三角形的内角和
丁明艳
一、教学内容：四年级下册数学第67页
二、课题确定的背景及意义
三角形的内角和是三角形的一个重要特征。本课是安排在学习三角形的概念及分类之后进行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。学生在掌握知识方面：已经掌握了三角形的分类，比较熟悉平角等有关知识；能力方面：经过三年多的学习，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯。
教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，适合学生课下进行研究。概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。
三、 课题的布置和指导
第一天，面向全体学生，让学生自主探索：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？
第二天，收集学生的研究成果，根据学生的研究成果，分为三个小组：一组是用测量的方法；二组是利用平角的知识；三组是用四边形的内角和。还有两个同学研究出了五边形和六边形的内角和，把他俩编为拓展小组，最后单独汇报。
四、课堂实录
（一）复习三角形有关知识
这几天，我们和哪个图形交上了朋友？
学生回答：三角形
谁能说说关于三角形你了解了哪些知识？
学生回答。
一个简单的三角形，竟然隐藏着这么多的知识，这一节课我们继续来研究三角形。今天要研究的问题是：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎样来验证的？课前让大家做了研究。下面，我们将分组来汇报你们的研究成果。在这节课中，我们将评出：最佳质疑奖，最佳表现奖，最佳创新奖，最佳合作奖，希望大家好好表现，看看谁是我们这节课上的智慧小明星，大家有信心吗？
（二）汇报
下面有请一组的同学来汇报他们的研究成果。
大家好：我们组通过观察一副三角板，发现这两个三角板的内角和分别是：45°＋90°＋45°＝180°,60°＋30°＋90°＝180°。然后，我们就大胆猜想，是不是所有的三角形的三个内角的和都是180°呢？能不能量一量不同类型的三角形，来算一算三角形的内角和呢？然后我们小组每个同学都画了三个不同类型的三角形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（一生汇报）通过测量我发现：我画的这个锐角三角形的各个角的度数分别是：34°、78°、68°，内角和是180°；直角三角形的各个角的度数分别是：90°、37°、53°，内角和是180°；钝角三
角形的各个角的度数分别是：。所以我认为：三角形的内角和就是180°。我们组有四个同学和我的结论一样。
（另一生汇报）但是，我也画了三个不同类型的三角形，测量了各个三角形的内角的度数，分别是。我汇报完毕。大家对我们小组的汇报有什么要说的吗？
生1：通过一组同学的汇报，我发现三角形的内角和在180°左右。生2：为什么有的是180°，有的不是呢？
生3：可能在测量的过程中量的不准确。
生4：也可能三角形画的不准确。
生5：为什么用钝角三角形、直角三角形、锐角三角形来研究，而不用等腰三角形、等边三角形来研究呢？
一组：因为我们要研究的是三角形的角，而不是三角形的边。等腰三角形、等边三角形也包含在钝角三角形、直角三角形、锐角三角形里。
师：看来，用测量的方法来求三角形的内角和对画图、量角的精确度的要求非常高。容易产生误差，有局限性，其他组有没有更好的方法呢？让我们来听听二组同学的汇报吧。
二组：大家好：我们组是用了撕和拼的方法来研究三角形的内角和的。
一生(边说边演示)：我把三角形的两个角撕下来，和第三个角拼在一起，这三个角组成了一个平角，平角是180°，所以，我得出三角形的内角和是180°。
另一生(边说边演示)：我也是用拼的方法，但没有撕，而是通过折叠。把上面的角沿虚线横折，顶点落在底边上，再将剩下的两个角横折过来，使三个角正好拼在一起，这三个角也组成了一个平角。汇报完毕。大家对我们的研究有什么要问的吗？
生1：我觉得，撕和拼有缝隙，三个角不一定正好组成一个平角。 生2：你怎么知道这三个角正好组成一个平角呢？
二组同学：可以用量角器量一量；用直尺比划一下，看看下面两条边是否在同一条直线上。
生3：对于大小不同的三角形，它们的内角和会一样大吗？ 二组同学：三角形变大了，但角的大小没有变，因为角的大小与边的长短无关。
生4：我觉得二组同学的方法一看就明白，很直观。
师：刚才二组同学用了平角的知识得出三角形的内角和是180°。同学们认真的听取了他们的汇报，并对他们的研究进行了质疑。觉得用这种方法比较直观，但在撕和拼的过程中，由于操作的精细程度不同，可能会有误差，那到底有没有更能让大家信服的方法呢？三组的同学已经跃跃欲试了，下面有请三组的同学为我们汇报他们的研究成果。
