点、直线和平面 >> 点 >> 点在两投影面体系中的投影
1 点
1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.1 两投影面体系的建立
两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H 表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V 表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX 表示。
水平投影面H 与正立投影面V 将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分角、 第三分角、 第四分角。
(1) 投影 如图2所示，空间点A 处于第一分角，按正投影法将点A 向正面和水平面投射，即由点A 向正面作垂线，得垂足a ′，则a ′称为空间点A 的正面投影；由点A 向水平面作垂线， 得垂足a ，则a 称为空间点A 的水平投影。画出点A 的正面投射线Aa ′和水平投射线Aa 所确定的平面Aaa ′与V 、H 面的交线a ′a x 和 aa x 。
图2 点在两投影面体系中的投影
(2) 注写规定 空间点用大写字母表示，如A 、B 、C „；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a 、b 、c „；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a ′、b ′、c ′„。 (3) 投影面展开 为了把空间点A 的两个投影表示在一个平面上，保持V 面不动，将H 面的前半部分绕OX 轴向下旋转90°、后半部分绕OX 轴向上旋转90°与V 面重合。则得到点A 的两面投影图。
(4) 擦去边界, 得到点的两面投影图 投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V 、H 及投影面的边界线都不需画出。
1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律
(a) (b)
图3 点在两投影面体系中的投影规律
(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX 轴。
在图3(a)中，点A 的正面投射线Aa ′和水平投射线Aa 所确定的平面Aaa ′垂直于V 和H 平面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x ⊥a ′a x 、aa x ⊥OX 和a ′a x ⊥OX 。当a 随H 面旋转重合于V 面时，aa x ⊥OX 的关系不变。因此，在投影图上，aa ′⊥OX 。
(2) 一点的水平投影到OX 轴的距离等于该点到V 面的距离；其正面投影到OX 轴的距离等于该点到H 面的距离，即aa x =Aa ′；a ′a x =Aa 。
在图3(a)中，因为Aaa x a ′是矩形，所以aa x =Aa ′; a′a x =Aa 。
图4 分角内点的投影
如图7所示，三投影面体系是在V ⊥H 两投影面体系的基础上，增加一个与V 、H 投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V 面和H 面的交线为OX 轴，H 面和W 面的交线为OY 轴，V 面和W 面的交线为OZ 轴。OX 、OY 、OZ 轴垂直相交于一点O ，称为原点。 我们只在第一分角内研究各种问题。
图7 三投影面体系的建立
1.2.2 点的三面投影
(1) 投影 如图8所示，设空间点A 处于第一分角，按正投影法将点A 分别向H 、V 、W 面作垂线，其垂足即为点A 的水平投影a 、正面投影a ′和侧面投影a ″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。
(2) 投影面展开 为了把空间点A 的三面投影表示在一个平面上，保持V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90°与V 面重合；W 面绕OZ 轴向右旋转90°与V 面重合。在展开过程中，OX 轴和OZ 轴位置不变，OY 轴被“一分为二”，其中随H 面向下旋转与OZ 轴重合的一半，用OY H 表示；随W 面向右旋转与OX 轴重合的一半，用OY W 表示 。
(3) 擦去边界，得到点的三面投影图 擦去投影面边界线，则得到A 点的三面投影图。
1.2.3 点的三面投影规律
如图9所示，三投影面体系可以看成由V ⊥H 、V ⊥W 两个两投影面体系组成。根据点在两投影面体系中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为： 1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴，即a ′a ⊥OX ； 2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于O Z 轴，即a ′a " ⊥OZ ；
