转化与化归思想在数学解题中的应用

Ｉ数理化研究１．．【关ｉｔ］

转化与化归思想在数学解题中的应用

●陈欣龙

摘要：转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与彤的

相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不

：、／ａ２＋ｂ２（ｓｉｎｘｃｏｓｅ＋ｃｏｓｓｉｎ０）：、／ａ２＋ｂ２

立。求×实数的取值范围。

解：令ｆ（ｍ）＝（×２—１）ｍ＋２ｘ－１，ｍｅ［－２，２】，则原不等式等价于ｆ（ｍ）＞Ｏ恒成立（ｍＥ【一２，２】）。

由于是关于的一次函数或常数函数。故

等式间的相互转化：分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反订ａ亍，ｓｉｎｅ＝—赤

ｓｉｎ（ｘ＋ｏ）其中ｃｏｓｅ：

这样，求的最值问题化归为对的研究了。化归的手段是恒等变形。

唯巍％ｆ２（１卜－ｘ。２舞三

证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所一般运用转化与化归的思想解以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。本文主题有以下几种类型。

要介绍转化与化归思想方法在数学解题中的体现一、正与反、一般与特殊的转化与应用，详速了转化与化归思想的几种基本类型，当面临的数学问题从正面入手并用具体例子加以说明。

求解难度较大时，可以考虑从反面入关键词：数学思想方法；转化原则；化归方法手解决。一般性难以解决的问题。可以考虑从特殊性来解决。

客观世界中事物之间的转化时时都在发生．例１

已知Ｘ。－－Ｏ（ｉ＝１，２，…ｎ）．且

春、夏、秋、冬的轮回；温度变化带来水的三种状态×１＋×一…Ｘｎ－－－１，求证：１

ｓ、／ｉ＋、／ｉ

（液态、气态和固态）之间的转化等，这是客观世界＋．－・＋、／ｉｓ、／丁

中事物存在和发展的必然规律。这些转化中，有些分析：先从特殊情形入手．探求

不依人们的意志为转移的，有些则可以在人们的证明方法。

能动作用下实现有目的的转化。使转化成为人们认识和改造客观世界的手段。数学问题的解决过若Ｘｌ－＞０，、／Ｘ２－－０且ｘｌ＋ｘ２＝１．

程则是一系列的转化过程。数学中的转化是有其能否得出１曼佤＋讴≤讵一

特定的目的和方向的。这种目的和方向性往往表由２、／ｘ１×２－－－－－Ｘ１＋ｘ２＝ｌｊ０ｓ２

现为由繁到简、由难到易、由未知到已知，也就是说将一个复杂的待解决的问题经过适当的转化，归结为一个容易解决的或已解决的问题。化归思ｊ１≤（订＋诓）２≤２号１≤（佤

、／ｘ１Ｘ２≤１昔１－＜２Ｖ瓦１Ｘ２＋ｘｌ＋ｘ２－＜２

想就是在这一转化过程中产生的，因此，我们也称＋、／ｘ２）ｓ、／２

数学中的转化为化归，它是数学中最常见的思想证明：因为０≤２Ｍ＇ｘ，ｘｊｓｘ．４－Ｘｊ

方法之一，是将一个复杂的陌生的问题。通过转（ｉ＝１．２．…，ｎ；ｊ＝１．２…，ｎ）

化，归结为另一个简单、熟悉的问题的思维过程。具体表现为：把“新知识”转化为“１１３知识”；把“复所以ｏｓ２∑俪ｓ（ｎ一１）∑

杂问题”转化为“简单问题”；把“未知”转化为“已ｘｋ＝ｎ－－１

知”；把实际问题转化为纯数学问题等。化归的思想和方法几乎是无处不在，无时不有。

故１

ｓ∑Ｘｋ＋２∑妒丙≤ｎ

ｋ＝１

ｔ§翻

比如我们要解下面的二元一次方程组，而我２

，ｎ、

们已经学习了一元一次方程的解法。那么，我们就即１≤ｆ∑ｘｋｌ≤ｎ

可以利用适当的方法（代入消元、加减消元等）将这个二元一次方程组化归为一个一元一次方程。即得１≤乞、／Ｘｋｓ、／ｎ

从而求出其解。即

ｋ＝＇

爱ａｘ＋。ｂｈｙ－－ｎ地璺★ｓｘ从一般问题向特殊问题的化归，

【Ｃｘ＋ｃｌＶｌｍ

ｒ成ｔｙ＝Ｐ

体现了以退求进的思想：从一般退到圆的嘶椒二型Ｌ多边形的匝谤龃一角形的面板

再如

特殊，从复杂退到简单。从抽象退到具体。从整体退到部分，从较强的结实现上述各步化归的方法有的是极限的方论退到较弱的结论．从高维退到低法．有的是图形割补的方法。上面两个例子都是将维。先解决特殊性．再归纳、联想、发复杂的、待解决的问题化归为已经解决的问题。实现一般性。

