一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解

鞍山师范学院学报

Journal of Anshan Teachers College

2000-09, 2(3):51-54

一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解

刘晓丽　　赵　岩　　戴宝印

(鞍山师范学院物理系, 辽宁鞍山114005)

摘　要:给出了计算一维谐振子能量本征值的方法, 它们分别是在坐标表象中求解; 在动量表象中求解; 在能量表象中求解和直接矢量求解.

关键词:谐振子; 本征值; 表象

中图分类号:O413. 1　　文献标识码:A 　　文章篇号:1008-2441(2000) 03-0051-04

0　引　言

求解一维谐振子能量本征值是量子力学中比较经典的问题, 通过求解定态薛定谔方程

H Χ=E Χ

(1)

可得到问题的解. 一般文献中都以在坐标表象中求解为主要方法, 实际上在各种表象下均可求解, 从求解过程中可以看到, 每种解法都有其特点和对问题理解上的差异, 因此在不同表象下求解一维谐振子能量是十分必要的. 一维谐振子的哈氏量可表为

2[1]

22

H =+x

2m 2

此时方程(1) 的本征值即为一维谐振子的能量, 下面在不同表象中求解本征值E .

(2)

1　在坐标表象中求解

在x 表象中, 薛定谔方程可表为

2

2-(x ) +x 2Χ(x )=E Χ(x ) 2Χ2m d x 2

(3)

边条件为

x ※∞,Χ(x )※0

令

ξ=αx , α=

, λ=

2(5) (4)

收稿日期:1999-11-30

1962) , 女, , 。

　　　　　　　　　　　　　　　　　鞍山师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　第2卷52

则方程(3) 变为

22

λ-ξ) Χ=02Χ+(d ξ

当ξ※±∞时, Χ※0, 因此(6) 式的一般解为

Χ=e ξu (ξ)

将(7) 式代入(6) 式得

1

2

(6)

(7)

2d ξ

2-2d ξ+(λ-1) u =0这是一个厄密方程, 只有当

λ-1=2n , n =0, 1, 2…

时, 此方程有一个满足边条件的多项式解[2], 将(9) 式代入(5) 式得

E n =(n +2

ω, n =0, 1, 2…

2　在动量表象中求解

[3]

在p 表象中, x =- i p

, 所以薛定谔方程可表为

222

m p 2Χ(p )-2d p Χ(p )=E Χ(p ) 若令p =m ωy , 则(11) 变为

2

2

2

-2m 2Χ(y ) +d y 2

y 2Χ(y )=E Χ(y ) 此方程与方程(3) 形式完全相同, 因此可直接得到

E n =(n +2

ω, n =0, 1, 2…

3　在能量表象中求解

因为

x

=-f (x ) , , x

=-[ x , f (p ) ]所以有

x =m ω2

x =-(H p - p H ) , p =m

=(H x - x H ) 取上式H 表象的ij 矩阵元, 有

m ω2

x ij =-(E i -E j ) p ij , E i -E j ) x i j =m

p ij

(8)

(9) (10) (11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

第3期刘晓丽等:一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解

22

2ωx ij =(E i -E j ) x ij

53(17) (18) (19) (20) (21) (22)

因此x ij 和p ij 有非零解的条件是

(E i -E j ) ω) , E i -E j =则有

E i =(i +εω, i =0, ±1, ±2, …　0≤ε≤1,

由(18) 式知, 不为零的矩阵元是

p ij =p ij (δ, x ij =x ij (δj , i +1+δj , i -1) j , i +1+δj , i -1)

再考虑到H ij =E i δij , 可得

p i , i +1

此式的解为

p i , i +1=c

由p -1, 0=c

i +α, 且α=ε+1/2, i ≥0

得α=1, 所以ε=1/2, 则

E i =(i +ω, i =0, 1, 2, …　

2

(23)

2

2

2

+p i -1, i

2

=(i +ε) ω

4　直接矢量求解

采用新的算符

a =

+

(p -im ω x ) , a =2ω

p +im ω x ) 2(24)

以代替 p 和 x , 容易证明[ a + a +]=1[4], 则

H =

式中

N = a a

是|n >,本征值为n , 则

N |n >=n |n >

≥0, 还可以证明当m 是正整数时

m

[N , a ]=- a , [N , a ]=-m a m

+

+(a a + a a +)=ω(a + a +N +ω222

(25)

