2009年第36期总第74期经济研究导刊
ECONOMIC RESEARCH GUIDE
No．36，2009Serial No．74
超越数存在性证明与判断研究
张
摘
莹
（无锡机电高等职业技术学校机电工程系，江苏无锡214028）
要：由于有理数域在无限这方面存在不完备，CANTOR 构造了实数系统，使实数域完备。从而引起人们对超
CANTOR 给出了一种简单构造超越数的方法，刘维尔和林德曼也做了相越数的观察，在证明了超越数的存在性后，关研究，e 和π是目前所发现的大量超越数中最常接触到的两个。
关键词：超越数；代数数；CANTOR 证明；构造判断；超越性中图分类号：G642.0
文献标志码：A
文章编号：1673－291X（2009）36－0276-03
引言
自数起源于数，一个一个地数，也就有了自然数。然而，从人类从原始社会开始计数起，直到19世纪以前的漫长历史中，几乎没有人感到需要给数加以严格的定义。随着数学的发展———尤其是十七八世纪，数学分析蓬勃发展———到了19世纪，由于分析学本身逻辑基础不严密，在前进中出现了困境，特别是B.Bolzano ，K.Weierstrass ，B.Riemann 等人先后举出了处处连续而不可微函数的例子，使数学界大为震惊。人们感到不能把分析学的理论系统建筑在不可靠的几何与物理的直观臆想上，而必须建立在严密的逻辑基础上。也就是说，数学分析的理论奠基，必须有严格的实数理论。1889年，在意大利数学家G.Deano 给出了自然数公理的基础上，迅速地将其扩张到整数环以至扩张到有理数域。终于，在19世纪末，德国数学家G.Cantor 使用有理数基本序列建立了实数理论。在此同时，另一位德国数学家R.Dedekind 用有理数的分割从另一侧面对实数进行了构造。
n
-q 0|+|qm -q 0|
现在要问：“如果｛q n ｝是一个有理数基本序列，是否也一
序列。
回答是否定的。定收敛到一个确定的有理数呢？”
考察有理数基本序列{q n *}，其中：q n *=1+1+1+
1+……1，n=1,2,3,......这里给出的{q n *}是一个有理数的
基本序列，但是不收敛于任何一个有理数。
（二）CANTOR 实数系统的构造
正因为有理数域有着本质上的缺隙———“不完备”性，就决定了有理数域不能作为分析学立论的基础，而必须寻求新的数系来满足严格的分析学立论的逻辑基础的需要。下面就对实数的Cantor 构造加以阐述。
1. 在全体有理数基本序列｛q n ｝所组成的集合M 上引入｝与｛q n （2）｝都是有下述定义：有理数基本序列的等价：设｛q n （1））=0。就称｛q n （1）｝与｛q n （2））｝理数基本序列，如果lim （q n （1）-q n （2）
n →∞
一、实数系统的构造
（一）有理数域的不完备性
有理数域是一个对加、乘及其运算的逆—减与除四种运算封闭的、稠密的有序域，如果从有限的算术角度看，有理数域已是很完美的数系了。但是，从分析方面考虑，分析学的最基本的极限运算下，有理数域却不是一个封闭的数域，也就是说，有理数域是“不完备”的。可以证明一个收敛的有理数序列，一定是有理数基本序列。事实上，若lim q n =q0，则对任给
n →∞
是等价的。记为｛q n （1）｝～｛q n （2）｝。
2. 实数定义：有理数基本序列的集合M 按等价关系“～”划分的每一个等价类称为一个实数。我们用R 表示全体实数的集合。
3. 有理实数：设q 0是一个有理数，则每一项都等于q 0的序列｛q 0（n ）｝确定一个M 的等价类。这个类里的任一有理数基可把该等价类看成是由有理数本序列都以q 0为极限。从而，
q 0生成的，它所确定的实数就称为有理实数。
4. 无理实数：如果有理数基本序列｛q n ｝没有有理数的极限，就称以它为代表的等价类所确定的实数是无理实数。例
的正有理数ε，都有自然数n 0，当自然数n>n0时，有|q n -q 0|于是，当n>n0，m>n0时，有|qn -q m |=|q n -q 0+q0-q m |
收稿日期：2009-06-28
