2014怀柔二模

北京市怀柔区2014年高级中等学校招生模拟考试（二）

数 学 试 卷 2014.6

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1.4的算术平方根是

A．±2 B．2 C．-2 D．2

2.APEC峰会是亚太经合组织最高级别的会议，据网上公布的数据，2014年金秋将有来自数十个亚太地区经济界领导人、媒体记者及全球各界名流超过8000

人齐聚怀柔，参加APEC峰会.将8000用科学计数法表示应为

A．8103 B．0.8104 C．80102 D．8104 3.下面的几何体中，主视图为三角形的是

A. B. C. D. 4.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：

则这四人中成绩发挥最稳定的是

A．甲 B

．乙 C．丙 D．丁

5.

如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则tanAPB的值是 A．1 B

D6.下列多边形中，内角和是外角和2倍的是

A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 7．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为 A．2 B．3 C．4 D．8

8．方程2x24x10的根可视为函数y2x4的图象与函数y

的横坐标，则方程x32x10的实根x0所在的范围是

1

的图象交点x

111111

Bx0 Cx0 Dx01443322

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9. 已知点P的坐标是(2，-3)，则点P关于y轴对称点的坐标是 . 10.如图，在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2，则BF:EF

= .

A．0x0

11．写出一个能用提取公因式和平方差公式分解因式的多项式： ． 12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆被覆盖部分（阴影部分）的面积为_____________.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

12

（）13.

3tan302+

2

14.如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE． 求证：CE=BF．

23x1． 15．解方程：

x11x

16．已知x2+5x+4=0，求代数式(2x1)(x1)(x-2)22的值．

17.某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．

两种印刷

方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数表达式是 ． 乙种收费的函数表达式是 ．

（2）该校某年级每次需印制320～350份学案，选择哪种印刷方式较合算？

18. 如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）. ⑴求点D的坐标；

⑵求经过点C的反比例函数表达式.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，

∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD．

20.从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m ，n ， 扇形统计图中E组所占的百分比为 %.

（2）若该市人口约有100万人，请你计算其中持D组“观点”的市民人数. （3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q. （1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，

试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

3

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长.

5

22．阅读材料：

小强遇到这样一个问题：已知正方形ABCD的边长为a，求作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在已知正方形的四条边上，并且边长等于b.

小强的思考是：如图，假设正方形EFGH已作出,其边长为b，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，则正方形EFGH的中心就是正方形ABCD的中心O（对角线的交点）. ∵正方形EFGH的边长为b，∴对角线EG＝HF=2b,

DE

GB

H

C

2

∴OE＝OF＝OG＝OH＝b，进而点E、F、G、H可作出.

2

解决问题:

（1）下列网格每个小正方形的边长都为1，请你在网格中作出一个正方形ABCD，使它的边长a＝，要求A、B、C、D四个顶点都在

A

F

小正方形的格点上.

（2）参考小强的思路，探究解决下列问题：作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在（1）中所做正方形ABCD的边上，并且边长b取得最小值.

请你画出图形，并简要说明b取得最小值的理由，写出b的最小值.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标； （2）设D为y轴上的一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求D点的坐标；

k

（3）已知：直线y=xk(k>0)交x轴于点E，M为直线上的动点，当以A、B、

4

M为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k的取值范围．

24．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关

系为 . （2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，

上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明． （3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．

A

FB FBC

F B

25.在平面直角坐标系xoy中，已知 A(3，0)、B(1，2)， 直线l围绕△OAB的顶点A旋转，与y轴相交于点P.探究解决下列问题： （1）在图1中求△OAB的面积.

（2）如图1所示，当直线l旋转到与边OB相交时，试确定点P的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，并简要说明理由.

（3）当直线l旋转到与y轴的负半轴相交时，在图2中试确定点P的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，画出图形并求出此时P点的坐标. （点P位置的确定只需作出图形，不用证明）.

x

图

1

怀柔区2013—2014学年度中考模拟练习（二）

数学试卷答案及评分参考

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

12

（）13. 3tan302+

2

=33

3

2+4………………………………4分 3

9…………………………………………5分 14．证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠D，

∵在△ABF和△DCE中

，………………………………………3分

∴△ABF≌△DC……………………4分 ∴CE=BF.………………………………………………5分

23x1,----------- 1分 15．解：

x1x1

23xx1, -----------2分

4x3, ----------- 3分

3

x.-----------4分

43

经检验，x是原方程的解．----------- 5分

4

3

∴原方程的解是x.

