哈工大组合导航作业2_容积卡尔曼滤波综述

容积卡尔曼滤波（CKF）国内外研究发展现状综述

摘 要：本文以容积卡尔曼滤波为研究对象，对其进行国内外文献综述。首先回顾了滤波方法的发展历程，对各种非线性滤波方法进行了简介，容积卡尔曼滤波方法作为一种非线性滤波方法，以其对随机变量非线性变换后概率分布具有良好的逼近精度的优势得以发展，文章对该方法的基本原理和关键步骤进行了阐述，并给出了几种改进的容积卡尔曼滤波方法，重点介绍了迭代容积卡尔曼滤波算法（ICKF）、均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（SICKF）以及无模型容积卡尔曼滤波（MF—CKF）。

关键词：非线性滤波；容积卡尔曼滤波；迭代容积卡尔曼滤波；均方根嵌入式容积卡尔曼滤波；无模型容积卡尔曼滤波

中图分类号：V448.22 文献标识码：A 文章编号：

Survey of Cubature Kalman Filter

Nie Tao

(Harbin Institute of Technology, Harbin 150080)

Abstract：This paper has reviewed the Cubature Kalman filter. As a nonlinear filter method, it has been widely used for its good of approximation precision on random variable nonlinear transform. The principle and key steps of CKF method has been introduced. Several improved Cubature Kalman filter, such as Iterated Cubature Kalman filter; Square-root imbedded cubature Kalman filter and Model-free cubature Kalman filter has also described. Keywords： Nonlinear filtering ; Cubature Kalman Filter ; Iterated Cubature Kalman Filter ; Square-root imbedded cubature Kalman Filter ; Model-free cubature Kalman filter

0 引 言

滤波是指从包含噪声的量测值中解算系统的隐含状态[1]。1960 年卡尔曼首次提出了卡尔曼滤波，这是一种线性递推最小方差估计算法。算法一经提出就在工程领域得到广泛应用，因在阿波罗计划中的成功运用成为广大科研人员的关注热点。

尽管卡尔曼滤波给出了线性和高斯条件下滤波问题的最优解，但现实中很多问题都具有非线性特性[2,3]。在许多实际应用问题中， 状态方程或量测方程为非线性而噪声为非高斯情况时， 滤波问题也表现为非线性。 解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其条件后验概率的完整描述， 然而这种精确的描述需要无尽的参数而无法实际应用[4]， 为此人们提出了大量次优的近似方法。 对于非线性滤波问题的次优近似， 有两大途径:

（1）将非线性环节线性化， 对高阶项采用忽略或逼近措施；

（2）用采样方法近似非线性分布； 对非线性函数进行线性化近似， 对高阶项采用

忽略或逼近是解决非线性问题的传统途径。 其中最

广泛使用的是扩展卡尔曼滤波器 (Extended Kalman Filter， EKF)[5]。EKF通过对非线性函数的Taylor展开式进行一阶线性但是经过一阶线性化截断，从而将非线性问题转化为线性。但是EKF忽略了模型部分非线性特性，在初始误差较大时，存在估计效果急剧下降和滤波收敛速度缓慢的问题。为了进一步改善非线性系统估计性能，Julier和Uhlmann根据“对随机变量的概率分布进行逼近要比对非线性函数进行逼近容易的多”的思路，提出了无损卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter， UKF)。UKF通过经无迹变换后的采样点集来逼近非线性函数概率分布，并继承了卡尔曼滤波框架，因此较EKF具有更好的非线性估计性能。UKF不需要计算非线性系统的雅可比矩阵，由于其具有良好适应性得到了人们广泛的关注。为了解决非加性高斯白噪声问题，Merwe和Wan提出一种改进的UKF算法，能同时估计系统状态和参数，扩展了UKF算法的应用范围。Xiong等人在2006年提出了一种改进的UKF算法，通过对过程噪声阵的修正给出了其收敛性证明，在满足一定假

设条件的前提下，给出UKF状态估计均方误差的上界。运用高斯埃尔米特积分公式得到的高斯埃尔米特滤波器，具有比UKF更好的估计精度和数值稳定性，但是其计算量随着状态维数增加而指数增长，庞大的运算量导致其只能适用于低维系统。

