八、高等数学试题 2005/1/10
一、填空题（本题20分，每小题4分）
⎛x +a ⎫
1．已知lim ⎪=9，则a =
x →∞⎝x -a ⎭
⎧2⎪，x ≤1
2．设函数f (x ) =⎨1+x 2，当a = , b = 时，f (x ) 在x =1处可导。
⎪⎩ax +b ，x >1
3．方程x +x -1=0共有 个正根。
4．当x = 时，曲线y =ax 2+bx +c 的曲率最大。
π
7
x
5．
⎰02x sin xdx = 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）
1．下列结论中，正确的是（ ）
（A ）若lim x 2n =a ，lim x 2n +1=a ，则lim x n =a ；
n →∞
n →∞
n →∞
（B ）发散数列必然无界；
（C ）若lim x 3n -1=a ，lim x 3n +1=a ，则lim x n =a ；
n →∞
n →∞
n →∞
（D ）有界数列必然收敛。
2．函数f (x ) 在x =x 0处取得极大值，则必有（ ）。 （A ）f '(x 0) =0； （B ）f ''(x 0)
（C ）f '(x 0) =0或f '(x 0) 不存在； （D ）f '(x 0) =0且f ''(x 0)
⎰a f (t ) dt 在[a ，b ]上可导的充分条件是：f (x ) 在[a ，b ]上（ ）
π
π
x
（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
sin x 42(sin3x +cos 4x ) dx ，P =2(x 2sin 3x -cos 4x ) dx ，则必有关系式cos xdx N =4．设M =⎰2，π⎰-π⎰-π2
-1+x 222
（ ）
（A ） N
5．设y =f (x ) 在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f '(x 0) =f ''(x 0) =0，而f '''(x 0) ≠0，则必有（ ）。
（A ）x 0是极值点，(x 0，f (x 0)) 不是拐点； （B ）x 0是极值点，(x 0，f (x 0)) 不一定是拐点； （C ）x 0不是极值点，(x 0，f (x 0)) 是拐点； （D ）x 0不是极值点，(x 0，f (x 0)) 不是拐点。
π
x +3y +4z
==与平面π：4x -2y -2z =3的位置关系是（ ） -2-73
（A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。
6．直线L 6．微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x +e 3x 的特解形式为（ ）
(A)y *=x (ax +b ) e 2x +cxe 3x ； （B ）y *=ae 2x +b (x +c ) e 3x ；
（C ）y *=(ax +b ) e 2x +ce 3x ； (D) y *=(ax +b ) e 2x +cxe 3x 三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算
⎰0
4
x +22x +1
dx .
2．求
⎰
x
dx 2
x +4x +5
⎧x =ln(1+t 2) d 2y 3．设⎨，求。 2
dx ⎩y =t -arctan t
4．求lim ⎢x -x 2ln(1+
⎡
x →∞⎣1⎤) ⎥。 x ⎦
四、解答下列各题（每小题7分，共21分）
1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。
x 2y 2
2．计算由椭圆2+2=1所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
a b
3*．在由平面2x +y -3z +2=0和平面5x +5y -4z +3=0所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点M 0(4, -3, 1) 。
3．在曲线上每一点M (x , y ) 处切线在y 轴上的截距为2xy 2，且曲线过点M 0(1, 2) 。求此曲线方程。
11
五、（7分）设函数f (x ) 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且有⎰xf (x ) dx =f (3) 。试证：必有ξ∈(-0, 3) 使
30
f '(ξ) =-
f (ξ)
ξ
。
答案 一、1.ln3；2. a =-1,b =2；3.1；4. -
b
；5.1. 2a
二、1.A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.C ；6.A.
22111+t 22
三、1. ；2. ln(x +4x +5) -2arctan(x +2) +C ；3. ；4. .
3224t
四、1. H =
13
R , r =
44π6
R ；2. πab 2； R ，V max =
3333
九、高等数学试题 2006/1/10
一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]
（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 2. 设函数f (x ) 在U (x 0，δ) 内有定义，对于下面三条性质：
① f (x ) 在x 0点连续；② f (x ) 在x 0点可导；③f (x ) 在x 0点可微. 若用“P ⇒ Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ]
(A) ②⇒③⇒①；(B) ②⇒①⇒③；(C)③⇒①⇒②； (D) ①⇒②⇒③。 3. 曲线y =
x
[ ] 3-x
(A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。
4. 设函数 f (x ) 在[a , b ]上有定义，则
⎰
b
a
f (x ) dx 存在的必要条件是[ ]
(A) f(x ) 在[a , b ]上可导；(B) f(x ) 在[a , b ]上连续；(C) f(x ) 在[a , b ]上有界；(D) f(x ) 在[a , b ]上单调。 5. y = y (x ) 是微分方程y " + 3y '=e2x 的解，且y '(x 0) = 0，则必有[ ] (A) y (x ) 在x 0某邻域内单调增加； (B) y (x ) 在x 0某邻域内单调减少； (C) y (x ) 在x 0取极大值；(D) y(x ) 在x 0取极小值.
6. 若f (x ) 的导函数是sin x ，则f (x ) 有一个原函数是[ ]
(A) 1+sin x ; (B) 1-sin x ; (C) 1-cos x ; (D) 1+cos x .
二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）
1. lim (
x →∞
x +1x
) =________． 2. f (x ) =x -1
111+
x
的可去间断点是x =__________.
11
____. 4. ⎰xe -x dx 的值是_________. 3. 设 y =, 则dy =__________
0x
5. lim
tan x -x +2α
=________． 6. x →0x sin x ~x , 则α=________.
x →0x 2sin x
7.
⎰
+∞
⎧x =2t -t 2dx
=____________. 8. 设⎨3
(x +2)(x +3) ⎩y =3t -t
d 2y
, 则2=____________.
dx
9. 微分方程
dy 1
-y =-4满足条件y (1) =1的特解是y =_________________. dx x
x 2arctan x
. 三、(8分) 计算不定积分⎰2
1+x
四、(8分) 求曲线y =x -6x +12x +4的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分) 求微分方程y ''+3y '+2y =3xe
2
-x
3
2
的通解.
