寒 假 自 主 学 习 参 考 答 案（下）
§8.3实际问题与二元一次方程组（1）
练习：1解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和y 公顷. 由题意得方程组⎨
⎧x =0. 4
⎩y =0. 2⎧2(2x +5y ) =3. 6⎩5(3x +2y ) =8 即⎨⎧4x +10y =3. 6⎩15x +10y =8 解之得⎨
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2解：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛.
⎧x +y =48由题意得方程组⎨ 10x +12y =520⎩
解之得⎨⎧x =28
⎩y =20
答：有28支篮球队和20支排球队参赛.
作业：1解：设每节火车皮与每辆汽车平均各装x 吨和y 吨化肥.
由题意得方程组⎨
⎧x =50
⎩y =4⎧6x +15y =360⎩8x +10y =440 解之得⎨
答：每节火车皮与每辆汽车平均各装50吨和4吨化肥.
2解：设买甲种票x 张、 买乙种票y 张.
⎧x +y =35由题意得方程组⎨ 24x +18y =750⎩
⎧x =20解之得⎨⎩y =15
答：买甲种票20张、 买乙种票15张.
练习：1解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，水的流速为y 千米/时.
由题意得方程组⎨
⎧x =18
⎩y =2⎧x +y =20⎩x -y =16 解之得⎨
答：轮船在静水中的速度为18千米/时，水的流速为2千米/时.
2解：设甲乙两人的平均速度各是x 千米/时 和y 千米/时.
由题意得方程组⎨
⎧x =4解之得⎨⎩y =2⎧x +y =6⎩3x -3y =6
答：甲乙两人的平均速度各是4千米/时 和2千米/时.
3解：设第一天和第二天行军的平均速度各是x 千米/时 和y 千米/时.
由题意得方程组⎨
⎧x =12
⎩y =10⎧4x +5y =98⎩4x +2=5y 解之得⎨
答：第一天和第二天行军的平均速度各是12千米/时 和10千米/时.
4解：设甲乙每分钟各跑x 圈和y 圈.
⎧2x +2y =1由题意得方程组⎨ 6x -6y =1⎩
1⎧x =⎪⎪3解之得⎨
⎪y =1
⎪6⎩ 答：甲乙每分钟各跑
13圈和16圈.
练习：1解：设用x 张制盒身，y 张制盒底.
由题意得方程组⎨
⎧x =16
⎩y =20⎧x +y =36⎩2⨯25x =40y 解之得⎨
答：用16张制盒身，20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套.
2解：设一辆大车一次运货x 吨、一辆小车一次运货y 吨.
由题意得方程组⎨⎧2x +3y =15. 5
⎩5x +6y =35
⎧x =4解之得⎨ ∴3x +5y =24. 5 y =2. 5⎩
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
3解：设打折前A 和B 两种商品的价格分别为x 元/件 和y 元/件.
由题意得方程组⎨
⎧x =16
⎩y =4⎧60x +30y =1080⎩50x +10y =840 解之得⎨ ∴500x +500y -9600=400
答：比打折少花400元钱.
§8.3实际问题与二元一次方程组（4）
练习：解：设产品重x 吨，原料重y 吨.
由题意得方程组⎨
⎧x =300解之得⎨⎩y =400⎧1.5⨯(20x +10y ) =15000, ⎩1.2⨯(110x +120y ) =97200. ∴8000x -(1000y +15000+97200) =1887800
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
§8.4三元一次方程组的解法举例
练习：1 解方程组
解：②×3＋③，得
④
①与④组成方程组 解这个方程组，得
把x =5，z =-2 代入②，得2⨯5+3y -2=9，
∴y =1
3
∴
这个方程组的特点是方程①不含y ，而②、③中y 的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去y 后，再与①组成只含x 、z 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．
⎧x +y +z =12
⎪2 解方程组⎨x +2y +5z =22
⎪x =4y ⎩①②③
解法1：消x ②-① 得 y +4z =10 . ④
③代人① 得5y +z =12 . ⑤
⎧y +4z =10, 由④、⑤得⎨⎩5y +z =12.
⎧y =2, 解得⎨ z =2. ⎩④⑤
把y =2,代入③，得x =8.
⎧x =8,
⎪∴⎨y =2, 是原方程组的解.
⎪z =2. ⎩
⎧5y +z =12, ④解法2：消x 由③代入①②得⎨
⎩6y +5z =22. ⑤
解得⎧y = ⎨z =2. ⎩
把y =2代入③，得x =8.
⎧x =8,
⎪∴⎨y =2, 是原方程组的解.