现化归的方法很多，除了前面提到的方法以外．恒二、常量与变量的转化

等变形、坐标变换、降维等方法也都是化归的常用在处理多变元的数学问题时，我方法．在求ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ的最值时．我们进行了们可以选取其中的常量（或参数）．将

下面的恒等变形：

其看做“主元”，而把其他的变元看做ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝

常量，从而达到减少变元简化运算的

俯（番亨８．ｎＸ＋赤拶×）

策略。

例２设不等式２×一１＞ｍ（ｘＬｌ）

对满足ｌｍＩ－＜２的一切实数ｍ都成

５０●－２００９．８

万方数据

解之得ｙ乙二上＜ｘ＜旦粤≠上。

从而实数Ｘ的取值范围是ｆ、／７—１

、／３＋１

１

Ｉ—１■一’—１■一Ｊｏ

点评：根据已知条件。建立以参数为主三、数与形的转化

通过数与形的转化。可以利用对数量关例３

已知ｘ，ｙ．Ｚ为正数，且ｘｙｚ

解：构造右图ＡＡＢＣ，其中三边长分别

２

例４在平面直角坐标系ｘＯｙ中，有￡

解析：此题表面上为解析几何的试题，、／１一ｘ。

设Ｐ（Ｘｏ．ｙｏ）．因Ｐ在Ｃ上，有Ｏ＜ｘｏ＜１．

元的不等式是一个转化的数学思想，通过转化就可以用一次函数ｆ（ｍ）的单调性解决问题．体现了函数与不等式之间的转化关系。

系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中的变量之

间的关系，有时还能由几何图形提示解决问

题的途径。

（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝１，求表达式（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）的最小值。