三组：大家好,我们在研究三角形的内角和时，联想到，我们上学期学过的四边形的内角和是360°.我们就试着用四边形来研究三角形的内角和。生1：我是用长方形来研究的，我把长方形沿着一条对角线剪开，就得到了两个完全一样的直角三角形，这两个直角三角
形六个角的度数和正好是长方形的内角和，是360°。所以，一个直角三角形的内角和就是360°÷2＝180°。
生2：我是用正方形来研究的，方法和他的一样，也得出三角形的内角和是180°。大家对我们的汇报有什么疑问吗？
生：你们得出的都是直角三角形的内角和是180°，那锐角三角形呢？钝角三角形呢？
生3：也可以，我是用平行四边形来研究的，沿着这条对角线剪开，就得到两个完全一样的锐角三角形，所以，每个锐角三角形的内角和就是360°÷2＝180°；沿着另一条对角线剪开，就可以得到两个完全一样的钝角三角形，同样，每个钝角三角形的内角和也是
360°÷2＝180°。大家听明白了吗？
师：大家的掌声说明了一切。他们用四边形的内角和研究出了三角形的内角和，将新知识转化成了旧知识，非常准确的说明了三角形的内角和就是180°，非常棒。其他同学有什么要问三组同学的吗？
生：我觉得三组的同学非常棒，他们的方法让我们非常信服。 生4：我来考考大家，将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是不是360°呢？
生：还是180°，因为这两个直角三角形的两个直角已经不是大三角形的内角了，大三角形的内角和应该是：用这两个三角形的内角和360°减去两个直角的和，还是180°。
师：大家现在对三角形的内角和是180°还有疑问吗？
生齐答：没有。
（三）练习
师:那我们就用刚才的研究成果来解决实际问题吧。
出示:一个三角形的风筝，一个底角是70°，顶角是多少度呢？ 生板演。
（四）拓展小组的汇报
师：在研究三角形的内角和的过程中，还有两个同学还研究出了五边形，六边形的内角和，下面有请这两个同学汇报。
生1：我发现，从五边形的一个顶点出发，可以画两条对角线，将这个五边形分成了三个三角形，这三个三角形的内角和就是五边形的内角和，就是：180°×3＝540°.同样，可以得出六边形的内角和就是
180°×4＝720°.
生2：我发现，每多一条边，内角和就增加180°。
师：大家认为他们是不是非常善于动脑，发现问题呀？
生：我很佩服他们，我就没想出他们的方法。
（五）总结
师：刚才大家表现的都非常出色，谁来说一说这节课你有什么收获吗?
生谈自己的收获。
（六）评价颁奖
师：那大家认为，本节课中，谁更有资格获得这些奖项呢？ 生评价，颁奖。
五、教学反思：
关于三角形的内角和，学生并不陌生，但怎么来验证是问题的所在，让学生在课下研究，让每位同学都参与了研究，第二天收集学生的研究成果时，出现了学生为了拼凑180°，不是实事求是的测量每个角的度数的情况，我对用测量来验证三角形的内角和的同学，要求他们重新画图，实事求是的测量。因为没学中位线，有部分学生在拼凑的过程中出现了困难，花费的时间较长，这部分同学，我引导他们找窍门，从而能较准确的拼凑成平角。
这样，学生进行测量、计算，但得不到统一的结果，再让用把三个角拼在一起得到一个平角的同学进行验证。这时，由于拼凑也容易出现误差，所以这种方法也不是令人信服，于是，引出了用四边形的内角和来验证的比较严密的方法。
在教学过程中，我说的有点多，对学生还是放手不够，在练习的过程中，应该在引导学生进一步巩固三角形的内角和是180°这一结论。
三角形的内角和（一组研究报告）
研究人：孙元鸿 潘雪梅
研究题目：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？ 研究准备：一副三角板 钝角三角形 锐角三角形 直角三角形 量角器
研究方法：画图 测量 计算
研究过程：1、分别计算一副三角板的内角和是180°。由此猜想：所有三角形的内角和都是180°。
2、为了进一步验证三角形的内角和是不是180°，我们分别画了三种不同的三角形：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，然后用量角器分别量出了各个三角形的各角的度数，分别计算出它们的内角和。
（孙元鸿）通过测量我发现：我画的这个锐角三角形的各个角的度数分别是：34°、78°、68°，内角和是180°；直角三角形的各个角的度数分别是：90°、37°、53°，内角和是180°；钝角三角形的各个角的度数分别是：115°、34°、31°，内角和是180°。所以我认为三角板的内角和是180°。
（潘雪梅）我也分别画了三种不同的三角形：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，通过测量我发现：我画的这个锐角三角形的各个角的度数分别是：54°、73°、55°，内角和是182°；直角三角形的各个角的度数分别是：90°、42°、48°，内角和是180°；钝角三角形的各个角的度数分别是：108°、33°、40°，内角和是181°。所以我认为三角板的内角和是180°左右。