作者简介：赵艳（1971-），女，黑龙江佳木斯人，工作人员，从事财政学研究。
—276—
如，有理序列｛q n *｝，其中q n *=1+1+1+1+……1
的等价类所确定的实数，就是无理实数一自然对数的底e 。
5. 实数的加法与乘法：设实数α、β是以有理数基本序列｛q n （1）｝与｛q n （2）｝为代表的等价类，称以｛q n （1）+qn （2）｝及｛q n （1）·q n （2）｝为代表的有理数基本序列的等价类分别为实数α同β的和与乘积，记作α+β与α·β。
6. 正有理数基本序列：有理数基本序列｛g n ｝称为是正的，不如果存在正有理数ε0和自然数n 0，使自然数n ≥n 0时，等式g n ≥ε0成立。
7. 正实数：由正有理数基本序列等价类所确定的实数称为正实数。记全体正实数的集合为R+。由上述构造的实数集R 关于加法运算是一Abel 群。
我们以Q 记为R 中全体有理实数组成的集合，显然Q
*
*
是否是完备的呢？经过证明得到的回答是肯定的。
二、代数数与超越数
（一）超越数存在性的CANTOR 证明
CANTOR 对超越数存在性的证明主要是基于以下事实，即实代数数是组成了一个可数集合，而实超越数集是不可数的。
所以我们有以下命题：实代数数集可以与正整数集建立一一对应的关系，或者说实代数数集与正整数集具有相同的势。
考虑所有代数数组成的集合，即所有形如a 0x +a1x +……+an-1ω+an =0，（其中a i 互素，a 0为正，且方程式不可约）方程的实根。定义方程的高度N ，N=n-1+a 0+a 1+……a n ，其中a i 表示a i 的绝对值。对于给定的一个N ，有有限多个代数方程与它对应。在这些方程中，我们除去那些可约的方程。因为与N 的一个给定值相对应的方程个数是有限的，故相应地也只有有限多个代数数，我们用φ（N ）来表示N 对应的代数数的个数。
现在根据N 和每个N 对应的代数数按顺序排列，我们就可以得到代数数集与正整数集的一一对应关系，即证明了代数数是可数的。
现在我们考察以下命题：在数轴上的任一小段上，总有无限多个不属于给定可数集的点，即由数轴上一小段所表示数值的连续统，其势大于任何给定可数集的势。这个命题间接地说明了超越数的存在性，只需要把命题中的可数集取为
n
n-1
是R 的子域。设q 是任一有理数，q *是其对应的有理实数，做映射：σ：q →q*，其中q ∈Q ，q*∈Q*；则有：σ（q 1+q2）=（q 1+q2）*=q 1*+q2*=σ（q 1）+σ（q 2）；σ（q 1·q 2）=（q 1·q 2）*=q 1*·q 2*=σ［q 1］·σ［q 2］，故σ是同构映射。如果q 10，所以σ［q 2］-σ［q 1］=σ［q 2-q 1］=［q 2*-q 1*］=（q 2-q 1）
+
*
∈R ，即σ［q 2］>σ［q 1］，从而σ是保序映射。可见有理数域Q 与实数域R 的一个子域Q 同构，因此，实数域是有理数域的扩张。
经过前面构造扩充后的实数域R 是否可以弥补原有理实数域R 数域Q 关于极限运算不封闭的缺隙呢？也就是说，
*
α0||
12
1212
3
1
10211321
2
211
3
……
……
1……
α1||[1**********]0……
α2||0
α3||α4||
…方程X=0--x ±1=0
φ（N ）12
根0-1+1
--2x ±1=0x ±2=0
4
-2-+1+2
1
0010……
0……
……
……
----……
……
……
代数数集就可以了。
为了证明这个命题，我们构造如下的代数数表。其中，所有的代数数都用十进制小数形式表示，则没有一个数是会以9的无限序列结尾；因为等式：1=0.9999999……99……表明这样的数是个完整的十进制数。如果我们能构造一个十进制小数，它在上表中找不到，且不以9的无线数结尾，则这个数必定是个超越数。利用CANTOR 指出的简单办法，我们能找出不只一个这样的数。例如，假设一个超越
数的前五位小数已被给定，CANTOR 的方法如下：它的第六位小数取为非9的且与第一个代数数的第六位小数不同的数；第七位小数取非9的且与第二个代数数的第七位小数不同的数；如此类推，用这种方法，我们就得到一个十进制小数，它不以9的无限序列结尾，也不包含在上表中。这样，命题得证，即超越数是存在的！
