几何概型知识与常见题型梳理
几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一 基本知识剖析
1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2. 几何概型的概率公式： P （A ）=
构成事件A 的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本
事件出现的可能性相等．
4. 几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
二 常见题型梳理 1. 长度之比类型
例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．
例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面
2 2
积介于36cm 与81cm 之间的概率．
2. 面积、体积之比类型
例3. （08江苏高考6）. 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
3. 角度之比型
例4. 如图所示，在等腰直角 ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM
A
4. “会面”类型的几何概型
例5. 某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
5. 与其他章节知识综合类
例6. 已知两数m 则关于x
的一元二次方程x +m =0，n 是某事件发生的概率取值，有实根的概率是（ ） A.
2
1111
B. C. D.
82416
经典例题：如图，∠AOB =60，OA =2，OB =5，在线段OB 上任取一点C ，
试求：(1)∆AOC 为钝角三角形的概率；
(2)∆AOC 为锐角三角形的概率．
A
当堂练习： 1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）
A ．0.62 B ．0.38 C．0.02 D．0.68 2．在长为10 cm的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（ ） A ．
310
B ．
5
1
C ．
5
2
D ．
5
4
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ） A ．
1
B．
216
C
．
3 D
．
4
1
4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为 A ． B． C． D．
43
3118
84
5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．
3
9
9
145710
6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正
方形区域的概率为（ ） A ．
2
π
B ．
1
π
C． D．
3
21
3
7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45 ，若向圆内投镖， 如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ） A ． B ． C． D．
8
4
2
4
1113
8．现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，抽到细菌的概率为 ( ) A ．
1100
B．
120
C．
110
D．
5
1
9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ )
1
1
1
1
A ．4 B．8 C．10 D．12
10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（ ）
1
2
32
A ．5 B．5 C． 5 D．7
11．过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为( )
1
1
11
A ．2 B．3 C． 6 D．12
12．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A ．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r
r r a -r a -r A ．a B．2a C． a D．2a 14．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ．则乘客到达站台立即乘上车的概率为 ． 15．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点P, 则点P 与A 的距离不小于1且与∠CPD 为锐角的概率是__________________．
16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是 ．
65
17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．
18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？
19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率． 20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
几何概型专项练习
1．(2009年高考福建卷) 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧
的长度小于1的概率为________．
2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．
x －2
4．(2010年扬州调研) 已知集合A {x |－1
3－x
素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．
5．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．
6．M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．
7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．
8．已知函数f (x ) ＝－x 2＋ax －b . 若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．
⎧⎧⎪0≤x ≤6⎪0≤x ≤6⎨9．设不等式组表示的区域为A ，不等式组⎨表示的区域为B . ⎪0≤y ≤6⎪x －y ≥0⎩⎩
(1)在区域A 中任取一点(x ，y ) ，求点(x ，y ) ∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y ) 在区域B 中的概率．
1
10．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过的概率．
2
§3.2 几何概型
经典例题：解：如图，由平面几何知识： 当AD ⊥OB 时，OD =1；
当OA ⊥AE 时，OE =4，BE =1．
（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，∆AOC 为钝角三角形
OD +EB 1+1
==0.4 记＂∆AOC 为钝角三角形＂为事件M ，则P (M ) =
OB 5
即∆AOC 为钝角三角形的概率为0.4．
（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，∆AOC 为锐角三角，
DE 3
==0.6 记＂∆AOC 为锐角三角＂为事件N ，则P (N ) =
OB 5
即∆AOC 为锐角三角形的概率为0.6． 当堂练习：
1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
111
arcsin
4
; 15.
; 16. 25; 17. 87.5%; π722
123
18. （1）都是；（2）; 。
334
19. 解：由已知可得，海豚的活动范围在26×16㎡的区域外，
26⨯16
=0.308。 所以海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为P =1-
30⨯20
20. 解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，10－（x ＋y ），
⎧0
⎪⎪则 ⎨0
⎪0
由一个三角形两边之和大于第三边，有
x +y >10-(x +y ) ，即5
又由三角形两边之差小于第三边，有
x
⎧0
⎪
∴ 构造三角形的条件为⎨0
⎪5
∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
S 1225121S ∆阴影＝·5＝，S ∆OAB ＝·10＝50．∴ P (A ) ＝∆阴影＝．
222S ∆OMN 4
几何概型练习
4. 某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过５min 的概率是＿＿＿＿＿＿．
5. 已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿. 6. 在线段[0,3]上任取一点, 其坐标小于1的概率是_____________.