我们小组认为：三角形的内角和在180°左右。
三角形的内角和（二组研究报告）
研究人：张冰冰 王家兴
研究题目：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？ 研究准备：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形纸片 研究方法：用撕和拼的方法研究三角形的内角和
研究过程：（张冰冰）我把三角形的两个角撕下来，和第三个角拼在一起，看到拼成的这个大角的两边在一条直线上，这三个角组成了一个平角，平角是180°，三种三角形都能分别组成一个平角。所以，我得出三角形的内角和是180°。
（王家兴）我也是用拼的方法，但没有撕，而是通过折叠。把上面的角沿虚线横折，顶点落在底边上，再将剩下的两个角横折过来，使三个角正好拼在一起，这三个角也组成了一个平角。同样，其他两种三角形也能组成平角。所以，我得出三角形的内角和是180°。 所以我们认为：三角形的内角和是180°。
三角形的内角和（三组研究报告）
研究人：孙梓硕 李虹霓 任明慧
研究题目：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？ 研究准备：长方形、正方形、平行四边形纸片
研究方法：用四边形的内角和来研究三角形的内角和
研究过程：（孙梓硕）我们在研究三角形的内角和时，联想到，我们上学期学过的四边形的内角和是360°。我们就试着用四边形来研究三角形的内角和。我是用长方形来研究的，我把长方形沿着一条对角线剪开，就得到了两个完全一样的直角三角形，这两个直角三角形六个角的度数和正好是长方形的内角和，是360°。所以，一个直角三角形的内角和就是360°÷2＝180°。
（李虹霓）：我是用正方形来研究的，方法和他的一样，也得出三角形的内角和是180°。
（任明慧）我是用平行四边形来研究的，沿着这条对角线剪开，就得到两个完全一样的锐角三角形，所以，每个锐角三角形的内角和就是360°÷2＝180°；沿着另一条对角线剪开，就可以得到两个完全一样的钝角三角形，同样，每个钝角三角形的内角和也是360°÷2＝180°。
所以我们认为：三角形的内角和就是180°。
三角形的内角和
丁明艳
一、教学内容：四年级下册数学第67页
二、课题确定的背景及意义
三角形的内角和是三角形的一个重要特征。本课是安排在学习三角形的概念及分类之后进行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。学生在掌握知识方面：已经掌握了三角形的分类，比较熟悉平角等有关知识；能力方面：经过三年多的学习，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯。
教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，适合学生课下进行研究。概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。
三、 课题的布置和指导
第一天，面向全体学生，让学生自主探索：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？
第二天，收集学生的研究成果，根据学生的研究成果，分为三个小组：一组是用测量的方法；二组是利用平角的知识；三组是用四边形的内角和。还有两个同学研究出了五边形和六边形的内角和，把他俩编为拓展小组，最后单独汇报。
四、课堂实录
（一）复习三角形有关知识
这几天，我们和哪个图形交上了朋友？
学生回答：三角形
谁能说说关于三角形你了解了哪些知识？
学生回答。
一个简单的三角形，竟然隐藏着这么多的知识，这一节课我们继续来研究三角形。今天要研究的问题是：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎样来验证的？课前让大家做了研究。下面，我们将分组来汇报你们的研究成果。在这节课中，我们将评出：最佳质疑奖，最佳表现奖，最佳创新奖，最佳合作奖，希望大家好好表现，看看谁是我们这节课上的智慧小明星，大家有信心吗？
（二）汇报
下面有请一组的同学来汇报他们的研究成果。
大家好：我们组通过观察一副三角板，发现这两个三角板的内角和分别是：45°＋90°＋45°＝180°,60°＋30°＋90°＝180°。然后，我们就大胆猜想，是不是所有的三角形的三个内角的和都是180°呢？能不能量一量不同类型的三角形，来算一算三角形的内角和呢？然后我们小组每个同学都画了三个不同类型的三角形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