（二）刘维尔数
早在CANTOR 之前，法国数学家刘维尔就通过构造的方
—277—
法从另一个角度说明了超越数的存在性，即他通过代数数的一个有理逼近性质，构造了一个的超越数，其构造方法如下：
如果ξ是一个n 次实代数数，则只存在有限个有理数p 满足ξ-p
燮1q 叟0），该性质给出了实代数数必须n+1
q
∞
于是e 是超越数，但e =cosπ+isinπ=-1是一个代数数，矛盾，所以π是一个超越数。
推论2：设α是代数数，α≠0，则sin α，cos α，tg α都是超越数。
证明：设sin α是代数数，因为α是代数数，所以i α，2isin α都是代数数。
由：sin α=e -e
sin α是超越数。
同理可证明：cos α，tg α都是超越数。
推论3：设α是代数数，若α≠1且α≠0，则ln α是超则arcsin α，arctg α为超越数；若α≠1，则越数；若α≠0，arccos α是超越数。
证明：设ln α是代数数，令β=ln α且β≠0，则有e =α是超越数，与题设矛盾，命题得证。
同理可证明arctg α（α≠0），arccos α（α≠1）的超越性。
β
i α
-i α
i πi π
满足的一个条件，凡不满足这个条件的实数一定是超越数。刘维尔根据这一原理，构造了第一个超越数：ξ=Σ10
k =1
-k ！
。
圯e -e
i α-i α
-（2isin α）·e =0
（三）几个常见的超越数1. 超越数e
1873年，法国数学家厄米尔特应用微积分的工具证明了e 是一个超越数，他的主要证明思想略。
2. 超越数π
1882年，林德曼证明了π的超越性，他的主要证明过程略。
3. 一个定理及其关于超越数的推论
我们首先给出一个定理：设α1，α2，...... ，αm 是m 个α2，...... ，αm 满足互异的代数数，如果有m 个代数数α1，
m
其中：1，-1，-2isin α均是代数数，不全为零，矛盾，所以
Σαe
i =1
i
αi
=0，则αi =0，i=1，2，...... ，m 。
结论
尽管从超越数被发现以来，数学家们发现了大量的超越数，以及判断和构造超越数的方法，但我们至今仍然没有能虽然我们证够判别所给数的超越性的具体方法，比如e+π，明了e 和π都是超越数，但我们不能判别e+π到底是代数数还是超越数。再比如欧拉常数：C=lim（1+1+1+…+1+
n →∞…-lnn ），我们甚至不能判断它是有理数还是无理数。因此判断一个数的超越性和无理性是相当困难的。
通过以上这个定理我们可以很简单的证明e 和π的超越性。
推论1：e ，e （α为任意非零代数数），π是超越数。证明：若e 是代数数，则有：0=1·e+（-e ）·e ，其中1，-e 是代数数且不为零，则与给出的定理矛盾，所以e 是超越数。
同理可证明e 为超越数。
若π为代数数，因为i 是代数数，所以i π也是代数数，参考文献：
α
α
[1]A.N. Parshin;I.R. Shafarevich. 数论IV-超越数:英文影印版[M].北京:科学出版社,2009,1
[2]BRUNO HARRIS.ITERATED INTEGRALS AND CYCLES ON ALGEBRAIC MANIFORLDS(代代数流形的累次积分与循环数
流形的累次积分与循环[M].WORLDSCIENTIFIC PUB CO INC,2004. （上接216页）
圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯
[责任编辑陈凤雪]
[66]陈爱云. 农村医疗救助的功能、存在的问题及对策探讨[J].中国初级卫生保健,2008，（2）：8-10. [67]郭亮, 陈迎春，刘建军. 影响农村贫困人口利用医疗救助的因素分析[J].医学与社会,2008，（8）：16-20. [68]顾雪非, 张振忠. 医疗救助与新型农村合作医疗制度衔接的必要性研究[J].医学与社会,2008，（8）：7-10.
