2017年中招考试数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2017•河南)下列各数中比1大的数是( ) A .2
B .0
C .﹣1 D .﹣3
【解答】解:2>0>﹣1>﹣3, 故选:A .
2.(2017•河南)2016年,我国国内生产总值达到74.4万亿元,数据“74.4万亿”用科学记数法表示( )
A .74.4×1012 B .7.44×1013 C .74.4×1013 D .7.44×1015 【解答】解:将74.4万亿用科学记数法表示为:7.44×1013. 故选:B .
3.(2017•河南)某几何体的左视图如图所示,则该几何体不可能是( )
A . B . C . D .
【解答】解:从左视图可以发现:该几何体共有两列,正方体的个数分别为2,1, D 不符合, 故选D .
4.(2017•河南)解分式方程
﹣2=
,去分母得( )
D .1﹣2x +2=3
A .1﹣2(x ﹣1)=﹣3 B .1﹣2(x ﹣1)=3 C.1﹣2x ﹣2=﹣3
【解答】解:分式方程整理得:去分母得:1﹣2(x ﹣1)=﹣3, 故选A
﹣2=﹣,
5.(2017•河南)八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为:80分,85分,95分,95分,95分,100分,则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是( ) A .95分,95分
B .95分,90分
C .90分,95分
D .95分,85分
【解答】解:位于中间位置的两数分别是95分和95分, 故中位数为95分,
数据95出现了3次,最多, 故这组数据的众数是95分, 故选A .
6.(2017•河南)一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根
B .有两个不相等的实数根
C .只有一个实数根 D.没有实数根
【解答】解:∵△=(﹣5)2﹣4×2×(﹣2)=41>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选B .
7.(2017•河南)如图,在▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( )
A .AC ⊥BD B .AB=BC C .AC=BD D .∠1=∠2
【解答】解:A 、正确.对角线垂直的平行四边形的菱形. B 、正确.邻边相等的平行四边形是菱形.
C 、错误.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形.
D 、正确.可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等,即可判定是菱形. 故选C .
8.(2017•河南)如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字﹣1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针价好指在分界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为( )
A . B . C . D . 【解答】解:画树状图得:
∵共有16种等可能的结果,两个数字都是正数的有4种情况, ∴两个数字都是正数的概率是:故选:C .
9.(2017•河南)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上,AB 的中点是坐标原点O ,固定点A ,B ,把正方形沿箭头方向推,使点D 落在y 轴正半轴上点D′处,则点C 的对应点C′的坐标为( )
=.
A .(,1) B .(2,1) C.(1,) D .(2,)
【解答】解:∵AD′=AD=2, AO=AB=1, ∴
OD′=
=
,
∵C′D′=2,C′D′∥AB , ∴C (2,故选D .
10.(2017•河南)如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°,点O ,B 的对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是( )
),
A . B.
2﹣ C .
2﹣ D .4﹣
【解答】解:连接OO′,BO′,
∵将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°, ∴∠OAO′=60°,
∴△OAO′是等边三角形, ∴∠AOO′=60°, ∵∠AOB=120°, ∴∠O′OB=60°,
∴△OO′B是等边三角形, ∴∠AO′B=120°, ∵∠AO′B′=120°, ∴∠B′O′B=120°, ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°,
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣(S 扇形O′OB﹣S △OO′B)=×1×2﹣×2×故选C .
)=2
﹣
.
﹣
(
二.填空题(共5小题) 11.(2017•河南)计算:23﹣【解答】解:23﹣故答案为:6.
12.(2017•河南)不等式组
的解集是
=8﹣2=6,
= 6 .
【解答】解:
解不等式①0得:x ≤2,
解不等式②得:x >﹣1, ∴不等式组的解集是﹣1<x ≤2, 故答案为﹣1<x ≤2.
13.(2017•河南)已知点A (1,m ),B (2,n )在反比例函数y=﹣的图象上,则m 与n 的大小关系为 m <n .
