第28卷第5期
2005年10月
现 代 测 绘
Vol . 28, No . 5
Oct . 2005
赫尔默特方差分量估计在混合水准网平差中的应用
李希峰, 岳东杰, 卫柳艳
(河海大学土木工程学院, 江苏南京210098)
摘 要 测量中有些时候会碰到定权不统一的问题, 导致了平差后的结果不理想。本文主要讨论的是通过赫尔默特方差估计的方法消除由于定权的不合理而产生的精度超限问题。通过实例进行分析表明, 利用赫尔默特方差分量估计在进行迭代定权非常实用, 大大提高了其精度。
关键词 赫尔默特方差估计法 迭代平差 验后方差估计 单位权方差
中图分类号:P224. 1 文献标识码:B 文章编号:1672-4097(2005) 05-0020-03
N =A A
-1
T
1 引 言
在水准测量中, 量, 但会遇到像跨江、跨河、情况, , 程。, 有光学测微法、倾斜螺旋法、经纬仪倾角法、测距三角高程等几种方法。对于跨越3500m 以内的水准测量, 国家水准测量规范上都有明确的作业方法、技术指标。对于超过3500m 的应进行专项设计。这样使水准网中含有两种水准路线:几何水准路线、跨河水准路线。由于二者施测方法和技术不同, 有可能使其定权时精度与标称精度不一致, 若在平差处理时都按同样的方法定权, 会产生定权不合理的结果, 从而影响平差结果。
为了提高平差结果的精度, 采用平差随机模型的验后估计法。它的基本思想是:先对各类观测量定初权, 进行预平差, 利用预平差后得到信息, 主要是各类观测值的改正数V, 依据一定的原则对各类观测量的验前方差和协方差做出估计, 依次定权直至定权合理。
=A 2A 2=N 1+N 2
-1T -1T
:
L , V =
V 1V , A =[A1 A 2]
, P =
P 1
P 0
第一次定权时, 两类观测值的单位权中误差
u 01=u 02=u 0, D (L 2) =u 02P 2tr (P i D (V i ) )
2
-1
则可设:D (L 1) =u 01P 1,
E (V PV )
T
2-1
根据二次型的期望公式:
+(E (V ) ) P (E (V ) ) ,
T
=
并考虑到
-1
E (V ) =0可以将tr (P i D (V i ) ) 展开得到:
E (V 1P 1V 1) =tr (N N 1N N 1) u 01+tr (N N 1N N 2) u 02
T
-1
-1
2-12
E (V 2P 2V 2) =tr (N N 1N N 2) u 01+
tr (N N 2N N 2) u 02
-1
-1
T -1-122
由以上两式, 即得到估算两类观测值单位权方差因
子的计算公式为S A θ^=W θ
式中S A =
θ^=
tr (N N 1) (对称) u ^01
2
-1
2
tr (N N 1N N 2) tr (N N 2)
-1
-1-1
2
T
T
u ^2T
T
W θ=V 1P 1V 1
V 2P 2V -1
从而θ^=S A W θ
2 赫尔默特(Hel m ert) 方差分量估计原理
根据条件平差的函数模型:
Δ+A 0=0AL +A
由上式计算出两类观测值的验后方差分量u ^01、u ^02,
222
若|u ^01-u ^02|≤ε说明验前定权是合理的, 若u ^01和22u ^02之间存在较大差异时, 可以根据计算出的u ^01、222u ^02重新定权:令u ^01=u ^0则有
P 1i =
′
22
条件方程式:AV -f =0
式中:-f =AL +A0。假设L 中含有两类互相独立的观测值L 1和L 2, 它们的权阵P 1和P 2, 条件方程式可写成:
A 1V 1+A 2V 2+W=0
u 0u ^01
2
2
=1, P 2i =
′
p 2i u ^01u ^02
2
2
根据最小二乘原理得到法方程系数阵:
进行第二次平差, 重复进行以上定权过程, 直至计算
22
出的两类观测值的验后方差分量|u ^01-u ^02|≤ε其迭代步骤可归纳为:
(1) 通过对起算数据进行先验估计后确定其初
T
始权, 后进行条件平差, 求得V i P i V i , 然后进行第一次方差分量估计。
第5期李希峰等:赫尔默特方差分量估计在混合水准网平差中的应用21
(2) 求得各类观测值单位权方差的第一次估值
u ^01和u ^02再依下列定权:P ′1i =
2
