阿凡题福利，2013年理科数学高考真题分享
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．
答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：
样本数据x 1, x 2, x n 的标准差
(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2
其中为样本平均数 s =
n
球的面积公式 S =4πR
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1. 复数A ．
2
1+2i
（i 是虚数单位）的虚部是 1+i
31
B ． C ．3 D ．1 22
2. 已知R 是实数集，M =⎨x
⎧2⎫
C. ∅ D ．[1, 2]
{}
A ．(1, 2)
B ．[0, 2]
3. 现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2-a 5=0
则
，
S 4
= S 2
A ．5 B ．8 C ．-8 D ．15 5. 已知函数f (x ) =sin(2x -的值是 A ．
π
6
) ，若存在a ∈(0, π) ，使得f (x +a ) =f (x -a ) 恒成立，则a
ππππ B ． C ． D ． 6342
6. 已知m 、n 表示直线，α, β, γ表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）α β=m , n ⊂α, n ⊥m , 则α⊥β （2）α⊥β, α γ=m , β γ=n , 则n ⊥m （3）m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β （4）m ⊥α, n ⊥β, m ⊥n , 则α⊥β A ．（1）、（2）
B ．（3）、（4）
C ．（2）、（3）
D ．（2）、（4）
7. 已知平面上不共线的四点O , A , B , C ，若=3-2, 等于
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知三角形∆ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为角形的周长是
A ．18 B ．21 C ．24 D ．15
，则这个三2
9. 函数f (x ) =lg x -
1
的零点所在的区间是 x
A ．(0, 1] B ．(1, 10] C ．(10, 100] D ．(100, +∞) 10. 过直线y =x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x +7=0的切线，则切线长的最小值为
A ．
232 B ． C ． D ．
222
11. 已知函数f (x ) =x 2+ax -2b . 若a , b 都是区间[0, 4]内的数，则使f (1) >0成立的概率是
3153
B ． C ． D ．
8844
x 2y 2
-=1，F 为其右焦点，A 1, A 2是实轴的两端点，设P 为12. 已知双曲线的标准方程为
916
A ．
双曲线上不同于A 1, A 2的任意一点，直线A 1P , A 2P 与直线x =a 分别交于两点M , N , 若
⋅=0, 则a 的值为
A ．
———————————————华丽丽的分割线————————————————
恭喜你，亲！第一部分已经答题成功啦~……“想要更多题型和资料？搜索阿凡题学习神器，海量题库等着你来领！”
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答
案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．
1692516
B ． C ． D ．
5995
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.
14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.
第14题图
第13题图
15. 地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R =
2
(lgE -11. 4) ．2011年3月11日，日3
本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16. 给出下列命题： ①已知a , b 都是正数，且, m
a +1a
>，则a
②已知f '(x ) 是f (x ) 的导函数，若∀x ∈R , f '(x ) ≥0，则f (1)
2
④“x ≤1, 且y ≤1”是“x +y ≤2”的充要条件.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
阿凡题，何方神圣？！居然有人隔空传音来此地打广告，还能不能让小伙伴们好好的做题了啊~~等等，容小编我踏着七彩祥云去观望下它的真面目！！！你们继续用心做题，我去去就回来！
三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
→x x x
已知向量a =(1, cos 与b =(sin +cos , y ) 共线，且有函数y =f (x ) ．
222
→
（Ⅰ）若f (x ) =1，求cos(
2π
-2x ) 的值； 3
（Ⅱ）在∆ABC 中，角A , B , C , 的对边分别是a , b , c ，且满足2a cos C +c =2b ，求函数
f (B ) 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0, 且S 3+S 5=50, a 1, a 4, a 13成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设⎨
⎧b n ⎫
⎬是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . ⎩a n ⎭
19. （本小题满分12分）
CD =2，CD ⊥面ABC ，已知四棱锥A -BCDE ，其中AB =BC =AC =BE =1，BE
∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；
（Ⅱ）求证：面ADE ⊥面ACD ；
E
（III ）求四棱锥A -BCDE 的体积.
C
20. （本小题满分12分）
D
在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：
现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方
ˆ=程y
4139
x +，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326
差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．
21. （本小题满分12分）
已知函数f (x ) =
ax +b
在点(-1, f (-1)) 的切线方程为x +y +3=0. x 2+1
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）设g (x ) =ln x ，求证：g (x ) ≥f (x ) 在x ∈[1, +∞) 上恒成立. 22. （本小题满分14分）
O ，对实轴长为4的椭圆的中心在原点，其焦点F 1, , F 2在x 轴上. 抛物线的顶点在原点3称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A , 且AF 1⊥AF 2，△AF 1F 2的面积为.