416. 解：(2x1)(x1)(x-2)22．

=2x2+2x-x1(x2-4x4)2． ………………………………………2分 =2x2x1x2+4x42． ………………………………………3分 =x2+5x7． ………………………………………4分

2

当x+5x+4=0时，原式=-4711．………………………………………5分

17. 解：（1）设甲种收费的函数表达式y1=kx+b，乙种收费的函数表达式是y2=k1x， 把（0，6），（100，16）代入y1=kx+b，

6bk0.1得，解得：，

16100kbb6

∴y1=0.1x+6（x≥0的整数），…………………………………2分 把（100，12）代入y2=k1x，解得：k1=0.12，………………………………………3分 ∴y 2=0.12x（x≥0的整数）； ∴y1=0.1x+6（x≥0的整数），y2=0.12x（x≥0的整数）． （2）由题意，得

当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；

当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；………………………………………4分 当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；

∴当x在320～350范围时，选择甲种方式合算．………………………………………5分

18. 解：(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90

°，

∴ ………………………………………1分 ∵四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， ∴OD=AD-AO=1,

∵点D在y轴负半轴，

∴点D的坐标为（-1,0）. ………………………………3分

(2)设反比例函数表达式为y=

k. x

∵BC=AB=5，OB=3,

∴点C的坐标为（-3，-5）. ………………………………………4分 ∵反比例函数表达式y=k经过点C,

x

∴反比例函数表达式为y=15.………………………………………5分

x

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°. ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC.

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形. ················································· 2分

（

2

）连接BE.

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形， ∴EB=EF，∠EBF=60°.

∵DC=EF，∴EB=DC.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC（SAS），∴AE=AD. ······················································ 5分 20. 解：（1） m40010%40，n400804012060100

E组所占百分比是604000.1515%…………………………3分

（2）D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为1204000.330%， ∴10030%30（万人）…………………4分 （3）持C组“观点”的概率为

1001

…………………………5分 4004

21．解：（1）CD与⊙O相切.„„„„„„„„„„„1分 理由如下：

连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2 ∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90° ∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=90°,∴OC⊥DC, 又∵OC是⊙O的半径，∴C是半径的外端，

∴CD是⊙O的切线„„„„„„„„„„„„„„„3分

(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. „„„„„„„„„„„4分 在Rt△ABC中

321

BC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)³=.

55

BP

在Rt△BPQ中BQ==10.

cosB2129

∴QC=BQ-BC=10-=„„„„„„„„„„„„5分

55

22．解： (1)

„„„„„„„„„„„„2分

(2)

„„„„„„„„„„„„„„4分

b取得最小值的理由：∵由正方形的中心O向正方形的一边作所有线段中，垂线段OH最短，∴延长HO交AB边于点F，以FH为一条对角线所做正方形EFGH的边长b就最小，b的最小值为5.„„„„„„„„„„„5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23． 解：（1）令y=0，即=0，

解得x1=﹣4，x2=2，

∴点A、B的坐标分别为A（﹣4，0）、B（2，0）．„„„„„„„„„„2分 （2）过B点作直线L1∥AC交y轴于点D1，则S△ACB=S△ACD1， 设直线AC的表达式为y=kx+b，代入A（﹣4，0），C（0，3）， 得到

，解得

，

∴直线AC表达式

y=x+3．„„„„„„„„„„3分

∵直线L1平行于AC，∴设直线L1的表达式为

3

y=x+b，代入B（2，0）． 4

3

解得：b=，

2

3

∴D1点的坐标是（0，），„„„„„„„„„„„„4分

2

15

根据对称性可求得D2坐标为（0，），

2315

∴D点的坐标分别为：（0，），（0，）„„„„„„„„„„„„5分

22

k

（3）∵直线y=xk(k>0)交x轴于点E，

4k

令y=0，则xk=0，解得x=4，∴E点坐标4为（4，0），

如图，以AB为直径作⊙F，过E点作⊙F的切线，切点为H，这样的直线有2条，∵直线

k

y=xk(k>0)中的k>0，∵只取x轴上方的

4一条切线.