粒子滤波(Particle Filter， PF)是一种贝叶斯滤波与蒙特卡洛采样相结合的方法，优势是适用于非线性和非高斯估计问题。根据强大数定律，只要粒子的数目足够多，能达到任意的估计精度。1993年Gordon等人提出了的Bootstrap滤波是第一种实用的PF算法。2000年Doucet等人给出了基于序贯重要性采样(Sequential Importance Sampling， SIS)的标准PF框架，通过递推后的粒子及其权值来表示系统随机变量的后验概率密度，从而获得状态最小方差估计。Crisan和Doucet在2002年对PF的收敛性进行了证明，为PF的进一步发展奠定基础。随后，PF得到了广泛的关注和研究。但是粒子的权值方差随时间而增加，表现为经过若干次滤波迭代计算后，某个粒子的权值接近于1，而其他粒子权值接近于0，这种退化问题成为PF在实际工程中应用的一个障碍。克服粒子退化问题，一种是尽量精确的选取重要性函数，如Merwe等人提出的方法利用UKF得到的高斯分布来替代[6]，能一定程度的缓解退化问题；另一种是通过重采样算法，消除权值较小的粒子，复制权值较大的粒子。但重采样会造成权值大的粒子子代多，权值小的粒子子代减少，导致粒子滤波出现另一个重要问题样本枯竭，降低滤波器的估计性能。对每个粒子进行马尔可夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo， MCMC)操作，使粒子移动到其他区域，粒子保持后验分布的同时增加多样性，能有效解决样本枯竭。由于PF是一种基于仿真的方法，从现实角度考虑尽量避免采用，只有在其他近似方法不能满足要求时才会选取普通的PF。为了更好地满足非线性系统滤波要求，有必要研究具有良好精度且易于工程实现的方法。

容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman Filter， CKF)是近年来提出的一种新型非线性高斯滤波方法。容积卡尔曼滤波具有严格的数学证明，通过三阶容积法则的数值积分方法来近似高斯加权积分，充分利用了容积积分近似计算多维函数积分具有的高效率特点。容积卡尔曼滤波具有等权值的n(n为被积函数维数)个容积点，经证明其对随机变量非线性变换后概率分布具有良好的逼近精度。自CKF提出以来，已经在定位、传感器融合和姿态估计等工程应用领

域取得了广泛应用。由于EKF、UKF和CKF都是近似滤波器，而PF是一种蒙特卡洛滤波器，其理论上能逼近任意精度。由于推导方式各不相同，故难以通过统一的方法来评判方法的优劣。

1容积卡尔曼滤波（CKF）

和高斯域的贝叶斯滤波一样容积卡尔曼滤波同样是由时间更新和测量更新两步骤构成的。对容积卡尔曼滤波实际进行滤波算法的结算时可以任取非零的初值，后者满足正定对称的特性要求。考虑具有加性噪声的非线性系统状态方程和量测方程为： xkf(xk1,uk1)wk1

(1)

zkh(xk,uk)vk

(2)

式中：wk1和vk为不相关零均值高斯白噪声，其协方差阵分别为Qk1和Rk。通过文献[]可知，CKF具有如下形式： （1）初始化： x0'E[x0]

(3)

P0E[(xx0)(xx0)T]

(4)

（2）时间预测：

X*i,k1ix'k1

(5) X*kf(Xk1,uk1)

(6)

*12nxk

2nX*

i,k

(7) i1

'1k

2n2n PX**T'T

i,kXi,kxkxkQk1

(8)

i1

（3）量测更新：

X'i,kixk

(9) Zi,kh(Xi,k,uk)

(10)

KPP1

kxz,kzz,k

(11)

在标准的容积卡尔曼滤波中，误差协方差矩阵是

正定对称阵，在每一次的滤波更新中必须保证误差协方差矩阵的这一特性，否则将会使滤波器失去稳定性甚至发散，进而引起容积卡尔曼滤波的运行中断[7]

