高中数学 第三章 数列
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2
②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0)
①
注①：i. b =ac ，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即b =ac ii. b =ac （ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. b =±ac →为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. b =±ac 且ac
0→为
、b 、c 等比数列.
a 、b 、c 等比数列的充要.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }（x 1）成等比数列.
⎧s 1=a 1(n =1)
a =⑷数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系：n ⎨
s -s (n ≥2) n -1⎩n
[注]： ①a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{a n }前n 项和S n =
d ⎫⎛d ⎫2⎛2
An +Bn = ⎪n + a 1-⎪n
2⎭⎝2⎭⎝
→
d 2
可以为零也可不为零→为等差
的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列） ．．
2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k ... ；
②若等差数列的项数为2n (n ∈N +)，则S 偶-S 奇=nd S
S 奇
偶
=
a n a n +1
；
=
n n -1
③若等差数列的项数为2n -1(n ∈N +)，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，S 奇
⇒代入n 到2n -1得到所求项数
S 偶
.
n (n +1)2
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②12+22+32+ n 2=
n (n +1)(2n +1)
6
③13+23+33 n 3=
⎡n (n +1)⎤⎢⎥
2⎣⎦
2
59
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…⇒a n =10n -1； 5，55，555，…⇒4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
a n =
(10
n
-1
).
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1+r . 其中第n 年产量为a (1+r ) n -1，且过n 年后总产量为：
a [a -(1+r ) ]1-(1+r )
n
a +a (1+r ) +a (1+r ) +... +a (1+r )
2n -1
=
.
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1+r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：
a (1+r )[1-(1+r )
1-(1+r )
12
a (1+r )
12
+a (1+r )
11
+a (1+r )
10
+... +a (1+r ) =
]
.
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
a (1+r )
m
=x (1+r )
m -1
+x (1+r )
m -2
+...... x (1+r )+x ⇒a (1+r )
m
=
x (1+r )
r
m
-1
⇒x =
ar (1+r )
m
(1+r )
m
-1
5. 数列常见的几种形式：
⑴a n +2=pa n +1+qa n （p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x 2=Px +q （x 2对应a n +2，x 对应a n +1），并设二根x 1, x 2②若x 1≠x 2
n n 可设a n . =c 1x n 1+c 2x 2，若x 1=x 2可设a n =(c 1+c 2n ) x 1；③由初始值a 1, a 2确定c 1, c 2.
⑵a n =Pa n -1+r （P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为a n +2=Pa n +1+qa n 的形式，再用特征根方法求a n ；④a n =c 1+c 2P n -1（公式法），c 1, c 2由a 1, a 2确定.
①转化等差，等比：a n +1+x
=P (a n +x ) ⇒a n +1=Pa n +Px -x ⇒x =
⇒a n =(a 1+
r P -1
) P
r P -1
n -1
.
r
=(a 1+x ) P
n -1
②选代法：a n =Pa n -1+r =P (Pa n -2+r ) +r =
=P
n -1
-
P -1
-x
a 1+P
n -2
⋅r + +Pr +r
.
③用特征方程求解：
a n +1=Pa n +r ⎫
⎬相减，⇒a n +1-a n =Pa n -Pa
a n =Pa n -1+r ⎭
（P n -1⇒a n +1=+1）a n -Pa
n -1
.
④由选代法推导结果：c 1=
r 1-P
，c 2=a 1+
r P -1
，a n =c 2P
n -1
+c 1=（a 1+
r P -1
）P
n -1
+
r 1-P
.
6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前n 项和为S n ，在d 两种方法：
时，有最大值. 如何确定使S n 取最大值时的n 值，有
d 2
d 2
一是求使a n ≥0, a n +1 0，成立的n 值；二是由S n 的值.
=n
2
+(a 1-
) n 利用二次函数的性质求n
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1⋅
12, 314
,...(2n -1)
12
n
,...
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d 1，d 2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数, 验证a n -a n -1(
a n a n -1
) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2a n +1=a n +a n -2(a n +1=a n a n +2) n ∈N 都成立。
2
⎧a m ≥0
3. 在等差数列｛a n ｝中, 有关S n 的最值问题：(1)当a 1>0,d
a ≤0⎩m +1⎧a m ≤0
使得s m 取最大值. (2)当a 10时，满足⎨的项数m 使得s m 取最小值。在解含绝
a ≥0⎩m +1
对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
⎧c ⎫
2. 裂项相消法:适用于⎨⎬其中{ a n }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部
⎩a n a n +1⎭
分无理数列、含阶乘的数列等。
3. 错位相减法:适用于{a n b n }其中{ a n }是等差数列，{b n }是各项不为0的等比数列。 4. 倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5. 常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n (n +1)
2
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
⎡1⎤
3）1+2+ +n =⎢n (n +1) ⎥
⎣2⎦
3
3
3
2
4） 12+22+32+ +n 2=
1n (n +1) 1pq
1n
1n +11q
16
n (n +1)(2n +1)
5） =-
1n (n +2)
=
111(-) 2n n +2
6）
=
1q -p
(
1p
-) (p
高中数学 第三章 数列
考试内容： 数列．
等差数列及其通项公式．等差数列前n 项和公式． 等比数列及其通项公式．等比数列前n 项和公式． 考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题．
§03. 数 列 知识要点
⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①a n -a n -1=d (n ≥2, d 为常数) ②2a n =a n +1+a n -1(n ≥2) ③a n =kn +b (n , k 为常数).
⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①a n =a n -1q (n ≥2, q 为常数, 且≠0)
2
②a n =a n +1⋅a n -1(n ≥2，a n a n +1a n -1≠0)
①
注①：i. b =ac ，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即b =ac ii. b =ac （ac ＞0）→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要. iii. b =±ac →为a 、b 、c 等比数列的必要不充分. iv. b =±ac 且ac
0→为
、b 、c 等比数列.
a 、b 、c 等比数列的充要.
注意：任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个. ③a n =cq n (c , q 为非零常数).
④正数列{a n }成等比的充要条件是数列{log x a n }（x 1）成等比数列.
⎧s 1=a 1(n =1)
a =⑷数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 的关系：n ⎨
s -s (n ≥2) n -1⎩n
[注]： ①a n =a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d )（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{a n }前n 项和S n =
d ⎫⎛d ⎫2⎛2
An +Bn = ⎪n + a 1-⎪n
2⎭⎝2⎭⎝
→
d 2
可以为零也可不为零→为等差
的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列. （不是非零，即不可能有等比数列） ．．
2. ①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k ... ；
②若等差数列的项数为2n (n ∈N +)，则S 偶-S 奇=nd S
S 奇
偶
=
a n a n +1
；
=
n n -1
③若等差数列的项数为2n -1(n ∈N +)，则S 2n -1=(2n -1)a n ，且S 奇-S 偶=a n ，S 奇
⇒代入n 到2n -1得到所求项数
S 偶
.
n (n +1)2
3. 常用公式：①1+2+3 …+n =②12+22+32+ n 2=
n (n +1)(2n +1)
6
③13+23+33 n 3=
⎡n (n +1)⎤⎢⎥
2⎣⎦
2
59
[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…⇒a n =10n -1； 5，55，555，…⇒4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：
a n =
(10
n
-1
).
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1+r . 其中第n 年产量为a (1+r ) n -1，且过n 年后总产量为：
a [a -(1+r ) ]1-(1+r )
n
a +a (1+r ) +a (1+r ) +... +a (1+r )
2n -1
=
.
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1+r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：
a (1+r )[1-(1+r )
1-(1+r )
12
a (1+r )
12
+a (1+r )
11
+a (1+r )
10
+... +a (1+r ) =
]
.
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率.
a (1+r )
m
=x (1+r )
m -1
+x (1+r )
m -2
+...... x (1+r )+x ⇒a (1+r )
m
=
x (1+r )
r
m
-1
⇒x =
ar (1+r )
m
(1+r )
m
-1
5. 数列常见的几种形式：
⑴a n +2=pa n +1+qa n （p 、q 为二阶常数）→用特证根方法求解.
具体步骤：①写出特征方程x 2=Px +q （x 2对应a n +2，x 对应a n +1），并设二根x 1, x 2②若x 1≠x 2
n n 可设a n . =c 1x n 1+c 2x 2，若x 1=x 2可设a n =(c 1+c 2n ) x 1；③由初始值a 1, a 2确定c 1, c 2.
⑵a n =Pa n -1+r （P 、r 为常数）→用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n 转化为a n +2=Pa n +1+qa n 的形式，再用特征根方法求a n ；④a n =c 1+c 2P n -1（公式法），c 1, c 2由a 1, a 2确定.
①转化等差，等比：a n +1+x
=P (a n +x ) ⇒a n +1=Pa n +Px -x ⇒x =
⇒a n =(a 1+
r P -1
) P
r P -1
n -1
.
r
=(a 1+x ) P
n -1
②选代法：a n =Pa n -1+r =P (Pa n -2+r ) +r =
=P
n -1
-
P -1
-x
a 1+P
n -2
⋅r + +Pr +r
.
③用特征方程求解：
a n +1=Pa n +r ⎫
⎬相减，⇒a n +1-a n =Pa n -Pa
a n =Pa n -1+r ⎭
（P n -1⇒a n +1=+1）a n -Pa
n -1
.
④由选代法推导结果：c 1=
r 1-P
，c 2=a 1+
r P -1
，a n =c 2P
n -1
+c 1=（a 1+
r P -1
）P
n -1
+
r 1-P
.
6. 几种常见的数列的思想方法： ⑴等差数列的前n 项和为S n ，在d 两种方法：
时，有最大值. 如何确定使S n 取最大值时的n 值，有
d 2
d 2
一是求使a n ≥0, a n +1 0，成立的n 值；二是由S n 的值.
=n
2
+(a 1-
) n 利用二次函数的性质求n
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：1⋅
12, 314
,...(2n -1)
12
n
,...
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d 1，d 2的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数, 验证a n -a n -1(
a n a n -1
) 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
2a n +1=a n +a n -2(a n +1=a n a n +2) n ∈N 都成立。
2
⎧a m ≥0
3. 在等差数列｛a n ｝中, 有关S n 的最值问题：(1)当a 1>0,d
a ≤0⎩m +1⎧a m ≤0
使得s m 取最大值. (2)当a 10时，满足⎨的项数m 使得s m 取最小值。在解含绝
a ≥0⎩m +1
对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
⎧c ⎫
2. 裂项相消法:适用于⎨⎬其中{ a n }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部
⎩a n a n +1⎭
分无理数列、含阶乘的数列等。
3. 错位相减法:适用于{a n b n }其中{ a n }是等差数列，{b n }是各项不为0的等比数列。 4. 倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5. 常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n (n +1)
2
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =n
⎡1⎤
3）1+2+ +n =⎢n (n +1) ⎥
⎣2⎦
3
3
3
2
4） 12+22+32+ +n 2=
1n (n +1) 1pq
1n
1n +11q
16
n (n +1)(2n +1)
5） =-
1n (n +2)
=
111(-) 2n n +2
6）
=
1q -p
(
1p
-) (p