7. 在地球上海洋占70.9%的面积, 陆地占29.1%的面积, 现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来, 将落在地球的某一角. 你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米) 8. 从区间(0,1)内任取两个数, 则这两个数的和小于A.
5
的概率是 ( ) 6
341617 B. C. D. 525255
9.A 是圆上固定的一定点, 在圆上其他位置任取一点B, 连接A 、B 两点, 它是一条弦, 它的长度大于等于半径长度的概率为 ( ) A.
121 B. C. D. 23
42
10. 已知集合A={-9, -7, -5, -3, -1,0,2,4,6,8}, 在平面直角坐标系x 0y 中, 点(x , y )的坐标
x ∈A , y ∈A , 点(x , y )正好在第二象限的概率是 ( )
A.
1112 B. C. D. 3545
11．取一根长度为３m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m 的概率有多大？ 12．在１万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油. 假设在海域中的任意一点钻探, 钻到油层面的概率是多少？
13. 在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球, 假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的, 若取出1立方米的沙子. 求取出的沙子中含有玻璃球的概率.
14．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
15. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头, 它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的, 如果甲船停泊时间为1h, 乙船停泊时间为2h, 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
111
5． 6． 7．29.1%, 0.019
3116
8．D 9．B 10．C
11．解:设事件A={剪得两段的长都不小于1m},
把绳子三等分, 当剪断位置处在中间一段时, 事件A 发生. 由于中间一段的长度为1m,
4．
所以由几何概率公式得：P(A)= 12．解：记“钻到油层面”为事件则 P(A)=
1. 3
贮藏石油的大陆架面积80
==0.008
所有海域大陆架面积10000
答：钻到油层的概率是0.008．
13．解：记事件A 为“取1立方米沙子中含有玻璃球”,
则事件A 发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为１：１０． ∵玻璃球在沙子中任何位置等可能,
∴由几何概型概率计算公式得P(A)=1.
10
14．解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 则两人能会面的充要条件是|x -y |≤15. 在平面上 建立直角坐标系如图所示, 则(x , y ) 的所有可能结 果是边长60的正方形, 而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示, 这是一个几何概型问题.
15．解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,
A 为两艘船都不需要码头空出,
Ω={(x , y )|x ∈[0, 24]}, 要满足A, 则y -x ≥1或x -y ≥2
∴A=
{(x , y )|y -x ≥1或x -y ≥2, x ∈[0, 24]}
112
(24-1) 2⨯+(24-2)⨯S =506.5=0.87934. ∴P A =A =S Ω242576
几何概型知识与常见题型梳理
几何概型和古典概型是随机概率中两类主要模型，是概率考查中的重点，下面就几何概型的知识与常见题型做一梳理，以期能使读者对于这一知识点做到脉络清晰，条理分明。 一 基本知识剖析
1. 几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2. 几何概型的概率公式： P （A ）=
构成事件A 的区域长度（面积或体积）
；
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
3. 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本
事件出现的可能性相等．
4. 几何概型与古典概型的比较：一方面，古典概型具有有限性，即试验结果是可数的；而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度（或面积、体积等）有关，即试验结果具有无限性，是不可数的。这是二者的不同之处；另一方面，古典概型与几何概型的试验结果都具有等可能性，这是二者的共性。
通过以上对于几何概型的基本知识点的梳理，我们不难看出其要核是：要抓住几何概型具有无限性和等可能性两个特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的，这是区分几何概型与古典概型的关键所在；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的，这是解题的基本前提。因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的基本思路是相同的，同属于“比例法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形的长度、面积（体积）和角度等”与“试验的基本事件所占总长度、面积（体积）和角度等”之比来表示。下面就几何概型常见类型题作一归纳梳理。
二 常见题型梳理 1. 长度之比类型
例1. 小赵欲在国庆六十周年之后从某车站乘车外出考察，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求小赵等车时间不多于10分钟的概率．
例2 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面
2 2
积介于36cm 与81cm 之间的概率．
2. 面积、体积之比类型
例3. （08江苏高考6）. 在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随意投一点，则落入E 中的概率为 。
3. 角度之比型
例4. 如图所示，在等腰直角 ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM
A
4. “会面”类型的几何概型
例5. 某码头接到通知，甲、乙两艘外轮都会在某天9点到10点之间的某一时刻到达该码头的同一个泊位，早到的外轮要在该泊位停靠20分钟办理完手续后才离开，求两艘外轮至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
5. 与其他章节知识综合类
例6. 已知两数m 则关于x
的一元二次方程x +m =0，n 是某事件发生的概率取值，有实根的概率是（ ） A.
