三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 2
、理解同角三角函数的基本关系式：
3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。 教学重难点：
可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】
一、同角的三大关系：
① 倒数关系 tan α•cotα=1 ② 商数关系 ③ 平方关系 sin α+cos α=1
温馨提示： （1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。
用诱导公式化简，一般先把角化成
2
2
π
2
±α, π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式；
；
sin αcos α
= tanα ； = cotα cos αsin α
+α, k ∈z 的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面2
的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角
k π
+α在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。 2
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间(00,3600) 的角，再变到区间
(00,1800) 的角，再变到区间(00,900) 的角计算。
三、和角与差角公式 ：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan α±tan β
tan(α±β) =
1 tan αtan β
tan α±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β)
四、二倍角公式：
sin 2α= 2sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
2tan α
tan 2α= 2
1-tan α
五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用sin αcos β±cos αsin β=sin(α±β)
七、合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y =A sin(ϖx +ϕ) +B 形式。
Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=
八、万能公式
B
． A
九、用sin α，cos α表示tan
α
2
十、积化和差与和差化积
积化和差 sin αcos β=[sin(α+β) +sin(α-β)]； cos αsin β=[sin(α+β) -sin(α-β)]；
cos αcos β=[cos(α+β) +cos(α-β)]； sin αsin β=[cos(α+β) -cos(α-β)].
θ+s i n ϕ=2s i 和差化积 s i n
θ+ϕ
22
θ+ϕθ-ϕ
θ-s i n ϕ=2c o s i s i n
22θ+ϕθ-ϕ
θ+c o s ϕ=2c o c o c o s
22θ+ϕθ-ϕ
θ-c o s ϕ=2s i s i c o s
22
十一、方法总结
c o θ-ϕ
1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1） “变角”
.
（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦tan α=
,cot α=）， cos αsin α
（3）“变式’合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证, 得到另一边, 一般地, 如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法, 即由繁到简.
②左右归一法, 即将所证恒等式左、右两边同时推导变形, 直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或"
左
=1"; 右
④分析法, 从被证的等式出发, 逐步探求使等式成立的充分条件, 一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止, 则可以判断原等式成立.
【例题精讲】
例1 已知α为第四象限角，化简：cos α解：（1）因为α为第四象限角
1-sin -cos +sin α
1+sin α1+cos α
(1-sin α) 2(1-cos α) 2
所以原式=cos α +sin α
1-sin 2α1-cos 2α
α =c o s
1-s i n α1-c o s α+s i n α=1-s i n
α-(1-c o s α)=c o s α-s i n α
c
o s α-s i n α
例2 已知
270
α
1111
++cos 2α 2222
解： 2700, cos
α
2
所以原式
α====-cos 2
例3 tan20°+4sin20°
sin 200+2sin 400
解：tan20°+4sin20°= 0
cos 20
3
400+sin 400
200sin(60-40) +2sin 40====000
cos 20cos 20cos 20
例4 （05
天津）已知sin(α-
π
4
) =
π7
，求sin α及tan(α+) ． 2α=
31025
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
772π2
=sin(α-) =(sinα-cos α) ，即sin α-cos α= 51042
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
①
77
=cos 2α=cos 2α-sin 2α=(cosα-sin α)(cosα+sin α) =-(cosα+sin α) 255
134
故cos α+sin α=- ② 由①和②式得sin α=，cos α=-
555
33πtan α+=4-3=48-3 因此，tan α=-，由两角和的正切公式tan(α+) ==43111-tan α334+31+
4
-
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
7
=cos 2α=1-2sin 2α， 25
解得 sin α=由于sin α=
2
937π72，即sin α=± 由sin(α-) =可得sin α-cos α= 2555410
773+cos α>0，且cos α=sin α-
74
从而cos α=sin α-=- 以下同解法一
55
小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均
含α）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
例5 已知A , B , C 为锐角∆ABC 的三个内角，两向量p =(2-2sin A ,cos A +sin A ) ，
q =(sinA -cos A , 1+sin A ) ，若p 与q 是共线向量.