。在实践中，算法运行的载体是有限字长的数字计算机，必然会存在舍入误差，这样就会经常使误差协方差矩阵失去正定对称性，在每一个更新循环中，主要由下述的运算引起：求解矩阵的平方根，

矩阵求逆，矩阵乘的舍入误差和两个正定矩阵相减。另外某些非线性滤波的问题也会引起数值计算出错，使误差协方差失去正定性。例如待处理的测量值非常精确，状态向量是由一个非常精确的分量和一个不可观测的分量线性组合而构成等。为了克服这一问题，采用平方根的观点得到了被改进的算法，平方根容积卡尔曼滤波（Square-Root Cubature Kalman Filter，SCKF）[8]。改进后能有效地保证协方差矩阵是对称的，正定的或半正定的。在平方根容积卡尔曼滤波中，使用最小二乘法获得卡尔曼增益，使用矩阵的三角分解进行协方差的更新。最小二乘法可以避免求解精确的矩阵的逆，矩阵的三角分解能够使用协方差矩阵三角平方根因子代替方阵形式的平方根因子。

2 容积卡尔曼滤波的改进研究

2.1迭代容积卡尔曼滤波算法（ICKF）

对于未知弹道系数的再入弹道目标状态估计这种高度非线性状态估计问题，由于初始误差较大和量测方程的高度非线性，降低了CKF算法对其进行

状态估计的精度。文献[9]

在CKF算法的基础上，结合Gauss-Newton迭代方法并改进迭代过程产生的新息方差和协方差，提出了迭代CKF(iterated CKF， ICKF)。ICKF汲取CKF算法的优点并充分利用最新量测信息，使用容积数值积分方法直接计算经受非线性变换的随机变量的均值和方差，实现简单，使用Gauss-Newton迭代方法充分利用最新量测信息，且改进迭代过程产生的新息方差和协方差，可有效地降低状态估计误差。仿真结果表明，ICKF有效地降低了状态估计误差，可获得较高精度的状态估计。ICKF充分使用了最新的量测信息，与CKF和UKF相比较，位置误差和速度误差大大降低，状态的估计精度高于UKF和CKF。平均累加均方根误差方面，UKF累加均方根误差较大，CKF较小，ICKF最小。

2.2均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（SICKF） 传统容积卡尔曼滤波(CKF)的基础是三阶球面–径向容积准则，该准则不仅要求计算n维超球体上的面积分，还需将容积准则与扩展高斯–拉盖尔准则配合使用，不易推导出高阶CKF滤波算法。此外，CKF推导所采用的三阶球面容积准则也存在缺陷，这极大地限制了CKF的滤波精度。为避免以上问题，文献[10]基于嵌入式容积准则和均方根滤波技术，提出一种加性噪声环境下，用于非线性动态系统状态估计的全新容积卡尔曼滤波算法—–三阶均方根嵌

入式容积卡尔曼滤波(SICKF)。

SICKF具有滤波精度高、数值稳定性强等诸多优点，适用于动态目标跟踪、非线性系统控制等。SICKF的滤波精度显著优于传统的非线性滤波算法。

2.3 无模型容积卡尔曼滤波（MF—CKF） CKF与其他贝叶斯估计存在相同的问题，当出现未建模动态、模型参数偏差过大或者噪声特性不准确的情况时，滤波的性能严重下降。高斯过程早期用于预测，近年来被引入到机器学习的回归问题中，并成功地应用于对状态预测模型的学习上。由于高斯过程回归具有易于预测系统模型的优点，与CKF结合可以很好地解决模型不确定情况的滤波问题，文献[11]提出一种融合高斯过程回归的无模型容积卡尔曼滤波算法，采用高斯过程对系统状态和量测模型进行学习，动态地获得系统模型和输出噪声的统计特性，从而避免了模型不准确情况下对模型先验知识的依赖。实验表明，经过高斯过程回归得到系统模型以及噪声统计特性，从而保证了当系统建模不准确时，MF-CKF仍能够保持较高的精度。通过导弹再入大气层跟踪模型进行验证，MF-CKF在模型不准确的情况下仍然能取得较高的估计精度。

3 结 语

本文对容积卡尔曼滤波方法进行综述，从非线性滤波方法的发展历程出发，阐述了容积卡尔曼滤波方法的特点和优势，并对该滤波方法的几个关键步骤进行了介绍，最后简述了其他几种改进的容积卡尔曼滤波方法的基本原理和特点。

参 考 文 献

[1] 秦永元, 张洪钺, 汪叔华. 卡尔曼滤波与组合导航原理[M]. 西北工业大学出版社, 1998. [2] 穆荣军，崔乃刚. 飞行器动态导航与滤波[M]. 哈尔滨工业大学出版社, 2014.