连接FH，过H作HN⊥x轴于点N． ∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），∴FE=5，⊙F半径FH=FB=3． 在Rt△HEF中，

HE==4，sin∠

HFE=，cos∠

HFE=．

，

在Rt△FHN中，HN=HN•sin∠HFE=3×=

FN=HN•cos∠HFE=3×=，则

ON=， ∴H点坐标为（，

）

），E（4，0），则有

设直线HE的表达式为y=kx+b，代入H

（，

，解得

，

所以切线HE的表达式为

y=x+3．„„„„„„„„„„„„6分

x+3的两个交点均可以与A、B点

∵过A、B点作x轴的垂线，其与直线y=

构成直角三角形，∴要使以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有四个，

k

就要使直线y=xk(k>0)与⊙F相交，∵过E点的直线y=x+3与⊙F相切

4

k

时，直线与y轴的交点坐标是（0，3），∴过E点的直线y=xk(k>0)与⊙F

4

相交时k的范围是0

证明：将线段BE绕点B顺时针旋转60°， 得线段BE’，连接E’C、E’E，„„„„„„„„„„„„2分 ∴△EB E’为等边三角形，∴BE=E E’,

又∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB= 60°，∴∠1=∠2, ’

∴△ABE≌△CB E

（SAS），„„„„„„„„„„„„3分

∴AE=C E’, ∠A=∠3=60°， FB又∵CF=AE，

'

’

∴C E=CF， ∵∠ACB=60°，∠3=60°， ∴∠AC E’=∠AC F=120°， ∵EC=EC

∴△E C E’≌△ECF（SAS），„„„„„„„„„„„„4分 ∴E E’=EF．

∴BE=EF．„„„„„„„„„„„„5分 （3）猜想BE=EF．

A

证明：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得线段BE’， 连接E’C、E’E，

∴△EB E’为等边三角形，∴BE=E E’, C

FB

又∵△ABC为等边三角形，

E

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB= 60°，∴∠ABE=∠CB E’, ∴△ABE≌△CB E’（SAS），

E'

∴AE=C E’, ∠A=∠B C E’ =60°，

又∵CF=AE，

∴C E’=CF，

∵∠ACB=60°，∠B C E’=60°，

’∴∠EC E=∠EC F=60°，

∵EC=EC

∴△E E’C≌△EFC（SAS），„„„„„„„„„„„„6分

∴E E’=EF．又∵BE=E E’,

∴BE=EF．„„„„„„„„„„„„7分

25. 解：（1）过B点作BE⊥OA，垂足为E.

∵B(1，2)，∴BE=2，∵A(3，0)，∴OA=3，

11OA²BE= 32=3.„„„„„„„„„„2分 22

（2）过A点作直线l⊥OB于点F，

l与y轴的交点即为所确定的P点位置. „„„„„„„„„„3分

理由如下：如图所示，过点O作OD⊥l于D,

过点B作BC⊥l于C. 111∵S△OAB=FA²OD+FA²BC =FA(OD+BC)=3为定值. 222要使点O、B到直线l的距离之和最大，即OD+BC最大，

只要使FA最小，∴过A点作直线l⊥OB于点F，

此时FA即为最小值.

∴l与y轴的交点即为所确定的P点位置. „„„„„„„„„„„„5分

（3）如图所示，延长BA到G点，使BA=AG，联结OG，则S△OAG = S△OAB， 过点A作直线l⊥OG于点F, 与y轴的交点即为所确定的P

点. „„„„„„„„„„„6分 ∴S△OAB=

过点B作BE⊥OA于点E，∵B(1，2)， A(3，0)，

∴EB=EA=2， 过点G作GH⊥x轴于点H，

∴△ABE≌△AGH（AAS），∴AH=2，GH=2，

∴OH=5，∴tan∠HOG=2， 5x

又∵直线l⊥OG于点F, ∴∠OPA=∠HOG， 2OA232∴tan∠OPA= tan∠HOG=，∴=，∴=，5OP5OP5

∴OP=

1515，∴P(0，).„„„„„„„„„8分 2211

12

北京市怀柔区2014年高级中等学校招生模拟考试（二）

数 学 试 卷 2014.6

下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1.4的算术平方根是

A．±2 B．2 C．-2 D．2

2.APEC峰会是亚太经合组织最高级别的会议，据网上公布的数据，2014年金秋将有来自数十个亚太地区经济界领导人、媒体记者及全球各界名流超过8000

人齐聚怀柔，参加APEC峰会.将8000用科学计数法表示应为

A．8103 B．0.8104 C．80102 D．8104 3.下面的几何体中，主视图为三角形的是

A. B. C. D. 4.甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：

则这四人中成绩发挥最稳定的是

A．甲 B

．乙 C．丙 D．丁

5.