ｉｉ惫一－－－２其最小值为２，当且仅且￡Ｃ

９０。时取到，亦即（ｘ＋ｙ）２（ｙ＋ｚ）２＝（ｚ４－ｘ）２甘ｙ

（Ｘ＋ｙ＋ｚ）＝ｘｚ时，（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）取得最小值２。

一个以Ｆ，（０．一、／弓）和Ｆ２（Ｏ，、／３）为焦点、

离心率为≥？一的椭圆，设椭圆在第一象限

的部分为曲线Ｃ，动点Ｐ在Ｃ上，Ｃ在点Ｐ

处的切线与ｘ、Ｙ轴的交点分别为Ａ、Ｂ，且向

量丽ｒ：石－Ａ＊４－Ｏ－－Ｂ＇，求点Ｍ的轨迹方程。

看似与函数无关，因此很容易想到用懈析法

确定椭圆切线方程的方法．这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上。在求得曲线Ｃ的方

程ｘ２＋羊＝１（ｘ＞ｏ．ｙ＞ｏ）后，将其转化为函数

ｙ＿２、／下玎（０＜ｘ＜１）的图像来认识，通过导

数得ｙ。＝—．；；兰：了

、【关注】◆Ｉ数理论研究Ｉ

初中数学作业分层次面批的做法

批改作业是教学五环节中重要的一环．它对于学生获得学习指导。弥补学习漏洞，对

于教师检查教学效果，调整教学方法，发挥着

●司英豪

其一是作业批改具有指导性和权威性，常常加班加点仍无法如愿以偿．若让学生代批又难以保证质量；其二是作业批改之后，

学生应该对自己的作业进行认真反思和改

反思改进的自觉性及相应方法而达不到

要求。如何解决这些难题呢？下面谈谈我的做法和体会。

一、做法

将作业批改分为两个层次。首先由教

甲产品（１ｔ）

１０十分重要的作用。然而在数学作业的批改中．长期存在着两大难题，使广大师生感到棘手。

进，但他们往往因下次作业任务紧和缺乏

ｙ０＝２、／１一焉，ｙ＇ｌｘ：Ｘ０：誓，得切线ＡＢ的方

程为：ｙ＝挚（ｘ－ｘｏ）＋Ｙｏ。于是得Ａ（－Ｉ，ｏ）和Ｂ

Ｉ０９２ｘ…‘．ｘ２：ｘｉ代入即Ｉｏｇ＝ｘ１－ｉ１Ｕ

划ｏｇ日）（１＿ｘ１ＩｏｇＢｘ２，得Ｘ：Ｉ０９８ｘ＇－ｘ１Ｉｏｇ曰）（：

＼品资源＼

Ａ种矿石（１ｔ）乙产品

（１ｔ）４资再限壤

（１ｔ）３００

Ｙｏ

ｘｏ

（ｏ。“设Ｍ（ｘ，ｙ），由耐＝萌＋碚得：Ｘ＝丢・ｙ＝砉・所以ｘ庐丁１，ｙ庐争．代入ｘ。２＋了Ｙ０

＝１，得点Ｍ的轨迹方程为：专＋軎＝１（Ｘ＞１．

ｙ＞２）

四、数学各分支之间的转化

数学各分支之间的转化是一种重要的解题策略，应用十分广泛。例如用向量方法解立体几何问题．用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题，立体几何中位置关系的论证。角和距离的计算都需要转化为平面问题，运用这些解题的策略。往往能提高创新思维