六、(10分) 在[0，1]上给定函数y =x ，问t 为何值时, 如图所示 阴影部分的面积S 1与S 2的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
七、(6分) 设f (x ) 在[a , b ]上连续, 且不恒为常数又f (x ) 在(a , b ) 内可微,
且f (a ) =f (b ) . 试证:∃ξ∈(a , b ) 使f '(ξ) >0.
一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)
2
二、1. e 2. x =0 3. dy =-
121
dx 1- 4. 5. 2
e 31+x
53d 2y 3
6. α=. 7. ln 8. =. 9. y =x (1-4ln x )
22dx 24(1-t )
9*.a ⨯b =i -5j -3k
三、x arctan x -
11
ln(1+x 2) -(arctanx ) 2+C
22
四、(-∞, +∞) 内为上升曲线. 所以凸区间为(-∞, 2] , 凹区间为[2, +∞) , 拐点为(2, 12) .
五、y =C 1e 六、t =
-x
3
+C 2e -2x +e -x (x 2-3x ) .
2
13, S (t ) 最小 所求体积为 =π 216
十、高等数学试题 2007/1/14
一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分） 1．设数列{x n }收敛，{y n }发散，则必有[ ]成立。 （A ）lim x n y n 存在； （B ）lim
n →∞
n →∞
y n x 存在；（C ）lim(x n +y n ) 不存在；（D ）lim n 存在。
n →∞n →∞y x n n
⎧1
⎪e x +1, x
2, x =0, 则x = 0是f (x ) 的[ ]。 2. 设f (x ) =⎨⎪1
⎪1+x sin , x >0,
x ⎩
(A)可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点； (D) 连续点。
3. 设x 在点x 0处有增量∆x ，函数y = f (x ) 在x 0处有增量∆y ，又f '(x 0) ≠ 0,则当∆x →0时，∆y 是该点微分d y 的[ ] (A)高阶无穷小；(B) 等价无穷小；(C) 低阶无穷小；(D) 同阶但不是等价无穷小。
4. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 上二阶可导且为奇函数，又在(0, +∞) 上f '(x 0) > 0，f ''(x 0) > 0，则在(-∞, 0)上必有[ ] (A) f '(x 0) 0, f ''(x 0) > 0；(C) f '(x 0) 0；(D) f '(x 0) > 0, f ''(x 0)
设α=
⎰
，β=⎰
x 2dx ，γ=⎰
10
，则有关系式[ ]成立。
(A)γ > α > β； (B) α > γ > β ；(C) γ > β > α；(D) β > α > γ.
二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）
1. lim(1+sin 3x )
x →0
12x
=________． 2. 方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2) 内共有______个根.
π
3.
⎰π(x
2-2
7
+1)sin 2xdx =_________.
4.
=________．
5. 球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2 m时，球体体积的增长率为_________.
6. 微分方程y '' + 2y ' - 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分⨯4 = 24分)
⎧x =ln t d 2y 1. 设⎨, 求2. 3
dx t =1⎩y =t
2. 求lim
1⎫⎛1-⎪. x →0x 2x tan x ⎝⎭
3.
求
2.
4．求微分方程(x – y ) y d x – x 2d y = 0的通解.
四、(10分) 设y = x e -x (0 ≤ x
五、(8分) 在曲线上任一点M (x , y ) 处切线在y 轴上的截距为2xy 2, 且曲线经过点M 0(1, 2)，求此曲线的方程.
x ⎧x 2, 0≤x ≤1
六、(8分) 设f (x ) =⎨适当选取a , b 值，使f (x ) 成为可导函数，令ϕ(x ) =⎰f (t ) dt ，并求出
x >1, ⎩ax +b ,
ϕ(x ) 的表达式.
七、(6分) 设f (x ) 具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：∃ξ∈(a , b ) ，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1. e 2.1 3.
32
π
4. 2+C 5. 0.32π 6. C 1e -3x + C 2e x . 2
x
1x 1三、1. 9. 2. . 3.
2arcsin -C . 4. x =Ce y .
322
四、极大值y (1)=
123π⎛513⎫⎛2⎫
, 拐点 2, 2⎪，面积A =-2，体积V = 2-4⎪。 e e e 4⎝e e ⎭⎝e ⎭
五、y =
2x . 2
2x -1
⎧x 3
, ⎪⎪3六、a = 2, b = -1, ϕ(x ) =⎨
⎪x 2-x +1, ⎪3⎩
x ≤1
.
x >1
十、高等数学试题 2008/1/14
一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
⎧n 2+n
n 为奇数⎪⎪n 1．数列f (n ) =⎨，当n →∞时，f (n ) 是 [ ]．
⎪1 n 为偶数⎪⎩n
(A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小． 2．设y =cos(2x +(A) 2n cos[2x +
π
4
) ，则y (n ) = [ ]．
2n +1n π
π]； (B) 2n cos[2x +]； 44n π2n +1]； (D) cos[2x +π]． (C) cos[2x +24
3．设F (x ) =
⎰
x +2πx
e sin t sin t d t ，则F (x ) 为 [ ]．
(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数．
4．设y =y (x ) 是方程y ''+3y '=e 的解，且y '(x 0) =0，则y (x ) 在 [ ]． (A) x 0的某个邻域内单调增加； (B) x 0的某个邻域内单调减少； (C) x 0处取极小值； (D) x 0处取极大值． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. y -e
3
2x
2x
+sin(xy ) =0在x =0处的切线方程是．
2. 一个圆锥形容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m ，则灌入水时水的体积V 对水面高度h 的变化率
为 ．
3．曲线y =x 3-6x 2+12x +4的拐点为
⎧d y 2x ⎪=(1+y ) e
4．满足微分方程初值问题⎨d x 的解为y ＝
⎪y =1 ⎩x =0
⎧3-x 2
, 0≤x ≤1; ⎪⎪2
三、（7分）设 f (x ) =⎨ 试研究函数f (x ) 在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.
⎪1, 1
四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1.
x →.
1x
2. lim x →0
⎛sin x ⎫
⎪. ⎝x ⎭
⎧d 2y ⎪x =ln 3.
设⎨， 计算2．
d x ⎪⎩y =arctan t
4. 计算积分
ln(x x ． ⎰15.