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于B , C , 若=, 求直线l 的斜率k .
咻~
回学习神器了！！来就无比高大上！
不信？对着问题拍照，看能否得出以下正确答案吧！
参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
B D B A D B B D B C C B
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
19
π 15. 102 16. ①③ 13．2 14. 3
三．解答题
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵a 与b 共线
→
→
3
∴
1
=
x x 3sin +cos
22
cos y
x
x x x 1π1
y =3sin cos +cos 2=sin x +(1+cos x ) =sin(x +) +…………3分
2222262
∴f (x ) =sin(x +
π11
=1，即sin(x +) = …………………………………………4分
6262
2ππππ1cos(-2x ) =cos 2(-x ) =2cos 2(-x ) -1=2sin 2(x +) -1=-
33362
) +
π
…………………………………………6分 （Ⅱ）已知2a cos C +c =2b
由正弦定理得：
2sin A cos C +sin C =2sin B =2sin(A +C ) 2sin A cos C +sin C =2sin A cos C +2cos A sin C
∴cos A =
π1
，∴在∆ABC 中 ∠A = …………………………………………8分
32
π1
f (B ) =sin(B +) +
62
2πππ5π,
336661π3∴
3
∴函数f (B ) 的取值范围为(1, ] …………………………………………12分
2
∵∠A =
π
∴0
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得
3⨯24⨯5⎧
d +5a 1+d =50⎪3a 1+ …………………………………………2分 22⎨
⎪(a +3d ) 2=a (a +12d )
11⎩1
解得⎨
⎧a 1=3
， …………………………………………4分 d =2⎩
……………………………6分 ∴a n =a 1+(n -1) d =3+2(n -1) =2n +1，即a n =2n +1．(Ⅱ)
b n
=3n -1，b n =a n ⋅3n -1=(2n +1) ⋅3n -1 …………………………………………7分 a n
T n =3+5⋅3+7⋅32+ +(2n +1) ⋅3n -1
3T n =
3⋅3+5⋅32+7⋅33+ +(2n -1) ⋅3n -1+(2n +1) ⋅3n ……………………9分
-2T n =3+2⋅3+2⋅32+ +2⋅3n -1-(2n +1) 3n
3(1-3n -1)
=3+2⋅-(2n +1) 3n
1-3
=-2n ⋅3n
∴T n =n ⋅3n …………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取AC 中点G, 连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点
1
∴FG ∥CD, 且FG=DC=1 ．
2
∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等
∴EF ∥BG ． ……………………………2分
D
E
C
EF ⊄面ABC , BG ⊂面ABC
∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，
B
∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC
∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC, 该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．
131333
．………………12分 V A -BCDE =V E -ABC +V E -ACD =⨯⨯1+⨯1⨯=+=
34321264
另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ,
∴CD ⊥AO , BC CD =C , ∴AO ⊥平面B C D E ，∴AO 为V A -BCDE 的高，
AO =
, S B 2
C
D =E
(1+2) ⨯13
=, ∴V A -B
22
C
133=⨯⨯=． D E
3224
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6. 设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10
种． …………………………………………3分 所以P (A ) =
2102
=．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是． ………………………6分
3153
ˆ=(Ⅱ) 当x =10时，y
4139219219
⨯10+=, |-10|
⨯30+=, |-16|
ˆ= 当x =30时，y
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）将x =-1代入切线方程得y =-2 ∴f (-1) =
b -a
=-2，化简得b -a =-4． …………………………………………2分 1+1
a (x 2+1) -(ax +b ) ⋅2x
f '(x ) =22
(1+x )
f '(-1) =
2a +2(b -a ) 2b b
===-1 ． …………………………………………4分
442
解得：a =2, b =-2
2x -2
． …………………………………………6分 2
x +1
2x -2
（Ⅱ）由已知得ln x ≥2在[1, +∞) 上恒成立
x +1
∴f (x ) =
化简得(x +1) ln x ≥2x -2
2
即x ln x +ln x -2x +2≥0在[1, +∞) 上恒成立 ． …………………………………………8分
2
设h (x ) =x ln x +ln x -2x +2，
2