2
江堤之间约611K m , 为了实现两岸高程基准的统一, 采用跨河水准的方法将两岸控制点构成统一的
高程控制网, 如图3, 共32点, 为了满足高程控制网点的稳定性要求, 保障设计、施工放样的顺利进行, 又布设了6个钢管深井点, 并专为跨江测距三角高程测量建造了4个观测墩。其中ST 2BM 21为已知点起算点。在跨江水准采用三角高程法布设成大地四边形的形式。全网布置成五个环, 其中(T01S T04S ) 为跨江高程传递四边形, 其它均以陆地二等水准测量。共有40条水准路线(包含4条为桥墩观测可略去) , 其中陆上32条跨江, 4条。312 计算分析
u u ^
2
201
=1, P ′2i =
201
p u ^u ^
2202
(3) 反复上面以上步骤直到|u ^
-u ^
2
02|≤ε为
止或通过检验认为各类单位权方差之比接近1为止。为了说明其处理过程设观测值之间相互独立, 验后方差估计常用赫尔默特方差分量估计法。现
22
设有两类观测值, 单位权方差分别为u ^01和u ^02, 权分别为P 1和P 2(假设两类观测值都是同精度的) , A 、L 、V 分别是方程条件平差为条件方程的系数阵、观测阵以及改正数阵, 而权阵为
P 1E 1
P 2
E P
=
(式中E 1、E 2为单位阵) , 那么利用水
准网观测值的赫尔默特估计来更新权,
迭代采用的流程图如下所示
, 其中陆上32, 4条, , 结果列于表1hel m ert 方差分量估计的方法将水准路线分为陆上、跨江两类进行处理, 经过五次
22
迭代平差, 各类单位权方差u
^01和u ^02之比接近于1, 迭代结果见表1所示
Hel m ert 方差分量估计前后的单位权中误差分别为±1158mm 和±0159mm , 其对各点高程的影响见表2。
从表1可以看出用常规的方法平差时(第一次得到的结果) ,
观测值在陆上和跨江的改正数相差很大, 计算对应的单位权中误差相差也大, 精度不匹配。其原因主要是验前单位权中误差不合理或定权不匹配。而用赫尔默特方差分量估计经五次迭代得到合理的平差结果, 单位权中误差由±1158mm 提高到±0159mm 。由表2也可以看出, 定权不合理对高程值也产生较大的影响, 因此对于混合水准网, 特别是对于采用两种不同的技术方法构成的混合网, 采用方差分量估计是必要的
。
3 Hel m ert 方差分量估计在混合水准网平
差中的应用
311 测区概况
为了说明hel m ert 方差分量估计应用于混合水准网平差的有效性, 下面结合一实际工程实例进行分析比较, 某大型桥梁的桥位处水面宽约518, 两岸
表1 各次迭代的比较结果
迭代次数第1次第2次
系数矩阵S A
[***********]
[***********][***********]0035
[***********][***********][1**********]93V i P i V i
T
u ^0i
2
u ^01∶u ^02
22
[***********][***********][***********]6011309
[***********][***********][***********]010437
01079
01073
第3次第4次
01846
01995
第5次11005
22现 代 测 绘
表2 对各点高程的影响表
第28卷
点号高程变化(m ) 点号高程变化(m ) 点号高程变化(m )
10. 000090. 0004250. 0001
20. 0017100. 0002260. 0010
30. 0033110. 0005270. 0014
40. 0008120. 0004280. 0015
50. 0007130. 0006290. 0122
60. 0006140. 0007300. 0115
70. 0002150. 0004310. 0102
80. 0000160. 0006320. 0105
北京:81—98, 1992
2 崔希璋, 於宗俦, 陶本藻, 刘大杰等. 广义测量平差(新
4 小 结
当在测量中遇到采用不同的技术方法获得的
多类测量值进行一起平差时, 可以Hel m ert 方差分量估计的方法通过若干次迭代计算, 确定两类观测值权比例关系, 消除由于定权不合理给测量结果带来的影响, 1 黄维彬. , 解放军出版社, [M].
