正多面体的顶点坐标

正多面體的頂點坐標

國立台灣師範大數學系陳創義

要利用GSP來作多面體，先要從立體的基本正多面體下手，在正多面體中有許多的對稱，包括旋轉對稱、面對稱、線對稱、點對稱等，因此下列舉出旋轉對稱中的旋轉軸置於z軸時，某些較簡單形式的頂點坐標標出來，其中旋轉軸在四面體選取的有點到底面中心的連線及兩稜中點連線兩種，另外，正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體選取的有面中心到面中心的連線、稜中點到稜中點的連線、頂點到頂點的連線三種。若一線段長度為a，正射影到xy平面的長度為b，該線段正投影到z軸的長度為c，利用畢氏定理知道它們的關係是a2=b2+c2。

正四面體頂點坐標

令O(0,0),R(O,)(a,b)(acosbsin,asinbcos)表繞O旋轉角度. (一)

v1(0,0,1);v2

(二)

18181,0,);v3(R(O,120),0),);v4(R(O,240),0),). 333333

v121212121

,0);v2(,0);v3(0,);v4(0,,). 33333333

正六面體頂點坐標

(一

)

v2(v3(v4 v5v3;v6v4;v7v1;v8v2.v1 (二

)

v2(v3v4( v5v3;v6v4;v7v2;v8v1.v1 (三

)

111);v3((R(O,120);v4((R(O,240);333333

v5v4;v6v2;v7v3;v8v1.v1(0,0,1);v2

正八面體頂點坐標

(一

)

v2(R(O,120v3(R(O,240 v4v3;v5v1;v6v2.v1 (二

)

v2(v3(0,1,0);

v4v3;v5v2;v6v1.v1 (三)

v1(1,0,0);v2(0,1,0);v3(0,0,1);v4v3;v5v2;v6v1.

正十二面體的坐標

(一

)

令O(0,0),R(O,)(a,b)(acosbsin,asinbcos)表繞O旋轉

角度.v1(0,0,1);

222v2(v3(R(O,120)(v4(R(O,240)(33311

v5();v6();

3131

v7(R(O,120)();v8(R(O,120)();

66366311

v9(R(O,240)();v10(R(O,240)();

v11v8;v12v9;v13v10;v14v5;v15v6;v16v7;v17v4;v18v2;v19v3;v20v1.

(二)

v2v3v4(v5(v6v1 v7(0,

v8(0,6666v9v10v11v9;v12v10;v13v8;v14v7;v15v5;v16v6;v17v3;v18v4;v19v2;v20v1.

(三

)

c1r2c2v1(r1,0,c1);v2(R(O,72)(r1,0),c1);v3(R(O,144)(r1,0),c1);令r1

v4(R(O,216)(r1,0),c1);v5(R(O,288)(r1,0),c1);

v6(r2,0,c2);v7(R(O,72)(r2,0),c2);v8(R(O,144)(r2,0),c2); v9(R(O,216)(r2,0),c2);v10(R(O,288)(r2,0),c2);v11v9;v12v10;v13v6;v14v7;v15v8;v16v4;v17v5;v18v1;v19v2;v20v3.

正二十面體頂點坐標

(一

)

c1r2c2v1(r1,0,c1);v2(R(O,120)(r1,0),c1);v3(R(O,240)(r1,0),c1);令r1

v4(R(O,60)(r2,0),c2);v5(R(O,180)(r2,0),c2);v6(R(O,300)(r2,0),c2);v7v5;v8v6;v9v4;v10v3;v11v1;v12v2.

(二

)

v1v2(v3v5v6( v7v5;v8v6;v9v4;v10v3;v11v2;v12v1.v4(0,

(三

)

v3(R(O,72v4(R(O,144v5(R(O,216v6(R(O,288

v7v5;v8v6;v9v2;v10v3;v11v4;v12v1.v1(0,0,1);v2