2
1111
B. C. D.
82416
经典例题：如图，∠AOB =60，OA =2，OB =5，在线段OB 上任取一点C ，
试求：(1)∆AOC 为钝角三角形的概率；
(2)∆AOC 为锐角三角形的概率．
A
当堂练习： 1．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g 的概率为0.3，质量小于4.85g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（g ）范围内的概率是（ ）
A ．0.62 B ．0.38 C．0.02 D．0.68 2．在长为10 cm的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（ ） A ．
310
B ．
5
1
C ．
5
2
D ．
5
4
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，构成数对（x ，y ），则所有数对（x ，y ）中满足xy ＝4的概率为（ ） A ．
1
B．
216
C
．
3 D
．
4
1
4．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为 A ． B． C． D．
43
3118
84
5．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则 求两人会面的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．
3
9
9
145710
6如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正
方形区域的概率为（ ） A ．
2
π
B ．
1
π
C． D．
3
21
3
7．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45 ，若向圆内投镖， 如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ ） A ． B ． C． D．
8
4
2
4
1113
8．现有100ml 的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml 的蒸馏水，抽到细菌的概率为 ( ) A ．
1100
B．
120
C．
110
D．
5
1
9．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00至7:00和下午5:00至6:00，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（ )
1
1
1
1
A ．4 B．8 C．10 D．12
10．在区间[0,10]中任意取一个数，则它与4之和大于10的概率是（ ）
1
2
32
A ．5 B．5 C． 5 D．7
11．过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线L ，则L 与线段BC 相交的概率为( )
1
1
11
A ．2 B．3 C． 6 D．12
12．在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A ．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
13．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r
r r a -r a -r A ．a B．2a C． a D．2a 14．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ．则乘客到达站台立即乘上车的概率为 ． 15．随机向边长为2的正方形ABCD 中投一点P, 则点P 与A 的距离不小于1且与∠CPD 为锐角的概率是__________________．
16．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是 ．
65
17．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间为早上7：00～8：00之间，你父亲在离开家前能拿到报纸的概率为_______．
18．飞镖随机地掷在下面的靶子上．
（1）在靶子1中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率是多少？
（2）在靶子1中，飞镖投在区域A 或B 中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C 中的概率是多少？
19．一只海豚在水池中游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率． 20．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
几何概型专项练习
1．(2009年高考福建卷) 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧
的长度小于1的概率为________．
2．(2010年苏、锡、常、镇四市调研) 已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．
3．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．
x －2
4．(2010年扬州调研) 已知集合A {x |－1
3－x
素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．
5．某公共汽车站每隔10分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王等车时间不超过4分钟的概率是________．
6．M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连结MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．
7．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落入区域E 的概率为________．
8．已知函数f (x ) ＝－x 2＋ax －b . 若a 、b 都是从区间[0,4]任取的一个数，则f (1)＞0成立的概率是________．
⎧⎧⎪0≤x ≤6⎪0≤x ≤6⎨9．设不等式组表示的区域为A ，不等式组⎨表示的区域为B . ⎪0≤y ≤6⎪x －y ≥0⎩⎩
(1)在区域A 中任取一点(x ，y ) ，求点(x ，y ) ∈B 的概率；
(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y ) 在区域B 中的概率．
1
10．将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过的概率．
2
§3.2 几何概型
经典例题：解：如图，由平面几何知识： 当AD ⊥OB 时，OD =1；
当OA ⊥AE 时，OE =4，BE =1．
（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，∆AOC 为钝角三角形
OD +EB 1+1
==0.4 记＂∆AOC 为钝角三角形＂为事件M ，则P (M ) =
OB 5
即∆AOC 为钝角三角形的概率为0.4．
（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，∆AOC 为锐角三角，
DE 3
==0.6 记＂∆AOC 为锐角三角＂为事件N ，则P (N ) =
OB 5
即∆AOC 为锐角三角形的概率为0.6． 当堂练习：
1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.A; 7.A; 8.B; 9.C; 10.C; 11.C; 12.B; 13.B; 14.
