４ ２
福建中学数学
２０ ０ ９年第 ６ 期
两条异面直线距离 的四种 求法
白振志 黑龙 江五常市职教 中心学校 （ ５ ２ ０） １０ ０
两条异面直线距 离求法是高 中立体几何难点 之
一
距离就是二异面直线 的距离． 例 ３正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢｃＤＩ ，棱长为 １ １，ｌ 中 ，求 异面直线 Ａ 与 ＢＣ的距离． ＤＩ 解 。Ａ ｌＩ Ｃ ． Ｂ Ｉ ＢＣ ．Ｄ１ Ｉ ’ Ｂ Ｃ 与 １
确定平面 Ｂ ＣＢ ＝口， Ｃ １． ＢＣＩ Ｉ ，ＡＤ与 Ａ ｊ ＩＤ Ａ Ｉ Ｄ 确定平
面 Ａ ＤＩ ＝ ， Ｄ Ａ
．
它在高 中立体几何 中占有重要地位 。下面介 绍
异面直线距 离的四种求法 ，以拓展解题思路 ．提 高 思维效 率． １ ．定义 法 找 出二异面直线距离的公垂线 。之后 求出公 垂 线段的长度． 例 １正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢＣＤｉ ｉ 中棱长 为 １ ，求异 面直线 ＡＤ 与 Ｂ ｌ １ Ｂ 的距离．
则平面 ０ｌ ５ｌ 平面 ，口与 距离 为 ｝ ＢＩ ． Ａ ＝１
・
．
．
解 ‘Ａ ｌ ｔｔ ・ １ 上ＡＤ ， ‘Ｂ
Ａ１ －ＢＢＩ． Ｂｉ ｊ
・ ． ．
二异面直线
与Ｂ Ｃ之间距离为 １ ．
适用范围 ：二平面之 间距离易于 求解 的题型．
４ ．空间坐标系法 Ａ 引理 设平面 的法 向量 为 Ｎ ， Ｂ∈ａ。Ａ仨 ａ． 则点 Ａ到平面 口的距离 ｄ＝Ｌ—一 ．
１ ｌ Ⅳ
Ａ 异 面 直 线 ＡＤ １ 是 Ｂ Ｉ 与 与 Ｂ Ｂ 之间距离 ｄ＝ＡＢ ． ｌ１ｉ Ｊ ＝１
肋 的公垂线 ，
． ．
１ ． ｌ
适用范围 ：适用于容易找 出公垂线段 ，且 公垂 线段的长度易于求解 的题型．
证明 作Ａ ａ Ｏ上 垂足为０，ｆ ， ＼ ０ ： ，则
、 ，
２ ．化为平行线面距离法
ａ、 ｂ 异面直线 ，在 ｂ 取点 Ｍ ，过 做 是 上 Ｃｌ ｌ ａ，设 ｂ、Ｃ 确定平面 ，则 ａ¨ ，ａ与 的距 离就是二异面直线的距离． 例 ２正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢＣＤ 中，棱长为 １ Ｉ．Ｉ ，求 异面直线 Ａ Ａ 的距 离． Ｄ与 ｉ 分析 此题很难找 到公垂线 。
所 以不能用 定义 法．
Ａ Ａ Ｉ Ｂ１Ｉ ＯＩ ｏ ０， Ｂ・ Ｏ＝ Ａ ．Ａ ・ ｓ ｃ
Ａ ｌ ，Ａ Ｏ ｌ Ｎ Ｏ＝２ ， Ｎ
・
．
．
在一 Ａ Ｏ上的投影数量为
ＡＢ ． ＡＯ
．
ｃ ｏｓ ： —
—
ｌ ＡＯｌ
Ａ ． Ｂ ＡＮ ２ＡＢ ． 。
ｌ Ｎ｛ ２
ｌｌ ｌ Ｉ Ⅳ
解 ‘ ＤＩＣ， ． Ｂ Ｉ 。 Ｉ Ａ
・ ． ．
ｌ Ａ
・ ．
。 ： ｌ ｌ ， ｏｌ
Ａ Ｉｌ Ｂ １Ｉ Ｄ＿ 面 ＣＡ ，
・ ． ．