【解答】解:∵反比例函数y=﹣中k=﹣2<0,
∴此函数的图象在二、四象限内,在每个象限内,y 随x 的增大而增大, ∵0<1<2,
∴A 、B 两点均在第四象限, ∴m <n . 故答案为m <n .
14.(2017•河南)如图1,点P 从△ABC 的顶点B 出发,沿B→C→A匀速运动到点A ,图2是点P 运动时,线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象,其中M 为曲线部分的最低点,则△ABC 的面积是 12 .
【解答】解:根据图象可知点P 在BC 上运动时,此时BP 不断增大, 由图象可知:点P 从B 向C 运动时,BP 的最大值为5, 即BC=5,
由于M 是曲线部分的最低点, ∴此时BP 最小, 即BP ⊥AC ,BP=4,
∴由勾股定理可知:PC=3,
由于图象的曲线部分是轴对称图形, ∴PA=3, ∴AC=6,
∴△ABC
的面积为:×4×6=12 故答案为:12
15.(2017•河南)如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BC=
+1,点M ,N
分别是边BC ,AB 上的动点,沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点B′始终落在边AC 上,若△MB′C为直角三角形,则BM 的长为
或1 .
【解答】解:①如图1,
当∠B′MC=90°,B′与A 重合,M 是BC 的中点, ∴
BM=BC=
+;
②如图2,当∠MB′C=90°, ∵∠A=90°,AB=AC, ∴∠C=45°,
∴△CMB′是等腰直角三角形, ∴CM=
MB′,
∵沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点B′, ∴BM=B′M, ∴CM=∵
BC=
BM , +1,
BM +BM=
+1,
∴CM +BM=∴BM=1,
综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM
的长为故答案为:
+或1.
+或1,
三.解答题(共8小题)
16.(2017•河南)先化简,再求值:(2x +y )2+(x ﹣y )(x +y )﹣5x (x ﹣y ),其中x=
+1,
y=
﹣1.
【解答】解:(2x +y )2+(x ﹣y )(x +y )﹣5x (x ﹣y ) =4x2+4xy +y 2+x 2﹣y 2﹣5x 2+5xy =9xy 当x=
+1,
y=
﹣1时,
﹣1)
原式=9(+1)(
=9×(2﹣1) =9×1 =9
17.(2017•河南)为了了解同学们每月零花钱的数额,校园小记者随机调查了本校部分同学,根据调查结果,绘制出了如下两个尚不完整的统计图表. 调查结果统计表
请根据以上图表,解答下列问题:
(1)填空:这次被调查的同学共有 50 人,a +b= 28 ,m= 8 ; (2)求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数;
(3)该校共有学生1000人,请估计每月零花钱的数额x 在60≤x <120范围的人数.
【解答】解:(1)调查的总人数是16÷32%=50(人), 则b=50×16%=8,a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20, A 组所占的百分比是a +b=8+20=28.
故答案是:50,28,8;
(2)扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是360°×
=144°;
=560(人).
=8%,则m=8.
(3)每月零花钱的数额x 在60≤x <120范围的人数是1000×
18.(2017•河南)如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ,过点C 作CF ∥AB ,与过点B 的切线交于点F ,连接BD . (1)求证:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC 的长.
【解答】(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠BDA=90°,
∴BD ⊥AC ,∠BDC=90°, ∵BF 切⊙O 于B ,
∴AB ⊥BF , ∵CF ∥AB ,
∴CF ⊥BF ,∠FCB=∠ABC , ∵AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC , ∴∠ACB=∠FCB , ∵BD ⊥AC ,BF ⊥CF , ∴BD=BF;
(2)解:∵AB=10,AB=AC, ∴AC=10, ∵CD=4, ∴AD=10﹣4=6,
在Rt △ADB 中,由勾股定理得:BD=在Rt △BDC 中,由勾股定理得:
BC=
19.(2017•河南)如图所示,我国两艘海监船A ,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C ,此时,B 船在A 船的正南方向5海里处,A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向,B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向,已知A 船的航速为30海里/小时,B 船的航速为25海里/小时,问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,
≈1.41)
=8, =4
.
