弦振动偏微分方程的求解

弦振动偏微分方程的求解

(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)

摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。

关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换

Method for solving partial differential equations of string vibration

（Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of

Aeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）

Abstract: This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance.

Keywords: mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform

在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。

一、无界弦的自由振动问题

无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1]：

utta2uxx(x,t0), u(0,x)(x),ut(0,x)(x),(x)

对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。

做变量代换xat，xat，代入偏微分方程，整理可得：

2u0，得方程的通解为：uf()g()f(xat)g(xat) 

再代入初始条件，有：

u(0,x)f(x)g(x)(x)ut(0,x)af(x)ag(x)(x)

对(2)式积分: (1)(2)

f(x)g(x)1x()dc0a(3)

将（1）式和（3）式联立，解之则得：

1xcf(x)()d 22a02

(x)1xcg(x)()d 022a2(x)

于是我们便得到了：

u(t,x)f(xat)g(xat)

(xat)(xat)1xat()d22axat

这便是一维无界弦的自由振动解的表达式， 称作达朗贝尔公式。由于对u没有任何限制，只要一维波动方程有解，解必由达朗贝尔公式给出，且解是唯一的。

二、有界弦的自由振动问题。

描述两端固定的有界弦的自由振动的混合问题：

utta2uxx(x,t0) (边界条件）u(t,0)u(t,l)0，

u(0,x)(x),u(0,x)(x),（初始条件）t

对于该问题，适合用分离变量方法进行求解。

第一步，分离变量，分析求一族满足泛定方程和边界条件的分离变量形式的非零特解，可以先不估计初始条件。

令：u(t,x)X(x)T(t)，把它代入方程，得

X(x)T(t)a2X(x)T(t)

两边除以a2X(x)T(t)，得

T(t)X(x) a2T(t)X(x)

此式左端仅是t的函数，右端仅是x的函数，而x与t是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，令这个常数为，就得到一个常微分方程： Ta2T0

及其边值问题（因u(t,0)X(0)T(t)0,所以X(0)0;同理u(t,l)X(l)T(t)0,所以X(l)0）

故第二个常微分方程是：

X(x)X（x)0X(l)0X（0）(0xl)

第二步，解固有值问题

怎么找到满足条件的固有值，使常微分方程的边值问题有非零解。分三种情况讨论。

（1）0,这时方程为：, X0,通解为：XAxB,由边界条件X(0)X(l)0，得A=0;B=0，X(x)0，不满足要求。

22（2）0，不妨设k，这时方程X(x)kX（x)0的通解为：

XAekxBekx由边界条件X(0)X(l)0，得

AB0 klklAeBe0

不难求出A=B=0，同样不满足要求。

2（3）0，不妨设k（k0），这时方程X(x)k2X（x)0的通解为：

XAcoskxBsinkx

由条件X(0)=0，知，A=0，再由条件X(l)0，得

Bsinkl0，由于B不能再为零，则必有kn(n1,2,) l

n或者：(n1,2,) l

n我们把n(n1,2,)叫做固有值，与固有值对应的非零解为： l

Xn(x)Bnsin

问题。 22nxl，Bn是任意常数。求固有值和固有函数的边值问题称为固有值

n把固有值n代入确定T的常微分方程： l

Tn(t)CncosnatnatDnsin，Cn,Dn为任意常数。这样得到： ll2

natnatnxun(t,x)Xn(x)Tn(t)CncosDnsinsin(n1,2,) lll

把Bn归入常数Cn,Dn

第三步，写出级数形式解

由于方程和边界条件都是线性齐次的，故由叠加原理，级数:

natnatnx u(t,x)un(t,x)CncosDnsinsinllln1n1

仍满足方程和边界条件。

第四步，确定级数解中的系数Cn和Dn 由初始条件：(x)u(0,x)Cnsin

n1nx及 l

(x)ut(0,x)