[69]涂饶萍, 吴小南. 公平视角下农村医疗救助与新型农村合作医疗衔接的必要性[J].中国卫生事业管理,2008，（11）：730-732. （7）：18-31. [70]顾雪非, 张振忠, 李新伟. 论医疗救助与新型农村合作医疗制度衔接的四个层次[J].医学与社会,2008，[71]宋君, 张国平. 中国贫困人口医疗救助：制度的模式选择和对策的内在逻辑[J].行政与法，2008，（12）：32-34. [72]房莉杰. 中国城乡贫困人口医疗保障研究[J].人口学刊,2007，（2）：48-53. （5）：405-407. [73]马长琼. 关于医疗救助制度的立法思考[J].卫生软科学,2008，
2007，（2）：74-77. [74]陈培新. 借鉴新加坡经验推进厦门社会保障性住房建设[J].厦门特区党校学报，
[75]孙志祥. 流动人口社会救助问题研究[J].福建行政学院·福建经济管理干部学院学报，2001，（1）：59-63. 2006，（6）：1-7. [76]陈涛. 关于北京市流浪儿童救助保护的行动研究[J].中国青年政治学院学报，
——对北京市未成年人救助保护中心志愿服务的评估分析[J].中国青[77]刘畅. 关于流浪儿童的需求及其服务模式的评估报告—
年政治学院学报,2006，（6）：8-12.
[78]谢琼. 新时期流浪儿童的十大特征———对北京市未成年人救助保护中心的调查[J].中国民政,2007，（2）：39-40. [79]韩丽丽. 流浪乞讨人员社会救助中存在的问题和对策分析[J].思想战线,2008，（3）：119-120. [80]陈微. 当代中国流浪乞讨人员社会救助路径分析[J].浙江社会科学,2006，（6）：105-111.
[责任编辑王薇]
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2009年第36期总第74期经济研究导刊
ECONOMIC RESEARCH GUIDE
No．36，2009Serial No．74
超越数存在性证明与判断研究
张
摘
莹
（无锡机电高等职业技术学校机电工程系，江苏无锡214028）
要：由于有理数域在无限这方面存在不完备，CANTOR 构造了实数系统，使实数域完备。从而引起人们对超
CANTOR 给出了一种简单构造超越数的方法，刘维尔和林德曼也做了相越数的观察，在证明了超越数的存在性后，关研究，e 和π是目前所发现的大量超越数中最常接触到的两个。
关键词：超越数；代数数；CANTOR 证明；构造判断；超越性中图分类号：G642.0
文献标志码：A
文章编号：1673－291X（2009）36－0276-03
引言
自数起源于数，一个一个地数，也就有了自然数。然而，从人类从原始社会开始计数起，直到19世纪以前的漫长历史中，几乎没有人感到需要给数加以严格的定义。随着数学的发展———尤其是十七八世纪，数学分析蓬勃发展———到了19世纪，由于分析学本身逻辑基础不严密，在前进中出现了困境，特别是B.Bolzano ，K.Weierstrass ，B.Riemann 等人先后举出了处处连续而不可微函数的例子，使数学界大为震惊。人们感到不能把分析学的理论系统建筑在不可靠的几何与物理的直观臆想上，而必须建立在严密的逻辑基础上。也就是说，数学分析的理论奠基，必须有严格的实数理论。1889年，在意大利数学家G.Deano 给出了自然数公理的基础上，迅速地将其扩张到整数环以至扩张到有理数域。终于，在19世纪末，德国数学家G.Cantor 使用有理数基本序列建立了实数理论。在此同时，另一位德国数学家R.Dedekind 用有理数的分割从另一侧面对实数进行了构造。
n
-q 0|+|qm -q 0|
现在要问：“如果｛q n ｝是一个有理数基本序列，是否也一
序列。
回答是否定的。定收敛到一个确定的有理数呢？”
考察有理数基本序列{q n *}，其中：q n *=1+1+1+
1+……1，n=1,2,3,......这里给出的{q n *}是一个有理数的