3) 点的水平投影到OX 轴的距离和点的侧面投影到OZ 轴的距离都等于该点到V 面的距离，即aa x =a ″a z ＝Aa ′。
为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使aa ′⊥OX 、a ′a ″⊥OZ 。而aa x =a ″a z 可用图9(b)所示的以O 为圆心，aa x 或a ″a z 为半径的圆弧，或用图9(c)所示的过O 点与水平成45°的辅助线来实现。
(a) (b) (c) 图9 点在三投影面体系中的投影规律 1.2.4 点的投影的直角坐标表示法
如图9，如果把三投影面体系看作笛卡儿直角坐标系，则H 、V 、W 面为坐标面，OX 、OY 、OZ 轴为坐标轴，O 为坐标原点。则点A 到三个投影面的距离可以用直角坐标表示： 点A 到W 面的距离Aa ″=点A 的x 坐标值x A ，且Aa ″=aa y =a ′a z =a x O ； 点A 到V 面的距离Aa ′=点A 的y 坐标值y A ，且Aa ′=aa x =a ″a z =a y O ； 点A 到H 面的距离Aa =点A 的z 坐标值z A ，且Aa =a ′a x =a ″a y =a z O 。
点A 的位置可由其坐标（x A 、y A 、z A ）唯一地确定。其投影的坐标分别为：水平投影a （x A ，y A ，0）；正面投影a ′（x A ，0，z A ）；侧面投影a ″（0，y A ，z A ）。
因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投
影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。 【例1】已知空间点A (12,8,16)、点B (8,12,0)、点C (0,0,10),求作它们的三面投影图。 【解】点A 的三个坐标都为正值，故点A 在第一分角内；点B 的三个坐标中，z =0，
即B 到H 面的距离等于零，故点B 在H 面内；点C 的三个坐标中，x =0,y =0,即C 到W 面和V 面的距离都为零，故点C 在OZ 轴上。
如图10(a)所示，求点A 的三面投影图的步骤如下： (1) 画投影轴； (2) 求 a 、a ′
① 由原点O 向左沿OX 轴量取12mm 得a x ； ② 过a x 作OX 轴的垂线；
③ 在垂线上自a x 向下（OY H 方向）量取8mm 得a ； ④ 在垂线上自a x 向上(OZ 方向）量取16mm 得a ′； (3) 求 a ″
① 过a ′作a ′a z ⊥OZ 轴，交OZ 轴于a z ；
② 过a 作aa YH ⊥OY H 轴，交OY H 轴于a YH ，利用45°辅助线在OY W 轴上得a YW ； ③ 自a YW 向上作OY W 轴的垂线与aa z 的延长线交于a ″。
用同样的方法可作出B 点的三面投影图如图10(b)所示，C 点的三面投影图如图10(c)所示。
(a) (b) (c) 图10 由点的坐标作点的三面投影图 【例2】如图11(a)所示，已知点A 的正面投影a ′和侧面a ″，求作该点的水平投影a 。
【解】作图步骤如图11(b)所示： ① 自a ′向下作OX 轴的垂线；
② 自a ″向下作OY W 轴的垂线与45°辅助线交于一点，并由该交点作OY H 轴的垂线，与过a ′垂直于OX 轴的直线交于a , a 即为A 点的水平投影。
(a) (b)
图11 由点的两面投影求其第三面投影 1.3.1 两点相对位置的确定
1.3 两点的相对位置
两点的相对位置是指以两点中的一点为基准，另一点相对该点的左右、前后和上下的位置。点的位置由点的坐标确定，两点的相对位置则由两个点的坐标差确定。 如图12（a ）所示，空间有两个点A （x A ，y A ，z A ）、B （x B ，y B ，z B ）。若以B 点为基准，则两点的坐标差为Δx AB ＝x A －x B 、Δy AB ＝y A －y B 、Δz AB ＝z A －z B 。x 坐标差确定两点的左右位置，y 坐标差确定两点的前后位置，z 坐标差确定两点的上下位置。三个坐标差均为正值，则点A 在点B 的左方、前方、上方。从图12（b ）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。
1.3.2 重影点
当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。
如图13（a ），A 、B 两点位于V 面的同一条投射线上，它们的正面投影a ′、b ′重合，称A 、B 两点为对V 面的重影点，这两点的x 、z 坐标分别相等，y 坐标不等。同理，C 、D 两点位于H 面的同一条投射线上，它们的水平投影c 、d 重合，称C 、D 两点为对H 面的重影点，它们的x 、y 坐标分别相等，z 坐标不等。
(a) (b)
图13 重影点
由于重影点有一对坐标不相等，所以，在重影的投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。如图13（b ），A 、B 两点为对V 面的重影点，它们的正面投影重合，y A ＞y B ，点A 在点B 的前方，a ′可见，表示为a ′；b ′不可见，表示为（b ′）。C 、D 两点为对H 面的重影点，它们的水平投影重合，z C ＞z D ，点C 在点D 的上方，c 可见，表示为c ；d 不可见，表示为（d ）。