[3] 付梦印, 邓志红, 张继伟. Kalman 滤波理论及其在导航系统中的应用[M]. 科学出版社, 2003. [4] 王国庆. 自适应跟踪滤波算法研究及其工程实现[D]. 西安电子科技大学, 2007. [5] Uhlmann J K. Algorithms for multiple-target tracking[J]. American Scientist, 1992: 128-141.

[6] 何志昆, 刘光斌, 赵曦晶, 等. 基于 GPR 模型的自适应平方根容积卡尔曼滤波算法[J]. 航空学报, 2013, 34(9):

2202-2211.

[7] 钱华明, 黄蔚, 孙龙. 基于改进的迭代容积卡尔曼滤波姿态估计[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2014, 6: 021.

[8] 程水英, 余莉. 迭代无味卡尔曼滤波器的算法实现与应用评价[J]. 系统工程与电子技术, 2011, 33(11): 2546-2553. [9] 穆静, 蔡远利. 迭代容积卡尔曼滤波算法及其应用 [J][J]. 系统工程与电子技术, 2011, 33(7): 1454-1457. [10] 张鑫春, 郭承军. 均方根嵌入式容积卡尔曼滤波[J]. 控制理论与应用, 2013, 30(9): 1116-1121. [11] 魏喜庆, 宋申民. 无模型容积卡尔曼滤波及其应用[J]. 控制与决策, 2013, 28(5): 769-773.

容积卡尔曼滤波（CKF）国内外研究发展现状综述

摘 要：本文以容积卡尔曼滤波为研究对象，对其进行国内外文献综述。首先回顾了滤波方法的发展历程，对各种非线性滤波方法进行了简介，容积卡尔曼滤波方法作为一种非线性滤波方法，以其对随机变量非线性变换后概率分布具有良好的逼近精度的优势得以发展，文章对该方法的基本原理和关键步骤进行了阐述，并给出了几种改进的容积卡尔曼滤波方法，重点介绍了迭代容积卡尔曼滤波算法（ICKF）、均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（SICKF）以及无模型容积卡尔曼滤波（MF—CKF）。

关键词：非线性滤波；容积卡尔曼滤波；迭代容积卡尔曼滤波；均方根嵌入式容积卡尔曼滤波；无模型容积卡尔曼滤波

中图分类号：V448.22 文献标识码：A 文章编号：

Survey of Cubature Kalman Filter

Nie Tao

(Harbin Institute of Technology, Harbin 150080)

Abstract：This paper has reviewed the Cubature Kalman filter. As a nonlinear filter method, it has been widely used for its good of approximation precision on random variable nonlinear transform. The principle and key steps of CKF method has been introduced. Several improved Cubature Kalman filter, such as Iterated Cubature Kalman filter; Square-root imbedded cubature Kalman filter and Model-free cubature Kalman filter has also described. Keywords： Nonlinear filtering ; Cubature Kalman Filter ; Iterated Cubature Kalman Filter ; Square-root imbedded cubature Kalman Filter ; Model-free cubature Kalman filter

0 引 言

滤波是指从包含噪声的量测值中解算系统的隐含状态[1]。1960 年卡尔曼首次提出了卡尔曼滤波，这是一种线性递推最小方差估计算法。算法一经提出就在工程领域得到广泛应用，因在阿波罗计划中的成功运用成为广大科研人员的关注热点。