Cnnanx,由正弦展开的系数公式，得： Dnsinln1l2lnx(x)sindx 0ll

2lnxDn(x)sindx na0l

这样我们得到该问题的定解为： nnat2lnnatnx2lu(t,x)()sindcos()sindsinsin0llna0llln1l

三、无界弦的受迫振动问题

该问题的偏微分方程为：

utta2uxxf(x,t)(x,t0) （初始条件）u(0,x)(x),ut(0,x)(x),

对该问题，用拉普拉斯变换计算比较方便[2]。

对泛定方程施行拉普拉斯变换

(p,x)u(x,t)eptdt得：p2put0ut0t0a2xx(x,p)0 代入初始条件得：p2pa2xx(x,p)0该非齐次常微分方程的通解是 (x,p)Ae

pxaBepxpx1pxa(x)epxae()(,p)p()]d2ap1px(x)ee()(,p)p()]d2ap

考虑到x和x时不应为无穷大，所以A=0，B=0，另为保证积分收敛，第一个积分下限取，第二个积分下限取。所以

1xep(x)a

(x,p)()(,p)p()]d2ap

1xep(x)1ep(x)a

()(,p)p()]d[()(,p)p()]d2ap2axp

1xep(x)()(,p)p()]d2ap

1ep(x)1xep(x)a

()d()dx2ap2ap

1ep(x)a1xep(x)a

(,p)d(,p)dp2ap2ax

1ep(x)a1xep(x)p()dp()dx2ap2ap

对于第一个中括号，运用延迟定理，1H(t),P则ep(x)ax1H(t)pa0(xat) (xat)

1ep(x)a1xat所以()d()d 2axp2ax

1xep(x)a1x同理()d()d xat2ap2a

对第三个中括号，()代替了（）且多了一个因子p，则对第一个中括号中原函数中（）替换行为()并对t求导即得第三个中括号里的原函数分别为：

11ep(x)(xat) p()dx2a2ap

11xep(x)(xat) p()d2a2ap

对第二个中括号，运用卷积定理

t1(p)2(p)f1()f2(t)d 0

1ep(x)1tx(,p)df(,)H(t)dd2axp2a0xa txa(t)1f(,)dd2a0x

1xep(x)a1tx)同理：(,p)df(,)dd 0xa(t)2ap2a

于是得到该问题解的表达式为：

11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd 22axat2a0xa(t)

四、半无界弦的自由振动问题

该问题即求下面问题的解[3]：

utta2uxx(0x,t0)(边界条件） u(t,0)0,ux有限，,u(0,x)0,ut(0,x)b（初始条件）

对t做拉普拉斯变换。设(p,x)

0u(x,t)eptdt，则有：

uttp2(x,p)pu(x,0)ut(x,0)

利用初始条件，上式变为：uttp2(x,p)b，原方程的像为：

xx2baa，解为：。 p(x,p)ba0AeBe22xp22pp

A、B需要用边界条件予以确定。当对t做拉普拉斯变换时候，像函数所满足的边界条件就是原函数边界条件的像。因此：ux有限即x有限。故A=0

b。于是得到 2p又有边界条件u(t,0)0，可得(p,0)0，代入可得B

pxa(x,p)b(1ep2

pxapxa)b1e()，对该式做反演。 ppp1exH(t)，H(t)（延迟定理） ppa

于是按积分定理，得反演之后的函数表达式为：

ttxx(x,p)u(x,t)b[H(t)H(t)]dtb[1H(t)]dt 00aa

ttxx当t时，则有H(t)dt0dt0 00aa

当tttxxx时，则有H(t)dt1dtt 0aaa于是可写作xxxH(t)dt(t)H(t) 0aaat

所以方程的定解可写作

xxu(x,t)btb(t)H(t) aa

综上所述，我们总结了在不同情况下弦振动偏微分方程的求解，根据不同情况做出了不同的弦振动偏微分方程求解方法。这对我们学习和巩固偏微分方程在物理学中的应用有很好的应用，便于我们深刻理解物理问题，也对我们的实际生活有一定的指导意义。

参考文献：

[1]严振军.数学物理方法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2005

[2]苗明川.数学物理方法全程导学及习题全解[M].北京：中国时代经济出版社，2011

[3]余恬.数学物理方法解题示例[M].北京：北京邮电大学出版社，2011

弦振动偏微分方程的求解

(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)

摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。

关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换

Method for solving partial differential equations of string vibration

（Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute of

Aeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）

Abstract: This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance.

