1.3.2 球的体积和表面积
[学习目标] 1. 记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2. 能解决与球有关的组合体的计算问题.
知识点一 球的体积公式与表面积公式 4
1. 球的体积公式V ＝πR 3(其中R 为球的半径).
32. 球的表面积公式S ＝4πR 2.
思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点
1. 球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.
2. 利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
题型一 球的表面积和体积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 500
(2)已知球的体积为，求它的表面积.
3
解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 44256
所以球的体积V R 3＝π·43＝
333
4500
(2)设球的半径为R R 3＝π，解得R ＝5，
33所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.
反思与感悟 1. 已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. 2. 已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) 64π32π
A. 64πB.C. 32πD.33答案
D
4
解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2. 所以球的半径为2，体积V ＝πR 3
332＝ 3
题型二 球的截面问题
例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1. 球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A. 6πB3πC.46πD.63π 答案 B
解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′2，O ′M ＝1. ∴OM (2)2＋1＝3. 即球的半径为3. 4
∴V (3) 3＝4π.
3
反思与感悟 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3515，则它的外接球表面积为________. 答案 9π
解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，
⎧xy ＝得⎨yz ⎩zx 3，5，
15，
⎧x ＝3，解得⎨y ＝1，
⎩z ＝
113
所以球的半径R ＝x ＋y ＋z ＝
222所以S 球＝4πR 2＝9π.
题型三 球的组合体与三视图
例
3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为
1
S ＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 2该几何体的体积为 142π
V ＝23＋××13＝8＋233
反思与感悟 1. 由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义. 2. 求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a .
①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r 1＝a ， a 2
即r 1S 1＝4πr 21＝πa .
2
②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(2)所示，则2r 2＝2a ，即r 2＝
2
所以S 2＝4πr 22＝2πa .
2
， 2
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(3)所示，则有2r 3＝a ，即r 3＝
2
所以S 3＝4πr 23＝3πa .
3
， 2
综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.
轴截面的应用
例4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量. 解 如图，⊙O 是球的最大截面，它内切于△ABC ，球的半径为r . 设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E . 则DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ， 11π·ME 2·CE ⎫∶⎛AD 2·CD ⎫＝CE 3∶CD 3. ∴CD ＝3r . 由图形知V 圆锥CE ∶V 圆锥CD ＝⎛⎝3⎭⎝3⎭
π
又∵V 圆锥CD 3r ) 2·3r ＝3πr 3，
3
45
V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3πr 3πr 3，
335πr 33
∴∶3πr 3＝CE 3∶(3r ) 3，∴CE ＝15r .
3∴球从容器中取出后，水的深度为15r .
解后反思 涉及旋转体的问题，一般要作出轴截面，在截面图中寻找解题的切入点.
1. 直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A. 36π，144π
B. 36π
，
36π
C. 144π，36π 答案 B
D. 144π，144π
4
解析 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V 3＝36π.
32. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) 1
A. B.1C.2D.3 2答案 D
4
解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝πR 3，所以R ＝3.
3
3. 两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________. 答案
2
44
解析 设大球的半径为R ，则有πR 3＝2×π×13，
33R 3＝2，∴R ＝2.
4. 若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍. 答案 8 4
4
解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球
3432
的体积为V 2＝π(2R ) 3＝πR 3，表面积为S 2＝4π(2R ) 2＝16πR 2.
33323R V 23S 216πR 2
所以＝8，＝4，
V 143S 14πR πR 3
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍. 5. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.
答案 3π
解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面1
积的和，即4π＋π＝3π.
2
1. 球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.
2. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.
一、选择题
1. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) 48π
A. πB.C.4πDπ 33答案 C
解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则
4
3a ＝2R ，∴R 3，∴V 球＝πR 3＝3π.
3
2. 一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( ) A.8B.83D.42 答案 A
解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2. 不妨设正方体的棱长为a ，则有4
3a 2＝4，即a 23
4
∴正方体的表面积为6a 2＝6＝8.