Ａ 面 口 ｌ 的距 离就 是 异面直 线 Ｄ 与 Ｄ到 ｃ ｌ
．
到平面 口的距离 ｄ＝ Ｌ
Ｉ ．Ｉ
１ Ｉ Ｎ
．
Ｇ 的距离 ，即点 Ａ到面 ＡＢ １ ＩＣ 的距离．
‘ ．
’
＝
∞
定理 设 ａ、 ｂ 二异面直线 ．与 。、ｂ都垂直 是
１
＝＞ 一 ＝
．
三√ ）— １一． ． ｆ ｄ ， １ １ １ ｚ
４
．
的向量为 Ⅳ ，在 口上取一点 ，在 ｂ ｎ 上取一点 ，
那 么。异面直线 日、 ｂ 间距离 ｄ＝１ ． Ｉ 之 Ｌ Ｂ Ⅳｎ Ａ
．
≥
：
ｌ Ｉ
，
３
证 明 ｂ上取一点 ０，过 ０作 口Ｉ ａ，口 与 ｂ确 Ｉ
适用范围 ：容易求出线面距离的题型． ３ ．化成 平行平面 间距离法
设 口、ｂ 为二异面直线 ， ａ上取点 Ａ． Ａ作 在 过
定平面 口 ，则 ｌ ，在 ａ上取 点 Ｉ
，
在 ｂ上取一点 Ｂ 设 口的法 向
量为 ，则 ＿ ， Ｊ ＿
ｊ云， ＿
ａｌ ｂ，日 与 口确 定平面 ， ｂ上取点 Ｂ， Ｉ 在 过 作
ｂｌ Ｉ ａ．ｂ 与 ｂ 确定平面 ，则面 Ｉ ， ０与 的 Ｉ ５
由 引理 ： Ａ到面 ０ 的距 离 ５
２０ ０ ９年第 ６ 期
福建中学数 学
Ｉ Ｉ Ｎｏ＝ ０ ＡＤ ・
４ ３
：
Ｉ
．
Ｉｏ Ｎ Ｉ
．
ｃ’ — －Ⅳｎ
Ｉ ＋Ｚ ＝０ —
ｆ ｌ
，
．
．
二一
蝴
踊
：
．
ｌ ＋Ｙ＝０ —
例 ４正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢＣＤ 中，棱 长为 １ Ｉ ． ，求 异面直线 Ａ １ ＡＧ 的距离． Ｄ与 ｌ 解 如图 ， Ａ １ 一 ， １ ， ＡＣ ＝（ １ １ ０ Ｄ ＝（ １０，） ， 一 ， ，）。
设与 一 、一Ｃ 都垂直的 向量 ＝（ ， ｚ） Ａ ｔ Ａ １ Ｄ ｒ ｙ， ，
取 Ｘ ＝１ ． Ｎ ＝（， ，） ， ‘ ｏ １１１， ．
Ａ∈Ａ ， Ａ ∈ＡＣ ， Ａ Ｉ ０， ，） ＤＩ ｌ ｊ１ Ａ ＝（ ０ １ ，
，
Ｉ ‘０ １ Ⅳｌ
｝ Ｉ ４ ３ ３
ｌ ＤＩ 上Ⅳｎ Ａ
＜
适用范 围：能建 立空 间坐标系题型．
ｌ 上
由以上四种解 法看 出空 间坐标 系法 比前 三种解
法更 灵活 、方便 、实用．
巧用符 号与字母理解和 应用整体思想
林 清 福 建省 福州 第四中学 （ ５ ０ ９） ３００ 整体思想是高中数学重要思想方法之一 ，整体思 想 的实质是把一些量看成一个整体去设元 、列式、变
形 、消元、代入或求值等 ．
这样可以使复杂的问题变得
如在理解公式 ｓ ２ ｉ ａ＝２ ｉ ｏ 时学生容易掌握 ， ｎ ｓ ｃ ｓ ｎ
但在变形应用为ｓ ａ＝ ｓ 譬ｃｓ 时学生就难以理 ｉ ２ｉ ｏ ｎ ｎ
解． 这时可用整体思想 方法将 ２ ａ看成一个整体 口，则
简单 ，陌生 的问题 变得熟悉。极大方便了学生理解和
解题 。便于知识的同化和顺应 ，因此整体的好处是显
ｓ Ｄ ２ｉ导 ｏ导学生就容易理解这种倍半关系了． ｉ ＝ ｓ ｃｓ ｎ ｎ