基本序列，但是不收敛于任何一个有理数。
（二）CANTOR 实数系统的构造
正因为有理数域有着本质上的缺隙———“不完备”性，就决定了有理数域不能作为分析学立论的基础，而必须寻求新的数系来满足严格的分析学立论的逻辑基础的需要。下面就对实数的Cantor 构造加以阐述。
1. 在全体有理数基本序列｛q n ｝所组成的集合M 上引入｝与｛q n （2）｝都是有下述定义：有理数基本序列的等价：设｛q n （1））=0。就称｛q n （1）｝与｛q n （2））｝理数基本序列，如果lim （q n （1）-q n （2）
n →∞
一、实数系统的构造
（一）有理数域的不完备性
有理数域是一个对加、乘及其运算的逆—减与除四种运算封闭的、稠密的有序域，如果从有限的算术角度看，有理数域已是很完美的数系了。但是，从分析方面考虑，分析学的最基本的极限运算下，有理数域却不是一个封闭的数域，也就是说，有理数域是“不完备”的。可以证明一个收敛的有理数序列，一定是有理数基本序列。事实上，若lim q n =q0，则对任给
n →∞
是等价的。记为｛q n （1）｝～｛q n （2）｝。
2. 实数定义：有理数基本序列的集合M 按等价关系“～”划分的每一个等价类称为一个实数。我们用R 表示全体实数的集合。
3. 有理实数：设q 0是一个有理数，则每一项都等于q 0的序列｛q 0（n ）｝确定一个M 的等价类。这个类里的任一有理数基可把该等价类看成是由有理数本序列都以q 0为极限。从而，
q 0生成的，它所确定的实数就称为有理实数。
4. 无理实数：如果有理数基本序列｛q n ｝没有有理数的极限，就称以它为代表的等价类所确定的实数是无理实数。例
的正有理数ε，都有自然数n 0，当自然数n>n0时，有|q n -q 0|于是，当n>n0，m>n0时，有|qn -q m |=|q n -q 0+q0-q m |
收稿日期：2009-06-28
作者简介：赵艳（1971-），女，黑龙江佳木斯人，工作人员，从事财政学研究。
—276—
如，有理序列｛q n *｝，其中q n *=1+1+1+1+……1
的等价类所确定的实数，就是无理实数一自然对数的底e 。
5. 实数的加法与乘法：设实数α、β是以有理数基本序列｛q n （1）｝与｛q n （2）｝为代表的等价类，称以｛q n （1）+qn （2）｝及｛q n （1）·q n （2）｝为代表的有理数基本序列的等价类分别为实数α同β的和与乘积，记作α+β与α·β。
6. 正有理数基本序列：有理数基本序列｛g n ｝称为是正的，不如果存在正有理数ε0和自然数n 0，使自然数n ≥n 0时，等式g n ≥ε0成立。
7. 正实数：由正有理数基本序列等价类所确定的实数称为正实数。记全体正实数的集合为R+。由上述构造的实数集R 关于加法运算是一Abel 群。
我们以Q 记为R 中全体有理实数组成的集合，显然Q
*
*
是否是完备的呢？经过证明得到的回答是肯定的。
二、代数数与超越数
（一）超越数存在性的CANTOR 证明
CANTOR 对超越数存在性的证明主要是基于以下事实，即实代数数是组成了一个可数集合，而实超越数集是不可数的。
所以我们有以下命题：实代数数集可以与正整数集建立一一对应的关系，或者说实代数数集与正整数集具有相同的势。
考虑所有代数数组成的集合，即所有形如a 0x +a1x +……+an-1ω+an =0，（其中a i 互素，a 0为正，且方程式不可约）方程的实根。定义方程的高度N ，N=n-1+a 0+a 1+……a n ，其中a i 表示a i 的绝对值。对于给定的一个N ，有有限多个代数方程与它对应。在这些方程中，我们除去那些可约的方程。因为与N 的一个给定值相对应的方程个数是有限的，故相应地也只有有限多个代数数，我们用φ（N ）来表示N 对应的代数数的个数。
现在根据N 和每个N 对应的代数数按顺序排列，我们就可以得到代数数集与正整数集的一一对应关系，即证明了代数数是可数的。