【解答】解:如图作CE ⊥AB 于E .
在Rt △ACE 中,∵∠A=45°,
∴AE=EC,设AE=EC=x,则BE=x﹣5,
在Rt △BCE 中,
∵tan53°=
∴=, , 解得x=20,
∴AE=EC=20,
∴AC=20
BC==28.2, =25,
=0.94小时,B 船到C 的时间==1小时, ∴A 船到C 的时间≈
∴C 船至少要等待0.94小时才能得到救援.
20.(2017•河南)如图,一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=(x >0)的图象交于点A (m ,3)和B (3,1).
(1)填空:一次函数的解析式为 y=﹣x +4 ,反比例函数的解析式为 y= ;
(2)点P 是线段AB 上一点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,连接OP ,若△POD 的面积为S ,求S 的取值范围.
【解答】解:(1)将B (3,1)代入y=,
∴k=3,
将A (m ,3)代入y=,
∴m=1,
∴A (1,3),
将A (1,3)代入代入y=﹣x +b ,
∴b=4,
∴y=﹣x +4
(2)设P (x ,y ),
由(1)可知:1≤x ≤3,
∴PD=y=﹣x +4,OD=x,
∴S=x (﹣x +4),
∴由二次函数的图象可知:
S 的取值范围为:≤S ≤2
故答案为:(1)y=﹣x +4;y=.
21.(2017•河南)学校“百变魔方”社团准备购买A ,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价;
(2)结合社员们的需求,社团决定购买A ,B 两种魔方共100个(其中A 种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选
择哪种优惠活动购买魔方更实惠.
【解答】(按买3个A 种魔方和买4个B 种魔方钱数相同解答)
解:(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个, 根据题意得:
解得:. , 答:A 种魔方的单价为20元/个,B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m ≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100﹣m )个,
根据题意得:w 活动一=20m×0.8+15(100﹣m )×0.4=10m+600;
w 活动二=20m+15(100﹣m ﹣m )=﹣10m +1500.
当w 活动一<w 活动二时,有10m +600<﹣10m +1500,
解得:m <45;
当w 活动一=w活动二时,有10m +600=﹣10m +1500,
解得:m=45;
当w 活动一>w 活动二时,有10m +600>﹣10m +1500,
解得:45<m ≤50.
综上所述:当m <45时,选择活动一购买魔方更实惠;当m=45时,选择两种活动费用相同;当m >45时,选择活动二购买魔方更实惠.
(按购买3个A 种魔方和4个B 种魔方需要130元解答)
解:(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个, 根据题意得:,
解得:.
答:A 种魔方的单价为26元/个,B 种魔方的单价为13元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m ≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100﹣m )个,
根据题意得:w 活动一=26m×0.8+13(100﹣m )×0.4=15.6m+520;
w 活动二=26m+13(100﹣m ﹣m )=1300.
当w 活动一<w 活动二时,有15.6m +520<1300,
解得:m <50;
当w 活动一=w活动二时,有15.6m +520=1300,
解得:m=50;
当w 活动一>w 活动二时,有15.6m +520>1300,
不等式无解.
综上所述:当m <50时,选择活动一购买魔方更实惠;当m=50时,选择两种活动费用相同.
22.(2017•河南)如图1,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD=AE,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM 与PN 的数量关系是,位置关系是⊥PN ;
(2)探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN 面积的最大值.