Keywords: mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform

在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。对偏微分方程求解的讨论，有很重要的意义和运用。对不同的偏微分方程，往往有不同的求解方法，这要根据方程本身的特点而定。选取合适的方法不仅可以使问题简化，有时候也能体现出方程背后更深层次的物理意义。理想弦的振动方程就是一个一维波动方程的特例，本文将给出不同情况下的弦振动偏微分方程，并对它们的求解给予一定的讨论。

一、无界弦的自由振动问题

无界弦的自由振动问题既是满足下面条件的偏微分方程[1]：

utta2uxx(x,t0), u(0,x)(x),ut(0,x)(x),(x)

对于该偏微分方程，我们可以类似常微分方程初始问题的解法，先求出通解，然后把初始条件代入通解，以确定任意常数，从而求得初始问题的解。

做变量代换xat，xat，代入偏微分方程，整理可得：

2u0，得方程的通解为：uf()g()f(xat)g(xat) 

再代入初始条件，有：

u(0,x)f(x)g(x)(x)ut(0,x)af(x)ag(x)(x)

对(2)式积分: (1)(2)

f(x)g(x)1x()dc0a(3)

将（1）式和（3）式联立，解之则得：

1xcf(x)()d 22a02

(x)1xcg(x)()d 022a2(x)

于是我们便得到了：

u(t,x)f(xat)g(xat)

(xat)(xat)1xat()d22axat

这便是一维无界弦的自由振动解的表达式， 称作达朗贝尔公式。由于对u没有任何限制，只要一维波动方程有解，解必由达朗贝尔公式给出，且解是唯一的。

二、有界弦的自由振动问题。

描述两端固定的有界弦的自由振动的混合问题：

utta2uxx(x,t0) (边界条件）u(t,0)u(t,l)0，

u(0,x)(x),u(0,x)(x),（初始条件）t

对于该问题，适合用分离变量方法进行求解。

第一步，分离变量，分析求一族满足泛定方程和边界条件的分离变量形式的非零特解，可以先不估计初始条件。

令：u(t,x)X(x)T(t)，把它代入方程，得

X(x)T(t)a2X(x)T(t)

两边除以a2X(x)T(t)，得

T(t)X(x) a2T(t)X(x)

此式左端仅是t的函数，右端仅是x的函数，而x与t是两个相互独立的变量，所以只有两边都是常数时，等式才能成立，令这个常数为，就得到一个常微分方程： Ta2T0

及其边值问题（因u(t,0)X(0)T(t)0,所以X(0)0;同理u(t,l)X(l)T(t)0,所以X(l)0）

故第二个常微分方程是：

X(x)X（x)0X(l)0X（0）(0xl)

第二步，解固有值问题

怎么找到满足条件的固有值，使常微分方程的边值问题有非零解。分三种情况讨论。

（1）0,这时方程为：, X0,通解为：XAxB,由边界条件X(0)X(l)0，得A=0;B=0，X(x)0，不满足要求。

22（2）0，不妨设k，这时方程X(x)kX（x)0的通解为：

XAekxBekx由边界条件X(0)X(l)0，得

AB0 klklAeBe0

不难求出A=B=0，同样不满足要求。

2（3）0，不妨设k（k0），这时方程X(x)k2X（x)0的通解为：

XAcoskxBsinkx

由条件X(0)=0，知，A=0，再由条件X(l)0，得

Bsinkl0，由于B不能再为零，则必有kn(n1,2,) l

n或者：(n1,2,) l

n我们把n(n1,2,)叫做固有值，与固有值对应的非零解为： l

Xn(x)Bnsin

问题。 22nxl，Bn是任意常数。求固有值和固有函数的边值问题称为固有值

n把固有值n代入确定T的常微分方程： l

Tn(t)CncosnatnatDnsin，Cn,Dn为任意常数。这样得到： ll2

natnatnxun(t,x)Xn(x)Tn(t)CncosDnsinsin(n1,2,) lll

把Bn归入常数Cn,Dn

第三步，写出级数形式解

由于方程和边界条件都是线性齐次的，故由叠加原理，级数:

natnatnx u(t,x)un(t,x)CncosDnsinsinllln1n1

仍满足方程和边界条件。

第四步，确定级数解中的系数Cn和Dn 由初始条件：(x)u(0,x)Cnsin

n1nx及 l

(x)ut(0,x)