如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则tanAPB的值是 A．1 B

D6.下列多边形中，内角和是外角和2倍的是

A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 7．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为 A．2 B．3 C．4 D．8

8．方程2x24x10的根可视为函数y2x4的图象与函数y

的横坐标，则方程x32x10的实根x0所在的范围是

1

的图象交点x

111111

Bx0 Cx0 Dx01443322

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9. 已知点P的坐标是(2，-3)，则点P关于y轴对称点的坐标是 . 10.如图，在□ABCD中，E在DC上，若DE:EC=1:2，则BF:EF

= .

A．0x0

11．写出一个能用提取公因式和平方差公式分解因式的多项式： ． 12．如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切,将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）.则半圆被覆盖部分（阴影部分）的面积为_____________.

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

12

（）13.

3tan302+

2

14.如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE． 求证：CE=BF．

23x1． 15．解方程：

x11x

16．已知x2+5x+4=0，求代数式(2x1)(x1)(x-2)22的值．

17.某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．

两种印刷

方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示： （1）填空：甲种收费的函数表达式是 ． 乙种收费的函数表达式是 ．

（2）该校某年级每次需印制320～350份学案，选择哪种印刷方式较合算？

18. 如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）. ⑴求点D的坐标；

⑵求经过点C的反比例函数表达式.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，

∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD．

20.从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果

请根据图表中提供的信息解答下列问题：

（1）填空：m ，n ， 扇形统计图中E组所占的百分比为 %.

（2）若该市人口约有100万人，请你计算其中持D组“观点”的市民人数. （3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？

21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q. （1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，

试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

3

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长.

5

22．阅读材料：

小强遇到这样一个问题：已知正方形ABCD的边长为a，求作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在已知正方形的四条边上，并且边长等于b.

小强的思考是：如图，假设正方形EFGH已作出,其边长为b，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，则正方形EFGH的中心就是正方形ABCD的中心O（对角线的交点）. ∵正方形EFGH的边长为b，∴对角线EG＝HF=2b,

DE

GB

H

C

2

∴OE＝OF＝OG＝OH＝b，进而点E、F、G、H可作出.

2

解决问题:

（1）下列网格每个小正方形的边长都为1，请你在网格中作出一个正方形ABCD，使它的边长a＝，要求A、B、C、D四个顶点都在

A

F

小正方形的格点上.

（2）参考小强的思路，探究解决下列问题：作另一个正方形EFGH，使它的四个顶点分别在（1）中所做正方形ABCD的边上，并且边长b取得最小值.

请你画出图形，并简要说明b取得最小值的理由，写出b的最小值.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标； （2）设D为y轴上的一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求D点的坐标；

k

（3）已知：直线y=xk(k>0)交x轴于点E，M为直线上的动点，当以A、B、

4

M为顶点所作的直角三角形有且只有四个时，求k的取值范围．

24．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关

系为 . （2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，

上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明． （3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．

A

FB FBC

F B

25.在平面直角坐标系xoy中，已知 A(3，0)、B(1，2)， 直线l围绕△OAB的顶点A旋转，与y轴相交于点P.探究解决下列问题： （1）在图1中求△OAB的面积.

（2）如图1所示，当直线l旋转到与边OB相交时，试确定点P的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，并简要说明理由.

（3）当直线l旋转到与y轴的负半轴相交时，在图2中试确定点P的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，画出图形并求出此时P点的坐标. （点P位置的确定只需作出图形，不用证明）.

x

图

1

怀柔区2013—2014学年度中考模拟练习（二）

数学试卷答案及评分参考

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

12

（）13. 3tan302+

2

=33

3

2+4………………………………4分 3

9…………………………………………5分 14．证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠D，

∵在△ABF和△DCE中

，………………………………………3分

∴△ABF≌△DC……………………4分 ∴CE=BF.………………………………………………5分

23x1,----------- 1分 15．解：

x1x1

23xx1, -----------2分

4x3, ----------- 3分

3

x.-----------4分

43

经检验，x是原方程的解．----------- 5分

4

3

∴原方程的解是x.