计算积分
x ． 6. 求微分方程y ''+4y =x cos x 的通解．
22
五、（7分）由曲线y =0，x =8，y =x 围成曲边三角形OAB ，其中A 为y =0与x =8的交点，B 为y =x 与
x =8的交点．在曲边OB 上求一点，过此点作y =x 2的切线，使该切线与直线段OA ，AB 所围成的三角形面积
为最大．
六、（7分）求心形线r =a (1+cos θ) 与圆r =3a cos θ所围图形公共部分. 七、（7分）设当x >-1时，可微函数f (x ) 满足
f '(x ) +f (x ) -
1. 求f '(x ) ；
1x
f (t )d t =0， f (0) =. 1
x +1⎰0
2. 证明：当x ≥0时，f (x ) ≥e ．
八、（4分）设f (x ) 在[a , b ]上二阶可导，且f ''(x ) >0，证明答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.
二、1. y =
-x
⎰
b a
f (x )d x ≥(b -a ) f (
a +b
) ． 2
14πx +1. 2. πh 2. 3. (2,12). 4. y =tan(e x +-1) . 3254
πd 2y 1+t 21-=-四、1.2. 2.1, 3. ,
4. 5. , x ln(x C 23
4dx t
6. y =C 1cos 2x +C 2sin 2x + 五. (
12
x cos x +sin x . 39
16256
, ) . 3952
六. πa 。
4
八．提示：f (x ) 在x =
七。提示：两边求导解微分方程。
a +b
处的一阶Taylor 公式为 2
十一、高等数学试题 2009/1/16
一．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
1．f '(x 0) = 0, f ''(x 0) > 0是函数y = f (x ) 在x 0 = x 0处取得极小值的一个[ ]．
(A) 必要充分条件；(B) 充分条件非必要条件；(C) 必要条件非充分条件； (D) 既非必要条件也非充分条件． 2．设C 为任意常数，且F '(x ) = f (x ), 则[ ]． (A) (C)
⎰f (x ) dx =F (x ) +C ； (B) ⎰F '(x ) dx =f (x ) +C ；
⎰F (x ) dx =f '(x ) +C ； (D) ⎰f '(x ) dx =F (x ) +C ．
2
3．设x →0时，(1 – cosx )ln(1 + x 2) 是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比(e x -1) 高阶的无穷小，则正整数n =[ ]． (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．
4．设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，x 1 , x 2是(a , b ) 内任意两点，且x 1
(A) f (b ) – f (a ) = f '(ξ)(b – a ), ξ ∈ (a , b ) ； (B) f (b ) – f (x 1) = f '(ξ)(b – x 1), ξ ∈ (x 1, b ) ； (C) f (x 2) – f (x 1) = f '(ξ)(x 2 – x 1), ξ ∈ (x 1, x 2) ； (D) f (x 2) – f (a ) = f '(ξ)(x 2 – a ), ξ ∈ (a , x 2) ． 5．设函数f (x ) =
x
在(-∞, +∞) 上连续，且lim f (x ) =0，则常数a , b 满足［ ］
x →-∞a +e bx
(A)a 0, b > 0； (C) a ≤ 0, b > 0； (D) a ≥ 0, b
1
⎧
⎪(cosx ) x 2
1. 已知f (x ) =⎨
⎪a ⎩
x ≠0在x =0处连续，则a = ．
x =0
2. 设函数f (x ) 可导，y = f (sin2x ) ，则d y 3．函数f (x ) = ex 的３阶麦克劳林公式为 ． 4．质点以速度t sin t 2(米/秒)
做直线运动，则从时刻t 1=
秒)
到t 2=
秒) 内质点所经过的路程等于＿＿＿(米) ．
5．以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．
1⎧2
x sin ⎪
三、（８分）设函数 f (x ) =⎨x
⎪⎩x sin x
x >0x ≤0
，求f '(x ).
四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. lim x (
x →+∞
π
2
-arctan x ) .
2.
⎰
2x .
d 2y
3. 设函数y = y (x ) 由y = 1 + xe 确定，求2．
d x
y
4. 设函数f (x ) 连续，且
⎰
x 3-10
f (x )d x =x ，求f (7)．
5. y ''+4y =x cos x 的通解．
⎧(1+x 2) y ''=2xy '
五、(8分) 求解微分方程的初值问题：⎨．
⎩y (0)=1, y '(0)=3
⎧xe -x ,
六、（８分）设函数f (x ) =⎨
⎩1+x ,
x ≥0x
，计算
⎰
20
f (x -1)d x .
七、（８分）在抛物线y = – x 2 + 1(x > 0)上求一点P , 过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小．
八、(8分) 设函数f (x ) 在[1, +∞) 上连续，由曲线y = f (x ), 直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为
V (t ) =
又已知f (2)=
π
3
[t 2f (t ) -f (1)]，
2
，求f (x ) . 9
九、（６分）设函数y =f (x ) 在(-1, 1)内具有二阶连续导数且f ''(x ) ≠0， (1)证明对于(-1, 1)内任一x ≠ 0, 存在惟一的θ (x ) ∈ (0, 1),使
f (x ) = f (0) + xf '[θ (x ) ⋅x ]
成立；
(2)求lim θ(x ) ．
x →0
答案：一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D
1x 2x 3
++o (x 3) . 4. . 二、1. a =e . 2. dy =sin 2xf '(sinx ) dx . 3. f (x ) =1+x +
226
-
1
2
3
5. y ''+ 4y = 0.
11⎧2x sin -cos , x >0⎪x x ⎪x C , x
2. 2arcsin 三、f '(x ) =⎨sin x +x cos x ,
2⎪0x =0
⎪⎩1d 2y e 2y (3-y )
f (7)=3. , 4. 五. y = x 3 + 3x + 1. =23
12dx (2-y )
六.
32
-2e -1。 七.