【解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点,
∴PN ∥BD ,PN=BD ,
∵点P ,M 是CD ,DE 的中点,
∴PM ∥CE ,PM=CE ,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN ∥BD ,
∴∠DPN=∠ADC ,
∵PM ∥CE ,
∴∠DPM=∠DCA ,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC +∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCA +∠ADC=90°,
∴PM ⊥PN ,
故答案为:PM=PN,PM ⊥PN ,
(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE ,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD ≌△ACE (SAS ),
∴∠ABD=∠ACE ,BD=CE,
同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN=BD ,PM=CE ,
∴PM=PN,
∴△PMN 是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM ∥CE ,
∴∠DPM=∠DCE ,
同(1)的方法得,PN ∥BD ,
∴∠PNC=∠DBC ,
∵∠DPN=∠DCB +∠PNC=∠DCB +∠DBC ,
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCE +∠DCB +∠DBC
=∠BCE +∠DBC=∠ACB +∠ACE +∠DBC
=∠ACB +∠ABD +∠DBC=∠ACB +∠ABC ,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB +∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN 是等腰直角三角形,
(3)如图2,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形,
∴MN 最大时,△PMN 的面积最大,
∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面,
∴MN 最大=AM+AN ,
连接AM ,AN ,
在△ADE 中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
, 在Rt △ABC 中,AB=AC=10,AN=5
∴MN 最大=2+5=7,
∴S △PMN 最大=PM 2=×MN 2=×(7)2=.
23.(2017•河南)如图,直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A (3,0),与y 轴交于点B ,抛物线y=
﹣x 2+bx +c 经过点A ,B .
(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式;
(2)M (m ,0)为x 轴上一动点,过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ,N .
①点M 在线段OA 上运动,若以B ,P ,N 为顶点的三角形与△APM 相似,求点M 的坐标;
②点M 在x 轴上自由运动,若三个点M ,P ,N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M ,P ,N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ,P ,N 三点成为“共谐点”的m 的值.
【解答】解:
(1)∵y=﹣x +c 与x 轴交于点A (3,0),与y 轴交于点B ,
∴0=﹣2+c ,解得c=2,
∴B (0,2),
∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ,B , ∴,解得,
x +2; ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+
(2)①由(1)可知直线解析式为y=﹣x +2,
∵M (m ,0)为x 轴上一动点,过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ,N ,
∴P (m ,﹣m +2),N (m ,﹣m 2+
∴PM=﹣m +2,PA=3﹣m ,PN=﹣m 2+m +2), m +2﹣(﹣m +2)=﹣m 2+4m , ∵△BPN 和△APM 相似,且∠BPN=∠APM ,
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,
当∠BNP=90°时,则有BN ⊥MN ,
∴BN=OM=m, ∴=,即=,解得m=0(舍去)或m=2.5,
∴M (2.5,0);
当∠NBP=90°时,则有=,
∵A (3,0),B (0,2),P (m ,﹣m +2),
∴
BP==m ,AP==(3﹣m ), ∴
=,解得m=0(舍去)或m=,
∴M (,0);
综上可知当以B ,P ,N 为顶点的三角形与△APM 相似时,点M 的坐标为(2.5,0)或(,0);
m +2), ②由①可知M (m ,0),P (m ,﹣m +2),N (m ,﹣m 2+
∵M ,P ,N 三点为“共谐点”,
∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点, 当P 为线段MN 的中点时,则有2(﹣m +2)=﹣m 2+
点重合,舍去)或m=; m +2,解得m=3(三
当M 为线段PN 的中点时,则有﹣m +2+(﹣m 2+
去)或m=﹣1;
当N 为线段PM 的中点时,则有﹣m +2=2(﹣m 2+
或m=﹣; m +2)=0,解得m=3(舍m +2),解得m=3(舍去)
综上可知当M ,P ,N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣.
2017年中招考试数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2017•河南)下列各数中比1大的数是( ) A .2
B .0
C .﹣1 D .﹣3
【解答】解:2>0>﹣1>﹣3, 故选:A .
2.(2017•河南)2016年,我国国内生产总值达到74.4万亿元,数据“74.4万亿”用科学记数法表示( )
A .74.4×1012 B .7.44×1013 C .74.4×1013 D .7.44×1015 【解答】解:将74.4万亿用科学记数法表示为:7.44×1013. 故选:B .
3.(2017•河南)某几何体的左视图如图所示,则该几何体不可能是( )
A . B . C . D .
【解答】解:从左视图可以发现:该几何体共有两列,正方体的个数分别为2,1, D 不符合, 故选D .