（1）求A 的大小；
（2）求函数y =2sin 2B +cos(
C -3B
) 取最大值时，B 的大小. 2
解：（1） p //q ∴2(1-sinA )(1+sinA ) =sin 2A -cos 2A
1
∴2cos 2A +cos 2A =0 ∴1+2cos 2A =0 ∴cos 2A =- 0
2∴2A =1200 ∴A=600
00
（2）
A=60 ∴B+C=120 y=2sin2B+cos(600-2B) =1-cos 2B+
1cos 2B +
2B 21π
2B -cos 2B+1=sin(2B-) +1 ， 当 2B-π=π时，即B =π． 26623
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π) 内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan (α＋β) 的值. 解: (1)∵sinx ＋cosx ＝2(
1a ππsinx ＋cosx ) ＝2 sin (x ＋), ∴方程化为sin (x ＋) ＝－. 22332
∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π) 内有相异二解, ∴sin (x ＋
ππ3
) ≠sin ＝ . 332
又sin (x ＋
a a π3
) ≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), ∴|－|
22322
∴ a 的取值范围是(－2, －3) ∪(－, 2).
(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得(sin α－ sin β) ＋3( cos α－ cos β) ＝0. ∴ 2sin
α-β
2
cos
α+β
2
－23sin
α+β
2
sin
α-β
2
＝0, 又sin
α+β
2
≠0, ∴tan
α+β
2
＝
3
. ∴tan (α＋β) ＝3
2tan
α+β
2+＝.
2-tan
2
小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π) 这一条件. 例7 已知函数f (x )=
m -2sin x ⎛π⎫
在区间 0, ⎪上单调递减，试求实数m 的取值范围．
cos x ⎝2⎭
解：已知条件实际上给出了一个在区间 0,
⎛π⎫
⎪上恒成立的不等式． 2⎝⎭
任取x 1, x 2∈ 0,
m -2sin x 1m -2sin x 2⎛π⎫
恒成>⎪，且x 1f (x 2)恒成立，即
cos x 1cos x 2⎝2⎭
立．化简得m (cos x 2-cos x 1)>2sin (x 1-x 2) 由0
π
2
可知：cos x 2-cos x 1
2sin (x 1-x 2)
cos x 2-cos x 1
上式恒成立的条件为：m
⎛2sin (x 1-x 2)⎫⎛π⎫
⎪在区间 0⎪上的最小值. ⎪cos x -cos x ⎝2⎭21⎭⎝
x 1-x 2x -x 2x -x 2
cos 12cos 1
2sin (x 1-x 2) 由于==
x +x 2x -x 2x +x 2cos x 2-cos x 1
2sin 1sin 1sin 1
222
4sin
2⎛ cos x 1cos x 2+sin x 1sin x 2⎫⎪2⎛
x x ⎫=⎝2222⎭ 1+tan 1tan 2⎪
=⎝22⎭
sin x 1x 2x 1x 2
x
12cos 2+cos 2sin
2
tan x 22+tan 2且当0
π
2
时，0
x 12, x 22
4，所以 0
x 12tan x 2⎫2⎪⎭-⎛ ⎝tan x 1x ⎫⎛x ⎫⎛x ⎫
⎝2+tan 22⎪⎭= ⎝1-tan 12⎪⎭ ⎝1-tan 22⎪⎭
>0, 2⎛
1+tan x 1tan x 2⎫有
⎝22⎪
⎭>2, 故 m 的取值范围为(-∞, 2]. tan 122+tan
2
【基础精练】
1．已知α是锐角，且sin ⎛π⎝2＋α⎫⎭＝3
4sin ⎛α⎝2π⎫⎭
的值等于( ) A. 24 B ．－24 C. 4 D 144
2．若－2π＜α＜－3π
2 1－cos(α－π) 2( )
A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin αα2 D ．－cos 2
3. sin(180°＋2α) 1＋cos2αcos 2αcos(90°＋α)
等于 ( )
A. －sinα B. －cosα C.sinα D.cosα
4. 已知角α在第一象限且cosα＝3
1＋2cos(2απ
54)
等于 ( sin(α＋π
2
)
A. 25 B. 75 C. 1425 D. －5
5. 定义运算⎪⎪a b 1c d ⎪⎪＝ad －bc. 若c osα7，⎪⎪sinα sinβcosα cosβ⎪⎪＝33π140
，则β等于( A. π12 π6 C. π4 π
3
6. 已知tanα和tan(π
4
α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 ( A.b ＝a ＋c B.2b ＝a ＋c C.c ＝b ＋a D.c ＝ab
)
) )
1－tan 240°30′21
7. 设a (sin56°－cos56°) ，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c ＝，d (cos80°－2cos 250°221＋tan 40°30′＋1) ，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( )
A.a ＞b ＞d ＞c B.b ＞a ＞d ＞c C.d ＞a ＞b ＞c D.c ＞a ＞d ＞b
1
8．函数y ＝sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )
2
13－ A. ⎡⎣22C. ⎡－
31
－⎤ B. ⎡⎣22⎦ D. ⎡－
⎣
2121⎤
＋ 2222⎦
⎣
2121－ 2222
9. 若锐角α、β满足(1＋3tanα)(13tanβ)＝4，则α＋β＝
4ααα
10. 设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin cos .