尽管卡尔曼滤波给出了线性和高斯条件下滤波问题的最优解，但现实中很多问题都具有非线性特性[2,3]。在许多实际应用问题中， 状态方程或量测方程为非线性而噪声为非高斯情况时， 滤波问题也表现为非线性。 解决非线性滤波问题的最优方案需要得到其条件后验概率的完整描述， 然而这种精确的描述需要无尽的参数而无法实际应用[4]， 为此人们提出了大量次优的近似方法。 对于非线性滤波问题的次优近似， 有两大途径:

（1）将非线性环节线性化， 对高阶项采用忽略或逼近措施；

（2）用采样方法近似非线性分布； 对非线性函数进行线性化近似， 对高阶项采用

忽略或逼近是解决非线性问题的传统途径。 其中最

广泛使用的是扩展卡尔曼滤波器 (Extended Kalman Filter， EKF)[5]。EKF通过对非线性函数的Taylor展开式进行一阶线性但是经过一阶线性化截断，从而将非线性问题转化为线性。但是EKF忽略了模型部分非线性特性，在初始误差较大时，存在估计效果急剧下降和滤波收敛速度缓慢的问题。为了进一步改善非线性系统估计性能，Julier和Uhlmann根据“对随机变量的概率分布进行逼近要比对非线性函数进行逼近容易的多”的思路，提出了无损卡尔曼滤波(Unscented Kalman Filter， UKF)。UKF通过经无迹变换后的采样点集来逼近非线性函数概率分布，并继承了卡尔曼滤波框架，因此较EKF具有更好的非线性估计性能。UKF不需要计算非线性系统的雅可比矩阵，由于其具有良好适应性得到了人们广泛的关注。为了解决非加性高斯白噪声问题，Merwe和Wan提出一种改进的UKF算法，能同时估计系统状态和参数，扩展了UKF算法的应用范围。Xiong等人在2006年提出了一种改进的UKF算法，通过对过程噪声阵的修正给出了其收敛性证明，在满足一定假

设条件的前提下，给出UKF状态估计均方误差的上界。运用高斯埃尔米特积分公式得到的高斯埃尔米特滤波器，具有比UKF更好的估计精度和数值稳定性，但是其计算量随着状态维数增加而指数增长，庞大的运算量导致其只能适用于低维系统。

粒子滤波(Particle Filter， PF)是一种贝叶斯滤波与蒙特卡洛采样相结合的方法，优势是适用于非线性和非高斯估计问题。根据强大数定律，只要粒子的数目足够多，能达到任意的估计精度。1993年Gordon等人提出了的Bootstrap滤波是第一种实用的PF算法。2000年Doucet等人给出了基于序贯重要性采样(Sequential Importance Sampling， SIS)的标准PF框架，通过递推后的粒子及其权值来表示系统随机变量的后验概率密度，从而获得状态最小方差估计。Crisan和Doucet在2002年对PF的收敛性进行了证明，为PF的进一步发展奠定基础。随后，PF得到了广泛的关注和研究。但是粒子的权值方差随时间而增加，表现为经过若干次滤波迭代计算后，某个粒子的权值接近于1，而其他粒子权值接近于0，这种退化问题成为PF在实际工程中应用的一个障碍。克服粒子退化问题，一种是尽量精确的选取重要性函数，如Merwe等人提出的方法利用UKF得到的高斯分布来替代[6]，能一定程度的缓解退化问题；另一种是通过重采样算法，消除权值较小的粒子，复制权值较大的粒子。但重采样会造成权值大的粒子子代多，权值小的粒子子代减少，导致粒子滤波出现另一个重要问题样本枯竭，降低滤波器的估计性能。对每个粒子进行马尔可夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo， MCMC)操作，使粒子移动到其他区域，粒子保持后验分布的同时增加多样性，能有效解决样本枯竭。由于PF是一种基于仿真的方法，从现实角度考虑尽量避免采用，只有在其他近似方法不能满足要求时才会选取普通的PF。为了更好地满足非线性系统滤波要求，有必要研究具有良好精度且易于工程实现的方法。