⎪z =2. ⎩
解法3：消z
①×5得 5x +5y +5z =60， ④
x +2y +5z =22， ②
④-②得 4x +3y =38 ⑤
③⎧x =4y , 由③、⑤得⎨
⎩4x +3y =38. ⑤
⎧x =8, 解得⎨ y =2. ⎩
把x =8，y =2代入①，得z =2.
⎧x =8,
⎪∴⎨y =2, 是原方程组的解.
⎪z =2. ⎩
⎧
⎪x =
⎪⎪作业：1（1）⎨y =
⎪
⎪z =⎪⎩
22, ⎧x =2, ⎧x =-7, ⎧x =-1, 31⎪⎪⎪, （2）⎨y =3, 2（1）⎨y =-5, （2）⎨y =2, 2⎪z =1. ⎪z =-11. ⎪z =4. ⎩⎩⎩25. 2
二元一次方程组的解法训练1
⎧x 2=2⎧x 1=0⎧x 3=-56-2x 6-3y ⎪⎪1．一，无数 2． 3．⎨， 4．每一个5，⎨, ⎨7y =-321⎩y 3=0⎪⎪y 2=-3⎩3⎩
方程，相等 5．－3，3 6．⎨⎧x =1 7．, 47 8．14x －2y=10即7x －y=5 9．－5，2⎩y =233
5 10．16
25 11．7b +51853
8 12．5, 5 13．19, -19
16．B 17．D 18．C
19．解：由题意知
3x -4y -z = ①
2x +y -8z =0 ②
由①得
z=3x－4y ③
③代入②得
2x+y－8(3x－4y)=0
x =3
2y ④
④代入③得
z =1
2y
⎛22
3y ⎫⎪+y 2+⎛ 1y ⎫⎪
∴ x 2+y 2+z 2⎝2⎭⎝2⎭
xy +y 2+2xz =331
2y ⋅y +y 2+2⋅2y ⋅2y
9221
=4y +y +4y 2
2y 2+3
2y 2
=7
8
20．解：由题意得
14．5，10，15 15．73
x=1，y=2代入方程(ax+by－12) +|ay－bx+1|=0 2
即(a+2b－12) 2+|2a－b+1|=0 则 (a
+2b -12)2=0
①
2a -b +1=0 ②
由①得 a=12－2b ③
把③代入②得
b=5
把b=5代入③得
a=2
∴ 方程a 、b 的值为a=2，b=5
⎧2 21．解：x -y =1
⎨⎩3x +2y =16
由①得 y=－1+2x ③
把③代入②
3x+2(－1+2x)=16
x =18
7
把x =18
7代入③得
y =29
7
⎧x =18
∴ 原方程组的解为⎪
⎨7
⎪29
⎩y =7
⎧x
⎪3+y
4=1
22．解 ⎨
⎪y x
⎩3-2=1
整理得 ⎧4x +3y =12
⎨⎩2y -3x =6
由②得
y =6+3x
2 ③
把③代入①得
x =
把x =6
17617 代入③得
60
17 y =
二元一次方程组的解法训练2
1．D 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．C 11．C 12．B
13．解：依题意得
⎧a -b =2
⎪⎨c +3=-2
⎪⎩2a -6b =2
⎧a -b =2得 ⎪⎨2a -6b =2 ⎪⎩c =-5由①得a=2+b
把③代入②
2(2+b)－6b=2
b =1
2 把b =1
2代入③得
a =5
2
∴ a 、b 、c 的值为a =5
2, b =1
2, c =-5
x -5y -3z =0 ①
14．解 y +4z =3 ②
2x -z =1 ③
由①得 z=2x－1 ④
把④代入①、②得
y +8x =7 ⑤
5y +5x -3=0 ⑥ 由⑤得
y=7－8x 代入⑥得
5(7－8x)+5x－3=0
x =32
35 把x =32
35代入⑤得
y =-11
35 把x =32
35代入④得
z =29
35
⎧32
⎪x =
⎪35
∴ 原方程组的解为：⎪⎨y =-11
⎪35
⎪z =29
⎪⎩35
15．解：依题意知
⎧3x -5y =2m
⎨x +7y =m -1
⎩2①×2 6x －10y=4m ③ ②×3 6x+21y=3m－3 ④ ④－③ 31y=－m －3 y =-m +3
31 ⑤
把⑤代入②
2x +7 ⎛-m +3⎫
⎝31⎪=m -1
⎭
2x =38m -10
31
x =19m -5
31
∵ x+y=0
∴ 19m -5
31-m +3
31=0
18m=8
m =
把m =4
949 19m -53, y =-m +3
31分别代入x =得
⎧
⎪x =1
⎨9
⎪1
⎩y =-9
寒 假 自 主 学 习 参 考 答 案（下）
§8.3实际问题与二元一次方程组（1）
练习：1解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x 公顷和y 公顷. 由题意得方程组⎨
⎧x =0. 4
⎩y =0. 2⎧2(2x +5y ) =3. 6⎩5(3x +2y ) =8 即⎨⎧4x +10y =3. 6⎩15x +10y =8 解之得⎨
答：1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.