２ 整体思想在解方程 （ ） ． 组 和不等式 中的应用
例 １求解不等式程 ４ ＋２ ３ ” 一 ＞０． 解 析 （ 。 ２）＋２－ 一３ （ ） ＞０ ， 运 用 符 号 法 ２ Ｏ＋ｎ ３ ２ ２ 一 ＞０。将 ２ 当成一 个整体 ，只需令 口为 ｆ ， 即设 ｔ ＞０，原题转化为 同学们 熟悉的一元 二次 ＝２ 不 等 式 ｔ＋ ｆ ３ ２ 一 ＞０求 解 ． 以 ， 所 ＞ｌ或 ， ３， 即 ＜一
２ ＞１ ２ ＜一 舍去 ．． 或 ３ ．Ｘ＞０． ‘
而易见的． 但是学生有理解整体思想上却有难度 ， 本文 试图从学生感性的符号与字母入手，通过实例理解和 应用整体思想 ，使学生的数学学习变得简单有趣．
１ 整体思想在公式理解 中的应用 ． （） １ 用整体思想理 解立方和 与差公式 的变形应 用． 立方公 式在课标课程 中初 中已经没有了 ，但在高 中教学 中特别是它的变形形式 经常用到 ．
学生在记忆公式 ａ ＋ｂ ：（ ＋６ 一ａ ＋ｂ）， ａ ） ｂ ａ 一ｂ ：（ ６（ ６ 问题 不大 ，但是在变形 ａ一 ） ＋口 ＋ｂ ） 口
】 Ｉ ２ Ｉ １ ２ １ １
例 ２求解 方程 １‘ ＋Ｘ ＝２ ． Ｏ ０ 解 析 本 题若不 用整 体思想 方 法很难 看懂题 目 和 解 题 ． 用 整 体 思 想 令 ｌｘ 应 ｇ ＝ｔ．原 方 程 化 为
ｌ ＋ｆ０）＝２ ０ ｌ ０， 即 １ ＋１ ＝２ ０ ０ ０，即 １ ＝１ ０ ０． 所 以 ，＝１ ｔ １ ， ＝± ，即 ｌｘ＝± ．所 以 Ｘ＝１ ． ｇ １ ０
应 用 ａ＋ ｒ ３ ６ ） ｊ ａ６ ＋ｂ ） ａ ：ｆｊ ３ ｂ＝ 日 ＋ ｊ（ — ｊｊ ， —ｂ Ⅱ —ｂ ） 口 ３
２ １ Ｉ ２
（ ， ， ａ ＋ａ ｂ ＋６ ）中却很难理 解 ，用 符号法理解就 简 单的多．
符号 法如 下 ：ａ ＋ｂ ＝（ ＋６（ ｂ 看成 ａ ） 一ａ ＋ｂ ） 口
口＋ （＋ ） Ｄ △ ） 其中 Ｄ 为一 个整体表 △ ＝ 口 △（ 一 Ａ＋ ， 口 作 示 ａ，△也作为一个整体表示 ｂ，ａ是 ａ的三 次方 ，
同理
ａ是 ａ 的三次方 ， ， ｂ是 ６ 的三次方 ． 样只需 口 这
ｌ ｌ
３ 整体思想在 函数解 析式 、定义域 、值域 、单 ． 调性、 奇偶性中的应用 例 ３ 已知 ｆ（ ） ｘ一 ｘ＋１＝Ｘ ＋２ １中 ∈（１ ｌ求 一 ，１
厂 的解 析式． （）
解 析 将 ＋ ） １当成一个整体 口，
贝 ｆ（） 口 １ ＋２Ｄ １一 ， ０ ｍ ：（一） （一 ） １
里用 。 填 入 ，△里用 ６ 填 入就 可方便得 到公式 变 ｊ ３
形 ，学 生也就理解了． （ ）用整体思想理解二倍角公 式中的倍半关 系． ２
所 以ｆ（） Ｘ ）十２ｘ ） ｘ ＝ｆ 一１ （ 一１一１，
因为 ｆ（ ＋１＝Ｘ ＋２ 一１ ｘ ） ｘ 中 ∈ 一， ， （ １ 】 １