4.(2017•河南)解分式方程
﹣2=
,去分母得( )
D .1﹣2x +2=3
A .1﹣2(x ﹣1)=﹣3 B .1﹣2(x ﹣1)=3 C.1﹣2x ﹣2=﹣3
【解答】解:分式方程整理得:去分母得:1﹣2(x ﹣1)=﹣3, 故选A
﹣2=﹣,
5.(2017•河南)八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为:80分,85分,95分,95分,95分,100分,则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是( ) A .95分,95分
B .95分,90分
C .90分,95分
D .95分,85分
【解答】解:位于中间位置的两数分别是95分和95分, 故中位数为95分,
数据95出现了3次,最多, 故这组数据的众数是95分, 故选A .
6.(2017•河南)一元二次方程2x 2﹣5x ﹣2=0的根的情况是( ) A .有两个相等的实数根
B .有两个不相等的实数根
C .只有一个实数根 D.没有实数根
【解答】解:∵△=(﹣5)2﹣4×2×(﹣2)=41>0, ∴方程有两个不相等的实数根. 故选B .
7.(2017•河南)如图,在▱ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,添加下列条件不能判定▱ABCD 是菱形的只有( )
A .AC ⊥BD B .AB=BC C .AC=BD D .∠1=∠2
【解答】解:A 、正确.对角线垂直的平行四边形的菱形. B 、正确.邻边相等的平行四边形是菱形.
C 、错误.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形.
D 、正确.可以证明平行四边形ABCD 的邻边相等,即可判定是菱形. 故选C .
8.(2017•河南)如图是一次数学活动课制作的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字﹣1,0,1,2.若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针价好指在分界线上时,不记,重转),则记录的两个数字都是正数的概率为( )
A . B . C . D . 【解答】解:画树状图得:
∵共有16种等可能的结果,两个数字都是正数的有4种情况, ∴两个数字都是正数的概率是:故选:C .
9.(2017•河南)我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上,AB 的中点是坐标原点O ,固定点A ,B ,把正方形沿箭头方向推,使点D 落在y 轴正半轴上点D′处,则点C 的对应点C′的坐标为( )
=.
A .(,1) B .(2,1) C.(1,) D .(2,)
【解答】解:∵AD′=AD=2, AO=AB=1, ∴
OD′=
=
,
∵C′D′=2,C′D′∥AB , ∴C (2,故选D .
10.(2017•河南)如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°,点O ,B 的对应点分别为O′,B′,连接BB′,则图中阴影部分的面积是( )
),
A . B.
2﹣ C .
2﹣ D .4﹣
【解答】解:连接OO′,BO′,
∵将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°, ∴∠OAO′=60°,
∴△OAO′是等边三角形, ∴∠AOO′=60°, ∵∠AOB=120°, ∴∠O′OB=60°,
∴△OO′B是等边三角形, ∴∠AO′B=120°, ∵∠AO′B′=120°, ∴∠B′O′B=120°, ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°,
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣(S 扇形O′OB﹣S △OO′B)=×1×2﹣×2×故选C .
)=2
﹣
.
﹣
(
二.填空题(共5小题) 11.(2017•河南)计算:23﹣【解答】解:23﹣故答案为:6.
12.(2017•河南)不等式组
的解集是
=8﹣2=6,
= 6 .
【解答】解:
解不等式①0得:x ≤2,
解不等式②得:x >﹣1, ∴不等式组的解集是﹣1<x ≤2, 故答案为﹣1<x ≤2.
13.(2017•河南)已知点A (1,m ),B (2,n )在反比例函数y=﹣的图象上,则m 与n 的大小关系为 m <n .
【解答】解:∵反比例函数y=﹣中k=﹣2<0,
∴此函数的图象在二、四象限内,在每个象限内,y 随x 的增大而增大, ∵0<1<2,
∴A 、B 两点均在第四象限, ∴m <n . 故答案为m <n .