2解：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛.
⎧x +y =48由题意得方程组⎨ 10x +12y =520⎩
解之得⎨⎧x =28
⎩y =20
答：有28支篮球队和20支排球队参赛.
作业：1解：设每节火车皮与每辆汽车平均各装x 吨和y 吨化肥.
由题意得方程组⎨
⎧x =50
⎩y =4⎧6x +15y =360⎩8x +10y =440 解之得⎨
答：每节火车皮与每辆汽车平均各装50吨和4吨化肥.
2解：设买甲种票x 张、 买乙种票y 张.
⎧x +y =35由题意得方程组⎨ 24x +18y =750⎩
⎧x =20解之得⎨⎩y =15
答：买甲种票20张、 买乙种票15张.
练习：1解：设轮船在静水中的速度为x 千米/时，水的流速为y 千米/时.
由题意得方程组⎨
⎧x =18
⎩y =2⎧x +y =20⎩x -y =16 解之得⎨
答：轮船在静水中的速度为18千米/时，水的流速为2千米/时.
2解：设甲乙两人的平均速度各是x 千米/时 和y 千米/时.
由题意得方程组⎨
⎧x =4解之得⎨⎩y =2⎧x +y =6⎩3x -3y =6
答：甲乙两人的平均速度各是4千米/时 和2千米/时.
3解：设第一天和第二天行军的平均速度各是x 千米/时 和y 千米/时.
由题意得方程组⎨
⎧x =12
⎩y =10⎧4x +5y =98⎩4x +2=5y 解之得⎨
答：第一天和第二天行军的平均速度各是12千米/时 和10千米/时.
4解：设甲乙每分钟各跑x 圈和y 圈.
⎧2x +2y =1由题意得方程组⎨ 6x -6y =1⎩
1⎧x =⎪⎪3解之得⎨
⎪y =1
⎪6⎩ 答：甲乙每分钟各跑
13圈和16圈.
练习：1解：设用x 张制盒身，y 张制盒底.
由题意得方程组⎨
⎧x =16
⎩y =20⎧x +y =36⎩2⨯25x =40y 解之得⎨
答：用16张制盒身，20张制盒底可以使盒身与盒底正好配套.
2解：设一辆大车一次运货x 吨、一辆小车一次运货y 吨.
由题意得方程组⎨⎧2x +3y =15. 5
⎩5x +6y =35
⎧x =4解之得⎨ ∴3x +5y =24. 5 y =2. 5⎩
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.
3解：设打折前A 和B 两种商品的价格分别为x 元/件 和y 元/件.
由题意得方程组⎨
⎧x =16
⎩y =4⎧60x +30y =1080⎩50x +10y =840 解之得⎨ ∴500x +500y -9600=400
答：比打折少花400元钱.
§8.3实际问题与二元一次方程组（4）
练习：解：设产品重x 吨，原料重y 吨.
由题意得方程组⎨
⎧x =300解之得⎨⎩y =400⎧1.5⨯(20x +10y ) =15000, ⎩1.2⨯(110x +120y ) =97200. ∴8000x -(1000y +15000+97200) =1887800
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
§8.4三元一次方程组的解法举例
练习：1 解方程组
解：②×3＋③，得
④
①与④组成方程组 解这个方程组，得
把x =5，z =-2 代入②，得2⨯5+3y -2=9，
∴y =1
3
∴
这个方程组的特点是方程①不含y ，而②、③中y 的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去y 后，再与①组成只含x 、z 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．
⎧x +y +z =12
⎪2 解方程组⎨x +2y +5z =22
⎪x =4y ⎩①②③
解法1：消x ②-① 得 y +4z =10 . ④
③代人① 得5y +z =12 . ⑤
⎧y +4z =10, 由④、⑤得⎨⎩5y +z =12.
⎧y =2, 解得⎨ z =2. ⎩④⑤
把y =2,代入③，得x =8.
⎧x =8,
⎪∴⎨y =2, 是原方程组的解.
⎪z =2. ⎩
⎧5y +z =12, ④解法2：消x 由③代入①②得⎨
⎩6y +5z =22. ⑤
解得⎧y = ⎨z =2. ⎩
把y =2代入③，得x =8.
⎧x =8,
⎪∴⎨y =2, 是原方程组的解.