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２０ ０ ９年第 ６ 期
两条异面直线距离 的四种 求法
白振志 黑龙 江五常市职教 中心学校 （ ５ ２ ０） １０ ０
两条异面直线距 离求法是高 中立体几何难点 之
一
距离就是二异面直线 的距离． 例 ３正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢｃＤＩ ，棱长为 １ １，ｌ 中 ，求 异面直线 Ａ 与 ＢＣ的距离． ＤＩ 解 。Ａ ｌＩ Ｃ ． Ｂ Ｉ ＢＣ ．Ｄ１ Ｉ ’ Ｂ Ｃ 与 １
确定平面 Ｂ ＣＢ ＝口， Ｃ １． ＢＣＩ Ｉ ，ＡＤ与 Ａ ｊ ＩＤ Ａ Ｉ Ｄ 确定平
面 Ａ ＤＩ ＝ ， Ｄ Ａ
．
它在高 中立体几何 中占有重要地位 。下面介 绍
异面直线距 离的四种求法 ，以拓展解题思路 ．提 高 思维效 率． １ ．定义 法 找 出二异面直线距离的公垂线 。之后 求出公 垂 线段的长度． 例 １正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢＣＤｉ ｉ 中棱长 为 １ ，求异 面直线 ＡＤ 与 Ｂ ｌ １ Ｂ 的距离．
则平面 ０ｌ ５ｌ 平面 ，口与 距离 为 ｝ ＢＩ ． Ａ ＝１
・
．
．
解 ‘Ａ ｌ ｔｔ ・ １ 上ＡＤ ， ‘Ｂ
Ａ１ －ＢＢＩ． Ｂｉ ｊ
・ ． ．
二异面直线
与Ｂ Ｃ之间距离为 １ ．
适用范围 ：二平面之 间距离易于 求解 的题型．
４ ．空间坐标系法 Ａ 引理 设平面 的法 向量 为 Ｎ ， Ｂ∈ａ。Ａ仨 ａ． 则点 Ａ到平面 口的距离 ｄ＝Ｌ—一 ．
１ ｌ Ⅳ
Ａ 异 面 直 线 ＡＤ １ 是 Ｂ Ｉ 与 与 Ｂ Ｂ 之间距离 ｄ＝ＡＢ ． ｌ１ｉ Ｊ ＝１
肋 的公垂线 ，
． ．
１ ． ｌ
适用范围 ：适用于容易找 出公垂线段 ，且 公垂 线段的长度易于求解 的题型．
证明 作Ａ ａ Ｏ上 垂足为０，ｆ ， ＼ ０ ： ，则
、 ，
２ ．化为平行线面距离法
ａ、 ｂ 异面直线 ，在 ｂ 取点 Ｍ ，过 做 是 上 Ｃｌ ｌ ａ，设 ｂ、Ｃ 确定平面 ，则 ａ¨ ，ａ与 的距 离就是二异面直线的距离． 例 ２正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢＣＤ 中，棱长为 １ Ｉ．Ｉ ，求 异面直线 Ａ Ａ 的距 离． Ｄ与 ｉ 分析 此题很难找 到公垂线 。
所 以不能用 定义 法．
Ａ Ａ Ｉ Ｂ１Ｉ ＯＩ ｏ ０， Ｂ・ Ｏ＝ Ａ ．Ａ ・ ｓ ｃ
Ａ ｌ ，Ａ Ｏ ｌ Ｎ Ｏ＝２ ， Ｎ
・
．
．
在一 Ａ Ｏ上的投影数量为
ＡＢ ． ＡＯ
．
ｃ ｏｓ ： —
—
ｌ ＡＯｌ
Ａ ． Ｂ ＡＮ ２ＡＢ ． 。
ｌ Ｎ｛ ２
ｌｌ ｌ Ｉ Ⅳ
解 ‘ ＤＩＣ， ． Ｂ Ｉ 。 Ｉ Ａ
・ ． ．
ｌ Ａ
・ ．
。 ： ｌ ｌ ， ｏｌ
Ａ Ｉｌ Ｂ １Ｉ Ｄ＿ 面 ＣＡ ，
