排列组合的综合应用
知识提要
1. 分类加法（分步乘法）技术原理
2. 排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n ) 个元素的所有排列的个数叫做从n 个
m 元素中取出m 元素的排列数，用符号A n 表示.
m 3. 排列数公式 ：A n =n (n -1) (n -m +1) =n ！ (n ，m ∈N ，且m ≤n ) ． (n -m ) ！
n A n =n (n -1)(n -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1=n ! (叫做n 的阶乘) 规定0! =1
4. 组合数：从n 个不同的元素中取出m ( m ≤n ) 个元素的所有组合的个数，
m 用符号C n 表示.
5. 组合数公式：
C m
n =m A n n ！n (n -1) (n -m +1) ==(n ∈N ，m ∈N ，且m ≤n ) m A m 1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！
0规定C n =1，0! =1
m n -m m m -1m 6. 组合数性质：(1)C n =C n ;(2) C n +C n =C n +1
7. 要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合。
综合练习
选择题
1．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式（ ）
A. 510种 B.10种 5 C.50种 D.10种
2. 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、
乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A ．96种 B．180种 C ．240种 D．280种
3. 在100件产品中有6件次品, 现从中任取3件产品, 至少有1件次品的不同取法的种数是
（ ）
23A. C 6C 94 B.C6C 99 C.C100－C 3
94 1213 D.A100－A 3
94
4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在
两端，不同的排法共有（ ）
A ．1440种 B ．960种 C．720种 D．480种
5．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以
熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
33A ．C 11种 B．A 8种 C．C 3
9种 D．C 8种 3
6. 欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
A.34种 B.55种 C.89种 D.144种
7. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照
号码共有（ ）
A ．C ()12
26A 个 B ．A A 4
10242610个 C ．C ()1012
2642个 D ．A 26104个
8. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A. 40种 B. 60种 C. 100种 D. 120种
9. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数
字12340应是第（ ）个数.
A.6 B.9 C.10 D.8
10．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两
个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ）
A.42 B.36 C.30 D.12
11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )
A.8种 B.10种
C.12种 D.32种
12．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个
球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是 ( )
A ．384 B．396 C．432 D．480
13．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么
不同的试种方法共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.96种
14．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上
午课程表的不同排法共有（ ）
A.6种 B.9种 C.18种 D.24种
15．a , b , c , d , e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总
数是（ ）
A ．20 B ．16 C ．10 D ．6
16．在100件产品中有6件次品, 现从中任取3件产品, 至少有1件次品的不同取法的种数是
（ C ）
A ．C 6C 94 122333 B.C 6C 99 C.C 100－C 3
94 D.A 100－A 94 1
17．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ）
33 A.(4! ) 种 B.4! ·3! 种 C.A 4·4! 种 D.A 5·4! 种 2
18．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能
排在一起，则不同排法共有（ ）
A.12种 B.20种 C.24种 D.48种
19. 在200件产品中有3件是次品, 现从中任意抽取5件, 其中至少有两件次品的抽法有( )
12323554A ．C 10C 197 B.C3C 197 C.C5
200-C 197 D.C200+ C2C 197
20.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人, 每人1本, 共有不同分法( )
3A.C 3
9 B.A9 6C.A 9 3D.A 3
9·A3
21. 马路上十盏路灯，为了节约用电可以关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有( )
A.56种 B.36种 C.20种 D.10种
22．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A ．36种 B．48种 C ．72种 D．96种
23．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一
题作答，选甲题答对得21分，答错得-21分；选乙题答对得7分，答错得-7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ）
A ．48 B ．46 C ．45 D ． 44
24. 有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A ．10种 B ．20种 C．25种 D．32种
25．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）
A ．36种 B．48种 C．96种 D．192种
26．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是( )
A ．100个 B ．90个
C ．81个 D ．72个
27．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）