能力。

例５已知ｘ２＋ｙ２５１。求Ｉｘ２＋２ｘｙ—ｙＺｌ的最大值。

解：由于ｘ２＋ｙ２ｓ１，则可设ｘ＝ｒｃｏｓｅ，

ｙ＝ｒｓｉｎｙ

（０

ｓｒ

ｓ１）．

于是

Ｉｒ２ｃｏｓＯ＋２ｒ２ｓｉｎｅｃｏｓｅ—ｒ２ｓｉｎ２０Ｉ＝、／虿

ｒ２

ｌｓｉｎ（２０＋孚）ｌ，易知，当ｒ＝１且ｏ＝吾时－

Ｉｘ２＋２ｘｙ—ｙｑ取最大值、／虿。

例６已知过原点Ｏ的一条直线与函数

ｙ＝ｌｏｇｓｘ的图像交于Ａ、Ｂ两点。分别过点Ａ、Ｂ作Ｙ轴的平行线与函数ｙ＝ｌ０９２ｘ的图像交

于Ｃ、Ｄ两点。

（１）求证：Ｃ、Ｄ和原点Ｏ在同一条直线上；

（２）当ＢＣ平行于轴时，求点Ａ的坐标。

证明：（１）设点Ａ（ｘ１，Ｉ０９８）（１），Ｂ（ｘ２，Ｉｏｇｓｘ２）由题设×１＞１，Ｘ２＞１

ｏ

又因为Ａ、Ｂ在过点Ｏ的直线上。所以

堕ｇ逝：堕ｇ逝。点Ｃ、Ｄ的坐标分别为Ｃ（ｘ，，

Ｘｌ

Ｘ，

Ｉ０９２ｘ１）。Ｄ（ｘ２．Ｉ０９２ｘ２），

由于Ｉ０９２ｘ１＝龉２３１０９ｓｘ“

Ｉ０９２ｘ２＝３１０９ｓｘ２

则ｏｃ的斜率ｋ１－ｂ警＝鼍攀

ｏＤ的斜率ｋ２＝堕罴整＝曼Ｉ爱竽

故ｋｌ＝ｋ２

即Ｏ、Ｃ、Ｄ三点在同一条直线上。

解：（２）由ＢＣ平行于Ｘ轴知

Ｉ０９２ｘ１＝ｌ０９８ｘ２。

万方数据

Ａ

Ｂ种矿石【ｌｔ）５４２００

‘．’Ｘ１＞１，．。．Ｉｏｇｅｘｌ≠０，．‘．ｘ，＝３ｘ１

煤（１ｔ）４９３６０

即Ｘ１＿、／丁

利’桶（元）

６００

１０００

于是点Ａ的坐标为Ａ（、／丁．１０９８解：设生产甲、乙两种产品分别为）（ｔ，

、／丁）

点评：此题是一道函数与解析几何的综合题，将函数和函数图像中的共线问

弋

、＾

题，转化到解析几何中，并利用解析几何屯

中的斜率来证明三点共线，方法简练．转化的思想得到突出的体现。

？ｏ

＼五、相等与不等之间的转化

ｏ

蕤阀喇

、＼１０

＼、＼

＼ｘ

相等与不等是两个不同的概念，在某种情况下它们可以相互转化．这种转化能ｌＯｘ＋４ｙ－－＜３００使很多问题变得简单。

５ｘ＋４ｙ－≤２００

例７

设ａ＞ｂ＞ｃ。且ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ２十ｂ２＋

约束条件：４ｘ＋９ｙ＿＜３６０

Ｃ２＝１．求证ｏ＜ａ＋ｂ＜睾。

×兰０Ｊ

ｙ－－＞０

分析：由ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＿１可知

目标函数为Ｚ＝６００Ｘ－Ｉ－１

ｏｏｏｙ

ａ＋ｂ＝１－－Ｃ。ａｂ＝ｃＬｃ。

作出可行域（如上图），作直线Ｉ：６００Ｘ４－构造方程Ｘ２＋（Ｃ一１）Ｘ＋Ｃ２－ｃ＝Ｏ，则ａ，ｂ

１

ｏｏｏｙ＝０，即ｌ：３ｘ＋５ｙ＝０

为该方程的两个根．・．△＝（Ｃ一１）２＿４（×２－ｃ）

把直线Ｉ向右上方平移到Ｉ，：５ｘ＋４ｙ＝２０＝Ｃ２—２ｃ＋１—４０２＋４０＝一３０２＋２Ｃ＋１＞０

位置时，直线经过可行域上的点Ｍ。且与原

解得一彳１＜ｃ＜１。从而ｏ＜ａ＋ｂ＜睾

点距离最大．此时。Ｚ＝６００Ｘ＋１０００ｙ取最

ｏ

ｏ

大值

六、实际问题与数学模型的转化数学模型是从现实世界中抽象出来解方程组Ｉ［４５×ｘ＋＋４９ｖｙ：＝３２０６００得Ｍ的坐标

的。是对实际问题的深刻、全面和真实反映．通过构造数学模型，把实际问题转化孙＝詈一１２．４

ｙ＝警一３４．４

为数学问题．使问题得以解决。欧拉的七答：应生产甲种产品约１２．４ｔ，乙种产品桥问题就是很好的例子：他把七桥问题转３４．４ｔ，能使利润总额达到最大。

化为一笔画问题．不仅解决了实际问题（当转化与化归的思想方法是数学学习中时的难题），更是开创了数学中的新兴学科

最重要的思维方法，数学知识的掌握某种图论和拓扑学，这样的例子还有很多。

意义上说就是由新知向旧知化归与转化的生产实际中有许多问题都可以归结过程．学会了转化就等于掌握了数学学习为线性规划问题，看下列的例子：

的主动权。例８某工厂生产甲、乙两种产品，已

知生产甲种产品１ｔ需耗Ａ种矿石１０ｔ，Ｂ

参考文献：

种矿石５ｔ、煤４ｔ；生产乙种产品１ｔ需Ａ种

［１］首都师范大学数学系．中学数学教学教

矿石４ｔ、Ｂ种矿石４ｔ、煤９ｔ。每１ｔ甲种产程［Ｍ］．北京：科学出版社，２０００．

品的是利润是６００元，每１ｔ乙种产品的

［２］罗增儒．数学竞赛导论［Ｈ］．西安：陕西师

利润是１ＯＯＯ元，工厂生产这两种产品的

范大学出版社，２０００

［３］殷堰工．数学解题精编［Ｈ］．上海：上海科

种矿石不超过２００ｔ、煤不超过３６０ｔ，甲乙

技教育出版社，１９９４

［４］吴炯圻，林培榕．数学思想方法［Ｍ］．福

州：厦门大学出版社，２００１

分析：将已知数据列成右上表：

（汕头ＩＫ潮啊ｌ职业技术学校）

２００９．８・◆５１

计划中要求消耗Ａ种矿石不超过３００ｔ、Ｂ

两种产品应各生产多少（精确到Ｏ．１ｔ）能使

利润总额达到最大？

转化与化归思想在数学解题中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

陈欣龙

汕头市潮阳职业技术学校成才之路

THE ROAD TO SUCCESS2009，""(23)0次

参考文献(4条)

1. 首都师范大学数学系 中学数学教学教程 20002. 罗增儒 数学竞赛导论 20003. 殷堰工 数学解题精编 19944. 吴炯圻. 林培榕 数学思想方法 2001

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_cczl200923078.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：23408b09-ef67-4c89-b3ab-9dce00935922

