差分方程人口预测模型

1 差分方程人口预测模型

一、名词和符号说明

名词解释：

（1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica做曲线拟合。

（2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。

（3）迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为yf(x0)f(x0)(xx0),求出L与x轴交点的横坐标 x1x0

f(x0)

,称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲f(x0)

f(x1)

称x2为r的二次f(x1)

线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2x1

近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn1Xn1称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 符号说明：

f(Xn)

,

f(Xn)

xi(k) 第 k年i岁的女性总人数

x(k) 女性人口的（按年龄）分布向量

bi(k) 第k年i岁的女性生育率 di 第k年i岁的女性死亡率 si 第 k年i岁的女性存活率

hi i岁女性的生育模式

β(k) k年总和生育率（控制人口数量的主要参数）

A 存活率矩阵 B 生育模式矩阵

二、模型假设

针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化，我们应用已知数据，将其时间离散化,由于女性是影响总人口变化的主要因素 ,因此本模型从考虑女性人口的发展变化出发， 我们在不失科学性的前提下作出如下合理的基本假设：

（1） 假设女性最大年龄为90岁,最小年龄为0岁，以1岁为1个年龄组,1年

为1个时段，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。

（2) 中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不会发生大的波动，可以以

往年平均值代替预测值；

（3) 长期人口预测的参数主要由政策决定；

（4） 死亡率只与年龄有关，不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾

难等因素对人口变化的影响。

（5） 生育率仅与年龄和时间有关,存活率也仅与年龄有关。 （6） 育龄区间为[14，49]。

（7） 在讨论乡村人口城镇化时，只考虑乡到城镇的迁入与迁出。 （8） 流入流出人口不改变该地区的人口性别、年龄结构。

三、模型的建立与求解

求解预测中长期人口增长问题

首先我们来建立一个离散的人口增长模型, 由于女性是影响总人口变化的主要因素 （考虑性别比即可得到总人口数量）所以我们借助于女性人口的发展变化规律来分析和预测总人口的发展变化趋势。引入Leslie人口模型,利用差分方程，既可得到离散型的人口模型。 a 、问题分析

根据附录2已有的数据，分别针对市、镇、乡人口的不同情况建立三个差分

方程模型，运用Matlab 求解，再用Excel软件描绘出人口数量变化的趋势，对中国人口数量增长做出中短期（10—20年）和长期（50年以后）的分析和预测，确定人口增长的总趋势，并依据《中国人口统计年鉴》中已有人口总数进行模型验证。 b 、模型建立

首先，参照附表中的数据，由于市、镇、乡差距较大，我们将分别进行研究。

bi(k):第k年i岁的女性生育率; β(k): k年总和生育率，或生育胎次; di:第k年i岁的女性死亡率; si :第 k年i岁的女性存活率 hi: i岁女性的生育模式 bi(k)(k)hi ， hi1

i14

49

49

(k)bi(k)

i14

0

s1

用x(k)表示女性人口的（按年龄）分布向量,记A=0

0

0

0

s2

0

s90

000 0

00h1h3500

00B=00

x(k1)=Ax(k)+β(k)Bx(k)

则模型应表示为：

利用matlab软件编程求解，程序如下：

c=zeros(91);

d1=[s1 s2 s3 … … s90]; for i=1:91 for j=1:91

if i==j c(i+1,j)=d1(i) end end end A=c1

a1=[h1 h2 … … h35]; b=zeros(91); for i=1:35 b(1,i+15)=a1(i) end B=b1;

x(0)=[x1 x2 … …x91] %2001对应初始值

y=zeros(91,n) y(:,1)= x(0)； for k=1:19

%n表示要预测年数

y(:,k+1)=A*y(:,k)+(k)*B*y(:,k) end

（一）用此模型预测中短期女性人口变化趋势

考虑到男女性别比例波动不大，所以女性人口数量的发展趋势可以预测全国总人口的发展趋势。

对所给数据进行处理，发现近期(k)变化很小，这里我们取=(k)/5即：市：1=1；镇：2=1.254；乡：3=1.649，代入模型方程，得： .3-1)

x(k)=(A1.254B)kx(0)………………………………………………………(3.3-2)

x(k)=(A1.649B)kx(0)………………………………………………………(3.3-3)