3232532325 A．C 5种 C. A 5种 C 4种 B. C 5C 4A 5A 4种 D. A 5A 4A 5
28．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）
A.12种 B.34种 C.35种 D.340种
29．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）
A.18条 B.19条 C.20条 D.21条
30．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查， 至少有两件一级品的抽法共有（ ）
A.60种 B.81种 C.100种 D.126种
填空题
1. 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个
2．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
3．在△AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有________个．
4. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有 种
5. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 种。
6．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。
7．若100种产品中有两件次品，现在从中取3件，其中至少有一件是次品的抽法种数 是 种．
8．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 种．
9．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有 种．
10．7个相同的小球，任意放人四个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法共 种．
11．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种。
12．有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个, 有 种分配方案？
13. 某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有 种？
解答题
1．有4名男生，5名女生。
⑴从中选出5名代表，有多少种选法？
⑵从中选出5名代表，男生2名，女生3名且某女生必须在内有多少种选法？
⑶从中选出5名代表，男生不少于2名，有多少种选法？
⑷分成三个小组，每组依次有4、3、2人有多少种分组方法？
2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
⑴甲不站两端；
⑵甲、乙必须相邻；
⑶甲、乙不相邻；
⑷甲、乙之间间隔两人；
⑸甲、乙站在两端；
⑹甲不站左端，乙不站右端．
3．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． ⑴共有多少种放法？
⑵恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
⑶恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
⑷恰有两个盒不放球，有多少种放法？
4．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？⑴分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
⑵甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；⑶平均分成三份，每份2本．
5．用0，1，2，3，4，5这六个数字：
⑴可组成多少个无重复数字的自然数？
⑵可组成多少个无重复数字的四位偶数？
⑶组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少?
排列组合的综合应用
知识提要
1. 分类加法（分步乘法）技术原理
2. 排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n ) 个元素的所有排列的个数叫做从n 个
m 元素中取出m 元素的排列数，用符号A n 表示.
m 3. 排列数公式 ：A n =n (n -1) (n -m +1) =n ！ (n ，m ∈N ，且m ≤n ) ． (n -m ) ！
n A n =n (n -1)(n -2) ⋅⋅⋅3⋅2⋅1=n ! (叫做n 的阶乘) 规定0! =1
4. 组合数：从n 个不同的元素中取出m ( m ≤n ) 个元素的所有组合的个数，
m 用符号C n 表示.
5. 组合数公式：
C m
n =m A n n ！n (n -1) (n -m +1) ==(n ∈N ，m ∈N ，且m ≤n ) m A m 1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！
0规定C n =1，0! =1
m n -m m m -1m 6. 组合数性质：(1)C n =C n ;(2) C n +C n =C n +1
7. 要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合。
综合练习
选择题
1．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式（ ）
A. 510种 B.10种 5 C.50种 D.10种
2. 从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、
乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A ．96种 B．180种 C ．240种 D．280种
3. 在100件产品中有6件次品, 现从中任取3件产品, 至少有1件次品的不同取法的种数是
（ ）
23A. C 6C 94 B.C6C 99 C.C100－C 3
94 1213 D.A100－A 3
94
4. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在
两端，不同的排法共有（ ）
A ．1440种 B ．960种 C．720种 D．480种
5．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以
熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）
33A ．C 11种 B．A 8种 C．C 3
9种 D．C 8种 3
6. 欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
A.34种 B.55种 C.89种 D.144种
7. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照
号码共有（ ）
A ．C ()12
26A 个 B ．A A 4
10242610个 C ．C ()1012
2642个 D ．A 26104个
8. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求
星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A. 40种 B. 60种 C. 100种 D. 120种
9. 用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数
字12340应是第（ ）个数.
