气提供了理论依据。
4.4解释了天空为什么呈现蓝色等
米氏(G．Mie)于1908年对任一尺度的粒子的散射问题进行了精确的计算，结果表明当粒子半径r1．4um，在可见光围内散射与波长无关。
5、参考文献
[1]BornM,Wolf E.光学原理[M].第六版.北京科学出版社，1985.Born M,Wolf E.Principles of Optics[M].Beijing
Science Press,1985.(inChinese)
[2]郭硕鸿.电动力学[M].第二版.北京高等教育出版社，1997.Guo shuo-hong.Electrodynamics[M].Thesecond
Edition.Beijing science press,1985.(inChinese)
[3]梁昆淼，数学物理方法[M].第三版，北京高等教育出版社，1998.Liang kun-miao.Mathematical Methods of Physics[M].
The Third Edition.Beijing Higher Education Press,1998. (inChinese)
[4]FletcherD A,Goodson K E,Kino G S.Focusing in
microlenses close to a wavelength in diameter[J].
[5]YounanB Y,Byron Gates,Yadong Yin,et al.Monodi-spersed colloidal spheres:oldmaterials with
new applications[J].
[6]MieG.Beitrage zur optik truber medien speziel koll-oidaler metallosungen[J].AnnPhys,1908,25(4):377-445.
[7]LeungTsang,Jin Au Kong,Kung-Hau Ding.Scattering
of Electomagnetic Wave[M].NewYork:JOHN&SONS Inc, 2001,1-52.
[8]Vande Hulst H C.Lighe Scattering by Small Particles[M].New York:JOHN&SONS Inc,1957,28-102.
[9]BohrenC F,Huffman D R.Absorption and Scattering of Light by small Particles[M].NewYork:JOHN&SONSInc,1983,1-165.
[10]BornM,Wolf E.Principles of Optics.6th ed[M].Cambridge:
Cambridge University Press,1980,633-664.
[11]SunQiang,Wang Zhao-qi,Liu Hong-bo,et.Optical system of
Harmonic diffractive/refractivefor infrared dual color Detector[J].
[12]WayanSudiarta,Petr Chylek.Mie-scattering formalism for
Spherical particles embedded in an absorbing medium[J].JOpt Soc Am,2001,18(6);1275-1278.
[13]RENZhi-bin,Lu Zhen-wu,LIu Yu-Ling,et al.Study of Mie
normalized scattered intensity distributions[J].JournalOf optoelectronics.Laser.