14.(2017•河南)如图1,点P 从△ABC 的顶点B 出发,沿B→C→A匀速运动到点A ,图2是点P 运动时,线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象,其中M 为曲线部分的最低点,则△ABC 的面积是 12 .
【解答】解:根据图象可知点P 在BC 上运动时,此时BP 不断增大, 由图象可知:点P 从B 向C 运动时,BP 的最大值为5, 即BC=5,
由于M 是曲线部分的最低点, ∴此时BP 最小, 即BP ⊥AC ,BP=4,
∴由勾股定理可知:PC=3,
由于图象的曲线部分是轴对称图形, ∴PA=3, ∴AC=6,
∴△ABC
的面积为:×4×6=12 故答案为:12
15.(2017•河南)如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BC=
+1,点M ,N
分别是边BC ,AB 上的动点,沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点B′始终落在边AC 上,若△MB′C为直角三角形,则BM 的长为
或1 .
【解答】解:①如图1,
当∠B′MC=90°,B′与A 重合,M 是BC 的中点, ∴
BM=BC=
+;
②如图2,当∠MB′C=90°, ∵∠A=90°,AB=AC, ∴∠C=45°,
∴△CMB′是等腰直角三角形, ∴CM=
MB′,
∵沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点B′, ∴BM=B′M, ∴CM=∵
BC=
BM , +1,
BM +BM=
+1,
∴CM +BM=∴BM=1,
综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM
的长为故答案为:
+或1.
+或1,
三.解答题(共8小题)
16.(2017•河南)先化简,再求值:(2x +y )2+(x ﹣y )(x +y )﹣5x (x ﹣y ),其中x=
+1,
y=
﹣1.
【解答】解:(2x +y )2+(x ﹣y )(x +y )﹣5x (x ﹣y ) =4x2+4xy +y 2+x 2﹣y 2﹣5x 2+5xy =9xy 当x=
+1,
y=
﹣1时,
﹣1)
原式=9(+1)(
=9×(2﹣1) =9×1 =9
17.(2017•河南)为了了解同学们每月零花钱的数额,校园小记者随机调查了本校部分同学,根据调查结果,绘制出了如下两个尚不完整的统计图表. 调查结果统计表
请根据以上图表,解答下列问题:
(1)填空:这次被调查的同学共有 50 人,a +b= 28 ,m= 8 ; (2)求扇形统计图中扇形C 的圆心角度数;
(3)该校共有学生1000人,请估计每月零花钱的数额x 在60≤x <120范围的人数.
【解答】解:(1)调查的总人数是16÷32%=50(人), 则b=50×16%=8,a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20, A 组所占的百分比是a +b=8+20=28.
故答案是:50,28,8;
(2)扇形统计图中扇形C 的圆心角度数是360°×
=144°;
=560(人).
=8%,则m=8.
(3)每月零花钱的数额x 在60≤x <120范围的人数是1000×
18.(2017•河南)如图,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ,过点C 作CF ∥AB ,与过点B 的切线交于点F ,连接BD . (1)求证:BD=BF;
(2)若AB=10,CD=4,求BC 的长.
【解答】(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠BDA=90°,
∴BD ⊥AC ,∠BDC=90°, ∵BF 切⊙O 于B ,
∴AB ⊥BF , ∵CF ∥AB ,
∴CF ⊥BF ,∠FCB=∠ABC , ∵AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC , ∴∠ACB=∠FCB , ∵BD ⊥AC ,BF ⊥CF , ∴BD=BF;
(2)解:∵AB=10,AB=AC, ∴AC=10, ∵CD=4, ∴AD=10﹣4=6,
在Rt △ADB 中,由勾股定理得:BD=在Rt △BDC 中,由勾股定理得:
BC=
19.(2017•河南)如图所示,我国两艘海监船A ,B 在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C ,此时,B 船在A 船的正南方向5海里处,A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向,B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向,已知A 船的航速为30海里/小时,B 船的航速为25海里/小时,问C 船至少要等待多长时间才能得到救援?(参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈,
≈1.41)
=8, =4
.
【解答】解:如图作CE ⊥AB 于E .