分别代入k=20,即可算出市、乡、镇从2001年到未来20年的预测数值。

k15

x(k)=(AB)kx(0)……………………………………………………………(3

分别取2002、2004年的数据拟合，情况如下：

图3-1 2002、2004拟合趋势图

由上图可看出，拟合情况较好，此模型可用于短期预测，预测趋势图如下：

图

3-2

预测数据表为： 表3-1

通过上面的预测数据和图像，可看出2020年之前女性人口呈增长趋势，全国人口总数也呈增长趋势。

（二）长期预测

进行长期预测时，考虑到国家计划生育一对夫妇只生一个孩子的政策，取

β(k)=1,则模型可化简为 x(k)=(AB)kx(0) 其中x(0)为2001年女性人口分

布向量。

图3-3模型检验拟合图

利用数据来检验我们建立的差分方程模型，发现数据基本吻合，说明模型是很准确的，可以用此模型进行长期预测。

利用方程预测的女性总人口数据如下：

表3-2

图3-4增长预测图

图3-5女性总数预测图

从图象可以看出女性人口分别在2020年和2040年左右出现两次人口高峰值，然后数量又逐渐减少。

根据《中国人口统计年鉴》中的数据统计，男女比例变化不大，那么总人口的变化趋势将基本符合模型中预测的女性人口变化趋势，即：分别在2020年和2040年左右出现两次峰值。

求解人口老龄化问题

在以上模型的基础上，我们进一步利用差分方程：

x(k1)=Ax(k)+β(k)Bx(k) 取β(k)=1，得预测值如下表：

图3-6；老龄化预测图

由图象可以看出60岁以上老人所占比率不断增加，说明老龄化进程不断加速，在2035年左右达到峰值，而后又逐渐下降。

求解人口出生性别比例问题

模型建立：根据附录数据中男女出生性别比率，用excel 进行数据拟合，图像如下：

图3-7

图3-8

图3-9

由拟合图像可看出，男女出生性别比例在一条曲线附近上下波动，符合移动平均模型。无论是从人类能繁衍后代，还是从影响经济增长方面考虑，国家都会实施一些政策调控男女出生比例，因而从长期来看男女出生比例对总人口的影响是相对较小的。

求解乡村人口城镇化问题

模型建立

根据附表中数据，分别计算出市、镇、乡人口所占比例，如下表：

表3-4

数，如图

图3-10城镇化预测趋势图

由上图可看出，乡人口比例不断下降，而镇和市的人口比例不断上升，从中可看出乡村人口不断向市、镇迁移。在未来的生活中，乡村医疗水平、社会福利等不断提高，与镇、市之间的差异会不断缩小，这样，乡村人口向城镇迁移人口比例会不断减小。

四、模型的改进与评价

模型的优点

第一、本模型利用女性人口发展趋势估计全国总人口发展趋势，使问题简单化。

第二、模型可取之处在于它们比较全面的达到了建模的目的，在描述人口增长时，利用女性的所占比例和总和生育率，采用差分方程，得到离散模型，预测未来的全国人口增长趋势，与背景材料数据吻合较好，并且利用此模型可以进行中短期以及长期预测。

第三、此模型具有普遍性，易于接受和推广。

第四、对于全国人口总趋势模型，采用了数值计算，图形观察与理论分析相

结合的方法，先有感性认识，再到理论分析，最后进行数值验证和估算，可以看作计算机技术和模型方法的巧妙结合。

模型中的不足

本模型没有充分考虑男女比例波动对总人口发展的影响，以及城、镇、乡之间的迁入、迁出人口，这样预测总人口就会有一定的误差。另外，所用数据有限，也可能导致一定的误差。

五、结论

本文主要针对中国人口问题进行多方面的研究。我们根据收集到的数据分别对市、镇、乡人口建立人口增长的数学模型，利用matlab编程求解，预测出未来每年的女性人口数量，再用excel模拟出女性人口数量变化趋势，进一步分析男女比例，进而得出全国总人数的变化趋势：人口数量在2020年以前逐渐增长，到2020年左右达到第一次高峰，然后稍有下降又逐渐上升，到2040年左右达到第二次高峰。为了验证模型的准确性，我们利用国家人口发展战略研究报告中的数据检验，发现计算数据和真实数据基本吻合（。