Cnnanx,由正弦展开的系数公式，得： Dnsinln1l2lnx(x)sindx 0ll

2lnxDn(x)sindx na0l

这样我们得到该问题的定解为： nnat2lnnatnx2lu(t,x)()sindcos()sindsinsin0llna0llln1l

三、无界弦的受迫振动问题

该问题的偏微分方程为：

utta2uxxf(x,t)(x,t0) （初始条件）u(0,x)(x),ut(0,x)(x),

对该问题，用拉普拉斯变换计算比较方便[2]。

对泛定方程施行拉普拉斯变换

(p,x)u(x,t)eptdt得：p2put0ut0t0a2xx(x,p)0 代入初始条件得：p2pa2xx(x,p)0该非齐次常微分方程的通解是 (x,p)Ae

pxaBepxpx1pxa(x)epxae()(,p)p()]d2ap1px(x)ee()(,p)p()]d2ap

考虑到x和x时不应为无穷大，所以A=0，B=0，另为保证积分收敛，第一个积分下限取，第二个积分下限取。所以

1xep(x)a

(x,p)()(,p)p()]d2ap

1xep(x)1ep(x)a

()(,p)p()]d[()(,p)p()]d2ap2axp

1xep(x)()(,p)p()]d2ap

1ep(x)1xep(x)a

()d()dx2ap2ap

1ep(x)a1xep(x)a

(,p)d(,p)dp2ap2ax

1ep(x)a1xep(x)p()dp()dx2ap2ap

对于第一个中括号，运用延迟定理，1H(t),P则ep(x)ax1H(t)pa0(xat) (xat)

1ep(x)a1xat所以()d()d 2axp2ax

1xep(x)a1x同理()d()d xat2ap2a

对第三个中括号，()代替了（）且多了一个因子p，则对第一个中括号中原函数中（）替换行为()并对t求导即得第三个中括号里的原函数分别为：

11ep(x)(xat) p()dx2a2ap

11xep(x)(xat) p()d2a2ap

对第二个中括号，运用卷积定理

t1(p)2(p)f1()f2(t)d 0

1ep(x)1tx(,p)df(,)H(t)dd2axp2a0xa txa(t)1f(,)dd2a0x

1xep(x)a1tx)同理：(,p)df(,)dd 0xa(t)2ap2a

于是得到该问题解的表达式为：

11xat1txa(t)u(x,t)[(xat)(xat)]()df(,)dd 22axat2a0xa(t)

四、半无界弦的自由振动问题

该问题即求下面问题的解[3]：

utta2uxx(0x,t0)(边界条件） u(t,0)0,ux有限，,u(0,x)0,ut(0,x)b（初始条件）

对t做拉普拉斯变换。设(p,x)

0u(x,t)eptdt，则有：

uttp2(x,p)pu(x,0)ut(x,0)

利用初始条件，上式变为：uttp2(x,p)b，原方程的像为：

xx2baa，解为：。 p(x,p)ba0AeBe22xp22pp

A、B需要用边界条件予以确定。当对t做拉普拉斯变换时候，像函数所满足的边界条件就是原函数边界条件的像。因此：ux有限即x有限。故A=0

b。于是得到 2p又有边界条件u(t,0)0，可得(p,0)0，代入可得B

pxa(x,p)b(1ep2

pxapxa)b1e()，对该式做反演。 ppp1exH(t)，H(t)（延迟定理） ppa

于是按积分定理，得反演之后的函数表达式为：

ttxx(x,p)u(x,t)b[H(t)H(t)]dtb[1H(t)]dt 00aa

ttxx当t时，则有H(t)dt0dt0 00aa

当tttxxx时，则有H(t)dt1dtt 0aaa于是可写作xxxH(t)dt(t)H(t) 0aaat

所以方程的定解可写作

xxu(x,t)btb(t)H(t) aa

综上所述，我们总结了在不同情况下弦振动偏微分方程的求解，根据不同情况做出了不同的弦振动偏微分方程求解方法。这对我们学习和巩固偏微分方程在物理学中的应用有很好的应用，便于我们深刻理解物理问题，也对我们的实际生活有一定的指导意义。

参考文献：

[1]严振军.数学物理方法[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2005

[2]苗明川.数学物理方法全程导学及习题全解[M].北京：中国时代经济出版社，2011

[3]余恬.数学物理方法解题示例[M].北京：北京邮电大学出版社，2011