・ ． ．
Ａ 面 口 ｌ 的距 离就 是 异面直 线 Ｄ 与 Ｄ到 ｃ ｌ
．
到平面 口的距离 ｄ＝ Ｌ
Ｉ ．Ｉ
１ Ｉ Ｎ
．
Ｇ 的距离 ，即点 Ａ到面 ＡＢ １ ＩＣ 的距离．
‘ ．
’
＝
∞
定理 设 ａ、 ｂ 二异面直线 ．与 。、ｂ都垂直 是
１
＝＞ 一 ＝
．
三√ ）— １一． ． ｆ ｄ ， １ １ １ ｚ
４
．
的向量为 Ⅳ ，在 口上取一点 ，在 ｂ ｎ 上取一点 ，
那 么。异面直线 日、 ｂ 间距离 ｄ＝１ ． Ｉ 之 Ｌ Ｂ Ⅳｎ Ａ
．
≥
：
ｌ Ｉ
，
３
证 明 ｂ上取一点 ０，过 ０作 口Ｉ ａ，口 与 ｂ确 Ｉ
适用范围 ：容易求出线面距离的题型． ３ ．化成 平行平面 间距离法
设 口、ｂ 为二异面直线 ， ａ上取点 Ａ． Ａ作 在 过
定平面 口 ，则 ｌ ，在 ａ上取 点 Ｉ
，
在 ｂ上取一点 Ｂ 设 口的法 向
量为 ，则 ＿ ， Ｊ ＿
ｊ云， ＿
ａｌ ｂ，日 与 口确 定平面 ， ｂ上取点 Ｂ， Ｉ 在 过 作
ｂｌ Ｉ ａ．ｂ 与 ｂ 确定平面 ，则面 Ｉ ， ０与 的 Ｉ ５
由 引理 ： Ａ到面 ０ 的距 离 ５
２０ ０ ９年第 ６ 期
福建中学数 学
Ｉ Ｉ Ｎｏ＝ ０ ＡＤ ・
４ ３
：
Ｉ
．
Ｉｏ Ｎ Ｉ
．
ｃ’ — －Ⅳｎ
Ｉ ＋Ｚ ＝０ —
ｆ ｌ
，
．
．
二一
蝴
踊
：
．
ｌ ＋Ｙ＝０ —
例 ４正方体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ—ＡＢＣＤ 中，棱 长为 １ Ｉ ． ，求 异面直线 Ａ １ ＡＧ 的距离． Ｄ与 ｌ 解 如图 ， Ａ １ 一 ， １ ， ＡＣ ＝（ １ １ ０ Ｄ ＝（ １０，） ， 一 ， ，）。
设与 一 、一Ｃ 都垂直的 向量 ＝（ ， ｚ） Ａ ｔ Ａ １ Ｄ ｒ ｙ， ，
取 Ｘ ＝１ ． Ｎ ＝（， ，） ， ‘ ｏ １１１， ．
Ａ∈Ａ ， Ａ ∈ＡＣ ， Ａ Ｉ ０， ，） ＤＩ ｌ ｊ１ Ａ ＝（ ０ １ ，
，
Ｉ ‘０ １ Ⅳｌ
｝ Ｉ ４ ３ ３
ｌ ＤＩ 上Ⅳｎ Ａ
＜
适用范 围：能建 立空 间坐标系题型．
ｌ 上
由以上四种解 法看 出空 间坐标 系法 比前 三种解
法更 灵活 、方便 、实用．
巧用符 号与字母理解和 应用整体思想
林 清 福 建省 福州 第四中学 （ ５ ０ ９） ３００ 整体思想是高中数学重要思想方法之一 ，整体思 想 的实质是把一些量看成一个整体去设元 、列式、变
形 、消元、代入或求值等 ．
这样可以使复杂的问题变得
如在理解公式 ｓ ２ ｉ ａ＝２ ｉ ｏ 时学生容易掌握 ， ｎ ｓ ｃ ｓ ｎ
但在变形应用为ｓ ａ＝ ｓ 譬ｃｓ 时学生就难以理 ｉ ２ｉ ｏ ｎ ｎ
解． 这时可用整体思想 方法将 ２ ａ看成一个整体 口，则
简单 ，陌生 的问题 变得熟悉。极大方便了学生理解和
解题 。便于知识的同化和顺应 ，因此整体的好处是显