下载时间：2010年8月10日

Ｉ数理化研究１．．【关ｉｔ］

转化与化归思想在数学解题中的应用

●陈欣龙

摘要：转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法。数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与彤的

相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不

：、／ａ２＋ｂ２（ｓｉｎｘｃｏｓｅ＋ｃｏｓｓｉｎ０）：、／ａ２＋ｂ２

立。求×实数的取值范围。

解：令ｆ（ｍ）＝（×２—１）ｍ＋２ｘ－１，ｍｅ［－２，２】，则原不等式等价于ｆ（ｍ）＞Ｏ恒成立（ｍＥ【一２，２】）。

由于是关于的一次函数或常数函数。故

等式间的相互转化：分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反订ａ亍，ｓｉｎｅ＝—赤

ｓｉｎ（ｘ＋ｏ）其中ｃｏｓｅ：

这样，求的最值问题化归为对的研究了。化归的手段是恒等变形。

唯巍％ｆ２（１卜－ｘ。２舞三

证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所一般运用转化与化归的思想解以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。本文主题有以下几种类型。

要介绍转化与化归思想方法在数学解题中的体现一、正与反、一般与特殊的转化与应用，详速了转化与化归思想的几种基本类型，当面临的数学问题从正面入手并用具体例子加以说明。

求解难度较大时，可以考虑从反面入关键词：数学思想方法；转化原则；化归方法手解决。一般性难以解决的问题。可以考虑从特殊性来解决。

客观世界中事物之间的转化时时都在发生．例１

已知Ｘ。－－Ｏ（ｉ＝１，２，…ｎ）．且

春、夏、秋、冬的轮回；温度变化带来水的三种状态×１＋×一…Ｘｎ－－－１，求证：１

ｓ、／ｉ＋、／ｉ

（液态、气态和固态）之间的转化等，这是客观世界＋．－・＋、／ｉｓ、／丁

中事物存在和发展的必然规律。这些转化中，有些分析：先从特殊情形入手．探求

不依人们的意志为转移的，有些则可以在人们的证明方法。

能动作用下实现有目的的转化。使转化成为人们认识和改造客观世界的手段。数学问题的解决过若Ｘｌ－＞０，、／Ｘ２－－０且ｘｌ＋ｘ２＝１．

程则是一系列的转化过程。数学中的转化是有其能否得出１曼佤＋讴≤讵一

特定的目的和方向的。这种目的和方向性往往表由２、／ｘ１×２－－－－－Ｘ１＋ｘ２＝ｌｊ０ｓ２

现为由繁到简、由难到易、由未知到已知，也就是说将一个复杂的待解决的问题经过适当的转化，归结为一个容易解决的或已解决的问题。化归思ｊ１≤（订＋诓）２≤２号１≤（佤

、／ｘ１Ｘ２≤１昔１－＜２Ｖ瓦１Ｘ２＋ｘｌ＋ｘ２－＜２

想就是在这一转化过程中产生的，因此，我们也称＋、／ｘ２）ｓ、／２

数学中的转化为化归，它是数学中最常见的思想证明：因为０≤２Ｍ＇ｘ，ｘｊｓｘ．４－Ｘｊ

方法之一，是将一个复杂的陌生的问题。通过转（ｉ＝１．２．…，ｎ；ｊ＝１．２…，ｎ）

化，归结为另一个简单、熟悉的问题的思维过程。具体表现为：把“新知识”转化为“１１３知识”；把“复所以ｏｓ２∑俪ｓ（ｎ一１）∑

杂问题”转化为“简单问题”；把“未知”转化为“已ｘｋ＝ｎ－－１

知”；把实际问题转化为纯数学问题等。化归的思想和方法几乎是无处不在，无时不有。

故１

ｓ∑Ｘｋ＋２∑妒丙≤ｎ

ｋ＝１

ｔ§翻

比如我们要解下面的二元一次方程组，而我２

，ｎ、

们已经学习了一元一次方程的解法。那么，我们就即１≤ｆ∑ｘｋｌ≤ｎ

可以利用适当的方法（代入消元、加减消元等）将这个二元一次方程组化归为一个一元一次方程。即得１≤乞、／Ｘｋｓ、／ｎ

从而求出其解。即

ｋ＝＇

爱ａｘ＋。ｂｈｙ－－ｎ地璺★ｓｘ从一般问题向特殊问题的化归，

【Ｃｘ＋ｃｌＶｌｍ

ｒ成ｔｙ＝Ｐ

体现了以退求进的思想：从一般退到圆的嘶椒二型Ｌ多边形的匝谤龃一角形的面板

再如

特殊，从复杂退到简单。从抽象退到具体。从整体退到部分，从较强的结实现上述各步化归的方法有的是极限的方论退到较弱的结论．从高维退到低法．有的是图形割补的方法。上面两个例子都是将维。先解决特殊性．再归纳、联想、发复杂的、待解决的问题化归为已经解决的问题。实现一般性。