h '(x ) =2x ln x +x +
1-2 x
x +
1
≥2，即h '(x ) ≥0． …………………………………………10分 x
∵x ≥1 ∴2x ln x ≥0,
∴h (x ) 在[1, +∞) 上单调递增，h (x ) ≥h (1) =0
∴g (x ) ≥f (x ) 在x ∈[1, +∞) 上恒成立 ． …………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
x 2y 2
解（1）设椭圆方程为2+2=1(a >b >0) ，AF 1=m , AF 2=n a b
⎧m 2+n 2=4c 2
⎪⎪由题意知⎨m +n =4 …………………………………………2分
⎪m n =6⎪⎩
解得c =9，∴b =12-9=3． 22
x 2y 2
+=1 …………………………………………4分 ∴椭圆的方程为123
∵y A ⨯c =3，∴y A =1, 代入椭圆的方程得x A =22，
将点A 坐标代入得抛物线方程为x 2=8y ． …………………………………………6分
（2）设直线l 的方程为y -1=k (x -2) ，B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) 由=2 得x 2-2=2(x 1-2) ， 化简得2x 1-x 2=2 …………………………………………8分 ⎧⎪y -1=k (x -22) 联立直线与抛物线的方程⎨， 2⎪⎩x =8y
得x -8kx +k -8=0 2
∴x 1+2=8k ① …………………………………………10分 ⎧⎪y -1=k (x -22) 联立直线与椭圆的方程⎨ 22⎪⎩x +4y =12
得(1+4k 2) x 2+(8k -k 2) x +32k 2-k -8=0 2k 2-8k ∴x 2+22=② …………………………………………12分 21+4k
2k 2-8k +2=2 ∴2x 1-x 2=2(8k -22) -1+4k 2
整理得：(16k -42)(1-2k ) =0 21+4k
∴k =22 ，所以直线l 的斜率为 ．…………………………………………14分 44
————————————————————————————————
重点的来了，阿凡题的题库量居然达到4000多万道学习试题，而是都会有如上面般详细的解析思路呐，啧啧啧，小伙伴们啊，原来此物还真是一个神圣来的。赶紧来下载，人手一个，学习不再忧！呵呵，看吧，它的好，让小编我也不容自主地干起打广告这活了。谁让小编我爱你们爱的深沉，只想把最好的给你们！
喜欢记得点赞！么么哒~
阿凡题福利，2013年理科数学高考真题分享
2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．
答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置． 参考公式：
样本数据x 1, x 2, x n 的标准差
(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ +(x n -x ) 2
其中为样本平均数 s =
n
球的面积公式 S =4πR
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1. 复数A ．
2
1+2i
（i 是虚数单位）的虚部是 1+i
31
B ． C ．3 D ．1 22
2. 已知R 是实数集，M =⎨x
⎧2⎫
C. ∅ D ．[1, 2]
{}
A ．(1, 2)
B ．[0, 2]
3. 现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2-a 5=0
则
，
S 4
= S 2
A ．5 B ．8 C ．-8 D ．15 5. 已知函数f (x ) =sin(2x -的值是 A ．
π
6
) ，若存在a ∈(0, π) ，使得f (x +a ) =f (x -a ) 恒成立，则a
ππππ B ． C ． D ． 6342
6. 已知m 、n 表示直线，α, β, γ表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 （1）α β=m , n ⊂α, n ⊥m , 则α⊥β （2）α⊥β, α γ=m , β γ=n , 则n ⊥m （3）m ⊥α, m ⊥β, 则α∥β （4）m ⊥α, n ⊥β, m ⊥n , 则α⊥β A ．（1）、（2）
B ．（3）、（4）
C ．（2）、（3）
D ．（2）、（4）
7. 已知平面上不共线的四点O , A , B , C ，若=3-2, 等于
A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 已知三角形∆ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为角形的周长是
A ．18 B ．21 C ．24 D ．15
，则这个三2
9. 函数f (x ) =lg x -
1
的零点所在的区间是 x
A ．(0, 1] B ．(1, 10] C ．(10, 100] D ．(100, +∞) 10. 过直线y =x 上一点P 引圆x 2+y 2-6x +7=0的切线，则切线长的最小值为
A ．
232 B ． C ． D ．
222
11. 已知函数f (x ) =x 2+ax -2b . 若a , b 都是区间[0, 4]内的数，则使f (1) >0成立的概率是
3153
B ． C ． D ．
8844
x 2y 2
-=1，F 为其右焦点，A 1, A 2是实轴的两端点，设P 为12. 已知双曲线的标准方程为
916
A ．
双曲线上不同于A 1, A 2的任意一点，直线A 1P , A 2P 与直线x =a 分别交于两点M , N , 若
⋅=0, 则a 的值为
A ．
———————————————华丽丽的分割线————————————————
恭喜你，亲！第一部分已经答题成功啦~……“想要更多题型和资料？搜索阿凡题学习神器，海量题库等着你来领！”
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答
案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．
1692516
B ． C ． D ．
5995
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.