P ) 23
八．y =
x
1+x 3
十二、高等数学试题 2010/01/16
一．单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1．x = 0是函数f (x ) =
21+e
3x
+
sin x
的[ ]间断点． |x |
(A) 可去；(B) 跳跃；(C) 震荡； (D) 无穷．
ln[f (1)f (2)⋅⋅⋅f (n )]
= [ ]．
n →∞n 2ln 2e
(A) ln2； (B) ； (C) 2； (D) ．
22
2．设 f (x ) = 2x , 则lim 3．函数f (x ) =
⎰
x +π
x -π
e sin t sin tdt ，则f (x ) = [ ]．
(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 零； (D) 非常数．
4．设y 1 , y 2是二阶线性方程y " + P (x ) y ' + Q (x ) y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数) 是该方程通解的充分必要条件是[ ]．
(A) y 1'y 2+y 2'y 1=0； (B) y 1'y 2+y 2'y 1≠0； (C) y 1'y 2-y 2'y 1=0； (D) y 1'y 2-y 2'y 1≠0． 5．若f (x ) 在[a , b ]上有二阶导数，且f (x ) > 0, 能使不等式f (b )(b -a )
⎰
b
a
f (x ) dx
f (b ) +f (a )
成立的是
2
［ ］
(A)f '(x ) 0, f "(x ) > 0； (C) f '(x ) > 0, f "(x ) 0． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1
⎧x ⎪
1. 若函数f (x ) =⎨(1+x )
⎪⎩a
x ≠0在x =0处连续，则a = ．
x =0
2. 函数
f (x ) =
πx -sin x +在(0,) 内的极小值为 ．
222
x →0
3．函数f (x ) 在(-∞, +∞) 是可导的偶函数，且lim 为 ． 4．若
f (3-x ) -f (3)
=1, 则y = f (x ) 在点(-3, f (-3)) 处的切线斜率
2x
⎰
x
f (t ) dt =
14
x ，则f (1) =＿＿＿． 2
π
5．若f (x ) 在[-
ππ
, ]上连续，则⎰2π[f (x ) -f (-x )]sin2xdx =
-222
x →0
6．若方程y ' + y tanx = -2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则lim 三、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．
f (x )
=＿＿＿＿． x
dy a 2x arcsin (a > 0), 求. 1.
若y =
dx 2a
2. 求极限lim(x -x sin ) .
x →∞
2
3. 计算不定积分(arcsinx ) dx ．
23
1x
⎰
4.
计算定积分
⎰
50
x ． 3
⎧x =t , d 2y ⎪5
．若⎨，求2
3dx t =π
⎪⎩y =t , 4
6．如果y = f (x )
满足∆y =
x +o (∆x ) ，且f (1) = 1, 求f (x ) ．
四、(8分) 摆线⎨
⎧x =a (t -sin t ),
(a > 0)的第一拱(0 ≤ t ≤ 2π), 求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与x 轴围成的平面图
y =a (1-cos t ), ⎩
形绕x 轴旋转一周所得立体的体积．
五、（８分）若ϕ (x ) 连续，且满足方程ϕ(x ) =e x +初值问题；(2)求ϕ (x ).
六、（4分）若f (x ) 在[0, a ]上连续，且
⎰
x 0
t ϕ(t ) dt -x ⎰ϕ(t ) dt ，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程
x
⎰
a
f (x ) dx =0，证明至少存在一点ξ∈(0, a ) ，使得f (ξ) +⎰f (x ) dx =0.
ξ
答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.D. 5. D
二、1. e . 2. 三、
1.
π
. 3. 2. 4.2. 5.0 6. -2. 6
14
2. ,
3. x (arcsinx ) 2+x -2x +C , 4.6, 5.
6.
63
十三、高等数学试题 2011/01/14 一．单项选择题 1．x = 0是函数f (x ) =
(x +1)sin x
的[ ]间断点．
|x |
(A) 可去；(B) 跳跃；(C) 震荡； (D) 无穷． 2．下列结论中，正确的是[ ]
（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 3．设C 1, C 2是任意常数， 则函数y = C 1e x + C 2e -2x + x e x 满足的微分方程式[ ]．
(A) y " + y ' - 2y = 3ex ； (B) y " + y ' - 2y = 3x e x ； (C) y " - y ' - 2y
． 4．设函数设f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续，其导函数f '(x ) (A) 一个极小值点和两个极大值点； (B) 两个极小值点和一个极大值点； (C) 三个极小值点和一个极大值点； (D) 两个极小值点和两个极大值点．
5．设f (x ) 连续，f (0) = 0, f '(0) ≠ 0, F (x ) =(A)1； (B)2； (C)3； (D)4． 二、填空题
1. 设y = lnx , y (n ) (1) = 2.
⎰
x
(x 2-t 2) f (t ) dt , 且当x → 0时，F '(x ) 与x 是同阶无穷小， 则k = [ ］
⎰
1-1
x =．
3．
(x +cos x 2) xdx =
4．位于y 轴右侧，x 轴上方，曲线y =
1
下方的平面图形的面积为＿＿＿． 1+x 2
5．水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受到的
水压力为＿＿＿＿． 三、计算下列各题
1.
求极限x →0
2. 求函数. f (x ) =⎨
⎧ln(1-x ), x
的导数. x ≥0, ⎩sin x ,
⎧x =ln(1+t 2), d 2y
3. f (x ) =⎨求2．
dx ⎩y =t -arctan t , t =1
4. 确定曲线f (x ) =四、求下列积分 1．2
．
⎰
x 0
(t -1)(t -2) 2dt 的凹凸区间与拐点．
⎰⎰
10
x 2cos x dx x ．
五、解微分方程
⎧xy ''-y '=2x 3,
1. 求解初值问题⎨
'⎩y (1)=1, y (1)=2,
2．求y ''-3y '+2y =sin x 的通解.
六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高 七、设f (x ) 在[0, 1]上可微，且f (1)=2
⎰
1
20
e 1-x f (x ) dx ，证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得f '(ξ) =2ξf (ξ) .
2
答案：一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C
二、1. (-1)
n -1
(n -1)! . 2. arcsinex + C . 3.
2π
. 4. . 5. 24g(KN). 32
⎧1
, x
),(2,- 三、1. . 2. f '(x ) =⎨x -1, 3. , 4. 拐点(, -
423813⎪⎩cos x , x >0,
四、1. x sin x +2x cos x -2sin x +C . 2.
