机械振动的概念

第一章 绪 论

1-1 机械振动的概念

振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。

振动在大多数情况下是有害的。由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。

任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。研究振动问题时，通常把

振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。严格的说,实际系统都是连续系统，所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型。例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件，简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体。这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统。

例如图1-1（a）所示的安装在混凝土

基础上的机器，为了隔振的目的，在基础下

面一般还有弹性衬垫，如果仅研究这一系统

在铅垂方向的振动，在振动过程中弹性衬垫

起着弹簧作用，机器与基础可看作一个刚体，

起着质量的作用，衬垫本身的内摩擦以及基

础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用

（阻尼用阻尼器表示，阻尼器由一个油缸和

活塞、油液组成。活塞上下运动时，油液从

间隙中挤过，从而造成一定的阻尼）。这样图1-1（a）所示的系统可简化为1-1（b

）所示的

力学模型。又如图1-2中假想线表示的是一辆汽车，若研究的问题是汽车沿道路行驶时车体

的上下运动与俯仰运动，则可简化为图中实线所示的刚性杆的平面运动这样一个力学模型。

其中弹簧代表轮胎及其悬挂系统的弹性，车体的惯性简化为平移质量及绕质心的转动惯量，

轮胎及其悬挂系统的内摩擦以及地面的摩擦等起着阻尼作用，用阻尼器表示。

下面以最简单的力学模型（图1-1b，其中略去

阻尼）为例来阐明物体如何在平衡位置附近作往复

运动的过程。当物体静止时，物体处于图1-3（a）

所示的静平衡位置0-0，此时物体的重力与弹簧的

弹性恢复力（此时弹簧有静变形）互相平衡，故合

力为零，速度及加速度皆为零；当物体受到向下的

冲击作用后，即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹

簧恢复力逐渐加大，合力的方向向上，使物体作减

速运动。当物体的速度减小到零，物体则运动到如图1-3（b）所示的最低位置，此时速度为

零，由于合力的方向向上，使物体产生向上的加速度，物体即开始向上运动；当物体返回到

如图1-3（c）所示的平衡位置时，其所受的合力又为零，但其速度不为零，由于惯性作用，

物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹簧恢复力逐渐变小，物体重力大

于弹簧恢复力，合力的方向向下，故物体又作减速度运动。当物体向上的速度减小到零时，

物体即运动到如图1-3（d）所示的最高位置。此后，物体即开始向下运动返回平衡位置；当

物体返回到如图1-3（e）所示的平衡位置时，其所受合力又为零，由于惯性作用，物体继续

向下运动。这样，物体便在平衡位置附近来回往复运动。从图1-3（a）到图1-3(e)这一往

复运动过程称为完成一次振动。

从运动学的观点来看，机械振动是指机械系统的某些物理量（位移、速度、加速度）

，

在某一数值附近随时间t的变化关系。当振动物体经过某一确定的时间间隔之后继续重复前

一时间间隔的运动过程，这种振动称为周期振动，如图1-4（a）所示。往复一次所需的时间

间隔T称为周期。最简单的周期振动是简谐振动，可以用正弦或余弦函数加以描述，如图1-4

（b）所示，如果没有一定的周期的振动，则称为非周期振动，如图1-4（c）所示。

1—2 振动的分类

一个实际的振动系统，在外界激扰（亦称激励，可以是随时间变化的力、速度、加速度

及位移）作用下，会呈现一定的振动响应（亦称反应，如位移、速度及加速度等）。这种激

扰就是系统的输入,响应就是系统的输出。二者由系统的振动特性联系着,振动分析就是研究

这三者间的相互关系。

为了便于分析研究问题,有必要对振动作如下的分类。

一． 按系统的输入（振动原因）可分为：

1.自由振动—系统受初始激扰或原有的外界激扰取消后，只依靠系统本身的弹性恢复力

维持的振动。