现在我们考察以下命题：在数轴上的任一小段上，总有无限多个不属于给定可数集的点，即由数轴上一小段所表示数值的连续统，其势大于任何给定可数集的势。这个命题间接地说明了超越数的存在性，只需要把命题中的可数集取为
n
n-1
是R 的子域。设q 是任一有理数，q *是其对应的有理实数，做映射：σ：q →q*，其中q ∈Q ，q*∈Q*；则有：σ（q 1+q2）=（q 1+q2）*=q 1*+q2*=σ（q 1）+σ（q 2）；σ（q 1·q 2）=（q 1·q 2）*=q 1*·q 2*=σ［q 1］·σ［q 2］，故σ是同构映射。如果q 10，所以σ［q 2］-σ［q 1］=σ［q 2-q 1］=［q 2*-q 1*］=（q 2-q 1）
+
*
∈R ，即σ［q 2］>σ［q 1］，从而σ是保序映射。可见有理数域Q 与实数域R 的一个子域Q 同构，因此，实数域是有理数域的扩张。
经过前面构造扩充后的实数域R 是否可以弥补原有理实数域R 数域Q 关于极限运算不封闭的缺隙呢？也就是说，
*
α0||
12
1212
3
1
10211321
2
211
3
……
……
1……
α1||[1**********]0……
α2||0
α3||α4||
…方程X=0--x ±1=0
φ（N ）12
根0-1+1
--2x ±1=0x ±2=0
4
-2-+1+2
1
0010……
0……
……
……
----……
……
……
代数数集就可以了。
为了证明这个命题，我们构造如下的代数数表。其中，所有的代数数都用十进制小数形式表示，则没有一个数是会以9的无限序列结尾；因为等式：1=0.9999999……99……表明这样的数是个完整的十进制数。如果我们能构造一个十进制小数，它在上表中找不到，且不以9的无线数结尾，则这个数必定是个超越数。利用CANTOR 指出的简单办法，我们能找出不只一个这样的数。例如，假设一个超越
数的前五位小数已被给定，CANTOR 的方法如下：它的第六位小数取为非9的且与第一个代数数的第六位小数不同的数；第七位小数取非9的且与第二个代数数的第七位小数不同的数；如此类推，用这种方法，我们就得到一个十进制小数，它不以9的无限序列结尾，也不包含在上表中。这样，命题得证，即超越数是存在的！
（二）刘维尔数
早在CANTOR 之前，法国数学家刘维尔就通过构造的方
—277—
法从另一个角度说明了超越数的存在性，即他通过代数数的一个有理逼近性质，构造了一个的超越数，其构造方法如下：
如果ξ是一个n 次实代数数，则只存在有限个有理数p 满足ξ-p
燮1q 叟0），该性质给出了实代数数必须n+1
q
∞
于是e 是超越数，但e =cosπ+isinπ=-1是一个代数数，矛盾，所以π是一个超越数。
推论2：设α是代数数，α≠0，则sin α，cos α，tg α都是超越数。
证明：设sin α是代数数，因为α是代数数，所以i α，2isin α都是代数数。
由：sin α=e -e
sin α是超越数。
同理可证明：cos α，tg α都是超越数。
推论3：设α是代数数，若α≠1且α≠0，则ln α是超则arcsin α，arctg α为超越数；若α≠1，则越数；若α≠0，arccos α是超越数。
证明：设ln α是代数数，令β=ln α且β≠0，则有e =α是超越数，与题设矛盾，命题得证。
同理可证明arctg α（α≠0），arccos α（α≠1）的超越性。
β
i α
-i α
i πi π
满足的一个条件，凡不满足这个条件的实数一定是超越数。刘维尔根据这一原理，构造了第一个超越数：ξ=Σ10
k =1
-k ！
。
圯e -e
i α-i α
-（2isin α）·e =0
（三）几个常见的超越数1. 超越数e
1873年，法国数学家厄米尔特应用微积分的工具证明了e 是一个超越数，他的主要证明思想略。
2. 超越数π
1882年，林德曼证明了π的超越性，他的主要证明过程略。
3. 一个定理及其关于超越数的推论
我们首先给出一个定理：设α1，α2，...... ，αm 是m 个α2，...... ，αm 满足互异的代数数，如果有m 个代数数α1，