416. 解：(2x1)(x1)(x-2)22．

=2x2+2x-x1(x2-4x4)2． ………………………………………2分 =2x2x1x2+4x42． ………………………………………3分 =x2+5x7． ………………………………………4分

2

当x+5x+4=0时，原式=-4711．………………………………………5分

17. 解：（1）设甲种收费的函数表达式y1=kx+b，乙种收费的函数表达式是y2=k1x， 把（0，6），（100，16）代入y1=kx+b，

6bk0.1得，解得：，

16100kbb6

∴y1=0.1x+6（x≥0的整数），…………………………………2分 把（100，12）代入y2=k1x，解得：k1=0.12，………………………………………3分 ∴y 2=0.12x（x≥0的整数）； ∴y1=0.1x+6（x≥0的整数），y2=0.12x（x≥0的整数）． （2）由题意，得

当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；

当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；………………………………………4分 当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；

∴当x在320～350范围时，选择甲种方式合算．………………………………………5分

18. 解：(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90

°，

∴ ………………………………………1分 ∵四边形ABCD为菱形，所以AD=AB=5， ∴OD=AD-AO=1,

∵点D在y轴负半轴，

∴点D的坐标为（-1,0）. ………………………………3分

(2)设反比例函数表达式为y=

k. x

∵BC=AB=5，OB=3,

∴点C的坐标为（-3，-5）. ………………………………………4分 ∵反比例函数表达式y=k经过点C,

x

∴反比例函数表达式为y=15.………………………………………5分

x

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19. 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°. ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC.

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形. ················································· 2分

（

2

）连接BE.

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形， ∴EB=EF，∠EBF=60°.

∵DC=EF，∴EB=DC.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，

∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC（SAS），∴AE=AD. ······················································ 5分 20. 解：（1） m40010%40，n400804012060100

E组所占百分比是604000.1515%…………………………3分

（2）D组“观点”的人数在调查人数中所占的百分比为1204000.330%， ∴10030%30（万人）…………………4分 （3）持C组“观点”的概率为

1001

…………………………5分 4004

21．解：（1）CD与⊙O相切.„„„„„„„„„„„1分 理由如下：

连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2 ∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90° ∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=90°,∴OC⊥DC, 又∵OC是⊙O的半径，∴C是半径的外端，

∴CD是⊙O的切线„„„„„„„„„„„„„„„3分

(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. „„„„„„„„„„„4分 在Rt△ABC中

321

BC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)³=.

55

BP

在Rt△BPQ中BQ==10.

cosB2129

∴QC=BQ-BC=10-=„„„„„„„„„„„„5分

55

22．解： (1)

„„„„„„„„„„„„2分

(2)

„„„„„„„„„„„„„„4分

b取得最小值的理由：∵由正方形的中心O向正方形的一边作所有线段中，垂线段OH最短，∴延长HO交AB边于点F，以FH为一条对角线所做正方形EFGH的边长b就最小，b的最小值为5.„„„„„„„„„„„5分

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23． 解：（1）令y=0，即=0，

解得x1=﹣4，x2=2，

∴点A、B的坐标分别为A（﹣4，0）、B（2，0）．„„„„„„„„„„2分 （2）过B点作直线L1∥AC交y轴于点D1，则S△ACB=S△ACD1， 设直线AC的表达式为y=kx+b，代入A（﹣4，0），C（0，3）， 得到

，解得

，

∴直线AC表达式

y=x+3．„„„„„„„„„„3分

∵直线L1平行于AC，∴设直线L1的表达式为

3

y=x+b，代入B（2，0）． 4

3

解得：b=，

2

3

∴D1点的坐标是（0，），„„„„„„„„„„„„4分

2

15

根据对称性可求得D2坐标为（0，），

2315

∴D点的坐标分别为：（0，），（0，）„„„„„„„„„„„„5分

22

k

（3）∵直线y=xk(k>0)交x轴于点E，

4k

令y=0，则xk=0，解得x=4，∴E点坐标4为（4，0），

如图，以AB为直径作⊙F，过E点作⊙F的切线，切点为H，这样的直线有2条，∵直线

k

y=xk(k>0)中的k>0，∵只取x轴上方的

4一条切线.