2.强迫振动—系统受外界持续激扰作用下所产生的振动。

3.自激振动—激扰是由系统振动本身控制的，在适当的反馈作用下，系统会自动地激起

的定幅振动。

二． 按系统的输出（振动规律）可分为：

1.简谐振动—能用一项正弦和余弦函数表达其运动规律的周期性振动。

2.非简谐振动—不能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动。

3.瞬态振动—振动量为时间的非周期函数，通常只在一定的时间内存在。

4.随机振动—振动量不是时间的确定性函数，而只能用概率统计的方法来研究的非周期

性振动。

三．按系统的自由度数可分为：

1.单自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标就

能确定的振动。

2.多自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标才能

确定的振动。

3.弹性连续体的振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要无限多个独立坐标

(位移函数)才能确定的振动,也称为无限自由度系统振动。

四. 按振动系统的结构参数的特性可分为：

1.线性振动—系统的惯性力、阻尼力及弹性恢复力分别与加速度、速度及位移成线性关

系，能用常系数线性微分方程描述的振动。

2.非线性振动—系数的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质，只能用非线性微分方程来

描述。

五. 按振动位移的特征可分为：

1.纵向振动—振动物体上的质点只作沿轴线方向的振动。

2.扭转振动—振动物体上的质点只作绕轴线转动的振动。

3.横向振动—振动物体上的质点只作垂直轴线方向的振动。

纵向振动与横向振动又可称为直线振动。

1—3 简谐振动的矢量表示法和复数表示法

1.矢量表示法：简谐振动可以用旋转矢量在坐标轴上的投影来表示。设有一模为A的旋转矢量OA，以匀角速度ω，由初始角为位置开始，逆时钟向旋转（见图1-5a）。则任一瞬时，这一旋转矢量在纵坐标轴上的投影表示一简谐振动（见图1-5b）。同样它在横坐标轴上的投影为一余弦函数，也表示一简谐振动。旋转矢量的模就是简谐振动的振幅，而旋转角速度就是简谐振动的频率。

2.复数表示法：如图1-6所示，设P为复平面上的一个点，连接P与坐标原点，得一矢量OP，称为复矢量。设复矢量OP的模为A，它在实轴和虚轴上的投影分别为Acos和Asin，则复矢量OP可表示为如下复数形式

ZAcosiAsinAcostiAsint

其中，复数Z的模A就是复矢量OP的模，复数Z的复角θ，（t）就是复矢量OP与实数轴的夹角。

上式表明，简谐函数可以用复数表示，复数的实部代表正弦函数，虚部代表余弦函数。 在具体应用复数对简谐振动进行计算时，可取复数的实部（或虚部）进行计算，其结果亦取复数的实部（或虚部），本书如无特殊说明时均取复数虚部进行计算。

根据欧拉公式 e

动为：

icosisin, 复数Z可改写为ZAeit,而其虚部对应的简谐振

XAei(t)AeieitAeit

式中 AAe，称为复振幅， i

初相位角。

简谐振动的速度和加速度也可用复数表示为：

iAeXitAeit2

i22Aeit2Aeit X

将上述结果画在复平面上，这些矢量关系如图1-7所示。

iωε可以看出，对复数Ae每求导一次，则相当于在它前面乘上一个iω，而每乘上一个i，

0就相当于把这个复数矢量逆时针旋转90。这就给运算带来一定的方便。

1—4 振动问题及其解决方法,本课程的任务

前面已经提到,振动分析就是研究激扰(输入)、响应（输出）和系统振动特性三者的关系，如图1-8所示。不论是哪一类型振动问题，一般说来，无非是在激扰、响应及系统特性三者之中，已知二者求第三者。从这个意义上说，工程振动分析所要解决的问题可归纳为下列几类：

1.响应分析—这是在已知激扰与系统特性的情况下求系统的响应的问题，包括位移、速度、加速度和力的响应。这为计算机器或结构的强度、刚度、允许的振动能量水平提供了依据。

2.环境预测—这是在已知系统特性

与响应的情况下来确定系统的输入，以

判别系统的环境特性。

3.系统识别—这是在已知激扰与响

应的情况下来确定系统的特性。

后一种情况下，问题的另一种提法

是：在一定激扰条件下，如何来设计系统的特性使得系统的响应满足指定的条件。这就是系统设计。

实际的振动问题往往是错综复杂的，解决振动问题的方法，不外乎是理论分析和试验研究，二者是相辅相成的。计算机的日益发展和普及，以及振动测试仪器的迅速发展和完善，为解决复杂的振动问题的理论分析和试验研究提出了强有力的工具与手段。