本文还针对以下三方面进行具体分析： 一、人口老龄化不断加速

利用模型预测的数据，统计出2001年—2050年60岁以上及65岁以上老年人比率，并描绘趋势图，可观察出老年人比例在2035年左右达到峰值。

二、男女出生比例不断提高

按市、镇、乡绘出男女出生比例图，用移动平均拟合，男女出生比例在一条曲线上下波动，短期内男女出生比例对总人数影响大，而从长期来看，影响较小。

三、乡村人口城镇化

用excel算出市、镇、乡人口比例，并拟合图像，看出乡人口减少，镇、市人口增加，通过分析发现乡村人口向镇、市迁移的现象。

本文按年龄结构分组建立的人口预测模型，具有较强的实用性和现实意义。

参考文献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊 《数学建模》（第三版） 高等教育出版社 ，

2004.4

[2] 王培勋 陕西省人口老龄化发展趋势的数学模型与统计预测 《统计

与信息论坛》 ，2004.7

[3] 穆光宗，余利明，杨越忠 《中国人口科学》2007.3

[4] 薛定宁，陈阳泉 《高等应用数学问题的MATLAB求解》 清华大学出版社

2004.3

[5] 罗建军，杨琦 《Matlab教程[M]》 北京，电子工业出版社，2005-7 [6] 杨启帆，何勇 ，谈之奕 《数学建模竞赛》 浙江大学出版社 2005.7 [7] 王正东 《数学软件与数学实验[M]》 科学出版社，2004

1 差分方程人口预测模型

一、名词和符号说明

名词解释：

（1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica做曲线拟合。

（2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。

（3）迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r是f(x)=0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为yf(x0)f(x0)(xx0),求出L与x轴交点的横坐标 x1x0

f(x0)

,称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲f(x0)

f(x1)

称x2为r的二次f(x1)

线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标x2x1

近似值，重复以上过程，得r的近似值序列{Xn},其中Xn1Xn1称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 符号说明：

f(Xn)

,

f(Xn)

xi(k) 第 k年i岁的女性总人数

x(k) 女性人口的（按年龄）分布向量

bi(k) 第k年i岁的女性生育率 di 第k年i岁的女性死亡率 si 第 k年i岁的女性存活率

hi i岁女性的生育模式

β(k) k年总和生育率（控制人口数量的主要参数）

A 存活率矩阵 B 生育模式矩阵

二、模型假设

针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化，我们应用已知数据，将其时间离散化,由于女性是影响总人口变化的主要因素 ,因此本模型从考虑女性人口的发展变化出发， 我们在不失科学性的前提下作出如下合理的基本假设：

（1） 假设女性最大年龄为90岁,最小年龄为0岁，以1岁为1个年龄组,1年

为1个时段，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。

（2) 中短期内，总和生育率、死亡率和出生性别比不会发生大的波动，可以以

往年平均值代替预测值；

（3) 长期人口预测的参数主要由政策决定；

（4） 死亡率只与年龄有关，不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾

难等因素对人口变化的影响。

（5） 生育率仅与年龄和时间有关,存活率也仅与年龄有关。 （6） 育龄区间为[14，49]。

（7） 在讨论乡村人口城镇化时，只考虑乡到城镇的迁入与迁出。 （8） 流入流出人口不改变该地区的人口性别、年龄结构。

三、模型的建立与求解

求解预测中长期人口增长问题

首先我们来建立一个离散的人口增长模型, 由于女性是影响总人口变化的主要因素 （考虑性别比即可得到总人口数量）所以我们借助于女性人口的发展变化规律来分析和预测总人口的发展变化趋势。引入Leslie人口模型,利用差分方程，既可得到离散型的人口模型。 a 、问题分析