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1 点
1.1 点在两投影面体系中的投影 1.1.1 两投影面体系的建立
两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H 表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V 表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX 表示。
水平投影面H 与正立投影面V 将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分角、 第三分角、 第四分角。
(1) 投影 如图2所示，空间点A 处于第一分角，按正投影法将点A 向正面和水平面投射，即由点A 向正面作垂线，得垂足a ′，则a ′称为空间点A 的正面投影；由点A 向水平面作垂线， 得垂足a ，则a 称为空间点A 的水平投影。画出点A 的正面投射线Aa ′和水平投射线Aa 所确定的平面Aaa ′与V 、H 面的交线a ′a x 和 aa x 。
图2 点在两投影面体系中的投影
(2) 注写规定 空间点用大写字母表示，如A 、B 、C „；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a 、b 、c „；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a ′、b ′、c ′„。 (3) 投影面展开 为了把空间点A 的两个投影表示在一个平面上，保持V 面不动，将H 面的前半部分绕OX 轴向下旋转90°、后半部分绕OX 轴向上旋转90°与V 面重合。则得到点A 的两面投影图。
(4) 擦去边界, 得到点的两面投影图 投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V 、H 及投影面的边界线都不需画出。
1.1.3 点在两投影面体系中的投影规律
(a) (b)
图3 点在两投影面体系中的投影规律
(1) 一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX 轴。
在图3(a)中，点A 的正面投射线Aa ′和水平投射线Aa 所确定的平面Aaa ′垂直于V 和H 平面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aa x ⊥a ′a x 、aa x ⊥OX 和a ′a x ⊥OX 。当a 随H 面旋转重合于V 面时，aa x ⊥OX 的关系不变。因此，在投影图上，aa ′⊥OX 。
(2) 一点的水平投影到OX 轴的距离等于该点到V 面的距离；其正面投影到OX 轴的距离等于该点到H 面的距离，即aa x =Aa ′；a ′a x =Aa 。
在图3(a)中，因为Aaa x a ′是矩形，所以aa x =Aa ′; a′a x =Aa 。
图4 分角内点的投影
如图7所示，三投影面体系是在V ⊥H 两投影面体系的基础上，增加一个与V 、H 投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V 面和H 面的交线为OX 轴，H 面和W 面的交线为OY 轴，V 面和W 面的交线为OZ 轴。OX 、OY 、OZ 轴垂直相交于一点O ，称为原点。 我们只在第一分角内研究各种问题。
图7 三投影面体系的建立
1.2.2 点的三面投影
(1) 投影 如图8所示，设空间点A 处于第一分角，按正投影法将点A 分别向H 、V 、W 面作垂线，其垂足即为点A 的水平投影a 、正面投影a ′和侧面投影a ″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。
(2) 投影面展开 为了把空间点A 的三面投影表示在一个平面上，保持V 面不动，H 面绕OX 轴向下旋转90°与V 面重合；W 面绕OZ 轴向右旋转90°与V 面重合。在展开过程中，OX 轴和OZ 轴位置不变，OY 轴被“一分为二”，其中随H 面向下旋转与OZ 轴重合的一半，用OY H 表示；随W 面向右旋转与OX 轴重合的一半，用OY W 表示 。
(3) 擦去边界，得到点的三面投影图 擦去投影面边界线，则得到A 点的三面投影图。
1.2.3 点的三面投影规律
如图9所示，三投影面体系可以看成由V ⊥H 、V ⊥W 两个两投影面体系组成。根据点在两投影面体系中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为： 1) 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX 轴，即a ′a ⊥OX ； 2) 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于O Z 轴，即a ′a " ⊥OZ ；
3) 点的水平投影到OX 轴的距离和点的侧面投影到OZ 轴的距离都等于该点到V 面的距离，即aa x =a ″a z ＝Aa ′。