“机械振动”是范围相当宽广的一门学科，涉及到多方面的知识。由于振动的基本理论在解决振动问题中的重要性。本课程的任务力求突出基础内容,按振动力学的体系着重阐明机械振动的基础理论与分析方法,内容限于线性振动而不涉及更为深入的内容。掌握本课程的内容将为进一步深入研究机械振动问题奠定必要的基础。

第一章 绪 论

1-1 机械振动的概念

振动是一种特殊形式的运动，它是指物体在其平衡位置附近所做的往复运动。如果振动物体是机械零件、部件、整个机器或机械结构，这种运动称为机械振动。

振动在大多数情况下是有害的。由于振动，影响了仪器设备的工作性能；降低了机械加工的精度和粗糙度；机器在使用中承受交变载荷而导致构件的疲劳和磨损，以至破坏。此外，由于振动而产生的环境噪声形成令人厌恶的公害，交通运载工具的振动恶化了乘载条件，这些都直接影响了人体的健康等等。但机械振动也有可利用的一面，在很多工艺过程中，随着不同的工艺要求，出现了各种类型利用振动原理工作的机械设备，被用来完成各种工艺过程，如振动输送、振动筛选、振动研磨、振动抛光、振动沉桩等等。这些都在生产实践中为改善劳动条件、提高劳动生产率等方面发挥了积极作用。研究机械振动的目的就是要研究产生振动的原因和它的运动规律，振动对机器及人体的影响，进而防止与限制其危害，同时发挥其有益作用。

任何机器或结构物，由于具有弹性与质量，都可能发生振动。研究振动问题时，通常把

振动的机械或结构称为振动系统（简称振系）。实际的振系往往是复杂的，影响振动的因素较多。为了便于分析研究，根据问题的实际情况抓住主要因素，略去次要因素，将复杂的振系简化为一个力学模型，针对力学模型来处理问题。振系的模型可分为两大类：离散系统（或称集中参数系统）与连续系统（或称分布参数系统），离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数元件有三种：质量、弹簧与阻尼器。其中质量（包括转动惯量）只具有惯性；弹簧只具有弹性，其本身质量略去不计，弹性力只与变形的一次方成正比的弹簧称为线性弹簧；在振动问题中，各种阻力统称阻尼，阻尼器既不具有惯性，也不具有弹性，它是耗能元件，在有相对运动时产生阻力，其阻力与相对速度的一次方成正比的阻尼器称为线性阻尼器。连续系统是由弹性元件组成的，典型的弹性元件有杆、梁、轴、板、壳等，弹性体的惯性、弹性与阻尼是连续分布的。严格的说,实际系统都是连续系统，所谓离散系统仅是实际连续系统经简化而得的力学模型。例如将质量较大、弹性较小的构件简化为不计弹性的集中质量；将振动过程中产生较大弹性变形而质量较小的构件，简化为不计质量的弹性元件；将构件中阻尼较大而惯性、弹性小的弹性体也可看成刚体。这样就把分布参数的连续系统简化为集中参数的离散系统。