2
π
32
31x 4x 21
++. 2. y =C 1e x +C 2e 2x +cos x +sin x 五、1. y =
1010424
六、V max =
十四、高数2012/01/09 一、单项选择题
1．若f (x ) 在(-∞，+∞) 内可微，当∆x → 0时，在任意点x 处的∆y - dy 是关于∆x 的[ ] (A)高阶无穷小； (B)等价无穷小；(C)同阶无穷小；(D)低阶无穷小。
324π, h =。 813
x 5-1|x -1|
2．lim e
x →1x -1
(A)等于5； (B)等于0；(C)为+∞；(D)不存在但不为∞。 3．lim
1
a tan x +b (1-cos x )
=2，其中a 2 + c 2 ≠ 0, 则必有 -x x →0c ln(1-2x ) +d (1-e )
(A)b = 4d ； (B) b = -4d ；(C) a = 4c ；(D) a = -4c 。
二、计算
3
⎧π⎪x =a cos t ,
t = 1．求星形线⎨在时的切线方程。 3
6⎪⎩y =a sin t ,
2
．求
⎰
(a > 0)。
x 2
2
3．求lim
cos x -e x →0x 4
-
。
⎧dy
⎪=ky
4．求解初值问题⎨dt 。
⎪⎩y |t =0=y 0,
5．设f (x ) ∈ C [-a , a ] (a > 0), 证明：
⎰
a
-a
f (x ) dx =⎰[f (x ) +f (-x )]dx ，并计算⎰4π
a
dx
。
-1+sin x 4
π
6．确定常数a 和b ，使得当x → 0时，f (x ) = x – (a + b cos x )sin x 是关于x 的5阶无穷小。 7
．求序列1的最大项。
x 2y 2
三、计算由椭圆2+2=1所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的椭球体的体积。
a b ⎧-x 12⎪
四、函数f (x ) =⎨e
⎪⎩0
x ≠0，判断函数f (x ) 在x = 0处是否可导，如不可导请给出理由；如可导，请求出一阶和
x =0
二阶导数，并对n (n ≥ 3)阶导数值给出猜测。
五、设物体A 从点(0，1) 出发以常速度v 沿y 轴正向运动，物体B 以常速度2v 从点(-1，0) 与A 同时出发，方向始终指向A ，建立物体B 运动轨迹所满足的微分方程。
2n -12n 2-1
)
⨯(2n -1)
e
七、f (x ) 是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，并且对任意实数x ，f (x ) - f ''(x ) ≥ 0，证明：对任意实数x ，f (x ) ≥ 0。
八、对任意一个定义在[0, 1]上的连续函数f (x ) ，定义A (f ) =有连续函数时，A (f ) – B (f )的最大值。 答案
一、1.A; 2.C; 3.D. 二、
1. y -
⎰
1
x 2f (x ) dx ，B (f ) =⎰x (f (x )) 2dx ，求f (x ) 取遍所
1
141a =x ) ；
2. ln(x +C ；3. -；4. y =y 0e kt ；5.2；6. a =-, b =；
33128
7.
=f
(n )
42
三、πab 。四、f '(0)=f ''(0)=
3
n
⎧⎪2xy ''+=0
。 (0)=
0。五、⎨
⎪⎩y (-1) =0, y '(-1) =1
六、ln[1⨯3⨯5⨯
⨯(2n -1)]=∑ln(2i -1)
i =1
⎰
2n -1
1
ln xdx
i =1
n
2n +1
3
ln xdx
七、因f (x ) 是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，则存在最小值，设为f (x 0) 。
若f (x 0)
⎰[x
01
1
2
f (x ) -x (f (x )) ]dx =⎰xf (x )[x -f (x )]dx
2
1
31x f (x ) +x -f (x ) 21
) dx =⎰dx =。 ≤⎰x (
004216
十五、高数2013/01/08
一、单项选择题
1．当x → 0时，下列4个无穷小中比其它3个更高阶的无穷小是[ ]
x
(A) ln(1+x ) ； (B) e -1；(C) tan x -sin x ；(D) 1-cos x 。
⎧x 3⎪
2．设f (x ) =⎨3
⎪x 2⎩
x ≤1x >1
，则f (x ) 在x = 1处[ ]
(A)左、右导数都存在； (B) 左导数存在，但右导数不存在； (C) 右导数存在，但左导数不存在； (D) 左、右导数都存在。 3．设C 为任意实数，F '(x ) = f (x ), 则下列各式中正确的是[ ] (A) (C)
⎰F '(x ) dx =f (x ) +C ； (B) ⎰f (x ) dx =F (x ) +C ；
d
f (x ) dx =f (x ) +C ；(D) dx ⎰
x
-x
⎰f '(x ) dx =F (x ) +C 。
4．方程e +e =4+cos x 在(-∞, +∞) 内[ ]
(A)无实根；(B)有且仅有一个实根；(C) 有且仅有两个实根；(D) 有无穷多个实根。 5．微分方程y " + y = sinx 的一个特解的形式为[ ]
(A) Ax sin x ；(B) A cos x +B sin x ；(C) Ax cos x +B sin x ；(D) Ax cos x +Bx sin x 。 二、填空题
1⎧1
sin x +x sin ⎪
1．已知f (x ) =⎨x x
⎪b ⎩
x ≠0x =0
在x =0处连续，则b =
2．曲线y = lnx 在点y = 2x - 3. 3．已知F (x ) 是sin x 2的一个原函数，则d (F (x )) = 4．微分方程y ''-10y '+25y =0的通解是 。
2
⎛x +t ⎫
5．设f (x ) =lim t ⎪，则f ''(0)= 。 x →∞
⎝x -t ⎭
x
三、计算题 1．求lim
x →
π
2
ln sin x
。 2
(π-2x )
⎧x =a cos 3t d 2y 2．设⎨，求2。 3
dx y =a sin t ⎩
3．已知方程x -四、计算积分
2
1．求x cos xdx 。
⎰
y +x
1
e dt =⎰
t 2
x 2+x
cos tdt 确定函数y = y (x ) ，求
dy dx
。
x =0
⎰
2
．求
1。 2
五、求曲线y =x +
1
的凹凸区间、拐点及渐近线。 x
六、一密度为2.5⨯103（单位：kg/m3），底半径为r (单位：m) ，高为h(单位：m) 的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。
七、设函数f (x ) 满足方程xf '(x ) -3f (x ) =-6x 2，且由曲线y = f (x ) ，直线x = 1与x 轴围成的平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D 的面积。 八、设函数f (x ) 在[0, 1]上非负连续，证明：
(1)存在x 0∈(0,1)，使在[0,x 0]上以f (x 0) 为高的矩形面积S 1等于在[x 0,1]上以y = f (x ) 为曲边的曲边梯形面积S 2。 (2)若函数f (x )在(0, 1)内可导，且f '(x ) >- 答案
十六、高数2014/01/13
一 单项选择题（每小题4分，共24分） 1 若函数f (x ) 满足
n
2f (x )
，则(1)中的x 0是唯一的。 x
f ' (x ) =e f (x ) ，且f (0) =1 ，则 f (n ) (0) =（ ）.
n
A: (n -1)! ⋅e , B: n ! ⋅e , C: (n -1)! ⋅e
sin x
-2-sin x ) dx , 则 I 2 对于积分 I =⎰(2
02π
n -1
, D: n ! ⋅e
n -1
.