3222
11. 已知sin(
π
4
-x)=
5π
，0
cos 2x +x )
4
的值。
12. 若α, β∈(0, π) ，cos α=-
【拓展提高】
πxππx
1、设函数f(x)＝sin() －2cos 2＋1
468
(1)求f(x)的最小正周期.
4
(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，]时y ＝g(x)的最大值
3
2. 已知向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，|a－b|(1)求cos(α－β)的值；
ππ5
(2)若0
2213
5
5
7
1
, tan β=-，求α+2β。
3
3、求证：
sin （2α+β）sin β
－2cos （α+β）=.
sin αsin α
【基础精练参考答案】
ππ
1＋2(＋sin2αsin44
4．C cosα
1＋cos2α＋sin2α2cos 2α＋2sinαcosα3414＝＝2×(cosα＋sinα)＝2×(＋) ＝cosαcosα55533
5.D 【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝.
14π13143
∵0
43131333π
sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝，∴β71471423
πb ⎧b tan α+tan(-α) =-－⎪a 4a , ππ⎪
6.C 【解析】⎨ ∴tan tan[(α)＋α]＝1，
44c
1－⎪tan αtan(π-α) =c , a
⎪4a ⎩
b c
1－b ＝a －c ，∴c ＝a ＋b.
a a
7.B 【解析】a ＝sin(56°－45°) ＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°) ＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1
＝cos81°＝sin9°，d 240°－2sin 240°) ＝cos80°＝sin10° 21＋tan 40°30′
∴b ＞a ＞d ＞c.
π111112
2x ＋，故选择C. 8.C 【解析】y ＝sin2x ＋sin 2x ＝－cos2x sin ⎛42⎝22222tanα＋tanβπ
9. 【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得3，即tan(α＋β)＝3. 31－tanαtanβπ又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
310. －
5αααα解析：∵α是第二象限的角，∴可能在第一或第三象限，又sin ，∴为第三象限的角， 52222
1＋cosα5
25
α43α
∴cos ∵tanα＝－，∴cosα＝－，∴cos ＝－
2352
12. 【解析】∵α, β∈(0, π) ，cos α=-∴α, β∈(tan2β=
750
∴tan α=-
113
∈(-, 0), tan β=-∈(-, 0), 7333
5π5π
, π) ，α+2β∈(, 3π) , 又62
11πtan α+tan 2β2tan β3
tan(α+2β) ==-1, ,[来源:Zxxk.Com]∴α+2β= =-
41-tan αtan 2β41-tan 2β
【拓展提高参考答案】
πxππxππ3π3π
1、【解析】 (1)f(x)＝sin cos －cos ＝－cos 4646424242π
πππ
＝x －，故f(x)的最小正周期为T ＝＝8
434
(2)法一：在y ＝g (x)的图象上任取一点 (x，g(x))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g(x)). ππ
由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x) 3sin[－x) －43πππππ
＝3sin[－－]3cos(＋) ，
24343
4πππ2π4π3
当0≤x≤时， ＋≤y ＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)max ＝3cos .
33433332
42
法二：因区间[0]关于x ＝1的对称区间为[，2]，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，故y
3342ππ
＝g(x)在[0，]上的最大值为y ＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知f(x)3sin(－) ，
3343
2、【解析】(1)∵a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)， ∴a －b ＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ). ∵|a－b|＝
243
，∴(cosα－cosβ) ＋(sinα－sinβ) ， 即2－2cos(α－β)＝cos(α－β)＝. 5555
ππ34512
(2)∵0
cosβ，
[**************]
∴s inα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＋(＝
51351365
三角恒等变换专题复习
教学目标：
1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 2
、理解同角三角函数的基本关系式：
3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题。 教学重难点：
可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 【基础知识】
一、同角的三大关系：
① 倒数关系 tan α•cotα=1 ② 商数关系 ③ 平方关系 sin α+cos α=1
温馨提示： （1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。[来源:学+科+网]
（2）利用上述公式求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。
用诱导公式化简，一般先把角化成
2
2
π
2
±α, π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式；
；
sin αcos α
= tanα ； = cotα cos αsin α
+α, k ∈z 的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面2
的角是90度的奇数倍，就是 “奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角
k π
+α在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）。 2
用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间(00,3600) 的角，再变到区间
(00,1800) 的角，再变到区间(00,900) 的角计算。
三、和角与差角公式 ：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β;
tan α±tan β
tan(α±β) =
1 tan αtan β
tan α±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β)
四、二倍角公式：
sin 2α= 2sin αcos α.