(26)

可以看到, 为了求H 的本征矢量, 只要求出N 的本征矢量即可. 设N 的归一化本征矢量之一

(27)

由于N 是厄米算符, 故其本征值n 必为实数, 又因为只有a |n >=0时, 才有n =0, 所以n

(28) (29)

因此

m

N a |n >=( n -1) a |n >,N a m |n >=( n -m ) a |n >

[N , a +]= a +,[N , a +m ]=m a +m

(30) (31)

N a +|n >=( n +1) a + |n >,N a +m |n >=( n +m ) a +m |n >

　　　　　　　　　　　　　　　　　鞍山师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　第2卷54

+所以若|n >是N 的本征态失, a |n >和a |n >也是N 的本征态失, 而且

a |n >～|n -1>, a +|n >～|n +1>,

(32)

若n 是N 的本征值, 则n -1, n -2, …也都是N 的本征值. 由于N 的本征值都是非负数, 因此这个数列必须截止, 即有一个正整数m 存在, 使n =m , N a |n >=0, 所以n 必为非负整 数, 所以

E n =(n +2ω, n =0, 1, 2, ….

(33)

参考文献:

[1]曾谨言. 量子力学[M ]. 北京:科学出版社, 1981.

[2]郭敦仁. 量子力学初步[M ]. 北京:高等教育出版社, 1978. [3]E ·费米. 量子力学[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 1984. [4]余寿绵. 高等量子力学[M ]. 济南:山东科学技术出版社, 1985.

The Solutions of One -dimensional Harmonic Oscillator Energy Eigenvalues in Different Representation

LIU Xiao -li 　　ZHAO Yan 　　DAI Bao -yin

(Department of Physics , Anshan Teachers College , Liaoning Anshan 114005, China )

A bstract :The author gives four approaches of calculating the energy eigenvalues of one -di -mensional harmonic oscillator . They are respectively the method of finding the solution in coori -nate representation , the method of finding the solution in momentum representation ; the method of finding the solution in energy representation , and the method of finding the solution by direct vec -tors .

Key words :Harmonic oscillato r ; Eigenvalue ; Representation

鞍山师范学院学报

Journal of Anshan Teachers College

2000-09, 2(3):51-54

一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解

刘晓丽　　赵　岩　　戴宝印

(鞍山师范学院物理系, 辽宁鞍山114005)

摘　要:给出了计算一维谐振子能量本征值的方法, 它们分别是在坐标表象中求解; 在动量表象中求解; 在能量表象中求解和直接矢量求解.

关键词:谐振子; 本征值; 表象

中图分类号:O413. 1　　文献标识码:A 　　文章篇号:1008-2441(2000) 03-0051-04

0　引　言

求解一维谐振子能量本征值是量子力学中比较经典的问题, 通过求解定态薛定谔方程

H Χ=E Χ

(1)

可得到问题的解. 一般文献中都以在坐标表象中求解为主要方法, 实际上在各种表象下均可求解, 从求解过程中可以看到, 每种解法都有其特点和对问题理解上的差异, 因此在不同表象下求解一维谐振子能量是十分必要的. 一维谐振子的哈氏量可表为

2[1]

22

H =+x

2m 2

此时方程(1) 的本征值即为一维谐振子的能量, 下面在不同表象中求解本征值E .

(2)

1　在坐标表象中求解

在x 表象中, 薛定谔方程可表为

2

2-(x ) +x 2Χ(x )=E Χ(x ) 2Χ2m d x 2

(3)

边条件为

x ※∞,Χ(x )※0

令

ξ=αx , α=

, λ=

2(5) (4)

收稿日期:1999-11-30

1962) , 女, , 。

　　　　　　　　　　　　　　　　　鞍山师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　第2卷52

则方程(3) 变为

22

λ-ξ) Χ=02Χ+(d ξ

当ξ※±∞时, Χ※0, 因此(6) 式的一般解为

Χ=e ξu (ξ)

将(7) 式代入(6) 式得

1

2

(6)

(7)

2d ξ

2-2d ξ+(λ-1) u =0这是一个厄密方程, 只有当

λ-1=2n , n =0, 1, 2…

时, 此方程有一个满足边条件的多项式解[2], 将(9) 式代入(5) 式得

E n =(n +2

ω, n =0, 1, 2…

2　在动量表象中求解

[3]