（ ）.
A ：=2π B: =0 C：0 .
⎧x 3
, x ≥1⎪
3 设 f (x ) =⎨ ，则f (x ) 在[0，2]上满足的Lagrange 中值定理的ξ =（ ）.
2
⎪x +x -1, x
A：
777333
, B ： , C ： 或, D ：± 或.
444222
4 极限
lim
x →0
sin x x ⋅ln(1+x )
() =（ x
1
）.
A ：e B：e
5 若f (x ) 连续，且
16-16
C：e
-13
D ：e
13
⎰
-1
xf (x ) dx >0, ⎰xf (x ) dx >0, 则（ ）.
1
A ：当x ∈(-1, 1) 时，f (x ) 0， C ：f (x ) 在(-1, 1) 至少有一个零点. D: f (x ) 在(-1, 1) 必无零点.
6 若函数 F (x ) =
⎰
x
(2t -x ) ⋅f (t ) dt ， 其中f (x ) 在(-1, 1) 二阶可导，
并且f ' (x ) >0，当x ∈(-1, 1) 时, 则（ ）.
A: F (x ) 在x =0取极大值 ; B: F (x ) 在x =0取极小值 ;
C: F (x ) 在x =0不取极值 , 点(0, 0) 也不是曲线y =F (x ) 的拐点；
D: F (x ) 在x =0不取极值, 但是点(0, 0) 是曲线y =F (x ) 的拐点.
二 填空题（每小题4分，共24分） 7 函数
f (x ) =x 3-6x 2+1 在x ∈(-1,1) 的极大值是 （
）.
8 反常积分
⎰
∞
1x x -1
2
=（ ）.
2
22
9 曲线y =k (x -3) 在拐点处的法线经过原点，则常数k =（ ）.
10 曲线
y =⎰tan tdt 位于0≤x ≤π
x
4
的弧长是（ ）.
11 若f (x ), g (x ) 在(-∞, +∞) 连续，且 g (x ) ⋅
则
⎰
2
f (x ) dx =10x ,
⎰
1
g (x ) dx ⋅⎰f (x ) dx = （ ）.
2
12 若二阶常系数线性非齐次方程 y " +py ' +qy =f (x ) 的三个解是：
y 1=x (e -x +e -2x ) ，y 2=xe -x +e -2x ，y 3=xe -x +(x +1) e -2x ，
则p -4q ＝（ ）.
三 解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）
2
x 2-1
13 （8分）求f (x ) = 的间断点，并指出其类型.
sin(π⋅x )
14 （8分）若f (x ) 非负连续，且f (x ) ⋅
⎰
x
π
f (x -t ) dt =sin 4x , 求f () 的值.
2
15
x 4a 3b 2
+x +x +2x 在x =-2处 （8分） 确定a , b , ξ的值，使得f (x ) =
432
取极值，在x =ξ（ξ≠-2）处使f ' (ξ) =0，但f (ξ) 不是极值.
1⎧
y " +4y =(x +cos 2x ) ⎪2⎪
16 （8分）求解二阶初值问题：⎨y (0) =0.
⎪
⎪y ' (0) =0⎩
17 （8分）设
⎧1-t 2
⎪⎰x e dt , x ≥0
f (x ) =⎨,
-1⎪e , x
计算
⎰
-2
(x +1) 2f (x +1) dx .
18 （8分）求在上半平面由曲线
x =的平面图形，
（1）面积, （2）围绕
，y =2-x 2和y =-x 所围成
y 轴旋转一周的立体体积.
19 （4分）若x ∈[0，1]时，f "(x ) >0，证明：对任意正常数α，
参考答案
一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8:
⎰
1
f (x α) dx ≥f (
1
) . α+1
π1, 9: , 10: 2+1) , 11: 5, 12: 0. 232
三
13 间断点是 x =k , (k 是整数) ,……….. 2分
lim
x →1
x 2-12x -2
=lim =, …..x=1是第一类(可去) 间断点…. 4分, sin πx πx →1π⋅cos πx x 2-12x 2
=lim =, ….. x= -1是第一类(可去) 间断点…..6分, sin πx x →-1π⋅cos πx π
lim
x →-1
x 2-1
=∞, ….. x =k (k ≠±1) 是第二类(无穷) 间断点 ….. 8分. lim x →k (k ≠±1) sin πx
14 解
⎰
x
f (x -t ) dt x -t =u
⎰
x
, ……… 2 分 f (u ) du 记为F （x ）
则F ' (x ) =f (x ) , 于是
f (x ) ⋅
⎰
x
f (x -t ) dt =sin 4x ⇒⇒F '(x ) ⋅F (x ) =sin 4x ，
∴dF (x ) =2sin xdx ⇒⇒F (x ) =4分
24
∴f (x ) =F ' (x ) =
4……………………6分
ππ
,
则f () =取 x =
22
sin 4
π
=
=… 8分
15 解 显然 f ' (x ) =x 3+ax 2+bx +2…………… 1分 由题意知道 f ' (x ) =(x +2) ⋅(x -ξ) 2……. 4分, 比较 x +ax +bx +2≡(x +2) ⋅(x -ξ) 2, 则
a =-2ξ+2,
3
2
b =ξ2-4ξ, ξ2=1,
⎧ξ=1⎧ξ=-1⎪⎪
⎨a =0……. 6分 , ⎨a =4…………8分 .