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
2tan α
tan 2α= 2
1-tan α
五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如：逆用sin αcos β±cos αsin β=sin(α±β)
七、合一变形（辅助角公式）
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y =A sin(ϖx +ϕ) +B 形式。
Asin α+Bcos α=(α+ϕ)，其中tan ϕ=
八、万能公式
B
． A
九、用sin α，cos α表示tan
α
2
十、积化和差与和差化积
积化和差 sin αcos β=[sin(α+β) +sin(α-β)]； cos αsin β=[sin(α+β) -sin(α-β)]；
cos αcos β=[cos(α+β) +cos(α-β)]； sin αsin β=[cos(α+β) -cos(α-β)].
θ+s i n ϕ=2s i 和差化积 s i n
θ+ϕ
22
θ+ϕθ-ϕ
θ-s i n ϕ=2c o s i s i n
22θ+ϕθ-ϕ
θ+c o s ϕ=2c o c o c o s
22θ+ϕθ-ϕ
θ-c o s ϕ=2s i s i c o s
22
十一、方法总结
c o θ-ϕ
1、三角恒等变换方法
观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）
（1） “变角”
.
（2）“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦tan α=
,cot α=）， cos αsin α
（3）“变式’合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证, 得到另一边, 一般地, 如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法, 即由繁到简.
②左右归一法, 即将所证恒等式左、右两边同时推导变形, 直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或"
左
=1"; 右
④分析法, 从被证的等式出发, 逐步探求使等式成立的充分条件, 一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止, 则可以判断原等式成立.
【例题精讲】
例1 已知α为第四象限角，化简：cos α解：（1）因为α为第四象限角
1-sin -cos +sin α
1+sin α1+cos α
(1-sin α) 2(1-cos α) 2
所以原式=cos α +sin α
1-sin 2α1-cos 2α
α =c o s
1-s i n α1-c o s α+s i n α=1-s i n
α-(1-c o s α)=c o s α-s i n α
c
o s α-s i n α
例2 已知
270
α
1111
++cos 2α 2222
解： 2700, cos
α
2
所以原式
α====-cos 2
例3 tan20°+4sin20°
sin 200+2sin 400
解：tan20°+4sin20°= 0
cos 20
3
400+sin 400
200sin(60-40) +2sin 40====000
cos 20cos 20cos 20
例4 （05
天津）已知sin(α-
π
4
) =
π7
，求sin α及tan(α+) ． 2α=
31025
解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
772π2
=sin(α-) =(sinα-cos α) ，即sin α-cos α= 51042
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
①
77
=cos 2α=cos 2α-sin 2α=(cosα-sin α)(cosα+sin α) =-(cosα+sin α) 255
134
故cos α+sin α=- ② 由①和②式得sin α=，cos α=-
555
33πtan α+=4-3=48-3 因此，tan α=-，由两角和的正切公式tan(α+) ==43111-tan α334+31+
4
-
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
7
=cos 2α=1-2sin 2α， 25
解得 sin α=由于sin α=
2
937π72，即sin α=± 由sin(α-) =可得sin α-cos α= 2555410
773+cos α>0，且cos α=sin α-
74
从而cos α=sin α-=- 以下同解法一
55
小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均
含α）进行转换得到．
2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．
例5 已知A , B , C 为锐角∆ABC 的三个内角，两向量p =(2-2sin A ,cos A +sin A ) ，
q =(sinA -cos A , 1+sin A ) ，若p 与q 是共线向量.
（1）求A 的大小；
（2）求函数y =2sin 2B +cos(
C -3B
) 取最大值时，B 的大小. 2
解：（1） p //q ∴2(1-sinA )(1+sinA ) =sin 2A -cos 2A
1
∴2cos 2A +cos 2A =0 ∴1+2cos 2A =0 ∴cos 2A =- 0
2∴2A =1200 ∴A=600
00
（2）
A=60 ∴B+C=120 y=2sin2B+cos(600-2B) =1-cos 2B+
1cos 2B +
2B 21π
2B -cos 2B+1=sin(2B-) +1 ， 当 2B-π=π时，即B =π． 26623
小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意
例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π) 内有相异二解α、β. (1)求α的取值范围; (2)求tan (α＋β) 的值. 解: (1)∵sinx ＋cosx ＝2(
1a ππsinx ＋cosx ) ＝2 sin (x ＋), ∴方程化为sin (x ＋) ＝－. 22332
∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在(0, 2π) 内有相异二解, ∴sin (x ＋
ππ3
) ≠sin ＝ . 332
又sin (x ＋
a a π3
) ≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), ∴|－|
22322
∴ a 的取值范围是(－2, －3) ∪(－, 2).
(2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得(sin α－ sin β) ＋3( cos α－ cos β) ＝0. ∴ 2sin
α-β
2
cos
α+β
2
－23sin
α+β
2
sin
α-β
2
＝0, 又sin
α+β
2
≠0, ∴tan
α+β
2
＝
3
. ∴tan (α＋β) ＝3
2tan
α+β
2+＝.
2-tan
2
小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π) 这一条件. 例7 已知函数f (x )=
m -2sin x ⎛π⎫
在区间 0, ⎪上单调递减，试求实数m 的取值范围．
cos x ⎝2⎭
解：已知条件实际上给出了一个在区间 0,
⎛π⎫
⎪上恒成立的不等式． 2⎝⎭
任取x 1, x 2∈ 0,
m -2sin x 1m -2sin x 2⎛π⎫
恒成>⎪，且x 1f (x 2)恒成立，即
cos x 1cos x 2⎝2⎭
立．化简得m (cos x 2-cos x 1)>2sin (x 1-x 2) 由0
π
2
可知：cos x 2-cos x 1
2sin (x 1-x 2)
cos x 2-cos x 1
上式恒成立的条件为：m
⎛2sin (x 1-x 2)⎫⎛π⎫
⎪在区间 0⎪上的最小值. ⎪cos x -cos x ⎝2⎭21⎭⎝
x 1-x 2x -x 2x -x 2
cos 12cos 1
2sin (x 1-x 2) 由于==
x +x 2x -x 2x +x 2cos x 2-cos x 1
2sin 1sin 1sin 1
222
4sin
2⎛ cos x 1cos x 2+sin x 1sin x 2⎫⎪2⎛
x x ⎫=⎝2222⎭ 1+tan 1tan 2⎪
=⎝22⎭
sin x 1x 2x 1x 2
x
12cos 2+cos 2sin
2
tan x 22+tan 2且当0
π
2
时，0
x 12, x 22
4，所以 0
x 12tan x 2⎫2⎪⎭-⎛ ⎝tan x 1x ⎫⎛x ⎫⎛x ⎫
⎝2+tan 22⎪⎭= ⎝1-tan 12⎪⎭ ⎝1-tan 22⎪⎭
>0, 2⎛
1+tan x 1tan x 2⎫有
⎝22⎪
⎭>2, 故 m 的取值范围为(-∞, 2]. tan 122+tan
2
【基础精练】
1．已知α是锐角，且sin ⎛π⎝2＋α⎫⎭＝3
4sin ⎛α⎝2π⎫⎭
的值等于( ) A. 24 B ．－24 C. 4 D 144
2．若－2π＜α＜－3π
2 1－cos(α－π) 2( )
A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－sin αα2 D ．－cos 2
3. sin(180°＋2α) 1＋cos2αcos 2αcos(90°＋α)
等于 ( )
A. －sinα B. －cosα C.sinα D.cosα
4. 已知角α在第一象限且cosα＝3
1＋2cos(2απ
54)
等于 ( sin(α＋π
2
)
A. 25 B. 75 C. 1425 D. －5
5. 定义运算⎪⎪a b 1c d ⎪⎪＝ad －bc. 若c osα7，⎪⎪sinα sinβcosα cosβ⎪⎪＝33π140
，则β等于( A. π12 π6 C. π4 π
3
6. 已知tanα和tan(π
4
α)是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 ( A.b ＝a ＋c B.2b ＝a ＋c C.c ＝b ＋a D.c ＝ab
)
) )
1－tan 240°30′21
7. 设a (sin56°－cos56°) ，b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c ＝，d (cos80°－2cos 250°221＋tan 40°30′＋1) ，则a ，b ，c ，d 的大小关系为 ( )
A.a ＞b ＞d ＞c B.b ＞a ＞d ＞c C.d ＞a ＞b ＞c D.c ＞a ＞d ＞b
1
8．函数y ＝sin2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )
2
13－ A. ⎡⎣22C. ⎡－
31
－⎤ B. ⎡⎣22⎦ D. ⎡－
⎣
2121⎤
＋ 2222⎦
⎣
2121－ 2222
9. 若锐角α、β满足(1＋3tanα)(13tanβ)＝4，则α＋β＝
4ααα
10. 设α是第二象限的角，tanα＝－，且sin cos .
3222
11. 已知sin(
π
4
-x)=
5π
，0
cos 2x +x )
4
的值。
12. 若α, β∈(0, π) ，cos α=-
【拓展提高】
πxππx
1、设函数f(x)＝sin() －2cos 2＋1
468
(1)求f(x)的最小正周期.
4
(2)若函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，]时y ＝g(x)的最大值
3
2. 已知向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，|a－b|(1)求cos(α－β)的值；
ππ5
(2)若0
2213
5
5
7
1
, tan β=-，求α+2β。
3
3、求证：
sin （2α+β）sin β
－2cos （α+β）=.
sin αsin α
【基础精练参考答案】
ππ
1＋2(＋sin2αsin44
4．C cosα
1＋cos2α＋sin2α2cos 2α＋2sinαcosα3414＝＝2×(cosα＋sinα)＝2×(＋) ＝cosαcosα55533
5.D 【解析】依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin (α－β)＝.
14π13143
∵0
43131333π
sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinα·cos(α－β)－cosα·sin(α－β) ＝，∴β71471423
πb ⎧b tan α+tan(-α) =-－⎪a 4a , ππ⎪
6.C 【解析】⎨ ∴tan tan[(α)＋α]＝1，
44c
1－⎪tan αtan(π-α) =c , a
⎪4a ⎩
b c
1－b ＝a －c ，∴c ＝a ＋b.
a a
7.B 【解析】a ＝sin(56°－45°) ＝sin11°，b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°) ＝sin12°，c ＝1－tan 240°30′1
＝cos81°＝sin9°，d 240°－2sin 240°) ＝cos80°＝sin10° 21＋tan 40°30′
∴b ＞a ＞d ＞c.
π111112
2x ＋，故选择C. 8.C 【解析】y ＝sin2x ＋sin 2x ＝－cos2x sin ⎛42⎝22222tanα＋tanβπ
9. 【解析】由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得3，即tan(α＋β)＝3. 31－tanαtanβπ又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
310. －
5αααα解析：∵α是第二象限的角，∴可能在第一或第三象限，又sin ，∴为第三象限的角， 52222
1＋cosα5
25
α43α
∴cos ∵tanα＝－，∴cosα＝－，∴cos ＝－
2352
12. 【解析】∵α, β∈(0, π) ，cos α=-∴α, β∈(tan2β=
750
∴tan α=-
113
∈(-, 0), tan β=-∈(-, 0), 7333
5π5π
, π) ，α+2β∈(, 3π) , 又62
11πtan α+tan 2β2tan β3
tan(α+2β) ==-1, ,[来源:Zxxk.Com]∴α+2β= =-
41-tan αtan 2β41-tan 2β
【拓展提高参考答案】
πxππxππ3π3π
1、【解析】 (1)f(x)＝sin cos －cos ＝－cos 4646424242π
πππ
＝x －，故f(x)的最小正周期为T ＝＝8
434
(2)法一：在y ＝g (x)的图象上任取一点 (x，g(x))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g(x)). ππ
由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x) 3sin[－x) －43πππππ
＝3sin[－－]3cos(＋) ，
24343
4πππ2π4π3
当0≤x≤时， ＋≤y ＝g(x)在区间[0，]上的最大值为g(x)max ＝3cos .
33433332
42
法二：因区间[0]关于x ＝1的对称区间为[，2]，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，故y
3342ππ
＝g(x)在[0，]上的最大值为y ＝f(x)在[，2]上的最大值，由(1)知f(x)3sin(－) ，
3343
2、【解析】(1)∵a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)， ∴a －b ＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ). ∵|a－b|＝
243
，∴(cosα－cosβ) ＋(sinα－sinβ) ， 即2－2cos(α－β)＝cos(α－β)＝. 5555
ππ34512
(2)∵0
cosβ，
[**************]
∴s inα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＋(＝
51351365