A.6 B.9 C.10 D.8
10．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两
个节目插入原节目单中，则不同的插法总数为（ ）
A.42 B.36 C.30 D.12
11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )
A.8种 B.10种
C.12种 D.32种
12．有4个标号为1,2,3,4的红球和4个标号为1,2,3,4的白球，从这8个球中任取4个
球排成一排．若取出的4个球的数字之和为10，则不同的排法种数是 ( )
A ．384 B．396 C．432 D．480
13．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么
不同的试种方法共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.96种
14．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上
午课程表的不同排法共有（ ）
A.6种 B.9种 C.18种 D.24种
15．a , b , c , d , e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总
数是（ ）
A ．20 B ．16 C ．10 D ．6
16．在100件产品中有6件次品, 现从中任取3件产品, 至少有1件次品的不同取法的种数是
（ C ）
A ．C 6C 94 122333 B.C 6C 99 C.C 100－C 3
94 D.A 100－A 94 1
17．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ）
33 A.(4! ) 种 B.4! ·3! 种 C.A 4·4! 种 D.A 5·4! 种 2
18．把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能
排在一起，则不同排法共有（ ）
A.12种 B.20种 C.24种 D.48种
19. 在200件产品中有3件是次品, 现从中任意抽取5件, 其中至少有两件次品的抽法有( )
12323554A ．C 10C 197 B.C3C 197 C.C5
200-C 197 D.C200+ C2C 197
20.6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人, 每人1本, 共有不同分法( )
3A.C 3
9 B.A9 6C.A 9 3D.A 3
9·A3
21. 马路上十盏路灯，为了节约用电可以关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有( )
A.56种 B.36种 C.20种 D.10种
22．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）
A ．36种 B．48种 C ．72种 D．96种
23．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一
题作答，选甲题答对得21分，答错得-21分；选乙题答对得7分，答错得-7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ）
A ．48 B ．46 C ．45 D ． 44
24. 有5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A ．10种 B ．20种 C．25种 D．32种
25．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ）
A ．36种 B．48种 C．96种 D．192种
26．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标，能够确定不在x 轴上的点的个数是( )
A ．100个 B ．90个
C ．81个 D ．72个
27．从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）
3232532325 A．C 5种 C. A 5种 C 4种 B. C 5C 4A 5A 4种 D. A 5A 4A 5
28．从4个男生，3个女生中挑选4人参加智力竞赛，要求至少有一个女生参加的选法共有（ ）
A.12种 B.34种 C.35种 D.340种
29．平面上有7个点，除某三点在一直线上外，再无其它三点共线，若过其中两点作一直线，则可作成不同的直线（ ）
A.18条 B.19条 C.20条 D.21条
30．在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查， 至少有两件一级品的抽法共有（ ）
A.60种 B.81种 C.100种 D.126种
填空题
1. 用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个
2．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
3．在△AOB 的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有________个．
4. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列，有 种
5. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有 种。
6．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有 种。
7．若100种产品中有两件次品，现在从中取3件，其中至少有一件是次品的抽法种数 是 种．
8．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 种．
9．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有 种．
10．7个相同的小球，任意放人四个不同的盒子中，每个盒子都不空的放法共 种．
11．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种。
12．有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个, 有 种分配方案？
13. 某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有 种？
解答题
1．有4名男生，5名女生。
⑴从中选出5名代表，有多少种选法？
⑵从中选出5名代表，男生2名，女生3名且某女生必须在内有多少种选法？
⑶从中选出5名代表，男生不少于2名，有多少种选法？
⑷分成三个小组，每组依次有4、3、2人有多少种分组方法？
2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
⑴甲不站两端；
⑵甲、乙必须相邻；
⑶甲、乙不相邻；
⑷甲、乙之间间隔两人；
⑸甲、乙站在两端；
⑹甲不站左端，乙不站右端．
3．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． ⑴共有多少种放法？
⑵恰有一个盒子不放球，有多少种放法？
⑶恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？
⑷恰有两个盒不放球，有多少种放法？
4．按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？⑴分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
⑵甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；⑶平均分成三份，每份2本．
5．用0，1，2，3，4，5这六个数字：
⑴可组成多少个无重复数字的自然数？
⑵可组成多少个无重复数字的四位偶数？
⑶组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少?