连接FH，过H作HN⊥x轴于点N． ∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），∴FE=5，⊙F半径FH=FB=3． 在Rt△HEF中，

HE==4，sin∠

HFE=，cos∠

HFE=．

，

在Rt△FHN中，HN=HN•sin∠HFE=3×=

FN=HN•cos∠HFE=3×=，则

ON=， ∴H点坐标为（，

）

），E（4，0），则有

设直线HE的表达式为y=kx+b，代入H

（，

，解得

，

所以切线HE的表达式为

y=x+3．„„„„„„„„„„„„6分

x+3的两个交点均可以与A、B点

∵过A、B点作x轴的垂线，其与直线y=

构成直角三角形，∴要使以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有四个，

k

就要使直线y=xk(k>0)与⊙F相交，∵过E点的直线y=x+3与⊙F相切

4

k

时，直线与y轴的交点坐标是（0，3），∴过E点的直线y=xk(k>0)与⊙F

4

相交时k的范围是0

证明：将线段BE绕点B顺时针旋转60°， 得线段BE’，连接E’C、E’E，„„„„„„„„„„„„2分 ∴△EB E’为等边三角形，∴BE=E E’,

又∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB= 60°，∴∠1=∠2, ’

∴△ABE≌△CB E

（SAS），„„„„„„„„„„„„3分

∴AE=C E’, ∠A=∠3=60°， FB又∵CF=AE，

'

’

∴C E=CF， ∵∠ACB=60°，∠3=60°， ∴∠AC E’=∠AC F=120°， ∵EC=EC

∴△E C E’≌△ECF（SAS），„„„„„„„„„„„„4分 ∴E E’=EF．

∴BE=EF．„„„„„„„„„„„„5分 （3）猜想BE=EF．

A

证明：将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得线段BE’， 连接E’C、E’E，

∴△EB E’为等边三角形，∴BE=E E’, C

FB

又∵△ABC为等边三角形，

E

∴AB=BC，∠ABC=∠ACB= 60°，∴∠ABE=∠CB E’, ∴△ABE≌△CB E’（SAS），

E'

∴AE=C E’, ∠A=∠B C E’ =60°，

又∵CF=AE，

∴C E’=CF，

∵∠ACB=60°，∠B C E’=60°，

’∴∠EC E=∠EC F=60°，

∵EC=EC

∴△E E’C≌△EFC（SAS），„„„„„„„„„„„„6分

∴E E’=EF．又∵BE=E E’,

∴BE=EF．„„„„„„„„„„„„7分

25. 解：（1）过B点作BE⊥OA，垂足为E.

∵B(1，2)，∴BE=2，∵A(3，0)，∴OA=3，

11OA²BE= 32=3.„„„„„„„„„„2分 22

（2）过A点作直线l⊥OB于点F，

l与y轴的交点即为所确定的P点位置. „„„„„„„„„„3分

理由如下：如图所示，过点O作OD⊥l于D,

过点B作BC⊥l于C. 111∵S△OAB=FA²OD+FA²BC =FA(OD+BC)=3为定值. 222要使点O、B到直线l的距离之和最大，即OD+BC最大，

只要使FA最小，∴过A点作直线l⊥OB于点F，

此时FA即为最小值.

∴l与y轴的交点即为所确定的P点位置. „„„„„„„„„„„„5分

（3）如图所示，延长BA到G点，使BA=AG，联结OG，则S△OAG = S△OAB， 过点A作直线l⊥OG于点F, 与y轴的交点即为所确定的P

点. „„„„„„„„„„„6分 ∴S△OAB=

过点B作BE⊥OA于点E，∵B(1，2)， A(3，0)，

∴EB=EA=2， 过点G作GH⊥x轴于点H，

∴△ABE≌△AGH（AAS），∴AH=2，GH=2，

∴OH=5，∴tan∠HOG=2， 5x

又∵直线l⊥OG于点F, ∴∠OPA=∠HOG， 2OA232∴tan∠OPA= tan∠HOG=，∴=，∴=，5OP5OP5

∴OP=

1515，∴P(0，).„„„„„„„„„8分 2211

12