⎪z =2. ⎩
解法3：消z
①×5得 5x +5y +5z =60， ④
x +2y +5z =22， ②
④-②得 4x +3y =38 ⑤
③⎧x =4y , 由③、⑤得⎨
⎩4x +3y =38. ⑤
⎧x =8, 解得⎨ y =2. ⎩
把x =8，y =2代入①，得z =2.
⎧x =8,
⎪∴⎨y =2, 是原方程组的解.
⎪z =2. ⎩
⎧
⎪x =
⎪⎪作业：1（1）⎨y =
⎪
⎪z =⎪⎩
22, ⎧x =2, ⎧x =-7, ⎧x =-1, 31⎪⎪⎪, （2）⎨y =3, 2（1）⎨y =-5, （2）⎨y =2, 2⎪z =1. ⎪z =-11. ⎪z =4. ⎩⎩⎩25. 2
二元一次方程组的解法训练1
⎧x 2=2⎧x 1=0⎧x 3=-56-2x 6-3y ⎪⎪1．一，无数 2． 3．⎨， 4．每一个5，⎨, ⎨7y =-321⎩y 3=0⎪⎪y 2=-3⎩3⎩
方程，相等 5．－3，3 6．⎨⎧x =1 7．, 47 8．14x －2y=10即7x －y=5 9．－5，2⎩y =233
5 10．16
25 11．7b +51853
8 12．5, 5 13．19, -19
16．B 17．D 18．C
19．解：由题意知
3x -4y -z = ①
2x +y -8z =0 ②
由①得
z=3x－4y ③
③代入②得
2x+y－8(3x－4y)=0
x =3
2y ④
④代入③得
z =1
2y
⎛22
3y ⎫⎪+y 2+⎛ 1y ⎫⎪
∴ x 2+y 2+z 2⎝2⎭⎝2⎭
xy +y 2+2xz =331
2y ⋅y +y 2+2⋅2y ⋅2y
9221
=4y +y +4y 2
2y 2+3
2y 2
=7
8
20．解：由题意得
14．5，10，15 15．73
x=1，y=2代入方程(ax+by－12) +|ay－bx+1|=0 2
即(a+2b－12) 2+|2a－b+1|=0 则 (a
+2b -12)2=0
①
2a -b +1=0 ②
由①得 a=12－2b ③
把③代入②得
b=5
把b=5代入③得
a=2
∴ 方程a 、b 的值为a=2，b=5
⎧2 21．解：x -y =1
⎨⎩3x +2y =16
由①得 y=－1+2x ③
把③代入②
3x+2(－1+2x)=16
x =18
7
把x =18
7代入③得
y =29
7
⎧x =18
∴ 原方程组的解为⎪
⎨7
⎪29
⎩y =7
⎧x
⎪3+y
4=1
22．解 ⎨
⎪y x
⎩3-2=1
整理得 ⎧4x +3y =12
⎨⎩2y -3x =6
由②得
y =6+3x
2 ③
把③代入①得
x =
把x =6
17617 代入③得
60
17 y =
二元一次方程组的解法训练2
1．D 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．C 9．B 10．C 11．C 12．B
13．解：依题意得
⎧a -b =2
⎪⎨c +3=-2
⎪⎩2a -6b =2
⎧a -b =2得 ⎪⎨2a -6b =2 ⎪⎩c =-5由①得a=2+b
把③代入②
2(2+b)－6b=2
b =1
2 把b =1
2代入③得
a =5
2
∴ a 、b 、c 的值为a =5
2, b =1
2, c =-5
x -5y -3z =0 ①
14．解 y +4z =3 ②
2x -z =1 ③
由①得 z=2x－1 ④
把④代入①、②得
y +8x =7 ⑤
5y +5x -3=0 ⑥ 由⑤得
y=7－8x 代入⑥得
5(7－8x)+5x－3=0
x =32
35 把x =32
35代入⑤得
y =-11
35 把x =32
35代入④得
z =29
35
⎧32
⎪x =
⎪35
∴ 原方程组的解为：⎪⎨y =-11
⎪35
⎪z =29
⎪⎩35
15．解：依题意知
⎧3x -5y =2m
⎨x +7y =m -1
⎩2①×2 6x －10y=4m ③ ②×3 6x+21y=3m－3 ④ ④－③ 31y=－m －3 y =-m +3
31 ⑤
把⑤代入②
2x +7 ⎛-m +3⎫
⎝31⎪=m -1
⎭
2x =38m -10
31
x =19m -5
31
∵ x+y=0
∴ 19m -5
31-m +3
31=0
18m=8
m =
把m =4
949 19m -53, y =-m +3
31分别代入x =得
⎧
⎪x =1
⎨9
⎪1
⎩y =-9