现化归的方法很多，除了前面提到的方法以外．恒二、常量与变量的转化

等变形、坐标变换、降维等方法也都是化归的常用在处理多变元的数学问题时，我方法．在求ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ的最值时．我们进行了们可以选取其中的常量（或参数）．将

下面的恒等变形：

其看做“主元”，而把其他的变元看做ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝

常量，从而达到减少变元简化运算的

俯（番亨８．ｎＸ＋赤拶×）

策略。

例２设不等式２×一１＞ｍ（ｘＬｌ）

对满足ｌｍＩ－＜２的一切实数ｍ都成

５０●－２００９．８

万方数据

解之得ｙ乙二上＜ｘ＜旦粤≠上。

从而实数Ｘ的取值范围是ｆ、／７—１

、／３＋１

１

Ｉ—１■一’—１■一Ｊｏ

点评：根据已知条件。建立以参数为主三、数与形的转化

通过数与形的转化。可以利用对数量关例３

已知ｘ，ｙ．Ｚ为正数，且ｘｙｚ

解：构造右图ＡＡＢＣ，其中三边长分别

２

例４在平面直角坐标系ｘＯｙ中，有￡

解析：此题表面上为解析几何的试题，、／１一ｘ。

设Ｐ（Ｘｏ．ｙｏ）．因Ｐ在Ｃ上，有Ｏ＜ｘｏ＜１．

元的不等式是一个转化的数学思想，通过转化就可以用一次函数ｆ（ｍ）的单调性解决问题．体现了函数与不等式之间的转化关系。

系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中的变量之

间的关系，有时还能由几何图形提示解决问

题的途径。

（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝１，求表达式（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）的最小值。