版) , [M ].武汉:武汉测绘科技大学出版社, 85—
129, 2001
3 付新启. 题[J , 1997. 12, 86—91
J , 2004. 3, 106—109
. m ert 方差分量估计在桥梁控制网中的应用
[J ].江苏测绘, 2000. 6, 213—215
The Appli ca ti on of Hel m ert —W F Var i a nce Co m ponen t Esti m a ti on
i n M i xed L evelli n g Con trol Network
L i Xifeng, Yue Do ng ji e , W e i L iuyan
(The Civil Engineering College of Hohai University Nanjing 210098)
Abstract I n surveying you will meet the situati ons that the weights can not consistent . This lead t o the unthinked results 。This paper narrates how t o eli m inate the unreas onable weights by Hel m ert —W F variance component esti m ati on . The f oll owing exa mp le indicates it is very valuable t o ensure repeated weights by the method of Hel m ert —W F, which is hel pful t o raise the p recisi on
Key words Hel m ert —W F variance component esti m ati on, Repeated adjust m ent, Posteri or variance esti m ati on, Variance of unit weights
第28卷第5期
2005年10月
现 代 测 绘
Vol . 28, No . 5
Oct . 2005
赫尔默特方差分量估计在混合水准网平差中的应用
李希峰, 岳东杰, 卫柳艳
(河海大学土木工程学院, 江苏南京210098)
摘 要 测量中有些时候会碰到定权不统一的问题, 导致了平差后的结果不理想。本文主要讨论的是通过赫尔默特方差估计的方法消除由于定权的不合理而产生的精度超限问题。通过实例进行分析表明, 利用赫尔默特方差分量估计在进行迭代定权非常实用, 大大提高了其精度。
关键词 赫尔默特方差估计法 迭代平差 验后方差估计 单位权方差
中图分类号:P224. 1 文献标识码:B 文章编号:1672-4097(2005) 05-0020-03
N =A A
-1
T
1 引 言
在水准测量中, 量, 但会遇到像跨江、跨河、情况, , 程。, 有光学测微法、倾斜螺旋法、经纬仪倾角法、测距三角高程等几种方法。对于跨越3500m 以内的水准测量, 国家水准测量规范上都有明确的作业方法、技术指标。对于超过3500m 的应进行专项设计。这样使水准网中含有两种水准路线:几何水准路线、跨河水准路线。由于二者施测方法和技术不同, 有可能使其定权时精度与标称精度不一致, 若在平差处理时都按同样的方法定权, 会产生定权不合理的结果, 从而影响平差结果。
为了提高平差结果的精度, 采用平差随机模型的验后估计法。它的基本思想是:先对各类观测量定初权, 进行预平差, 利用预平差后得到信息, 主要是各类观测值的改正数V, 依据一定的原则对各类观测量的验前方差和协方差做出估计, 依次定权直至定权合理。
=A 2A 2=N 1+N 2
-1T -1T
:
L , V =
V 1V , A =[A1 A 2]
, P =
P 1
P 0
第一次定权时, 两类观测值的单位权中误差
u 01=u 02=u 0, D (L 2) =u 02P 2tr (P i D (V i ) )
2
-1
则可设:D (L 1) =u 01P 1,
E (V PV )
T
2-1
根据二次型的期望公式:
+(E (V ) ) P (E (V ) ) ,
T
=
并考虑到
-1
E (V ) =0可以将tr (P i D (V i ) ) 展开得到:
E (V 1P 1V 1) =tr (N N 1N N 1) u 01+tr (N N 1N N 2) u 02
T
-1
-1
2-12
E (V 2P 2V 2) =tr (N N 1N N 2) u 01+
tr (N N 2N N 2) u 02
-1
-1
T -1-122
由以上两式, 即得到估算两类观测值单位权方差因
子的计算公式为S A θ^=W θ
式中S A =
θ^=
tr (N N 1) (对称) u ^01
2
-1
2
tr (N N 1N N 2) tr (N N 2)
-1
-1-1
2
T
T
u ^2T
T
W θ=V 1P 1V 1
V 2P 2V -1
从而θ^=S A W θ
2 赫尔默特(Hel m ert) 方差分量估计原理
根据条件平差的函数模型:
Δ+A 0=0AL +A
由上式计算出两类观测值的验后方差分量u ^01、u ^02,
222
若|u ^01-u ^02|≤ε说明验前定权是合理的, 若u ^01和22u ^02之间存在较大差异时, 可以根据计算出的u ^01、222u ^02重新定权:令u ^01=u ^0则有
P 1i =
′
22
条件方程式:AV -f =0
式中:-f =AL +A0。假设L 中含有两类互相独立的观测值L 1和L 2, 它们的权阵P 1和P 2, 条件方程式可写成:
A 1V 1+A 2V 2+W=0
u 0u ^01
2
2
=1, P 2i =
′
p 2i u ^01u ^02
2
2
根据最小二乘原理得到法方程系数阵:
进行第二次平差, 重复进行以上定权过程, 直至计算
22
出的两类观测值的验后方差分量|u ^01-u ^02|≤ε其迭代步骤可归纳为:
(1) 通过对起算数据进行先验估计后确定其初
T
始权, 后进行条件平差, 求得V i P i V i , 然后进行第一次方差分量估计。
第5期李希峰等:赫尔默特方差分量估计在混合水准网平差中的应用21
(2) 求得各类观测值单位权方差的第一次估值
u ^01和u ^02再依下列定权:P ′1i =
2