容积卡尔曼滤波(Cubature Kalman Filter， CKF)是近年来提出的一种新型非线性高斯滤波方法。容积卡尔曼滤波具有严格的数学证明，通过三阶容积法则的数值积分方法来近似高斯加权积分，充分利用了容积积分近似计算多维函数积分具有的高效率特点。容积卡尔曼滤波具有等权值的n(n为被积函数维数)个容积点，经证明其对随机变量非线性变换后概率分布具有良好的逼近精度。自CKF提出以来，已经在定位、传感器融合和姿态估计等工程应用领

域取得了广泛应用。由于EKF、UKF和CKF都是近似滤波器，而PF是一种蒙特卡洛滤波器，其理论上能逼近任意精度。由于推导方式各不相同，故难以通过统一的方法来评判方法的优劣。

1容积卡尔曼滤波（CKF）

和高斯域的贝叶斯滤波一样容积卡尔曼滤波同样是由时间更新和测量更新两步骤构成的。对容积卡尔曼滤波实际进行滤波算法的结算时可以任取非零的初值，后者满足正定对称的特性要求。考虑具有加性噪声的非线性系统状态方程和量测方程为： xkf(xk1,uk1)wk1

(1)

zkh(xk,uk)vk

(2)

式中：wk1和vk为不相关零均值高斯白噪声，其协方差阵分别为Qk1和Rk。通过文献[]可知，CKF具有如下形式： （1）初始化： x0'E[x0]

(3)

P0E[(xx0)(xx0)T]

(4)

（2）时间预测：

X*i,k1ix'k1

(5) X*kf(Xk1,uk1)

(6)

*12nxk

2nX*

i,k

(7) i1

'1k

2n2n PX**T'T

i,kXi,kxkxkQk1

(8)

i1

（3）量测更新：

X'i,kixk

(9) Zi,kh(Xi,k,uk)

(10)

KPP1

kxz,kzz,k

(11)

在标准的容积卡尔曼滤波中，误差协方差矩阵是

正定对称阵，在每一次的滤波更新中必须保证误差协方差矩阵的这一特性，否则将会使滤波器失去稳定性甚至发散，进而引起容积卡尔曼滤波的运行中断[7]

。在实践中，算法运行的载体是有限字长的数字计算机，必然会存在舍入误差，这样就会经常使误差协方差矩阵失去正定对称性，在每一个更新循环中，主要由下述的运算引起：求解矩阵的平方根，

矩阵求逆，矩阵乘的舍入误差和两个正定矩阵相减。另外某些非线性滤波的问题也会引起数值计算出错，使误差协方差失去正定性。例如待处理的测量值非常精确，状态向量是由一个非常精确的分量和一个不可观测的分量线性组合而构成等。为了克服这一问题，采用平方根的观点得到了被改进的算法，平方根容积卡尔曼滤波（Square-Root Cubature Kalman Filter，SCKF）[8]。改进后能有效地保证协方差矩阵是对称的，正定的或半正定的。在平方根容积卡尔曼滤波中，使用最小二乘法获得卡尔曼增益，使用矩阵的三角分解进行协方差的更新。最小二乘法可以避免求解精确的矩阵的逆，矩阵的三角分解能够使用协方差矩阵三角平方根因子代替方阵形式的平方根因子。

2 容积卡尔曼滤波的改进研究

2.1迭代容积卡尔曼滤波算法（ICKF）

对于未知弹道系数的再入弹道目标状态估计这种高度非线性状态估计问题，由于初始误差较大和量测方程的高度非线性，降低了CKF算法对其进行

状态估计的精度。文献[9]

在CKF算法的基础上，结合Gauss-Newton迭代方法并改进迭代过程产生的新息方差和协方差，提出了迭代CKF(iterated CKF， ICKF)。ICKF汲取CKF算法的优点并充分利用最新量测信息，使用容积数值积分方法直接计算经受非线性变换的随机变量的均值和方差，实现简单，使用Gauss-Newton迭代方法充分利用最新量测信息，且改进迭代过程产生的新息方差和协方差，可有效地降低状态估计误差。仿真结果表明，ICKF有效地降低了状态估计误差，可获得较高精度的状态估计。ICKF充分使用了最新的量测信息，与CKF和UKF相比较，位置误差和速度误差大大降低，状态的估计精度高于UKF和CKF。平均累加均方根误差方面，UKF累加均方根误差较大，CKF较小，ICKF最小。