14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.
第14题图
第13题图
15. 地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R =
2
(lgE -11. 4) ．2011年3月11日，日3
本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． 16. 给出下列命题： ①已知a , b 都是正数，且, m
a +1a
>，则a
②已知f '(x ) 是f (x ) 的导函数，若∀x ∈R , f '(x ) ≥0，则f (1)
2
④“x ≤1, 且y ≤1”是“x +y ≤2”的充要条件.
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
阿凡题，何方神圣？！居然有人隔空传音来此地打广告，还能不能让小伙伴们好好的做题了啊~~等等，容小编我踏着七彩祥云去观望下它的真面目！！！你们继续用心做题，我去去就回来！
三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
→x x x
已知向量a =(1, cos 与b =(sin +cos , y ) 共线，且有函数y =f (x ) ．
222
→
（Ⅰ）若f (x ) =1，求cos(
2π
-2x ) 的值； 3
（Ⅱ）在∆ABC 中，角A , B , C , 的对边分别是a , b , c ，且满足2a cos C +c =2b ，求函数
f (B ) 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0, 且S 3+S 5=50, a 1, a 4, a 13成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设⎨
⎧b n ⎫
⎬是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . ⎩a n ⎭
19. （本小题满分12分）
CD =2，CD ⊥面ABC ，已知四棱锥A -BCDE ，其中AB =BC =AC =BE =1，BE
∥CD ，F 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；
（Ⅱ）求证：面ADE ⊥面ACD ；
E
（III ）求四棱锥A -BCDE 的体积.
C
20. （本小题满分12分）
D
在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：
现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；
（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y 关于x 的线性回归方
ˆ=程y
4139
x +，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326
差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．
21. （本小题满分12分）
已知函数f (x ) =
ax +b
在点(-1, f (-1)) 的切线方程为x +y +3=0. x 2+1
（Ⅰ）求函数f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）设g (x ) =ln x ，求证：g (x ) ≥f (x ) 在x ∈[1, +∞) 上恒成立. 22. （本小题满分14分）
O ，对实轴长为4的椭圆的中心在原点，其焦点F 1, , F 2在x 轴上. 抛物线的顶点在原点3称轴为y 轴，两曲线在第一象限内相交于点A , 且AF 1⊥AF 2，△AF 1F 2的面积为.
（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点A 作直线l 分别与抛物线和椭圆交于B , C , 若=, 求直线l 的斜率k .
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参考答案及评分标准
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）
B D B A D B B D B C C B
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
19
π 15. 102 16. ①③ 13．2 14. 3
三．解答题
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵a 与b 共线
→
→
3
∴
1
=
x x 3sin +cos
22
cos y
x
x x x 1π1
y =3sin cos +cos 2=sin x +(1+cos x ) =sin(x +) +…………3分
2222262
∴f (x ) =sin(x +
π11
=1，即sin(x +) = …………………………………………4分
6262
2ππππ1cos(-2x ) =cos 2(-x ) =2cos 2(-x ) -1=2sin 2(x +) -1=-
33362
) +
π
…………………………………………6分 （Ⅱ）已知2a cos C +c =2b
由正弦定理得：
2sin A cos C +sin C =2sin B =2sin(A +C ) 2sin A cos C +sin C =2sin A cos C +2cos A sin C
∴cos A =
π1
，∴在∆ABC 中 ∠A = …………………………………………8分
32
π1
f (B ) =sin(B +) +
62
2πππ5π,
336661π3∴
3
∴函数f (B ) 的取值范围为(1, ] …………………………………………12分
2
∵∠A =
π
∴0
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）依题意得
3⨯24⨯5⎧
d +5a 1+d =50⎪3a 1+ …………………………………………2分 22⎨
⎪(a +3d ) 2=a (a +12d )