为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使aa ′⊥OX 、a ′a ″⊥OZ 。而aa x =a ″a z 可用图9(b)所示的以O 为圆心，aa x 或a ″a z 为半径的圆弧，或用图9(c)所示的过O 点与水平成45°的辅助线来实现。
(a) (b) (c) 图9 点在三投影面体系中的投影规律 1.2.4 点的投影的直角坐标表示法
如图9，如果把三投影面体系看作笛卡儿直角坐标系，则H 、V 、W 面为坐标面，OX 、OY 、OZ 轴为坐标轴，O 为坐标原点。则点A 到三个投影面的距离可以用直角坐标表示： 点A 到W 面的距离Aa ″=点A 的x 坐标值x A ，且Aa ″=aa y =a ′a z =a x O ； 点A 到V 面的距离Aa ′=点A 的y 坐标值y A ，且Aa ′=aa x =a ″a z =a y O ； 点A 到H 面的距离Aa =点A 的z 坐标值z A ，且Aa =a ′a x =a ″a y =a z O 。
点A 的位置可由其坐标（x A 、y A 、z A ）唯一地确定。其投影的坐标分别为：水平投影a （x A ，y A ，0）；正面投影a ′（x A ，0，z A ）；侧面投影a ″（0，y A ，z A ）。
因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投
影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。 【例1】已知空间点A (12,8,16)、点B (8,12,0)、点C (0,0,10),求作它们的三面投影图。 【解】点A 的三个坐标都为正值，故点A 在第一分角内；点B 的三个坐标中，z =0，
即B 到H 面的距离等于零，故点B 在H 面内；点C 的三个坐标中，x =0,y =0,即C 到W 面和V 面的距离都为零，故点C 在OZ 轴上。
如图10(a)所示，求点A 的三面投影图的步骤如下： (1) 画投影轴； (2) 求 a 、a ′
① 由原点O 向左沿OX 轴量取12mm 得a x ； ② 过a x 作OX 轴的垂线；
③ 在垂线上自a x 向下（OY H 方向）量取8mm 得a ； ④ 在垂线上自a x 向上(OZ 方向）量取16mm 得a ′； (3) 求 a ″
① 过a ′作a ′a z ⊥OZ 轴，交OZ 轴于a z ；
② 过a 作aa YH ⊥OY H 轴，交OY H 轴于a YH ，利用45°辅助线在OY W 轴上得a YW ； ③ 自a YW 向上作OY W 轴的垂线与aa z 的延长线交于a ″。
用同样的方法可作出B 点的三面投影图如图10(b)所示，C 点的三面投影图如图10(c)所示。
(a) (b) (c) 图10 由点的坐标作点的三面投影图 【例2】如图11(a)所示，已知点A 的正面投影a ′和侧面a ″，求作该点的水平投影a 。
【解】作图步骤如图11(b)所示： ① 自a ′向下作OX 轴的垂线；
② 自a ″向下作OY W 轴的垂线与45°辅助线交于一点，并由该交点作OY H 轴的垂线，与过a ′垂直于OX 轴的直线交于a , a 即为A 点的水平投影。
(a) (b)
图11 由点的两面投影求其第三面投影 1.3.1 两点相对位置的确定
1.3 两点的相对位置
两点的相对位置是指以两点中的一点为基准，另一点相对该点的左右、前后和上下的位置。点的位置由点的坐标确定，两点的相对位置则由两个点的坐标差确定。 如图12（a ）所示，空间有两个点A （x A ，y A ，z A ）、B （x B ，y B ，z B ）。若以B 点为基准，则两点的坐标差为Δx AB ＝x A －x B 、Δy AB ＝y A －y B 、Δz AB ＝z A －z B 。x 坐标差确定两点的左右位置，y 坐标差确定两点的前后位置，z 坐标差确定两点的上下位置。三个坐标差均为正值，则点A 在点B 的左方、前方、上方。从图12（b ）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。
1.3.2 重影点
当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。
如图13（a ），A 、B 两点位于V 面的同一条投射线上，它们的正面投影a ′、b ′重合，称A 、B 两点为对V 面的重影点，这两点的x 、z 坐标分别相等，y 坐标不等。同理，C 、D 两点位于H 面的同一条投射线上，它们的水平投影c 、d 重合，称C 、D 两点为对H 面的重影点，它们的x 、y 坐标分别相等，z 坐标不等。
(a) (b)
图13 重影点
由于重影点有一对坐标不相等，所以，在重影的投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。如图13（b ），A 、B 两点为对V 面的重影点，它们的正面投影重合，y A ＞y B ，点A 在点B 的前方，a ′可见，表示为a ′；b ′不可见，表示为（b ′）。C 、D 两点为对H 面的重影点，它们的水平投影重合，z C ＞z D ，点C 在点D 的上方，c 可见，表示为c ；d 不可见，表示为（d ）。