在p 表象中, x =- i p

, 所以薛定谔方程可表为

222

m p 2Χ(p )-2d p Χ(p )=E Χ(p ) 若令p =m ωy , 则(11) 变为

2

2

2

-2m 2Χ(y ) +d y 2

y 2Χ(y )=E Χ(y ) 此方程与方程(3) 形式完全相同, 因此可直接得到

E n =(n +2

ω, n =0, 1, 2…

3　在能量表象中求解

因为

x

=-f (x ) , , x

=-[ x , f (p ) ]所以有

x =m ω2

x =-(H p - p H ) , p =m

=(H x - x H ) 取上式H 表象的ij 矩阵元, 有

m ω2

x ij =-(E i -E j ) p ij , E i -E j ) x i j =m

p ij

(8)

(9) (10) (11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

第3期刘晓丽等:一维谐振子能量本征值在各种表象中的求解

22

2ωx ij =(E i -E j ) x ij

53(17) (18) (19) (20) (21) (22)

因此x ij 和p ij 有非零解的条件是

(E i -E j ) ω) , E i -E j =则有

E i =(i +εω, i =0, ±1, ±2, …　0≤ε≤1,

由(18) 式知, 不为零的矩阵元是

p ij =p ij (δ, x ij =x ij (δj , i +1+δj , i -1) j , i +1+δj , i -1)

再考虑到H ij =E i δij , 可得

p i , i +1

此式的解为

p i , i +1=c

由p -1, 0=c

i +α, 且α=ε+1/2, i ≥0

得α=1, 所以ε=1/2, 则

E i =(i +ω, i =0, 1, 2, …　

2

(23)

2

2

2

+p i -1, i

2

=(i +ε) ω

4　直接矢量求解

采用新的算符

a =

+

(p -im ω x ) , a =2ω

p +im ω x ) 2(24)

以代替 p 和 x , 容易证明[ a + a +]=1[4], 则

H =

式中

N = a a

是|n >,本征值为n , 则

N |n >=n |n >

≥0, 还可以证明当m 是正整数时

m

[N , a ]=- a , [N , a ]=-m a m

+

+(a a + a a +)=ω(a + a +N +ω222

(25)

(26)

可以看到, 为了求H 的本征矢量, 只要求出N 的本征矢量即可. 设N 的归一化本征矢量之一

(27)

由于N 是厄米算符, 故其本征值n 必为实数, 又因为只有a |n >=0时, 才有n =0, 所以n

(28) (29)

因此

m

N a |n >=( n -1) a |n >,N a m |n >=( n -m ) a |n >

[N , a +]= a +,[N , a +m ]=m a +m

(30) (31)

N a +|n >=( n +1) a + |n >,N a +m |n >=( n +m ) a +m |n >

　　　　　　　　　　　　　　　　　鞍山师范学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　第2卷54

+所以若|n >是N 的本征态失, a |n >和a |n >也是N 的本征态失, 而且

a |n >～|n -1>, a +|n >～|n +1>,

(32)

若n 是N 的本征值, 则n -1, n -2, …也都是N 的本征值. 由于N 的本征值都是非负数, 因此这个数列必须截止, 即有一个正整数m 存在, 使n =m , N a |n >=0, 所以n 必为非负整 数, 所以

E n =(n +2ω, n =0, 1, 2, ….

(33)

参考文献:

[1]曾谨言. 量子力学[M ]. 北京:科学出版社, 1981.

[2]郭敦仁. 量子力学初步[M ]. 北京:高等教育出版社, 1978. [3]E ·费米. 量子力学[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 1984. [4]余寿绵. 高等量子力学[M ]. 济南:山东科学技术出版社, 1985.

The Solutions of One -dimensional Harmonic Oscillator Energy Eigenvalues in Different Representation

LIU Xiao -li 　　ZHAO Yan 　　DAI Bao -yin

(Department of Physics , Anshan Teachers College , Liaoning Anshan 114005, China )

A bstract :The author gives four approaches of calculating the energy eigenvalues of one -di -mensional harmonic oscillator . They are respectively the method of finding the solution in coori -nate representation , the method of finding the solution in momentum representation ; the method of finding the solution in energy representation , and the method of finding the solution by direct vec -tors .

Key words :Harmonic oscillato r ; Eigenvalue ; Representation