在Rt △ACE 中,∵∠A=45°,
∴AE=EC,设AE=EC=x,则BE=x﹣5,
在Rt △BCE 中,
∵tan53°=
∴=, , 解得x=20,
∴AE=EC=20,
∴AC=20
BC==28.2, =25,
=0.94小时,B 船到C 的时间==1小时, ∴A 船到C 的时间≈
∴C 船至少要等待0.94小时才能得到救援.
20.(2017•河南)如图,一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=(x >0)的图象交于点A (m ,3)和B (3,1).
(1)填空:一次函数的解析式为 y=﹣x +4 ,反比例函数的解析式为 y= ;
(2)点P 是线段AB 上一点,过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,连接OP ,若△POD 的面积为S ,求S 的取值范围.
【解答】解:(1)将B (3,1)代入y=,
∴k=3,
将A (m ,3)代入y=,
∴m=1,
∴A (1,3),
将A (1,3)代入代入y=﹣x +b ,
∴b=4,
∴y=﹣x +4
(2)设P (x ,y ),
由(1)可知:1≤x ≤3,
∴PD=y=﹣x +4,OD=x,
∴S=x (﹣x +4),
∴由二次函数的图象可知:
S 的取值范围为:≤S ≤2
故答案为:(1)y=﹣x +4;y=.
21.(2017•河南)学校“百变魔方”社团准备购买A ,B 两种魔方,已知购买2个A 种魔方和6个B 种魔方共需130元,购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同.
(1)求这两种魔方的单价;
(2)结合社员们的需求,社团决定购买A ,B 两种魔方共100个(其中A 种魔方不超过50个).某商店有两种优惠活动,如图所示.请根据以上信息,说明选
择哪种优惠活动购买魔方更实惠.
【解答】(按买3个A 种魔方和买4个B 种魔方钱数相同解答)
解:(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个, 根据题意得:
解得:. , 答:A 种魔方的单价为20元/个,B 种魔方的单价为15元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m ≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100﹣m )个,
根据题意得:w 活动一=20m×0.8+15(100﹣m )×0.4=10m+600;
w 活动二=20m+15(100﹣m ﹣m )=﹣10m +1500.
当w 活动一<w 活动二时,有10m +600<﹣10m +1500,
解得:m <45;
当w 活动一=w活动二时,有10m +600=﹣10m +1500,
解得:m=45;
当w 活动一>w 活动二时,有10m +600>﹣10m +1500,
解得:45<m ≤50.
综上所述:当m <45时,选择活动一购买魔方更实惠;当m=45时,选择两种活动费用相同;当m >45时,选择活动二购买魔方更实惠.
(按购买3个A 种魔方和4个B 种魔方需要130元解答)
解:(1)设A 种魔方的单价为x 元/个,B 种魔方的单价为y 元/个, 根据题意得:,
解得:.
答:A 种魔方的单价为26元/个,B 种魔方的单价为13元/个.
(2)设购进A 种魔方m 个(0≤m ≤50),总价格为w 元,则购进B 种魔方(100﹣m )个,
根据题意得:w 活动一=26m×0.8+13(100﹣m )×0.4=15.6m+520;
w 活动二=26m+13(100﹣m ﹣m )=1300.
当w 活动一<w 活动二时,有15.6m +520<1300,
解得:m <50;
当w 活动一=w活动二时,有15.6m +520=1300,
解得:m=50;
当w 活动一>w 活动二时,有15.6m +520>1300,
不等式无解.
综上所述:当m <50时,选择活动一购买魔方更实惠;当m=50时,选择两种活动费用相同.
22.(2017•河南)如图1,在Rt △ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD=AE,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想
图1中,线段PM 与PN 的数量关系是,位置关系是⊥PN ;
(2)探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN 面积的最大值.
