第一章 数与式
知识点
一、实数的有关概念
1、 相反数:只有符号不同的两个数叫相反数,即a 的相反数为-a. 注意:0的相反数为0; 两
个相反数和为0.
2、 倒数:两个数的积为1, 这两个数互为倒数. 即a 的倒数为1. 注意:0没有倒数. a
3、 绝对值:a的绝对值为|a|,|a|=⎨⎧a (a ≥0) -a (a ≤0) ⎩
4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
5、 实数大小比较:正数大于负数,0大于负数,两个负数绝对值大的反而小
6、 无理数:无限不循环小数
⎧⎧整数⎪有理数⎨(有限小数或无限循环小数)7、 实数分类:实数⎨ ⎩分数
⎪⎩无理数(无限不循环小数)
8、 科学记数法:把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤ a
9、 近似数和有效数字:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。
10、 非负数:指 a≥0,非负数有|a|,a 2,a . 注意:几个非负数的和为0,则每一个非
负数为0.
二、实数的有关计算
1、 六种基本运算:加、减、乘、除、乘方、开方
2、 运算顺序:先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减。如果有括号,就先算括号;
同级运算应从左到右;如果符合运算律,可以变更运算顺序,简便计算。
3、 运算律:
(1) 加法交换律:a+b=b+a
(2) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
(3) 乘法交换律:ab=ba
(4) 乘法结合律:(ab)c=a(bc)
(5) 乘法对于加法的分配律:(a+b)c=ac+bc
三、代数式有关概念
1、 代数式:用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意:单独一个数
或字母也是代数式
2、 代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫代数式的值。
⎧⎧⎧单项式(系数、次数)⎪⎪整式⎨3、 代数式分类:代数式⎪有理式⎨ ⎩多项式(次数、项数)⎨⎪⎪⎩分式
⎪无理式(初中只要求掌握二次根式)⎩
四、整式
1、 整式定义:没有除法运算,或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。
2、 整式运算:
(1)整式的加减法:实质是去括号后合并同类项
①同类项:所含字母相同,相同字母的指数也分别相同的项叫同类项
②合并同类项:把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
注意:不是同类项不能合并。
③去括号法则: a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c
④添括号法则:a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)
(2)整式的乘、除法:
①幂的运算法则:
m n mn m m m (a ) =a (a ∙b ) =a ∙a a m ∙a n =a m +n a m ÷a n =a m -n (a ≠0)
a m a m 1() =m ( b ≠0) a 0=1 (a ≠0) a -m =m (a ≠0) b b a
②乘法公式:平方差公式(a +b )(a -b ) =a -b
完全平方公式(a ±b ) =a ±2ab +b
③单项式乘以(或除以)单项式
④单项式乘以多项式:a ∙(b +c ) =ab +ac
⑤多项式乘以多项式:(a +b )(m +n ) =am +an +bm +bn
⑥多项式除以单项式:(a +b ) ÷m =a ÷m +b ÷m
五、因式分解
1、概念:把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解
2、因式分解方法与步骤:
一提(公因式):ma +mb +mc =m (a +b +c )
二用(公式):平方差公式22222a 2-b 2=(a +b )(a -b )
222完全平方公式a ±2ab +b =(a ±b )
三试(十字相乘)
四查:检查每一个因式都不能分解为止
六、分式
1、 分式;除式中含有分母的有理式叫分式
a am a a ÷m (m ≠0) =, =b bm b b ÷m
am a a c ad bc 3、 约分和通分:约分 =,通分, →, bm b b d bd bd 2、 分式基本性质:
4、 分式运算 ①分式的加减法:同分母a b a ±b a c ad ±bc 异分母±= ±=c c c b d bd
a n a n a c ac a c a d ②分式的乘除、乘方:∙=, ÷=⨯, () =n b b d bd b d b c b
注意:分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解,然后进行约分和通分。
七、根式
1、 方根的有关概念
(1) 平方根: a的平方根±a (a ≥0),注意:负数没有平方根
(2) 算术平方根: a的算术平方根a (a ≥0)
(3) 立方根: a 的立方根a (a 为全体实数)
2、 二次根式
(1)式子a (a ≥0)叫二次根式
(2)二次根式的性质:①(a ) 2=a (a ≥0) ②a =|a|=⎨2⎧a (a ≥0) ⎩-a (a ≤0)
③a ∙b = a ∙(a ≥0, b ≥0) ④a =(a ≥0,b >0)b (3)最简二次根式:被开方数中每一个因式的指数都小于2,并且被开方数不含分母的二
次根式叫最简二次根式
(4) 同类二次根式:几个二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次
根式叫同类二次根式
3、 二次根式的运算:
(1) 加减法:把各个二次根式化为最简二次根式后,再合并同类二次根式
(2) 乘除法:a ∙b =a ∙b (a ≥0, b ≥0) a =a (a ≥0,b >0)
b
(3) 分母有理化:把分母中根号去掉叫分母有理化:
1
a
=a a ∙a , 1a ±b =a b (a ±) ∙(a b )
第一章 数与式
知识点
一、实数的有关概念
1、 相反数:只有符号不同的两个数叫相反数,即a 的相反数为-a. 注意:0的相反数为0; 两
个相反数和为0.