3
3. 两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1 答案 A
2
解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 2＝1∶9.
4. 设正方体的表面积为24cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ) A. 6πcm3 8
C. πcm 3 3答案 D
解析 由正方体的表面积为24cm 2，得正方体的棱长为2cm ，故这个球的直径为2cm
，故这
32
B. 3 34
3 3
4
个球的体积为πcm3.
3
5. 若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A. 4π(r ＋R ) 2 C. 4πRr 答案 C
解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，
2CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r . 由勾股定理得4r 1＝(R ＋r ) 2－(R －r ) 2，解得r 12＝Rr . 故球的表面积为S 球＝4πr 1＝4πRr .
B. 4πr 2R 2 D. π(R ＋r ) 2
方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高. 由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .
6. 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
32π4A. B. 4πC. 33答案 D
解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2. 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1. 44故球的体积为V R 3＝π.
33
7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) 500π3
A.
31372π3C.
3答案 A
解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.
11
如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝8＝4(cm).
22设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2) 2＋42，∴R ＝5， 4500π
∴V 球＝π×53＝(cm
3).
33
二、填空题
866π3
B.
32048π3cm
3
8. 一个几何体的三视图(单位：m) 如图所示，则该几何体的体积为________m3.
答案 9π＋18
解析 将三视图还原为实物图后求解.
3
由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；
2上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 427
所以V ××2＋1×3×6＝9π＋18.
38
9π
9. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为_____.
2答案
3
解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长. 设正方体棱长为a ，球半径为R ，
493
则R 3＝π，∴R ∴3a ＝3，∴a ＝3. 322
10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是________. 答案
81
π 4
解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上. 设球的半径为R ，球心为O ，9
正四棱锥底面中心为E ，则OE ＝|4－R |，所以(4－R ) 2＋(2) 2＝R 2，解得R ＝所以球的表面
481π
积S ＝4πR 2＝4
11. 圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球(如图所示) ，则球的半径是______cm. 答案 4
解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为
4
8cm 的水的体积为8πr 2, 3个球的体积和为3×πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得
3r ＝4(cm). 三、解答题
12. 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中∠BAC ＝30°) 解 如图所示，
过C 作CO 1⊥AB 于O 1.
在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝
33
3
3
R ，∴S 球＝4πR 2， 2
S 圆锥AO 1侧＝π×2×3R 2R 2， S 圆锥BO 1侧＝π×2×R ＝2R 2，
∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 侧＋S 圆锥BO 侧
1
1
3
11＋32113
＝R 2＋R 2＝πR . 222
1132故旋转所得几何体的表面积为πR .
2
13. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥的内切球的体积.
解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .
4
设⊙O 的半径为R R 3＝972π，
3所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18. 已知CD ＝16，所以ED ＝2.
连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，
所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA
＝
2，
因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝2，
S 圆锥侧＝π×2×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，
因为△ABC 的周长为2×(122＋42) ＝322， 11所以S △ABC r ·2＝×82×16，解得r ＝4，
224256
所以内切球O 1的体积V 球＝r 3＝π.
33
1.3.2 球的体积和表面积
[学习目标] 1. 记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2. 能解决与球有关的组合体的计算问题.
知识点一 球的体积公式与表面积公式 4
1. 球的体积公式V ＝πR 3(其中R 为球的半径).
32. 球的表面积公式S ＝4πR 2.
思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点
1. 球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.
2. 利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
题型一 球的表面积和体积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 500
(2)已知球的体积为，求它的表面积.
3
解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 44256
所以球的体积V R 3＝π·43＝
333
4500
(2)设球的半径为R R 3＝π，解得R ＝5，
33所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.