⎪b =-3⎪b =5⎩⎩
16 解 特征方程 r +4=0, r 1, 2=±2i ,
齐次方程 y " +4y =0的通解是y h =C 1cos 2x +C 2sin 2x ……… 2分 显然非齐次方程 y " +4y =非齐次方程 y " +4y =
2
1x
x 的特解y 1p =, ……. 3分 28
1
cos 2x 的特解y 2p =x (a sin 2x +b cos 2x ) , 2
1x
不难求出a =, b =0, 则 y 2p =sin 2x ……………. 4分
88
x x
原方程通解为 y =C 1cos 2x +C 2sin 2x ++sin 2x …….6分
88
⎧x =0,
1⎪
代入⎨ y =0 , 则 C 1=0, C 2=-, 所求初值问题是
16⎪y ' =0
⎩
y =17
-1x x
sin 2x ++sin 2x , ……………………… 8分 1688
⎰
-2
(x +1) 2f (x +1) dx
1-11
令x +1=t ⎰t 2f （t ）dt ……………. 2分
=
⎰t
-1
2-1
e dt +⎰
t 3
f （t ）d （） ………… 4分
3
3t 1131-t 21f （t -⎰t （-e ）dt += 03303e
2111
+0-⎰t 2d （e -t ）
03e 6
112-t 211-t 21
-t e -e = 003e 661
= . ………. 8分
6
=
2
⎧y =2-x
18 解
⎨，交点 A (1, 1)，
⎩x =⎧y =2-x 2 ⎨交点B （-1，1） …………….2 分
y =-x ⎩
(1) A =
15122
(2-x ) dx --⎰0x dx 2=2 ………………..6分 ⎰-1
1
(2) V y
=2π⎰x (2-x ) dx -2π⎰x 3dx = π ………8分.
1
2
1
（ 或 V y =π⎰ydy +π⎰(2-y ) dy =π
1
12
…….8分）
19 证明(法1) 利用Taylor 定理
111112) +f '()(x -) +f "(ξ)(x -) α+1α+1α+12! α+1111) +f '()(x -) ………. 2分 ≥f (
α+1α+1α+1
111α
) +f '()(x α-) ……….. 3 分 ∴f (x ) ≥f (
α+1α+1α+1
f (x ) =f (
⎰
1
f (x α) dx ≥⎰f (
1
11111
) dx +f '() ⎰(x α-) dx =f (). ……4分 α+1α+10α+1α+1
证明 (法2) 左-右=
⎰
1α+10
[f (x α) -f (
1α+10
111)]dx +1[f (x α) -f ()]dx α+1α+1α+1
=f '(ξ) ⋅
⎰
111(x -) dx +f '(η) ⋅1(x α-) dx ， 0
α+1α+1α+1
α
(α+1) α-1
= ⋅[f '(η) -f '(ξ)] α+2
(α+1)
(α+1) α-1
⋅f ''(δ)(η-ξ) ≥0 . =
(α+1) α+2
八、高等数学试题 2005/1/10
一、填空题（本题20分，每小题4分）
⎛x +a ⎫
1．已知lim ⎪=9，则a =
x →∞⎝x -a ⎭
⎧2⎪，x ≤1
2．设函数f (x ) =⎨1+x 2，当a = , b = 时，f (x ) 在x =1处可导。
⎪⎩ax +b ，x >1
3．方程x +x -1=0共有 个正根。
4．当x = 时，曲线y =ax 2+bx +c 的曲率最大。
π
7
x
5．
⎰02x sin xdx = 。
二、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分）
1．下列结论中，正确的是（ ）
（A ）若lim x 2n =a ，lim x 2n +1=a ，则lim x n =a ；
n →∞
n →∞
n →∞
（B ）发散数列必然无界；
（C ）若lim x 3n -1=a ，lim x 3n +1=a ，则lim x n =a ；
n →∞
n →∞
n →∞
（D ）有界数列必然收敛。
2．函数f (x ) 在x =x 0处取得极大值，则必有（ ）。 （A ）f '(x 0) =0； （B ）f ''(x 0)
（C ）f '(x 0) =0或f '(x 0) 不存在； （D ）f '(x 0) =0且f ''(x 0)
⎰a f (t ) dt 在[a ，b ]上可导的充分条件是：f (x ) 在[a ，b ]上（ ）
π
π
x
（A ）有界； （B ）连续； （C ）有定义； （D ）仅有有限个间断点。
sin x 42(sin3x +cos 4x ) dx ，P =2(x 2sin 3x -cos 4x ) dx ，则必有关系式cos xdx N =4．设M =⎰2，π⎰-π⎰-π2
-1+x 222
（ ）
（A ） N
5．设y =f (x ) 在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f '(x 0) =f ''(x 0) =0，而f '''(x 0) ≠0，则必有（ ）。
（A ）x 0是极值点，(x 0，f (x 0)) 不是拐点； （B ）x 0是极值点，(x 0，f (x 0)) 不一定是拐点； （C ）x 0不是极值点，(x 0，f (x 0)) 是拐点； （D ）x 0不是极值点，(x 0，f (x 0)) 不是拐点。
π
x +3y +4z
==与平面π：4x -2y -2z =3的位置关系是（ ） -2-73
（A ）L 与π平行但L 不在π上； （B ）L 与π垂直相交； （C ）L 在π上； （D ）L 与π相交但不垂直。
6．直线L 6．微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x +e 3x 的特解形式为（ ）
(A)y *=x (ax +b ) e 2x +cxe 3x ； （B ）y *=ae 2x +b (x +c ) e 3x ；
（C ）y *=(ax +b ) e 2x +ce 3x ； (D) y *=(ax +b ) e 2x +cxe 3x 三、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算
⎰0
4
x +22x +1
dx .