m
其中：1，-1，-2isin α均是代数数，不全为零，矛盾，所以
Σαe
i =1
i
αi
=0，则αi =0，i=1，2，...... ，m 。
结论
尽管从超越数被发现以来，数学家们发现了大量的超越数，以及判断和构造超越数的方法，但我们至今仍然没有能虽然我们证够判别所给数的超越性的具体方法，比如e+π，明了e 和π都是超越数，但我们不能判别e+π到底是代数数还是超越数。再比如欧拉常数：C=lim（1+1+1+…+1+
n →∞…-lnn ），我们甚至不能判断它是有理数还是无理数。因此判断一个数的超越性和无理性是相当困难的。
通过以上这个定理我们可以很简单的证明e 和π的超越性。
推论1：e ，e （α为任意非零代数数），π是超越数。证明：若e 是代数数，则有：0=1·e+（-e ）·e ，其中1，-e 是代数数且不为零，则与给出的定理矛盾，所以e 是超越数。
同理可证明e 为超越数。
若π为代数数，因为i 是代数数，所以i π也是代数数，参考文献：
α
α
[1]A.N. Parshin;I.R. Shafarevich. 数论IV-超越数:英文影印版[M].北京:科学出版社,2009,1
[2]BRUNO HARRIS.ITERATED INTEGRALS AND CYCLES ON ALGEBRAIC MANIFORLDS(代代数流形的累次积分与循环数
流形的累次积分与循环[M].WORLDSCIENTIFIC PUB CO INC,2004. （上接216页）
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[责任编辑陈凤雪]
[66]陈爱云. 农村医疗救助的功能、存在的问题及对策探讨[J].中国初级卫生保健,2008，（2）：8-10. [67]郭亮, 陈迎春，刘建军. 影响农村贫困人口利用医疗救助的因素分析[J].医学与社会,2008，（8）：16-20. [68]顾雪非, 张振忠. 医疗救助与新型农村合作医疗制度衔接的必要性研究[J].医学与社会,2008，（8）：7-10.
[69]涂饶萍, 吴小南. 公平视角下农村医疗救助与新型农村合作医疗衔接的必要性[J].中国卫生事业管理,2008，（11）：730-732. （7）：18-31. [70]顾雪非, 张振忠, 李新伟. 论医疗救助与新型农村合作医疗制度衔接的四个层次[J].医学与社会,2008，[71]宋君, 张国平. 中国贫困人口医疗救助：制度的模式选择和对策的内在逻辑[J].行政与法，2008，（12）：32-34. [72]房莉杰. 中国城乡贫困人口医疗保障研究[J].人口学刊,2007，（2）：48-53. （5）：405-407. [73]马长琼. 关于医疗救助制度的立法思考[J].卫生软科学,2008，
2007，（2）：74-77. [74]陈培新. 借鉴新加坡经验推进厦门社会保障性住房建设[J].厦门特区党校学报，
[75]孙志祥. 流动人口社会救助问题研究[J].福建行政学院·福建经济管理干部学院学报，2001，（1）：59-63. 2006，（6）：1-7. [76]陈涛. 关于北京市流浪儿童救助保护的行动研究[J].中国青年政治学院学报，
——对北京市未成年人救助保护中心志愿服务的评估分析[J].中国青[77]刘畅. 关于流浪儿童的需求及其服务模式的评估报告—
年政治学院学报,2006，（6）：8-12.
[78]谢琼. 新时期流浪儿童的十大特征———对北京市未成年人救助保护中心的调查[J].中国民政,2007，（2）：39-40. [79]韩丽丽. 流浪乞讨人员社会救助中存在的问题和对策分析[J].思想战线,2008，（3）：119-120. [80]陈微. 当代中国流浪乞讨人员社会救助路径分析[J].浙江社会科学,2006，（6）：105-111.
[责任编辑王薇]
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