例如图1-1（a）所示的安装在混凝土

基础上的机器，为了隔振的目的，在基础下

面一般还有弹性衬垫，如果仅研究这一系统

在铅垂方向的振动，在振动过程中弹性衬垫

起着弹簧作用，机器与基础可看作一个刚体，

起着质量的作用，衬垫本身的内摩擦以及基

础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用

（阻尼用阻尼器表示，阻尼器由一个油缸和

活塞、油液组成。活塞上下运动时，油液从

间隙中挤过，从而造成一定的阻尼）。这样图1-1（a）所示的系统可简化为1-1（b

）所示的

力学模型。又如图1-2中假想线表示的是一辆汽车，若研究的问题是汽车沿道路行驶时车体

的上下运动与俯仰运动，则可简化为图中实线所示的刚性杆的平面运动这样一个力学模型。

其中弹簧代表轮胎及其悬挂系统的弹性，车体的惯性简化为平移质量及绕质心的转动惯量，

轮胎及其悬挂系统的内摩擦以及地面的摩擦等起着阻尼作用，用阻尼器表示。

下面以最简单的力学模型（图1-1b，其中略去

阻尼）为例来阐明物体如何在平衡位置附近作往复

运动的过程。当物体静止时，物体处于图1-3（a）

所示的静平衡位置0-0，此时物体的重力与弹簧的

弹性恢复力（此时弹簧有静变形）互相平衡，故合

力为零，速度及加速度皆为零；当物体受到向下的

冲击作用后，即向下运动，弹簧被进一步压缩，弹

簧恢复力逐渐加大，合力的方向向上，使物体作减

速运动。当物体的速度减小到零，物体则运动到如图1-3（b）所示的最低位置，此时速度为

零，由于合力的方向向上，使物体产生向上的加速度，物体即开始向上运动；当物体返回到

如图1-3（c）所示的平衡位置时，其所受的合力又为零，但其速度不为零，由于惯性作用，

物体继续向上运动；随着物体向上运动，弹簧逐渐伸长，弹簧恢复力逐渐变小，物体重力大

于弹簧恢复力，合力的方向向下，故物体又作减速度运动。当物体向上的速度减小到零时，

物体即运动到如图1-3（d）所示的最高位置。此后，物体即开始向下运动返回平衡位置；当

物体返回到如图1-3（e）所示的平衡位置时，其所受合力又为零，由于惯性作用，物体继续

向下运动。这样，物体便在平衡位置附近来回往复运动。从图1-3（a）到图1-3(e)这一往

复运动过程称为完成一次振动。

从运动学的观点来看，机械振动是指机械系统的某些物理量（位移、速度、加速度）

，

在某一数值附近随时间t的变化关系。当振动物体经过某一确定的时间间隔之后继续重复前

一时间间隔的运动过程，这种振动称为周期振动，如图1-4（a）所示。往复一次所需的时间

间隔T称为周期。最简单的周期振动是简谐振动，可以用正弦或余弦函数加以描述，如图1-4

（b）所示，如果没有一定的周期的振动，则称为非周期振动，如图1-4（c）所示。

1—2 振动的分类

一个实际的振动系统，在外界激扰（亦称激励，可以是随时间变化的力、速度、加速度

及位移）作用下，会呈现一定的振动响应（亦称反应，如位移、速度及加速度等）。这种激

扰就是系统的输入,响应就是系统的输出。二者由系统的振动特性联系着,振动分析就是研究

这三者间的相互关系。

为了便于分析研究问题,有必要对振动作如下的分类。

一． 按系统的输入（振动原因）可分为：

1.自由振动—系统受初始激扰或原有的外界激扰取消后，只依靠系统本身的弹性恢复力

维持的振动。

2.强迫振动—系统受外界持续激扰作用下所产生的振动。

3.自激振动—激扰是由系统振动本身控制的，在适当的反馈作用下，系统会自动地激起

的定幅振动。

二． 按系统的输出（振动规律）可分为：

1.简谐振动—能用一项正弦和余弦函数表达其运动规律的周期性振动。

2.非简谐振动—不能用一项正弦或余弦函数表达其运动规律的周期性振动。

3.瞬态振动—振动量为时间的非周期函数，通常只在一定的时间内存在。

4.随机振动—振动量不是时间的确定性函数，而只能用概率统计的方法来研究的非周期

性振动。

三．按系统的自由度数可分为：

1.单自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置只需要一个独立坐标就