根据附录2已有的数据，分别针对市、镇、乡人口的不同情况建立三个差分

方程模型，运用Matlab 求解，再用Excel软件描绘出人口数量变化的趋势，对中国人口数量增长做出中短期（10—20年）和长期（50年以后）的分析和预测，确定人口增长的总趋势，并依据《中国人口统计年鉴》中已有人口总数进行模型验证。 b 、模型建立

首先，参照附表中的数据，由于市、镇、乡差距较大，我们将分别进行研究。

bi(k):第k年i岁的女性生育率; β(k): k年总和生育率，或生育胎次; di:第k年i岁的女性死亡率; si :第 k年i岁的女性存活率 hi: i岁女性的生育模式 bi(k)(k)hi ， hi1

i14

49

49

(k)bi(k)

i14

0

s1

用x(k)表示女性人口的（按年龄）分布向量,记A=0

0

0

0

s2

0

s90

000 0

00h1h3500

00B=00

x(k1)=Ax(k)+β(k)Bx(k)

则模型应表示为：

利用matlab软件编程求解，程序如下：

c=zeros(91);

d1=[s1 s2 s3 … … s90]; for i=1:91 for j=1:91

if i==j c(i+1,j)=d1(i) end end end A=c1

a1=[h1 h2 … … h35]; b=zeros(91); for i=1:35 b(1,i+15)=a1(i) end B=b1;

x(0)=[x1 x2 … …x91] %2001对应初始值

y=zeros(91,n) y(:,1)= x(0)； for k=1:19

%n表示要预测年数

y(:,k+1)=A*y(:,k)+(k)*B*y(:,k) end

（一）用此模型预测中短期女性人口变化趋势

考虑到男女性别比例波动不大，所以女性人口数量的发展趋势可以预测全国总人口的发展趋势。

对所给数据进行处理，发现近期(k)变化很小，这里我们取=(k)/5即：市：1=1；镇：2=1.254；乡：3=1.649，代入模型方程，得： .3-1)

x(k)=(A1.254B)kx(0)………………………………………………………(3.3-2)

x(k)=(A1.649B)kx(0)………………………………………………………(3.3-3)

分别代入k=20,即可算出市、乡、镇从2001年到未来20年的预测数值。

k15

x(k)=(AB)kx(0)……………………………………………………………(3

分别取2002、2004年的数据拟合，情况如下：

图3-1 2002、2004拟合趋势图

由上图可看出，拟合情况较好，此模型可用于短期预测，预测趋势图如下：

图

3-2

预测数据表为： 表3-1

通过上面的预测数据和图像，可看出2020年之前女性人口呈增长趋势，全国人口总数也呈增长趋势。

（二）长期预测

进行长期预测时，考虑到国家计划生育一对夫妇只生一个孩子的政策，取

β(k)=1,则模型可化简为 x(k)=(AB)kx(0) 其中x(0)为2001年女性人口分

布向量。

图3-3模型检验拟合图

利用数据来检验我们建立的差分方程模型，发现数据基本吻合，说明模型是很准确的，可以用此模型进行长期预测。

利用方程预测的女性总人口数据如下：

表3-2

图3-4增长预测图

图3-5女性总数预测图

从图象可以看出女性人口分别在2020年和2040年左右出现两次人口高峰值，然后数量又逐渐减少。

根据《中国人口统计年鉴》中的数据统计，男女比例变化不大，那么总人口的变化趋势将基本符合模型中预测的女性人口变化趋势，即：分别在2020年和2040年左右出现两次峰值。