反思与感悟 1. 已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积. 2. 已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) 64π32π
A. 64πB.C. 32πD.33答案
D
4
解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2. 所以球的半径为2，体积V ＝πR 3
332＝ 3
题型二 球的截面问题
例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1. 球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A. 6πB3πC.46πD.63π 答案 B
解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′2，O ′M ＝1. ∴OM (2)2＋1＝3. 即球的半径为3. 4
∴V (3) 3＝4π.
3
反思与感悟 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3515，则它的外接球表面积为________. 答案 9π
解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB 的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x ，y ，z ，则由已知，
⎧xy ＝得⎨yz ⎩zx 3，5，
15，
⎧x ＝3，解得⎨y ＝1，
⎩z ＝
113
所以球的半径R ＝x ＋y ＋z ＝
222所以S 球＝4πR 2＝9π.
题型三 球的组合体与三视图
例
3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为
1
S ＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 2该几何体的体积为 142π
V ＝23＋××13＝8＋233
反思与感悟 1. 由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义. 2. 求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a .
①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r 1＝a ， a 2
即r 1S 1＝4πr 21＝πa .
2
②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(2)所示，则2r 2＝2a ，即r 2＝
2
所以S 2＝4πr 22＝2πa .
2
， 2
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面， 如图(3)所示，则有2r 3＝a ，即r 3＝
2
所以S 3＝4πr 23＝3πa .
3
， 2
综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.
轴截面的应用
例4 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度. 分析 分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量. 解 如图，⊙O 是球的最大截面，它内切于△ABC ，球的半径为r . 设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与CD 交于点E . 则DO ＝r ，AD ＝3r ，AB ＝AC ＝BC ＝23r ， 11π·ME 2·CE ⎫∶⎛AD 2·CD ⎫＝CE 3∶CD 3. ∴CD ＝3r . 由图形知V 圆锥CE ∶V 圆锥CD ＝⎛⎝3⎭⎝3⎭
π
又∵V 圆锥CD 3r ) 2·3r ＝3πr 3，
3
45
V 圆锥CE ＝V 圆锥CD －V 球O ＝3πr 3πr 3πr 3，
335πr 33
∴∶3πr 3＝CE 3∶(3r ) 3，∴CE ＝15r .
3∴球从容器中取出后，水的深度为15r .
解后反思 涉及旋转体的问题，一般要作出轴截面，在截面图中寻找解题的切入点.
1. 直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A. 36π，144π
B. 36π
，
36π
C. 144π，36π 答案 B
D. 144π，144π
4
解析 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V 3＝36π.
32. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) 1
A. B.1C.2D.3 2答案 D
4
解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝πR 3，所以R ＝3.
3
3. 两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________. 答案
2
44
解析 设大球的半径为R ，则有πR 3＝2×π×13，
33R 3＝2，∴R ＝2.
4. 若球的半径由R 增加为2R ，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍. 答案 8 4
4
解析 球的半径为R 时，球的体积为V 1＝πR 3，表面积为S 1＝4πR 2，半径增加为2R 后，球
3432
的体积为V 2＝π(2R ) 3＝πR 3，表面积为S 2＝4π(2R ) 2＝16πR 2.
33323R V 23S 216πR 2
所以＝8，＝4，
V 143S 14πR πR 3
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍. 5. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.
答案 3π
解析 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面1
积的和，即4π＋π＝3π.
2
1. 球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.
2. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接. 解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.
一、选择题
1. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( ) 48π
A. πB.C.4πDπ 33答案 C
解析 由题意可知，6a 2＝24，∴a ＝2. 设正方体外接球的半径为R ，则
4
3a ＝2R ，∴R 3，∴V 球＝πR 3＝3π.
3
2. 一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为( ) A.8B.83D.42 答案 A
解析 ∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2. 不妨设正方体的棱长为a ，则有4
3a 2＝4，即a 23
4
∴正方体的表面积为6a 2＝6＝8.
3
3. 两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A.1∶9B.1∶27C.1∶3D.1∶1 答案 A
2
解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R 21∶R 2＝1∶9.