2.2均方根嵌入式容积卡尔曼滤波（SICKF） 传统容积卡尔曼滤波(CKF)的基础是三阶球面–径向容积准则，该准则不仅要求计算n维超球体上的面积分，还需将容积准则与扩展高斯–拉盖尔准则配合使用，不易推导出高阶CKF滤波算法。此外，CKF推导所采用的三阶球面容积准则也存在缺陷，这极大地限制了CKF的滤波精度。为避免以上问题，文献[10]基于嵌入式容积准则和均方根滤波技术，提出一种加性噪声环境下，用于非线性动态系统状态估计的全新容积卡尔曼滤波算法—–三阶均方根嵌

入式容积卡尔曼滤波(SICKF)。

SICKF具有滤波精度高、数值稳定性强等诸多优点，适用于动态目标跟踪、非线性系统控制等。SICKF的滤波精度显著优于传统的非线性滤波算法。

2.3 无模型容积卡尔曼滤波（MF—CKF） CKF与其他贝叶斯估计存在相同的问题，当出现未建模动态、模型参数偏差过大或者噪声特性不准确的情况时，滤波的性能严重下降。高斯过程早期用于预测，近年来被引入到机器学习的回归问题中，并成功地应用于对状态预测模型的学习上。由于高斯过程回归具有易于预测系统模型的优点，与CKF结合可以很好地解决模型不确定情况的滤波问题，文献[11]提出一种融合高斯过程回归的无模型容积卡尔曼滤波算法，采用高斯过程对系统状态和量测模型进行学习，动态地获得系统模型和输出噪声的统计特性，从而避免了模型不准确情况下对模型先验知识的依赖。实验表明，经过高斯过程回归得到系统模型以及噪声统计特性，从而保证了当系统建模不准确时，MF-CKF仍能够保持较高的精度。通过导弹再入大气层跟踪模型进行验证，MF-CKF在模型不准确的情况下仍然能取得较高的估计精度。

3 结 语

本文对容积卡尔曼滤波方法进行综述，从非线性滤波方法的发展历程出发，阐述了容积卡尔曼滤波方法的特点和优势，并对该滤波方法的几个关键步骤进行了介绍，最后简述了其他几种改进的容积卡尔曼滤波方法的基本原理和特点。

参 考 文 献

[1] 秦永元, 张洪钺, 汪叔华. 卡尔曼滤波与组合导航原理[M]. 西北工业大学出版社, 1998. [2] 穆荣军，崔乃刚. 飞行器动态导航与滤波[M]. 哈尔滨工业大学出版社, 2014.

[3] 付梦印, 邓志红, 张继伟. Kalman 滤波理论及其在导航系统中的应用[M]. 科学出版社, 2003. [4] 王国庆. 自适应跟踪滤波算法研究及其工程实现[D]. 西安电子科技大学, 2007. [5] Uhlmann J K. Algorithms for multiple-target tracking[J]. American Scientist, 1992: 128-141.

[6] 何志昆, 刘光斌, 赵曦晶, 等. 基于 GPR 模型的自适应平方根容积卡尔曼滤波算法[J]. 航空学报, 2013, 34(9):

2202-2211.

[7] 钱华明, 黄蔚, 孙龙. 基于改进的迭代容积卡尔曼滤波姿态估计[J]. 哈尔滨工业大学学报, 2014, 6: 021.

[8] 程水英, 余莉. 迭代无味卡尔曼滤波器的算法实现与应用评价[J]. 系统工程与电子技术, 2011, 33(11): 2546-2553. [9] 穆静, 蔡远利. 迭代容积卡尔曼滤波算法及其应用 [J][J]. 系统工程与电子技术, 2011, 33(7): 1454-1457. [10] 张鑫春, 郭承军. 均方根嵌入式容积卡尔曼滤波[J]. 控制理论与应用, 2013, 30(9): 1116-1121. [11] 魏喜庆, 宋申民. 无模型容积卡尔曼滤波及其应用[J]. 控制与决策, 2013, 28(5): 769-773.