ｉｉ惫一－－－２其最小值为２，当且仅且￡Ｃ

９０。时取到，亦即（ｘ＋ｙ）２（ｙ＋ｚ）２＝（ｚ４－ｘ）２甘ｙ

（Ｘ＋ｙ＋ｚ）＝ｘｚ时，（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）取得最小值２。

一个以Ｆ，（０．一、／弓）和Ｆ２（Ｏ，、／３）为焦点、

离心率为≥？一的椭圆，设椭圆在第一象限

的部分为曲线Ｃ，动点Ｐ在Ｃ上，Ｃ在点Ｐ

处的切线与ｘ、Ｙ轴的交点分别为Ａ、Ｂ，且向

量丽ｒ：石－Ａ＊４－Ｏ－－Ｂ＇，求点Ｍ的轨迹方程。

看似与函数无关，因此很容易想到用懈析法

确定椭圆切线方程的方法．这样就会陷入繁杂的计算之中，事实上。在求得曲线Ｃ的方

程ｘ２＋羊＝１（ｘ＞ｏ．ｙ＞ｏ）后，将其转化为函数

ｙ＿２、／下玎（０＜ｘ＜１）的图像来认识，通过导

数得ｙ。＝—．；；兰：了

、【关注】◆Ｉ数理论研究Ｉ

初中数学作业分层次面批的做法

批改作业是教学五环节中重要的一环．它对于学生获得学习指导。弥补学习漏洞，对

于教师检查教学效果，调整教学方法，发挥着

●司英豪

其一是作业批改具有指导性和权威性，常常加班加点仍无法如愿以偿．若让学生代批又难以保证质量；其二是作业批改之后，

学生应该对自己的作业进行认真反思和改

反思改进的自觉性及相应方法而达不到

要求。如何解决这些难题呢？下面谈谈我的做法和体会。

一、做法

将作业批改分为两个层次。首先由教

甲产品（１ｔ）

１０十分重要的作用。然而在数学作业的批改中．长期存在着两大难题，使广大师生感到棘手。

进，但他们往往因下次作业任务紧和缺乏

ｙ０＝２、／１一焉，ｙ＇ｌｘ：Ｘ０：誓，得切线ＡＢ的方

程为：ｙ＝挚（ｘ－ｘｏ）＋Ｙｏ。于是得Ａ（－Ｉ，ｏ）和Ｂ

Ｉ０９２ｘ…‘．ｘ２：ｘｉ代入即Ｉｏｇ＝ｘ１－ｉ１Ｕ

划ｏｇ日）（１＿ｘ１ＩｏｇＢｘ２，得Ｘ：Ｉ０９８ｘ＇－ｘ１Ｉｏｇ曰）（：

＼品资源＼

Ａ种矿石（１ｔ）乙产品

（１ｔ）４资再限壤

（１ｔ）３００

Ｙｏ

ｘｏ

（ｏ。“设Ｍ（ｘ，ｙ），由耐＝萌＋碚得：Ｘ＝丢・ｙ＝砉・所以ｘ庐丁１，ｙ庐争．代入ｘ。２＋了Ｙ０

＝１，得点Ｍ的轨迹方程为：专＋軎＝１（Ｘ＞１．

ｙ＞２）

四、数学各分支之间的转化

数学各分支之间的转化是一种重要的解题策略，应用十分广泛。例如用向量方法解立体几何问题．用解析几何方法处理平面几何、代数、三角问题，立体几何中位置关系的论证。角和距离的计算都需要转化为平面问题，运用这些解题的策略。往往能提高创新思维