（一生汇报）通过测量我发现：我画的这个锐角三角形的各个角的度数分别是：34°、78°、68°，内角和是180°；直角三角形的各个角的度数分别是：90°、37°、53°，内角和是180°；钝角三
角形的各个角的度数分别是：。所以我认为：三角形的内角和就是180°。我们组有四个同学和我的结论一样。
（另一生汇报）但是，我也画了三个不同类型的三角形，测量了各个三角形的内角的度数，分别是。我汇报完毕。大家对我们小组的汇报有什么要说的吗？
生1：通过一组同学的汇报，我发现三角形的内角和在180°左右。生2：为什么有的是180°，有的不是呢？
生3：可能在测量的过程中量的不准确。
生4：也可能三角形画的不准确。
生5：为什么用钝角三角形、直角三角形、锐角三角形来研究，而不用等腰三角形、等边三角形来研究呢？
一组：因为我们要研究的是三角形的角，而不是三角形的边。等腰三角形、等边三角形也包含在钝角三角形、直角三角形、锐角三角形里。
师：看来，用测量的方法来求三角形的内角和对画图、量角的精确度的要求非常高。容易产生误差，有局限性，其他组有没有更好的方法呢？让我们来听听二组同学的汇报吧。
二组：大家好：我们组是用了撕和拼的方法来研究三角形的内角和的。
一生(边说边演示)：我把三角形的两个角撕下来，和第三个角拼在一起，这三个角组成了一个平角，平角是180°，所以，我得出三角形的内角和是180°。
另一生(边说边演示)：我也是用拼的方法，但没有撕，而是通过折叠。把上面的角沿虚线横折，顶点落在底边上，再将剩下的两个角横折过来，使三个角正好拼在一起，这三个角也组成了一个平角。汇报完毕。大家对我们的研究有什么要问的吗？
生1：我觉得，撕和拼有缝隙，三个角不一定正好组成一个平角。 生2：你怎么知道这三个角正好组成一个平角呢？
二组同学：可以用量角器量一量；用直尺比划一下，看看下面两条边是否在同一条直线上。
生3：对于大小不同的三角形，它们的内角和会一样大吗？ 二组同学：三角形变大了，但角的大小没有变，因为角的大小与边的长短无关。
生4：我觉得二组同学的方法一看就明白，很直观。
师：刚才二组同学用了平角的知识得出三角形的内角和是180°。同学们认真的听取了他们的汇报，并对他们的研究进行了质疑。觉得用这种方法比较直观，但在撕和拼的过程中，由于操作的精细程度不同，可能会有误差，那到底有没有更能让大家信服的方法呢？三组的同学已经跃跃欲试了，下面有请三组的同学为我们汇报他们的研究成果。
三组：大家好,我们在研究三角形的内角和时，联想到，我们上学期学过的四边形的内角和是360°.我们就试着用四边形来研究三角形的内角和。生1：我是用长方形来研究的，我把长方形沿着一条对角线剪开，就得到了两个完全一样的直角三角形，这两个直角三角
形六个角的度数和正好是长方形的内角和，是360°。所以，一个直角三角形的内角和就是360°÷2＝180°。
生2：我是用正方形来研究的，方法和他的一样，也得出三角形的内角和是180°。大家对我们的汇报有什么疑问吗？
生：你们得出的都是直角三角形的内角和是180°，那锐角三角形呢？钝角三角形呢？
生3：也可以，我是用平行四边形来研究的，沿着这条对角线剪开，就得到两个完全一样的锐角三角形，所以，每个锐角三角形的内角和就是360°÷2＝180°；沿着另一条对角线剪开，就可以得到两个完全一样的钝角三角形，同样，每个钝角三角形的内角和也是
360°÷2＝180°。大家听明白了吗？
师：大家的掌声说明了一切。他们用四边形的内角和研究出了三角形的内角和，将新知识转化成了旧知识，非常准确的说明了三角形的内角和就是180°，非常棒。其他同学有什么要问三组同学的吗？
生：我觉得三组的同学非常棒，他们的方法让我们非常信服。 生4：我来考考大家，将两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是不是360°呢？
生：还是180°，因为这两个直角三角形的两个直角已经不是大三角形的内角了，大三角形的内角和应该是：用这两个三角形的内角和360°减去两个直角的和，还是180°。
师：大家现在对三角形的内角和是180°还有疑问吗？
生齐答：没有。
（三）练习
师:那我们就用刚才的研究成果来解决实际问题吧。
出示:一个三角形的风筝，一个底角是70°，顶角是多少度呢？ 生板演。
（四）拓展小组的汇报
师：在研究三角形的内角和的过程中，还有两个同学还研究出了五边形，六边形的内角和，下面有请这两个同学汇报。
生1：我发现，从五边形的一个顶点出发，可以画两条对角线，将这个五边形分成了三个三角形，这三个三角形的内角和就是五边形的内角和，就是：180°×3＝540°.同样，可以得出六边形的内角和就是
180°×4＝720°.
生2：我发现，每多一条边，内角和就增加180°。
师：大家认为他们是不是非常善于动脑，发现问题呀？
生：我很佩服他们，我就没想出他们的方法。
（五）总结
师：刚才大家表现的都非常出色，谁来说一说这节课你有什么收获吗?