ｓ Ｄ ２ｉ导 ｏ导学生就容易理解这种倍半关系了． ｉ ＝ ｓ ｃｓ ｎ ｎ
２ 整体思想在解方程 （ ） ． 组 和不等式 中的应用
例 １求解不等式程 ４ ＋２ ３ ” 一 ＞０． 解 析 （ 。 ２）＋２－ 一３ （ ） ＞０ ， 运 用 符 号 法 ２ Ｏ＋ｎ ３ ２ ２ 一 ＞０。将 ２ 当成一 个整体 ，只需令 口为 ｆ ， 即设 ｔ ＞０，原题转化为 同学们 熟悉的一元 二次 ＝２ 不 等 式 ｔ＋ ｆ ３ ２ 一 ＞０求 解 ． 以 ， 所 ＞ｌ或 ， ３， 即 ＜一
２ ＞１ ２ ＜一 舍去 ．． 或 ３ ．Ｘ＞０． ‘
而易见的． 但是学生有理解整体思想上却有难度 ， 本文 试图从学生感性的符号与字母入手，通过实例理解和 应用整体思想 ，使学生的数学学习变得简单有趣．
１ 整体思想在公式理解 中的应用 ． （） １ 用整体思想理 解立方和 与差公式 的变形应 用． 立方公 式在课标课程 中初 中已经没有了 ，但在高 中教学 中特别是它的变形形式 经常用到 ．
学生在记忆公式 ａ ＋ｂ ：（ ＋６ 一ａ ＋ｂ）， ａ ） ｂ ａ 一ｂ ：（ ６（ ６ 问题 不大 ，但是在变形 ａ一 ） ＋口 ＋ｂ ） 口
】 Ｉ ２ Ｉ １ ２ １ １
例 ２求解 方程 １‘ ＋Ｘ ＝２ ． Ｏ ０ 解 析 本 题若不 用整 体思想 方 法很难 看懂题 目 和 解 题 ． 用 整 体 思 想 令 ｌｘ 应 ｇ ＝ｔ．原 方 程 化 为
ｌ ＋ｆ０）＝２ ０ ｌ ０， 即 １ ＋１ ＝２ ０ ０ ０，即 １ ＝１ ０ ０． 所 以 ，＝１ ｔ １ ， ＝± ，即 ｌｘ＝± ．所 以 Ｘ＝１ ． ｇ １ ０
应 用 ａ＋ ｒ ３ ６ ） ｊ ａ６ ＋ｂ ） ａ ：ｆｊ ３ ｂ＝ 日 ＋ ｊ（ — ｊｊ ， —ｂ Ⅱ —ｂ ） 口 ３
２ １ Ｉ ２
（ ， ， ａ ＋ａ ｂ ＋６ ）中却很难理 解 ，用 符号法理解就 简 单的多．
符号 法如 下 ：ａ ＋ｂ ＝（ ＋６（ ｂ 看成 ａ ） 一ａ ＋ｂ ） 口
口＋ （＋ ） Ｄ △ ） 其中 Ｄ 为一 个整体表 △ ＝ 口 △（ 一 Ａ＋ ， 口 作 示 ａ，△也作为一个整体表示 ｂ，ａ是 ａ的三 次方 ，
同理
ａ是 ａ 的三次方 ， ， ｂ是 ６ 的三次方 ． 样只需 口 这
ｌ ｌ
３ 整体思想在 函数解 析式 、定义域 、值域 、单 ． 调性、 奇偶性中的应用 例 ３ 已知 ｆ（ ） ｘ一 ｘ＋１＝Ｘ ＋２ １中 ∈（１ ｌ求 一 ，１
厂 的解 析式． （）
解 析 将 ＋ ） １当成一个整体 口，
贝 ｆ（） 口 １ ＋２Ｄ １一 ， ０ ｍ ：（一） （一 ） １
里用 。 填 入 ，△里用 ６ 填 入就 可方便得 到公式 变 ｊ ３
形 ，学 生也就理解了． （ ）用整体思想理解二倍角公 式中的倍半关 系． ２
所 以ｆ（） Ｘ ）十２ｘ ） ｘ ＝ｆ 一１ （ 一１一１，
因为 ｆ（ ＋１＝Ｘ ＋２ 一１ ｘ ） ｘ 中 ∈ 一， ， （ １ 】 １