能力。

例５已知ｘ２＋ｙ２５１。求Ｉｘ２＋２ｘｙ—ｙＺｌ的最大值。

解：由于ｘ２＋ｙ２ｓ１，则可设ｘ＝ｒｃｏｓｅ，

ｙ＝ｒｓｉｎｙ

（０

ｓｒ

ｓ１）．

于是

Ｉｒ２ｃｏｓＯ＋２ｒ２ｓｉｎｅｃｏｓｅ—ｒ２ｓｉｎ２０Ｉ＝、／虿

ｒ２

ｌｓｉｎ（２０＋孚）ｌ，易知，当ｒ＝１且ｏ＝吾时－

Ｉｘ２＋２ｘｙ—ｙｑ取最大值、／虿。

例６已知过原点Ｏ的一条直线与函数

ｙ＝ｌｏｇｓｘ的图像交于Ａ、Ｂ两点。分别过点Ａ、Ｂ作Ｙ轴的平行线与函数ｙ＝ｌ０９２ｘ的图像交

于Ｃ、Ｄ两点。

（１）求证：Ｃ、Ｄ和原点Ｏ在同一条直线上；

（２）当ＢＣ平行于轴时，求点Ａ的坐标。

证明：（１）设点Ａ（ｘ１，Ｉ０９８）（１），Ｂ（ｘ２，Ｉｏｇｓｘ２）由题设×１＞１，Ｘ２＞１

ｏ

又因为Ａ、Ｂ在过点Ｏ的直线上。所以

堕ｇ逝：堕ｇ逝。点Ｃ、Ｄ的坐标分别为Ｃ（ｘ，，

Ｘｌ

Ｘ，

Ｉ０９２ｘ１）。Ｄ（ｘ２．Ｉ０９２ｘ２），

由于Ｉ０９２ｘ１＝龉２３１０９ｓｘ“

Ｉ０９２ｘ２＝３１０９ｓｘ２

则ｏｃ的斜率ｋ１－ｂ警＝鼍攀

ｏＤ的斜率ｋ２＝堕罴整＝曼Ｉ爱竽

故ｋｌ＝ｋ２

即Ｏ、Ｃ、Ｄ三点在同一条直线上。

解：（２）由ＢＣ平行于Ｘ轴知

Ｉ０９２ｘ１＝ｌ０９８ｘ２。

万方数据

Ａ

Ｂ种矿石【ｌｔ）５４２００

‘．’Ｘ１＞１，．。．Ｉｏｇｅｘｌ≠０，．‘．ｘ，＝３ｘ１

煤（１ｔ）４９３６０

即Ｘ１＿、／丁

利’桶（元）

６００

１０００

于是点Ａ的坐标为Ａ（、／丁．１０９８解：设生产甲、乙两种产品分别为）（ｔ，

、／丁）

点评：此题是一道函数与解析几何的综合题，将函数和函数图像中的共线问

弋

、＾

题，转化到解析几何中，并利用解析几何屯

中的斜率来证明三点共线，方法简练．转化的思想得到突出的体现。

？ｏ

＼五、相等与不等之间的转化

ｏ

蕤阀喇

、＼１０

＼、＼

＼ｘ

相等与不等是两个不同的概念，在某种情况下它们可以相互转化．这种转化能ｌＯｘ＋４ｙ－－＜３００使很多问题变得简单。

５ｘ＋４ｙ－≤２００

例７

设ａ＞ｂ＞ｃ。且ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ２十ｂ２＋

约束条件：４ｘ＋９ｙ＿＜３６０

Ｃ２＝１．求证ｏ＜ａ＋ｂ＜睾。

×兰０Ｊ

ｙ－－＞０

分析：由ａ＋ｂ＋ｃ＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＿１可知

目标函数为Ｚ＝６００Ｘ－Ｉ－１

ｏｏｏｙ

ａ＋ｂ＝１－－Ｃ。ａｂ＝ｃＬｃ。

作出可行域（如上图），作直线Ｉ：６００Ｘ４－构造方程Ｘ２＋（Ｃ一１）Ｘ＋Ｃ２－ｃ＝Ｏ，则ａ，ｂ

１

ｏｏｏｙ＝０，即ｌ：３ｘ＋５ｙ＝０

为该方程的两个根．・．△＝（Ｃ一１）２＿４（×２－ｃ）

把直线Ｉ向右上方平移到Ｉ，：５ｘ＋４ｙ＝２０＝Ｃ２—２ｃ＋１—４０２＋４０＝一３０２＋２Ｃ＋１＞０

位置时，直线经过可行域上的点Ｍ。且与原

解得一彳１＜ｃ＜１。从而ｏ＜ａ＋ｂ＜睾

点距离最大．此时。Ｚ＝６００Ｘ＋１０００ｙ取最

ｏ

ｏ

大值

六、实际问题与数学模型的转化数学模型是从现实世界中抽象出来解方程组Ｉ［４５×ｘ＋＋４９ｖｙ：＝３２０６００得Ｍ的坐标

的。是对实际问题的深刻、全面和真实反映．通过构造数学模型，把实际问题转化孙＝詈一１２．４

ｙ＝警一３４．４

为数学问题．使问题得以解决。欧拉的七答：应生产甲种产品约１２．４ｔ，乙种产品桥问题就是很好的例子：他把七桥问题转３４．４ｔ，能使利润总额达到最大。

化为一笔画问题．不仅解决了实际问题（当转化与化归的思想方法是数学学习中时的难题），更是开创了数学中的新兴学科

最重要的思维方法，数学知识的掌握某种图论和拓扑学，这样的例子还有很多。

意义上说就是由新知向旧知化归与转化的生产实际中有许多问题都可以归结过程．学会了转化就等于掌握了数学学习为线性规划问题，看下列的例子：

的主动权。例８某工厂生产甲、乙两种产品，已

知生产甲种产品１ｔ需耗Ａ种矿石１０ｔ，Ｂ

参考文献：

种矿石５ｔ、煤４ｔ；生产乙种产品１ｔ需Ａ种

［１］首都师范大学数学系．中学数学教学教

矿石４ｔ、Ｂ种矿石４ｔ、煤９ｔ。每１ｔ甲种产程［Ｍ］．北京：科学出版社，２０００．

品的是利润是６００元，每１ｔ乙种产品的

［２］罗增儒．数学竞赛导论［Ｈ］．西安：陕西师

利润是１ＯＯＯ元，工厂生产这两种产品的

范大学出版社，２０００

［３］殷堰工．数学解题精编［Ｈ］．上海：上海科

种矿石不超过２００ｔ、煤不超过３６０ｔ，甲乙

技教育出版社，１９９４

［４］吴炯圻，林培榕．数学思想方法［Ｍ］．福

州：厦门大学出版社，２００１

分析：将已知数据列成右上表：

（汕头ＩＫ潮啊ｌ职业技术学校）

２００９．８・◆５１

计划中要求消耗Ａ种矿石不超过３００ｔ、Ｂ

两种产品应各生产多少（精确到Ｏ．１ｔ）能使

利润总额达到最大？

转化与化归思想在数学解题中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

陈欣龙

汕头市潮阳职业技术学校成才之路

THE ROAD TO SUCCESS2009，""(23)0次

参考文献(4条)

1. 首都师范大学数学系 中学数学教学教程 20002. 罗增儒 数学竞赛导论 20003. 殷堰工 数学解题精编 19944. 吴炯圻. 林培榕 数学思想方法 2001

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