2、 倒数:两个数的积为1, 这两个数互为倒数. 即a 的倒数为1. 注意:0没有倒数. a
3、 绝对值:a的绝对值为|a|,|a|=⎨⎧a (a ≥0) -a (a ≤0) ⎩
4、 数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。
5、 实数大小比较:正数大于负数,0大于负数,两个负数绝对值大的反而小
6、 无理数:无限不循环小数
⎧⎧整数⎪有理数⎨(有限小数或无限循环小数)7、 实数分类:实数⎨ ⎩分数
⎪⎩无理数(无限不循环小数)
8、 科学记数法:把一个数写成a ×10n 的形式(其中1≤ a
9、 近似数和有效数字:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。
10、 非负数:指 a≥0,非负数有|a|,a 2,a . 注意:几个非负数的和为0,则每一个非
负数为0.
二、实数的有关计算
1、 六种基本运算:加、减、乘、除、乘方、开方
2、 运算顺序:先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减。如果有括号,就先算括号;
同级运算应从左到右;如果符合运算律,可以变更运算顺序,简便计算。
3、 运算律:
(1) 加法交换律:a+b=b+a
(2) 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
(3) 乘法交换律:ab=ba
(4) 乘法结合律:(ab)c=a(bc)
(5) 乘法对于加法的分配律:(a+b)c=ac+bc
三、代数式有关概念
1、 代数式:用运算符号把数和表示数的字母连结而成的式子叫代数式。注意:单独一个数
或字母也是代数式
2、 代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果,叫代数式的值。
⎧⎧⎧单项式(系数、次数)⎪⎪整式⎨3、 代数式分类:代数式⎪有理式⎨ ⎩多项式(次数、项数)⎨⎪⎪⎩分式
⎪无理式(初中只要求掌握二次根式)⎩
四、整式
1、 整式定义:没有除法运算,或虽有除法运算但除式中不含字母的有理式叫整式。
2、 整式运算:
(1)整式的加减法:实质是去括号后合并同类项
①同类项:所含字母相同,相同字母的指数也分别相同的项叫同类项
②合并同类项:把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。
注意:不是同类项不能合并。
③去括号法则: a+(b+c)=a+b+c a-(b+c)=a-b-c
④添括号法则:a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c)
(2)整式的乘、除法:
①幂的运算法则:
m n mn m m m (a ) =a (a ∙b ) =a ∙a a m ∙a n =a m +n a m ÷a n =a m -n (a ≠0)
a m a m 1() =m ( b ≠0) a 0=1 (a ≠0) a -m =m (a ≠0) b b a
②乘法公式:平方差公式(a +b )(a -b ) =a -b
完全平方公式(a ±b ) =a ±2ab +b
③单项式乘以(或除以)单项式
④单项式乘以多项式:a ∙(b +c ) =ab +ac
⑤多项式乘以多项式:(a +b )(m +n ) =am +an +bm +bn
⑥多项式除以单项式:(a +b ) ÷m =a ÷m +b ÷m
五、因式分解
1、概念:把一个多项式化成几个多项式的积的形式叫因式分解
2、因式分解方法与步骤:
一提(公因式):ma +mb +mc =m (a +b +c )
二用(公式):平方差公式22222a 2-b 2=(a +b )(a -b )
222完全平方公式a ±2ab +b =(a ±b )
三试(十字相乘)
四查:检查每一个因式都不能分解为止
六、分式
1、 分式;除式中含有分母的有理式叫分式
a am a a ÷m (m ≠0) =, =b bm b b ÷m
am a a c ad bc 3、 约分和通分:约分 =,通分, →, bm b b d bd bd 2、 分式基本性质:
4、 分式运算 ①分式的加减法:同分母a b a ±b a c ad ±bc 异分母±= ±=c c c b d bd
a n a n a c ac a c a d ②分式的乘除、乘方:∙=, ÷=⨯, () =n b b d bd b d b c b
注意:分式运算时先把分子和分母能因式分解的都因式分解,然后进行约分和通分。
七、根式
1、 方根的有关概念
(1) 平方根: a的平方根±a (a ≥0),注意:负数没有平方根
(2) 算术平方根: a的算术平方根a (a ≥0)
(3) 立方根: a 的立方根a (a 为全体实数)
2、 二次根式
(1)式子a (a ≥0)叫二次根式
(2)二次根式的性质:①(a ) 2=a (a ≥0) ②a =|a|=⎨2⎧a (a ≥0) ⎩-a (a ≤0)
③a ∙b = a ∙(a ≥0, b ≥0) ④a =(a ≥0,b >0)b (3)最简二次根式:被开方数中每一个因式的指数都小于2,并且被开方数不含分母的二
次根式叫最简二次根式
(4) 同类二次根式:几个二次根式化为最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次
根式叫同类二次根式
3、 二次根式的运算:
(1) 加减法:把各个二次根式化为最简二次根式后,再合并同类二次根式
(2) 乘除法:a ∙b =a ∙b (a ≥0, b ≥0) a =a (a ≥0,b >0)
b
(3) 分母有理化:把分母中根号去掉叫分母有理化:
1
a
=a a ∙a , 1a ±b =a b (a ±) ∙(a b )