2
江堤之间约611K m , 为了实现两岸高程基准的统一, 采用跨河水准的方法将两岸控制点构成统一的
高程控制网, 如图3, 共32点, 为了满足高程控制网点的稳定性要求, 保障设计、施工放样的顺利进行, 又布设了6个钢管深井点, 并专为跨江测距三角高程测量建造了4个观测墩。其中ST 2BM 21为已知点起算点。在跨江水准采用三角高程法布设成大地四边形的形式。全网布置成五个环, 其中(T01S T04S ) 为跨江高程传递四边形, 其它均以陆地二等水准测量。共有40条水准路线(包含4条为桥墩观测可略去) , 其中陆上32条跨江, 4条。312 计算分析
u u ^
2
201
=1, P ′2i =
201
p u ^u ^
2202
(3) 反复上面以上步骤直到|u ^
-u ^
2
02|≤ε为
止或通过检验认为各类单位权方差之比接近1为止。为了说明其处理过程设观测值之间相互独立, 验后方差估计常用赫尔默特方差分量估计法。现
22
设有两类观测值, 单位权方差分别为u ^01和u ^02, 权分别为P 1和P 2(假设两类观测值都是同精度的) , A 、L 、V 分别是方程条件平差为条件方程的系数阵、观测阵以及改正数阵, 而权阵为
P 1E 1
P 2
E P
=
(式中E 1、E 2为单位阵) , 那么利用水
准网观测值的赫尔默特估计来更新权,
迭代采用的流程图如下所示
, 其中陆上32, 4条, , 结果列于表1hel m ert 方差分量估计的方法将水准路线分为陆上、跨江两类进行处理, 经过五次
22
迭代平差, 各类单位权方差u
^01和u ^02之比接近于1, 迭代结果见表1所示
Hel m ert 方差分量估计前后的单位权中误差分别为±1158mm 和±0159mm , 其对各点高程的影响见表2。
从表1可以看出用常规的方法平差时(第一次得到的结果) ,
观测值在陆上和跨江的改正数相差很大, 计算对应的单位权中误差相差也大, 精度不匹配。其原因主要是验前单位权中误差不合理或定权不匹配。而用赫尔默特方差分量估计经五次迭代得到合理的平差结果, 单位权中误差由±1158mm 提高到±0159mm 。由表2也可以看出, 定权不合理对高程值也产生较大的影响, 因此对于混合水准网, 特别是对于采用两种不同的技术方法构成的混合网, 采用方差分量估计是必要的
。
3 Hel m ert 方差分量估计在混合水准网平
差中的应用
311 测区概况
为了说明hel m ert 方差分量估计应用于混合水准网平差的有效性, 下面结合一实际工程实例进行分析比较, 某大型桥梁的桥位处水面宽约518, 两岸
表1 各次迭代的比较结果
迭代次数第1次第2次
系数矩阵S A
[***********]
[***********][***********]0035
[***********][***********][1**********]93V i P i V i
T
u ^0i
2
u ^01∶u ^02
22
[***********][***********][***********]6011309
[***********][***********][***********]010437
01079
01073
第3次第4次
01846
01995
第5次11005
22现 代 测 绘
表2 对各点高程的影响表
第28卷
点号高程变化(m ) 点号高程变化(m ) 点号高程变化(m )
10. 000090. 0004250. 0001
20. 0017100. 0002260. 0010
30. 0033110. 0005270. 0014
40. 0008120. 0004280. 0015
50. 0007130. 0006290. 0122
60. 0006140. 0007300. 0115
70. 0002150. 0004310. 0102
80. 0000160. 0006320. 0105
北京:81—98, 1992
2 崔希璋, 於宗俦, 陶本藻, 刘大杰等. 广义测量平差(新
4 小 结
当在测量中遇到采用不同的技术方法获得的
多类测量值进行一起平差时, 可以Hel m ert 方差分量估计的方法通过若干次迭代计算, 确定两类观测值权比例关系, 消除由于定权不合理给测量结果带来的影响, 1 黄维彬. , 解放军出版社, [M].
版) , [M ].武汉:武汉测绘科技大学出版社, 85—
129, 2001
3 付新启. 题[J , 1997. 12, 86—91
J , 2004. 3, 106—109
. m ert 方差分量估计在桥梁控制网中的应用
[J ].江苏测绘, 2000. 6, 213—215
The Appli ca ti on of Hel m ert —W F Var i a nce Co m ponen t Esti m a ti on
i n M i xed L evelli n g Con trol Network
L i Xifeng, Yue Do ng ji e , W e i L iuyan
(The Civil Engineering College of Hohai University Nanjing 210098)
Abstract I n surveying you will meet the situati ons that the weights can not consistent . This lead t o the unthinked results 。This paper narrates how t o eli m inate the unreas onable weights by Hel m ert —W F variance component esti m ati on . The f oll owing exa mp le indicates it is very valuable t o ensure repeated weights by the method of Hel m ert —W F, which is hel pful t o raise the p recisi on
Key words Hel m ert —W F variance component esti m ati on, Repeated adjust m ent, Posteri or variance esti m ati on, Variance of unit weights