4. 设正方体的表面积为24cm 2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是( ) A. 6πcm3 8
C. πcm 3 3答案 D
解析 由正方体的表面积为24cm 2，得正方体的棱长为2cm ，故这个球的直径为2cm
，故这
32
B. 3 34
3 3
4
个球的体积为πcm3.
3
5. 若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，则球的表面积为( ) A. 4π(r ＋R ) 2 C. 4πRr 答案 C
解析 方法一 如图，设球的半径为r 1，则在Rt △CDE 中，DE ＝2r 1，
2CE ＝R －r ，DC ＝R ＋r . 由勾股定理得4r 1＝(R ＋r ) 2－(R －r ) 2，解得r 12＝Rr . 故球的表面积为S 球＝4πr 1＝4πRr .
B. 4πr 2R 2 D. π(R ＋r ) 2
方法二 如图，设球心为O ，球的半径为r 1，连接OA ，OB ，则在Rt △AOB 中，OF 是斜边AB 上的高. 由相似三角形的性质得OF 2＝BF ·AF ＝Rr ，即r 21＝Rr ，故r 1Rr ，故球的表面积为S 球＝4πRr .
6. 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
32π4A. B. 4πC. 33答案 D
解析 ∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋(2)2＝2. 又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R ＝1. 44故球的体积为V R 3＝π.
33
7. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( ) 500π3
A.
31372π3C.
3答案 A
解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.
11
如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝8＝4(cm).
22设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2) 2＋42，∴R ＝5， 4500π
∴V 球＝π×53＝(cm
3).
33
二、填空题
866π3
B.
32048π3cm
3
8. 一个几何体的三视图(单位：m) 如图所示，则该几何体的体积为________m3.
答案 9π＋18
解析 将三视图还原为实物图后求解.
3
由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；
2上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1， 427
所以V ××2＋1×3×6＝9π＋18.
38
9π
9. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为_____.
2答案
3
解析 先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长. 设正方体棱长为a ，球半径为R ，
493
则R 3＝π，∴R ∴3a ＝3，∴a ＝3. 322
10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是________. 答案
81
π 4
解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上. 设球的半径为R ，球心为O ，9
正四棱锥底面中心为E ，则OE ＝|4－R |，所以(4－R ) 2＋(2) 2＝R 2，解得R ＝所以球的表面
481π
积S ＝4πR 2＝4
11. 圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球(如图所示) ，则球的半径是______cm. 答案 4
解析 设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r ＝6πr 3，高度为
4
8cm 的水的体积为8πr 2, 3个球的体积和为3×πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得
3r ＝4(cm). 三、解答题
12. 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中∠BAC ＝30°) 解 如图所示，
过C 作CO 1⊥AB 于O 1.
在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝
33
3
3
R ，∴S 球＝4πR 2， 2
S 圆锥AO 1侧＝π×2×3R 2R 2， S 圆锥BO 1侧＝π×2×R ＝2R 2，
∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 侧＋S 圆锥BO 侧
1
1
3
11＋32113
＝R 2＋R 2＝πR . 222
1132故旋转所得几何体的表面积为πR .
2
13. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥的内切球的体积.
解 (1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB 内接于⊙O ，⊙O 1内切于△ABC .
4
设⊙O 的半径为R R 3＝972π，
3所以R 3＝729，R ＝9，所以CE ＝18. 已知CD ＝16，所以ED ＝2.
连接AE ，因为CE 是直径，所以CA ⊥AE ，
所以CA 2＝CE ·CD ＝18×16＝288，所以CA
＝
2，
因为AB ⊥CD ，所以AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32， 所以AD ＝2，
S 圆锥侧＝π×2×122＝96π. (2)设内切球O 1的半径为r ，
因为△ABC 的周长为2×(122＋42) ＝322， 11所以S △ABC r ·2＝×82×16，解得r ＝4，
224256
所以内切球O 1的体积V 球＝r 3＝π.
33