《二次函数的特殊形式》专题
班级 姓名
人的心灵在不同的时期有着不同的内容。
2. 用十字相乘法分解因式：
①x -2x -3 ②x +4x +3 ③2x +8x +6
3. 若一元二次方程ax +bx +c =0有两实数根x 1、x 2，则抛物线y =ax 2+bx +c
2
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与x 轴交点坐标是 .
【自主探究】
1. 根据上面第2题的结果，改写下列二次函数：
①y =x -2x -3 ②y =x +4x +3 ③y =2x +8x +6 = = =
2. 求出上述抛物线与x 轴的交点坐标：
①y =x -2x -3 ②y =x +4x +3 ③y =2x +8x +6 归纳：
2
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0）0）⑴若二次函数y =ax +bx +c 与x 轴交点坐标是（x 1，、（x 2，，则该函数还可以表
2
示为
的形式；
⑵反之若二次函数是y =a (x -x 1)(x -x 2)的形式，则该抛物线与
x 轴的交点坐标
是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也
是 式存在的前提条件.
【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.
⑴y =x 2-3x +2 ⑵y =-x 2+3x -2 ⑶y =2x 2-6x +4
与x 轴的交点坐标是：
与y 轴的交点坐标是：
例1. 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式.
⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .
【练习】已知二次函数的图象经过点（-3,1），（1,1），且函数的最值是4.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式.
已知点A （2,5）、B （4,5）是抛物线y =4x 2+bx +c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线
【当堂训练】
1. 已知一条抛物线的开口大小、方向与y =-x 2均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2. 已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线x =1，则另一个交点坐标是 .
3. 已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 . 4. 二次函数y =-(x +3)(x -4)与是 .
5. 请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（
-3,0）： . 1. 已知一条抛物线的开口大小、方向与y =x 均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、
2
x
轴的交点坐标是 ，对称轴
（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2. 已知一条抛物线的形状与y =2x 2相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、
（4,0），则该抛物线的关系式是 .
3. 已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 . 4. 二次函数y =-(x -3)(x -4)与是 .
5. 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3. 则该抛 物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大.
6. 请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： .
7．知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3. 求出该二次函数的关系式. （用2种方法）
解法1： 解法2：
x
轴的交点坐标是 ，对称轴
8. 知二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线
x =2，且函数的最值是4.
⑴求另一个交点的坐标. ⑵求出该二次函数的关系式.
《二次函数的特殊形式》专题
班级 姓名
人的心灵在不同的时期有着不同的内容。
2. 用十字相乘法分解因式：
①x -2x -3 ②x +4x +3 ③2x +8x +6
3. 若一元二次方程ax +bx +c =0有两实数根x 1、x 2，则抛物线y =ax 2+bx +c
2
2
2
2
与x 轴交点坐标是 .
【自主探究】
1. 根据上面第2题的结果，改写下列二次函数：
①y =x -2x -3 ②y =x +4x +3 ③y =2x +8x +6 = = =
2. 求出上述抛物线与x 轴的交点坐标：
①y =x -2x -3 ②y =x +4x +3 ③y =2x +8x +6 归纳：
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0）0）⑴若二次函数y =ax +bx +c 与x 轴交点坐标是（x 1，、（x 2，，则该函数还可以表
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示为
的形式；
⑵反之若二次函数是y =a (x -x 1)(x -x 2)的形式，则该抛物线与
x 轴的交点坐标
是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也
是 式存在的前提条件.
【练习】把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.
⑴y =x 2-3x +2 ⑵y =-x 2+3x -2 ⑶y =2x 2-6x +4
与x 轴的交点坐标是：
与y 轴的交点坐标是：
例1. 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式.
⑷若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .
【练习】已知二次函数的图象经过点（-3,1），（1,1），且函数的最值是4.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑵在下列平面直角坐标系中画出它的简图. ⑶求出该二次函数的关系式.
已知点A （2,5）、B （4,5）是抛物线y =4x 2+bx +c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为直线
【当堂训练】
1. 已知一条抛物线的开口大小、方向与y =-x 2均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2. 已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线x =1，则另一个交点坐标是 .
3. 已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 . 4. 二次函数y =-(x +3)(x -4)与是 .
5. 请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（
-3,0）： . 1. 已知一条抛物线的开口大小、方向与y =x 均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、
2
x
轴的交点坐标是 ，对称轴
（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2. 已知一条抛物线的形状与y =2x 2相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、
（4,0），则该抛物线的关系式是 .
3. 已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 . 4. 二次函数y =-(x -3)(x -4)与是 .
5. 已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3. 则该抛 物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大.
6. 请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： .
7．知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3. 求出该二次函数的关系式. （用2种方法）
解法1： 解法2：
x
轴的交点坐标是 ，对称轴
8. 知二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线
x =2，且函数的最值是4.
⑴求另一个交点的坐标. ⑵求出该二次函数的关系式.