生谈自己的收获。
（六）评价颁奖
师：那大家认为，本节课中，谁更有资格获得这些奖项呢？ 生评价，颁奖。
五、教学反思：
关于三角形的内角和，学生并不陌生，但怎么来验证是问题的所在，让学生在课下研究，让每位同学都参与了研究，第二天收集学生的研究成果时，出现了学生为了拼凑180°，不是实事求是的测量每个角的度数的情况，我对用测量来验证三角形的内角和的同学，要求他们重新画图，实事求是的测量。因为没学中位线，有部分学生在拼凑的过程中出现了困难，花费的时间较长，这部分同学，我引导他们找窍门，从而能较准确的拼凑成平角。
这样，学生进行测量、计算，但得不到统一的结果，再让用把三个角拼在一起得到一个平角的同学进行验证。这时，由于拼凑也容易出现误差，所以这种方法也不是令人信服，于是，引出了用四边形的内角和来验证的比较严密的方法。
在教学过程中，我说的有点多，对学生还是放手不够，在练习的过程中，应该在引导学生进一步巩固三角形的内角和是180°这一结论。
三角形的内角和（一组研究报告）
研究人：孙元鸿 潘雪梅
研究题目：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？ 研究准备：一副三角板 钝角三角形 锐角三角形 直角三角形 量角器
研究方法：画图 测量 计算
研究过程：1、分别计算一副三角板的内角和是180°。由此猜想：所有三角形的内角和都是180°。
2、为了进一步验证三角形的内角和是不是180°，我们分别画了三种不同的三角形：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，然后用量角器分别量出了各个三角形的各角的度数，分别计算出它们的内角和。
（孙元鸿）通过测量我发现：我画的这个锐角三角形的各个角的度数分别是：34°、78°、68°，内角和是180°；直角三角形的各个角的度数分别是：90°、37°、53°，内角和是180°；钝角三角形的各个角的度数分别是：115°、34°、31°，内角和是180°。所以我认为三角板的内角和是180°。
（潘雪梅）我也分别画了三种不同的三角形：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，通过测量我发现：我画的这个锐角三角形的各个角的度数分别是：54°、73°、55°，内角和是182°；直角三角形的各个角的度数分别是：90°、42°、48°，内角和是180°；钝角三角形的各个角的度数分别是：108°、33°、40°，内角和是181°。所以我认为三角板的内角和是180°左右。
我们小组认为：三角形的内角和在180°左右。
三角形的内角和（二组研究报告）
研究人：张冰冰 王家兴
研究题目：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？ 研究准备：钝角三角形、锐角三角形、直角三角形纸片 研究方法：用撕和拼的方法研究三角形的内角和
研究过程：（张冰冰）我把三角形的两个角撕下来，和第三个角拼在一起，看到拼成的这个大角的两边在一条直线上，这三个角组成了一个平角，平角是180°，三种三角形都能分别组成一个平角。所以，我得出三角形的内角和是180°。
（王家兴）我也是用拼的方法，但没有撕，而是通过折叠。把上面的角沿虚线横折，顶点落在底边上，再将剩下的两个角横折过来，使三个角正好拼在一起，这三个角也组成了一个平角。同样，其他两种三角形也能组成平角。所以，我得出三角形的内角和是180°。 所以我们认为：三角形的内角和是180°。
三角形的内角和（三组研究报告）
研究人：孙梓硕 李虹霓 任明慧
研究题目：三角形的三个内角的和是多少度？你是怎么验证的？ 研究准备：长方形、正方形、平行四边形纸片
研究方法：用四边形的内角和来研究三角形的内角和
研究过程：（孙梓硕）我们在研究三角形的内角和时，联想到，我们上学期学过的四边形的内角和是360°。我们就试着用四边形来研究三角形的内角和。我是用长方形来研究的，我把长方形沿着一条对角线剪开，就得到了两个完全一样的直角三角形，这两个直角三角形六个角的度数和正好是长方形的内角和，是360°。所以，一个直角三角形的内角和就是360°÷2＝180°。
（李虹霓）：我是用正方形来研究的，方法和他的一样，也得出三角形的内角和是180°。
（任明慧）我是用平行四边形来研究的，沿着这条对角线剪开，就得到两个完全一样的锐角三角形，所以，每个锐角三角形的内角和就是360°÷2＝180°；沿着另一条对角线剪开，就可以得到两个完全一样的钝角三角形，同样，每个钝角三角形的内角和也是360°÷2＝180°。
所以我们认为：三角形的内角和就是180°。