11⎩1
解得⎨
⎧a 1=3
， …………………………………………4分 d =2⎩
……………………………6分 ∴a n =a 1+(n -1) d =3+2(n -1) =2n +1，即a n =2n +1．(Ⅱ)
b n
=3n -1，b n =a n ⋅3n -1=(2n +1) ⋅3n -1 …………………………………………7分 a n
T n =3+5⋅3+7⋅32+ +(2n +1) ⋅3n -1
3T n =
3⋅3+5⋅32+7⋅33+ +(2n -1) ⋅3n -1+(2n +1) ⋅3n ……………………9分
-2T n =3+2⋅3+2⋅32+ +2⋅3n -1-(2n +1) 3n
3(1-3n -1)
=3+2⋅-(2n +1) 3n
1-3
=-2n ⋅3n
∴T n =n ⋅3n …………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）取AC 中点G, 连结FG 、BG ， ∵F,G 分别是AD,AC 的中点
1
∴FG ∥CD, 且FG=DC=1 ．
2
∵BE ∥CD ∴FG 与BE 平行且相等
∴EF ∥BG ． ……………………………2分
D
E
C
EF ⊄面ABC , BG ⊂面ABC
∴EF ∥面ABC ……………………………4分 （Ⅱ）∵△ABC 为等边三角形 ∴BG ⊥AC 又∵DC ⊥面ABC,BG ⊂面ABC ∴DC ⊥BG ∴BG 垂直于面ADC 的两条相交直线AC,DC ，
B
∴BG ⊥面ADC ． …………………………………………6分 ∵EF ∥BG ∴EF ⊥面ADC
∵EF ⊂面ADE ，∴面ADE ⊥面ADC ． …………………………………………8分 （Ⅲ）连结EC, 该四棱锥分为两个三棱锥E －ABC 和E －ADC ．
131333
．………………12分 V A -BCDE =V E -ABC +V E -ACD =⨯⨯1+⨯1⨯=+=
34321264
另法：取BC 的中点为O ，连结AO ，则AO ⊥BC ，又CD ⊥平面ABC ,
∴CD ⊥AO , BC CD =C , ∴AO ⊥平面B C D E ，∴AO 为V A -BCDE 的高，
AO =
, S B 2
C
D =E
(1+2) ⨯13
=, ∴V A -B
22
C
133=⨯⨯=． D E
3224
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6. 设抽到不相邻的两组数据为事件A ，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A 包含的基本事件有10
种． …………………………………………3分 所以P (A ) =
2102
=．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是． ………………………6分
3153
ˆ=(Ⅱ) 当x =10时，y
4139219219
⨯10+=, |-10|
⨯30+=, |-16|
ˆ= 当x =30时，y
所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）将x =-1代入切线方程得y =-2 ∴f (-1) =
b -a
=-2，化简得b -a =-4． …………………………………………2分 1+1
a (x 2+1) -(ax +b ) ⋅2x
f '(x ) =22
(1+x )
f '(-1) =
2a +2(b -a ) 2b b
===-1 ． …………………………………………4分
442
解得：a =2, b =-2
2x -2
． …………………………………………6分 2
x +1
2x -2
（Ⅱ）由已知得ln x ≥2在[1, +∞) 上恒成立
x +1
∴f (x ) =
化简得(x +1) ln x ≥2x -2
2
即x ln x +ln x -2x +2≥0在[1, +∞) 上恒成立 ． …………………………………………8分
2
设h (x ) =x ln x +ln x -2x +2，
2
h '(x ) =2x ln x +x +
1-2 x
x +
1
≥2，即h '(x ) ≥0． …………………………………………10分 x
∵x ≥1 ∴2x ln x ≥0,
∴h (x ) 在[1, +∞) 上单调递增，h (x ) ≥h (1) =0
∴g (x ) ≥f (x ) 在x ∈[1, +∞) 上恒成立 ． …………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
x 2y 2
解（1）设椭圆方程为2+2=1(a >b >0) ，AF 1=m , AF 2=n a b
⎧m 2+n 2=4c 2
⎪⎪由题意知⎨m +n =4 …………………………………………2分
⎪m n =6⎪⎩
解得c =9，∴b =12-9=3． 22
x 2y 2
+=1 …………………………………………4分 ∴椭圆的方程为123
∵y A ⨯c =3，∴y A =1, 代入椭圆的方程得x A =22，
将点A 坐标代入得抛物线方程为x 2=8y ． …………………………………………6分
（2）设直线l 的方程为y -1=k (x -2) ，B (x 1, y 1), C (x 2, y 2) 由=2 得x 2-2=2(x 1-2) ， 化简得2x 1-x 2=2 …………………………………………8分 ⎧⎪y -1=k (x -22) 联立直线与抛物线的方程⎨， 2⎪⎩x =8y
得x -8kx +k -8=0 2
∴x 1+2=8k ① …………………………………………10分 ⎧⎪y -1=k (x -22) 联立直线与椭圆的方程⎨ 22⎪⎩x +4y =12
得(1+4k 2) x 2+(8k -k 2) x +32k 2-k -8=0 2k 2-8k ∴x 2+22=② …………………………………………12分 21+4k
2k 2-8k +2=2 ∴2x 1-x 2=2(8k -22) -1+4k 2
整理得：(16k -42)(1-2k ) =0 21+4k
∴k =22 ，所以直线l 的斜率为 ．…………………………………………14分 44
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