111
arcsin
4
; 15.
; 16. 25; 17. 87.5%; π722
123
18. （1）都是；（2）; 。
334
19. 解：由已知可得，海豚的活动范围在26×16㎡的区域外，
26⨯16
=0.308。 所以海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率为P =1-
30⨯20
20. 解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，10－（x ＋y ），
⎧0
⎪⎪则 ⎨0
⎪0
由一个三角形两边之和大于第三边，有
x +y >10-(x +y ) ，即5
又由三角形两边之差小于第三边，有
x
⎧0
⎪
∴ 构造三角形的条件为⎨0
⎪5
∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
S 1225121S ∆阴影＝·5＝，S ∆OAB ＝·10＝50．∴ P (A ) ＝∆阴影＝．
222S ∆OMN 4
几何概型练习
4. 某广播电台每当整点或半点时就会报时，某人睡完觉后想知道时间就打开收音机调到该广播电台，问这人等待的时间不超过５min 的概率是＿＿＿＿＿＿．
5. 已知地铁列车每10min 一班，在车站停１min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为＿. 6. 在线段[0,3]上任取一点, 其坐标小于1的概率是_____________.
7. 在地球上海洋占70.9%的面积, 陆地占29.1%的面积, 现在太空有一颗陨石正朝着地球的方向飞来, 将落在地球的某一角. 你认为陨石落在陆地的概率约为_____________,落在我国国土内的概率为________.(地球的面积约为5.1亿平方千米) 8. 从区间(0,1)内任取两个数, 则这两个数的和小于A.
5
的概率是 ( ) 6
341617 B. C. D. 525255
9.A 是圆上固定的一定点, 在圆上其他位置任取一点B, 连接A 、B 两点, 它是一条弦, 它的长度大于等于半径长度的概率为 ( ) A.
121 B. C. D. 23
42
10. 已知集合A={-9, -7, -5, -3, -1,0,2,4,6,8}, 在平面直角坐标系x 0y 中, 点(x , y )的坐标
x ∈A , y ∈A , 点(x , y )正好在第二象限的概率是 ( )
A.
1112 B. C. D. 3545
11．取一根长度为３m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１m 的概率有多大？ 12．在１万平方千米的海域中有80平方千米的大陆架贮藏着石油. 假设在海域中的任意一点钻探, 钻到油层面的概率是多少？
13. 在10立方米的沙子中藏有一个玻璃球, 假定这个玻璃球在沙子中的任何一个位置是等可能的, 若取出1立方米的沙子. 求取出的沙子中含有玻璃球的概率.
14．甲、乙两人约定在６时到７时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
15. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头, 它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的, 如果甲船停泊时间为1h, 乙船停泊时间为2h, 求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
111
5． 6． 7．29.1%, 0.019
3116
8．D 9．B 10．C
11．解:设事件A={剪得两段的长都不小于1m},
把绳子三等分, 当剪断位置处在中间一段时, 事件A 发生. 由于中间一段的长度为1m,
4．
所以由几何概率公式得：P(A)= 12．解：记“钻到油层面”为事件则 P(A)=
1. 3
贮藏石油的大陆架面积80
==0.008
所有海域大陆架面积10000
答：钻到油层的概率是0.008．
13．解：记事件A 为“取1立方米沙子中含有玻璃球”,
则事件A 发生对应的沙子体积与原沙子体积之比为１：１０． ∵玻璃球在沙子中任何位置等可能,
∴由几何概型概率计算公式得P(A)=1.
10
14．解:以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间, 则两人能会面的充要条件是|x -y |≤15. 在平面上 建立直角坐标系如图所示, 则(x , y ) 的所有可能结 果是边长60的正方形, 而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示, 这是一个几何概型问题.
15．解:设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y,
A 为两艘船都不需要码头空出,
Ω={(x , y )|x ∈[0, 24]}, 要满足A, 则y -x ≥1或x -y ≥2
∴A=
{(x , y )|y -x ≥1或x -y ≥2, x ∈[0, 24]}
112
(24-1) 2⨯+(24-2)⨯S =506.5=0.87934. ∴P A =A =S Ω242576