【解答】解:(1)∵点P ,N 是BC ,CD 的中点,
∴PN ∥BD ,PN=BD ,
∵点P ,M 是CD ,DE 的中点,
∴PM ∥CE ,PM=CE ,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN ∥BD ,
∴∠DPN=∠ADC ,
∵PM ∥CE ,
∴∠DPM=∠DCA ,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC +∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCA +∠ADC=90°,
∴PM ⊥PN ,
故答案为:PM=PN,PM ⊥PN ,
(2)由旋转知,∠BAD=∠CAE ,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD ≌△ACE (SAS ),
∴∠ABD=∠ACE ,BD=CE,
同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN=BD ,PM=CE ,
∴PM=PN,
∴△PMN 是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM ∥CE ,
∴∠DPM=∠DCE ,
同(1)的方法得,PN ∥BD ,
∴∠PNC=∠DBC ,
∵∠DPN=∠DCB +∠PNC=∠DCB +∠DBC ,
∴∠MPN=∠DPM +∠DPN=∠DCE +∠DCB +∠DBC
=∠BCE +∠DBC=∠ACB +∠ACE +∠DBC
=∠ACB +∠ABD +∠DBC=∠ACB +∠ABC ,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB +∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN 是等腰直角三角形,
(3)如图2,同(2)的方法得,△PMN 是等腰直角三角形,
∴MN 最大时,△PMN 的面积最大,
∴DE ∥BC 且DE 在顶点A 上面,
∴MN 最大=AM+AN ,
连接AM ,AN ,
在△ADE 中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
, 在Rt △ABC 中,AB=AC=10,AN=5
∴MN 最大=2+5=7,
∴S △PMN 最大=PM 2=×MN 2=×(7)2=.
23.(2017•河南)如图,直线y=﹣x +c 与x 轴交于点A (3,0),与y 轴交于点B ,抛物线y=
﹣x 2+bx +c 经过点A ,B .
(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式;
(2)M (m ,0)为x 轴上一动点,过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ,N .
①点M 在线段OA 上运动,若以B ,P ,N 为顶点的三角形与△APM 相似,求点M 的坐标;
②点M 在x 轴上自由运动,若三个点M ,P ,N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),则称M ,P ,N 三点为“共谐点”.请直接写出使得M ,P ,N 三点成为“共谐点”的m 的值.
【解答】解:
(1)∵y=﹣x +c 与x 轴交于点A (3,0),与y 轴交于点B ,
∴0=﹣2+c ,解得c=2,
∴B (0,2),
∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点A ,B , ∴,解得,
x +2; ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+
(2)①由(1)可知直线解析式为y=﹣x +2,
∵M (m ,0)为x 轴上一动点,过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ,N ,
∴P (m ,﹣m +2),N (m ,﹣m 2+
∴PM=﹣m +2,PA=3﹣m ,PN=﹣m 2+m +2), m +2﹣(﹣m +2)=﹣m 2+4m , ∵△BPN 和△APM 相似,且∠BPN=∠APM ,
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°,
当∠BNP=90°时,则有BN ⊥MN ,
∴BN=OM=m, ∴=,即=,解得m=0(舍去)或m=2.5,
∴M (2.5,0);
当∠NBP=90°时,则有=,
∵A (3,0),B (0,2),P (m ,﹣m +2),
∴
BP==m ,AP==(3﹣m ), ∴
=,解得m=0(舍去)或m=,
∴M (,0);
综上可知当以B ,P ,N 为顶点的三角形与△APM 相似时,点M 的坐标为(2.5,0)或(,0);
m +2), ②由①可知M (m ,0),P (m ,﹣m +2),N (m ,﹣m 2+
∵M ,P ,N 三点为“共谐点”,
∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点, 当P 为线段MN 的中点时,则有2(﹣m +2)=﹣m 2+
点重合,舍去)或m=; m +2,解得m=3(三
当M 为线段PN 的中点时,则有﹣m +2+(﹣m 2+
去)或m=﹣1;
当N 为线段PM 的中点时,则有﹣m +2=2(﹣m 2+
或m=﹣; m +2)=0,解得m=3(舍m +2),解得m=3(舍去)
综上可知当M ,P ,N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣.