【摘 要】纵观近几年来的中考数学卷,对于运算能力的要求不断提高,因此,培养运算能力是一项长期的任务。而目前初中学生在代数运算方面存在的问题是:错用公式、违反运算法则,致使运算结果不对,不能灵活运用所学知识、方法死板,致使解题速度过慢,这些都影响着运算能力的提高。本文分析了如何培养学生代数运算能力的问题。
【关键词】初中数学;代数教学;运算能力
初中代数承担着培养运算能力的任务,加之教学必须遵从循序渐进的规律,因此,培养学生的运算能力,决不能脱离平常的教学而孤立进行,应该配合教学进度,结合学生知识水平,注意知识的内在联系,采取见缝插针的办法,有目的有侧重的来进行,这样才能使学生的运算能力逐步得到培养与提高。
由于培养学生的运算能力的方法多样,且涉及的知识面广,因此在这里梗概的谈一下自己在这一方面的一些作法。
1)必须抓好概念,是进行数学运算的必备基础,因为有的数学概念(如算术根、绝对值、最简根式、根的判别式等)对计算起着直接的指导作用,例如,如果学生对于根的判别式没有熟练掌握,就会对于b2-4ac的取值与一元二次方程的解的关系不能正确应用。
2)必须注意运算的合理性,运算的合理性不但是促使运算结果正确的保证,而且是提高运算能力的关键,分析运算结果错误之原因,不是由于运算不合理所造成,就是由于出现粗枝大叶,为了培养学生的合理性运算,在教学中,要求学生做到:
(1)牢记学过的基本概念、运算定律与法则、定理、公式与数据等,且记得准,才能不致于错用,所谓运算合理,就是指能正确应用这些知识于解题之中,为了便于学生记住,常对某些公式编成顺口溜,这祥做,既有利于记忆,又有利于运算,如①完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,说成首平方,末平方,首末积的两倍中间放。②指数运算法则说成:am・an=am+n,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,am÷an=am-n,同底数幂相除底数不变,指数相减,(bm)n=bmn幂的乘方底数不变,指数相乘;(ambn)p=(am)P・(bn)P=ampbnp积的乘方,各个因式分别乘方。
(2)运算时,既要灵活运用公式,又要遵循层次性。
例1 ■+■-■-■+■
■+■-■-■+■
解:原式=
=■-■+■
=■+■=0
(3)要学会对于题目类型进行归类。因为在数学中不少题的解法比较刻板,具有固定的规律性,若掌握了它们的解法,遇之使用,便会迎刃而解。所以要养成总结解题方法或规律的习惯。
例2 计算■-■
■-■
解:原式=
=(■-■)-(■-■)=0
例3 已知x=■,y=■,求x2+y2的值
解:化简得:x=■=5-2■
y=■=5+2■
则x+y=10,xy=1
∴当x=■,y=■时,
x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×1=98
3)要培养学生的运算能力,一般地应抓好以下几方面
(1)要善于引导学生养成解题的分析习惯,向他们指出,不要一见题就忙着去做,要经过分析,找出题目的特点,展开联想,寻找解题捷径,以达到迅速解题目的。
例4 用“>”连接下面的四个分数
-■、-■、-■、-■
分析:本题若不加分折,采用通常的方法化成同分母,其运算量过大,易产生错误,经过观察分析发现其中一分子正好是其他三分子的整数倍,因此将他们化成同分子的分数,在进行比较,就能迅速求的其结果。
例5 解方程:■-■=■-■
分析:若按普通方法解先去分母,则计算量过大,易产生错误,若先分别计算两边去解,则较简便,若按下列方法去解,则更明快,简便。
解:原方程可化为:
(1+■)-(1+■)=(1+■)+(1+■)
■=■
化简可得:6x=42 ∴x=7
经检验x=7是原方程的根。
一个人要有创造性,必须具有发展思维的品格,通过一题多解,既能调动学生的学习积极性,又能培养学生的思维能力,人们广泛的认为,它是开拓思路,发展智力,培养能力的有效途径,因此教育学生养成一题多解的习惯,在教学中使用时,教师不要去自己大显身手去作,而要不断启发诱导学生去做,久而久之,运算能力与解题能力,一定会逐步得到提高。
例6 分解因式x3-7x+6
解法(一)
原式=x3-x-6x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
解法(二)
原式=x3-x2+x2-7x+6=x2(x-1)+(x-1)(x-6)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
当然还可以将x3-7x+6写成x3-7x+7-1来进行分解
因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止,用不同的方法分解同一多项式,因式分解的结果应该完全一样。
(2)要高度重视对运算技能技巧的培养
要求学生具有分析判断能力,灵巧解题速度快,答案的的正确性高,而运算技能与技巧既能使解题速度快,又能使结果的准确性高,因此培养学生的运算技能与技巧,是我们当务之急,而提高运算技能与技巧,要注意以下几个方面:
①会设参数来解题
利用设参数来解题,是数学中常用的一种解题方法,因而在初中阶段就应该注意培养掌握它,由于参数是联系题中已知量和未知量的桥梁,通过它常可以使所研究的问题趋于简单,这样便可找到简捷的解体途径。
例7 解方程组■=■=■ (1)5x+3y-2z=32 (2)
解:设■=■=■=k
则x=6k,y=4k,z=5k代入(2)式:
30k+12k-10k=32
∴k=1
∴原方程组的解是:x=6y=4z=5
②会用换元法来解题
中学数学是建立在推理变换的基础上,换元法是推理变换的一种,用换元法来解某些方程,其技能性强,可起到化繁为简,变难为易的作用,因此能使学生掌握,以便提高解题速度。
例8 解方程:(x-3)2+■=13
解:原方程可变为:x■-6x+16+■-20=0
设y=■得y2+y-20=0
∴y■=-5,y■=4
当y=-5时,■=-5(无实数根)
当y=4时,■=4
两边平方,整理后得,
x2-6x=0
∴x■=0 x■=6
经检验x■=0,x■=6都是原方程的根。
总之,培养学生的代数运算能力的方法多种多样,且涉及的知识面广,这就要求我们教师刻苦钻研教学业务,探索教学方法和规律,总结教学经验,不断提高教学质量。
[责任编辑:曹明明]
【摘 要】纵观近几年来的中考数学卷,对于运算能力的要求不断提高,因此,培养运算能力是一项长期的任务。而目前初中学生在代数运算方面存在的问题是:错用公式、违反运算法则,致使运算结果不对,不能灵活运用所学知识、方法死板,致使解题速度过慢,这些都影响着运算能力的提高。本文分析了如何培养学生代数运算能力的问题。
【关键词】初中数学;代数教学;运算能力
初中代数承担着培养运算能力的任务,加之教学必须遵从循序渐进的规律,因此,培养学生的运算能力,决不能脱离平常的教学而孤立进行,应该配合教学进度,结合学生知识水平,注意知识的内在联系,采取见缝插针的办法,有目的有侧重的来进行,这样才能使学生的运算能力逐步得到培养与提高。
由于培养学生的运算能力的方法多样,且涉及的知识面广,因此在这里梗概的谈一下自己在这一方面的一些作法。
1)必须抓好概念,是进行数学运算的必备基础,因为有的数学概念(如算术根、绝对值、最简根式、根的判别式等)对计算起着直接的指导作用,例如,如果学生对于根的判别式没有熟练掌握,就会对于b2-4ac的取值与一元二次方程的解的关系不能正确应用。
2)必须注意运算的合理性,运算的合理性不但是促使运算结果正确的保证,而且是提高运算能力的关键,分析运算结果错误之原因,不是由于运算不合理所造成,就是由于出现粗枝大叶,为了培养学生的合理性运算,在教学中,要求学生做到:
(1)牢记学过的基本概念、运算定律与法则、定理、公式与数据等,且记得准,才能不致于错用,所谓运算合理,就是指能正确应用这些知识于解题之中,为了便于学生记住,常对某些公式编成顺口溜,这祥做,既有利于记忆,又有利于运算,如①完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,说成首平方,末平方,首末积的两倍中间放。②指数运算法则说成:am・an=am+n,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,am÷an=am-n,同底数幂相除底数不变,指数相减,(bm)n=bmn幂的乘方底数不变,指数相乘;(ambn)p=(am)P・(bn)P=ampbnp积的乘方,各个因式分别乘方。
(2)运算时,既要灵活运用公式,又要遵循层次性。
例1 ■+■-■-■+■
■+■-■-■+■
解:原式=
=■-■+■
=■+■=0
(3)要学会对于题目类型进行归类。因为在数学中不少题的解法比较刻板,具有固定的规律性,若掌握了它们的解法,遇之使用,便会迎刃而解。所以要养成总结解题方法或规律的习惯。
例2 计算■-■
■-■
解:原式=
=(■-■)-(■-■)=0
例3 已知x=■,y=■,求x2+y2的值
解:化简得:x=■=5-2■
y=■=5+2■
则x+y=10,xy=1
∴当x=■,y=■时,
x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×1=98
3)要培养学生的运算能力,一般地应抓好以下几方面
(1)要善于引导学生养成解题的分析习惯,向他们指出,不要一见题就忙着去做,要经过分析,找出题目的特点,展开联想,寻找解题捷径,以达到迅速解题目的。
例4 用“>”连接下面的四个分数
-■、-■、-■、-■
分析:本题若不加分折,采用通常的方法化成同分母,其运算量过大,易产生错误,经过观察分析发现其中一分子正好是其他三分子的整数倍,因此将他们化成同分子的分数,在进行比较,就能迅速求的其结果。
例5 解方程:■-■=■-■
分析:若按普通方法解先去分母,则计算量过大,易产生错误,若先分别计算两边去解,则较简便,若按下列方法去解,则更明快,简便。
解:原方程可化为:
(1+■)-(1+■)=(1+■)+(1+■)
■=■
化简可得:6x=42 ∴x=7
经检验x=7是原方程的根。
一个人要有创造性,必须具有发展思维的品格,通过一题多解,既能调动学生的学习积极性,又能培养学生的思维能力,人们广泛的认为,它是开拓思路,发展智力,培养能力的有效途径,因此教育学生养成一题多解的习惯,在教学中使用时,教师不要去自己大显身手去作,而要不断启发诱导学生去做,久而久之,运算能力与解题能力,一定会逐步得到提高。
例6 分解因式x3-7x+6
解法(一)
原式=x3-x-6x+6=x(x2-1)-6(x-1)=x(x+1)(x-1)-6(x-1)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
解法(二)
原式=x3-x2+x2-7x+6=x2(x-1)+(x-1)(x-6)
=(x-1)(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)
当然还可以将x3-7x+6写成x3-7x+7-1来进行分解
因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止,用不同的方法分解同一多项式,因式分解的结果应该完全一样。
(2)要高度重视对运算技能技巧的培养
要求学生具有分析判断能力,灵巧解题速度快,答案的的正确性高,而运算技能与技巧既能使解题速度快,又能使结果的准确性高,因此培养学生的运算技能与技巧,是我们当务之急,而提高运算技能与技巧,要注意以下几个方面:
①会设参数来解题
利用设参数来解题,是数学中常用的一种解题方法,因而在初中阶段就应该注意培养掌握它,由于参数是联系题中已知量和未知量的桥梁,通过它常可以使所研究的问题趋于简单,这样便可找到简捷的解体途径。
例7 解方程组■=■=■ (1)5x+3y-2z=32 (2)
解:设■=■=■=k
则x=6k,y=4k,z=5k代入(2)式:
30k+12k-10k=32
∴k=1
∴原方程组的解是:x=6y=4z=5
②会用换元法来解题
中学数学是建立在推理变换的基础上,换元法是推理变换的一种,用换元法来解某些方程,其技能性强,可起到化繁为简,变难为易的作用,因此能使学生掌握,以便提高解题速度。
例8 解方程:(x-3)2+■=13
解:原方程可变为:x■-6x+16+■-20=0
设y=■得y2+y-20=0
∴y■=-5,y■=4
当y=-5时,■=-5(无实数根)
当y=4时,■=4
两边平方,整理后得,
x2-6x=0
∴x■=0 x■=6
经检验x■=0,x■=6都是原方程的根。
总之,培养学生的代数运算能力的方法多种多样,且涉及的知识面广,这就要求我们教师刻苦钻研教学业务,探索教学方法和规律,总结教学经验,不断提高教学质量。
[责任编辑:曹明明]