求解人口老龄化问题

在以上模型的基础上，我们进一步利用差分方程：

x(k1)=Ax(k)+β(k)Bx(k) 取β(k)=1，得预测值如下表：

图3-6；老龄化预测图

由图象可以看出60岁以上老人所占比率不断增加，说明老龄化进程不断加速，在2035年左右达到峰值，而后又逐渐下降。

求解人口出生性别比例问题

模型建立：根据附录数据中男女出生性别比率，用excel 进行数据拟合，图像如下：

图3-7

图3-8

图3-9

由拟合图像可看出，男女出生性别比例在一条曲线附近上下波动，符合移动平均模型。无论是从人类能繁衍后代，还是从影响经济增长方面考虑，国家都会实施一些政策调控男女出生比例，因而从长期来看男女出生比例对总人口的影响是相对较小的。

求解乡村人口城镇化问题

模型建立

根据附表中数据，分别计算出市、镇、乡人口所占比例，如下表：

表3-4

数，如图

图3-10城镇化预测趋势图

由上图可看出，乡人口比例不断下降，而镇和市的人口比例不断上升，从中可看出乡村人口不断向市、镇迁移。在未来的生活中，乡村医疗水平、社会福利等不断提高，与镇、市之间的差异会不断缩小，这样，乡村人口向城镇迁移人口比例会不断减小。

四、模型的改进与评价

模型的优点

第一、本模型利用女性人口发展趋势估计全国总人口发展趋势，使问题简单化。

第二、模型可取之处在于它们比较全面的达到了建模的目的，在描述人口增长时，利用女性的所占比例和总和生育率，采用差分方程，得到离散模型，预测未来的全国人口增长趋势，与背景材料数据吻合较好，并且利用此模型可以进行中短期以及长期预测。

第三、此模型具有普遍性，易于接受和推广。

第四、对于全国人口总趋势模型，采用了数值计算，图形观察与理论分析相

结合的方法，先有感性认识，再到理论分析，最后进行数值验证和估算，可以看作计算机技术和模型方法的巧妙结合。

模型中的不足

本模型没有充分考虑男女比例波动对总人口发展的影响，以及城、镇、乡之间的迁入、迁出人口，这样预测总人口就会有一定的误差。另外，所用数据有限，也可能导致一定的误差。

五、结论

本文主要针对中国人口问题进行多方面的研究。我们根据收集到的数据分别对市、镇、乡人口建立人口增长的数学模型，利用matlab编程求解，预测出未来每年的女性人口数量，再用excel模拟出女性人口数量变化趋势，进一步分析男女比例，进而得出全国总人数的变化趋势：人口数量在2020年以前逐渐增长，到2020年左右达到第一次高峰，然后稍有下降又逐渐上升，到2040年左右达到第二次高峰。为了验证模型的准确性，我们利用国家人口发展战略研究报告中的数据检验，发现计算数据和真实数据基本吻合（。

本文还针对以下三方面进行具体分析： 一、人口老龄化不断加速

利用模型预测的数据，统计出2001年—2050年60岁以上及65岁以上老年人比率，并描绘趋势图，可观察出老年人比例在2035年左右达到峰值。

二、男女出生比例不断提高

按市、镇、乡绘出男女出生比例图，用移动平均拟合，男女出生比例在一条曲线上下波动，短期内男女出生比例对总人数影响大，而从长期来看，影响较小。

三、乡村人口城镇化

用excel算出市、镇、乡人口比例，并拟合图像，看出乡人口减少，镇、市人口增加，通过分析发现乡村人口向镇、市迁移的现象。

本文按年龄结构分组建立的人口预测模型，具有较强的实用性和现实意义。

参考文献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊 《数学建模》（第三版） 高等教育出版社 ，

2004.4

[2] 王培勋 陕西省人口老龄化发展趋势的数学模型与统计预测 《统计

与信息论坛》 ，2004.7

[3] 穆光宗，余利明，杨越忠 《中国人口科学》2007.3

[4] 薛定宁，陈阳泉 《高等应用数学问题的MATLAB求解》 清华大学出版社

2004.3

[5] 罗建军，杨琦 《Matlab教程[M]》 北京，电子工业出版社，2005-7 [6] 杨启帆，何勇 ，谈之奕 《数学建模竞赛》 浙江大学出版社 2005.7 [7] 王正东 《数学软件与数学实验[M]》 科学出版社，2004