能确定的振动。

2.多自由度系统振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要多个独立坐标才能

确定的振动。

3.弹性连续体的振动—系统在振动过程中任何瞬时的几何位置需要无限多个独立坐标

(位移函数)才能确定的振动,也称为无限自由度系统振动。

四. 按振动系统的结构参数的特性可分为：

1.线性振动—系统的惯性力、阻尼力及弹性恢复力分别与加速度、速度及位移成线性关

系，能用常系数线性微分方程描述的振动。

2.非线性振动—系数的阻尼力或弹性恢复力具有非线性性质，只能用非线性微分方程来

描述。

五. 按振动位移的特征可分为：

1.纵向振动—振动物体上的质点只作沿轴线方向的振动。

2.扭转振动—振动物体上的质点只作绕轴线转动的振动。

3.横向振动—振动物体上的质点只作垂直轴线方向的振动。

纵向振动与横向振动又可称为直线振动。

1—3 简谐振动的矢量表示法和复数表示法

1.矢量表示法：简谐振动可以用旋转矢量在坐标轴上的投影来表示。设有一模为A的旋转矢量OA，以匀角速度ω，由初始角为位置开始，逆时钟向旋转（见图1-5a）。则任一瞬时，这一旋转矢量在纵坐标轴上的投影表示一简谐振动（见图1-5b）。同样它在横坐标轴上的投影为一余弦函数，也表示一简谐振动。旋转矢量的模就是简谐振动的振幅，而旋转角速度就是简谐振动的频率。

2.复数表示法：如图1-6所示，设P为复平面上的一个点，连接P与坐标原点，得一矢量OP，称为复矢量。设复矢量OP的模为A，它在实轴和虚轴上的投影分别为Acos和Asin，则复矢量OP可表示为如下复数形式

ZAcosiAsinAcostiAsint

其中，复数Z的模A就是复矢量OP的模，复数Z的复角θ，（t）就是复矢量OP与实数轴的夹角。

上式表明，简谐函数可以用复数表示，复数的实部代表正弦函数，虚部代表余弦函数。 在具体应用复数对简谐振动进行计算时，可取复数的实部（或虚部）进行计算，其结果亦取复数的实部（或虚部），本书如无特殊说明时均取复数虚部进行计算。

根据欧拉公式 e

动为：

icosisin, 复数Z可改写为ZAeit,而其虚部对应的简谐振

XAei(t)AeieitAeit

式中 AAe，称为复振幅， i

初相位角。

简谐振动的速度和加速度也可用复数表示为：

iAeXitAeit2

i22Aeit2Aeit X

将上述结果画在复平面上，这些矢量关系如图1-7所示。

iωε可以看出，对复数Ae每求导一次，则相当于在它前面乘上一个iω，而每乘上一个i，

0就相当于把这个复数矢量逆时针旋转90。这就给运算带来一定的方便。

1—4 振动问题及其解决方法,本课程的任务

前面已经提到,振动分析就是研究激扰(输入)、响应（输出）和系统振动特性三者的关系，如图1-8所示。不论是哪一类型振动问题，一般说来，无非是在激扰、响应及系统特性三者之中，已知二者求第三者。从这个意义上说，工程振动分析所要解决的问题可归纳为下列几类：

1.响应分析—这是在已知激扰与系统特性的情况下求系统的响应的问题，包括位移、速度、加速度和力的响应。这为计算机器或结构的强度、刚度、允许的振动能量水平提供了依据。

2.环境预测—这是在已知系统特性

与响应的情况下来确定系统的输入，以

判别系统的环境特性。

3.系统识别—这是在已知激扰与响

应的情况下来确定系统的特性。

后一种情况下，问题的另一种提法

是：在一定激扰条件下，如何来设计系统的特性使得系统的响应满足指定的条件。这就是系统设计。

实际的振动问题往往是错综复杂的，解决振动问题的方法，不外乎是理论分析和试验研究，二者是相辅相成的。计算机的日益发展和普及，以及振动测试仪器的迅速发展和完善，为解决复杂的振动问题的理论分析和试验研究提出了强有力的工具与手段。

“机械振动”是范围相当宽广的一门学科，涉及到多方面的知识。由于振动的基本理论在解决振动问题中的重要性。本课程的任务力求突出基础内容,按振动力学的体系着重阐明机械振动的基础理论与分析方法,内容限于线性振动而不涉及更为深入的内容。掌握本课程的内容将为进一步深入研究机械振动问题奠定必要的基础。