2．求
⎰
x
dx 2
x +4x +5
⎧x =ln(1+t 2) d 2y 3．设⎨，求。 2
dx ⎩y =t -arctan t
4．求lim ⎢x -x 2ln(1+
⎡
x →∞⎣1⎤) ⎥。 x ⎦
四、解答下列各题（每小题7分，共21分）
1．在半径为R 的球内嵌入有最大体积的圆柱体，求此时圆柱体体积的最大值以及底半径与高的值。
x 2y 2
2．计算由椭圆2+2=1所围成的图形的面积以及此图形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积。
a b
3*．在由平面2x +y -3z +2=0和平面5x +5y -4z +3=0所决定的平面束内求两个相互垂直的平面，其中一个经过点M 0(4, -3, 1) 。
3．在曲线上每一点M (x , y ) 处切线在y 轴上的截距为2xy 2，且曲线过点M 0(1, 2) 。求此曲线方程。
11
五、（7分）设函数f (x ) 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且有⎰xf (x ) dx =f (3) 。试证：必有ξ∈(-0, 3) 使
30
f '(ξ) =-
f (ξ)
ξ
。
答案 一、1.ln3；2. a =-1,b =2；3.1；4. -
b
；5.1. 2a
二、1.A ；2.C ；3.B ；4.D ；5.C ；6.A.
22111+t 22
三、1. ；2. ln(x +4x +5) -2arctan(x +2) +C ；3. ；4. .
3224t
四、1. H =
13
R , r =
44π6
R ；2. πab 2； R ，V max =
3333
九、高等数学试题 2006/1/10
一、选择题（本大题24分，共有6小题，每小题4分） 1．下列结论中，正确的是[ ]
（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 2. 设函数f (x ) 在U (x 0，δ) 内有定义，对于下面三条性质：
① f (x ) 在x 0点连续；② f (x ) 在x 0点可导；③f (x ) 在x 0点可微. 若用“P ⇒ Q ”表示由性质P 推出性质Q ，则应有[ ]
(A) ②⇒③⇒①；(B) ②⇒①⇒③；(C)③⇒①⇒②； (D) ①⇒②⇒③。 3. 曲线y =
x
[ ] 3-x
(A)既有水平渐近线，又有垂直渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有垂直渐近线；(D)无任何渐近线。
4. 设函数 f (x ) 在[a , b ]上有定义，则
⎰
b
a
f (x ) dx 存在的必要条件是[ ]
(A) f(x ) 在[a , b ]上可导；(B) f(x ) 在[a , b ]上连续；(C) f(x ) 在[a , b ]上有界；(D) f(x ) 在[a , b ]上单调。 5. y = y (x ) 是微分方程y " + 3y '=e2x 的解，且y '(x 0) = 0，则必有[ ] (A) y (x ) 在x 0某邻域内单调增加； (B) y (x ) 在x 0某邻域内单调减少； (C) y (x ) 在x 0取极大值；(D) y(x ) 在x 0取极小值.
6. 若f (x ) 的导函数是sin x ，则f (x ) 有一个原函数是[ ]
(A) 1+sin x ; (B) 1-sin x ; (C) 1-cos x ; (D) 1+cos x .
二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共9小题, 每小题4分, 共36分）
1. lim (
x →∞
x +1x
) =________． 2. f (x ) =x -1
111+
x
的可去间断点是x =__________.
11
____. 4. ⎰xe -x dx 的值是_________. 3. 设 y =, 则dy =__________
0x
5. lim
tan x -x +2α
=________． 6. x →0x sin x ~x , 则α=________.
x →0x 2sin x
7.
⎰
+∞
⎧x =2t -t 2dx
=____________. 8. 设⎨3
(x +2)(x +3) ⎩y =3t -t
d 2y
, 则2=____________.
dx
9. 微分方程
dy 1
-y =-4满足条件y (1) =1的特解是y =_________________. dx x
x 2arctan x
. 三、(8分) 计算不定积分⎰2
1+x
四、(8分) 求曲线y =x -6x +12x +4的升降区间, 凹凸区间及拐点. 五、(8分) 求微分方程y ''+3y '+2y =3xe
2
-x
3
2
的通解.
六、(10分) 在[0，1]上给定函数y =x ，问t 为何值时, 如图所示 阴影部分的面积S 1与S 2的和最小，何时最大？并求此时两图形 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
七、(6分) 设f (x ) 在[a , b ]上连续, 且不恒为常数又f (x ) 在(a , b ) 内可微,
且f (a ) =f (b ) . 试证:∃ξ∈(a , b ) 使f '(ξ) >0.
一、1．(C) 2.(A) 3.(A ) 4 .(C). 5.(D) 6. (B)
2
二、1. e 2. x =0 3. dy =-
121
dx 1- 4. 5. 2
e 31+x
53d 2y 3
6. α=. 7. ln 8. =. 9. y =x (1-4ln x )
22dx 24(1-t )
9*.a ⨯b =i -5j -3k
三、x arctan x -
11
ln(1+x 2) -(arctanx ) 2+C
22
四、(-∞, +∞) 内为上升曲线. 所以凸区间为(-∞, 2] , 凹区间为[2, +∞) , 拐点为(2, 12) .
五、y =C 1e 六、t =
-x
3
+C 2e -2x +e -x (x 2-3x ) .
2
13, S (t ) 最小 所求体积为 =π 216
十、高等数学试题 2007/1/14
一、选择题（本大题20分，共有5小题，每小题4分） 1．设数列{x n }收敛，{y n }发散，则必有[ ]成立。 （A ）lim x n y n 存在； （B ）lim
n →∞
n →∞
y n x 存在；（C ）lim(x n +y n ) 不存在；（D ）lim n 存在。
n →∞n →∞y x n n
⎧1
⎪e x +1, x
2, x =0, 则x = 0是f (x ) 的[ ]。 2. 设f (x ) =⎨⎪1
⎪1+x sin , x >0,
x ⎩
(A)可去间断点；(B) 跳跃间断点；(C) 无穷间断点； (D) 连续点。
3. 设x 在点x 0处有增量∆x ，函数y = f (x ) 在x 0处有增量∆y ，又f '(x 0) ≠ 0,则当∆x →0时，∆y 是该点微分d y 的[ ] (A)高阶无穷小；(B) 等价无穷小；(C) 低阶无穷小；(D) 同阶但不是等价无穷小。
4. 设f (x ) 在(-∞, +∞) 上二阶可导且为奇函数，又在(0, +∞) 上f '(x 0) > 0，f ''(x 0) > 0，则在(-∞, 0)上必有[ ] (A) f '(x 0) 0, f ''(x 0) > 0；(C) f '(x 0) 0；(D) f '(x 0) > 0, f ''(x 0)
设α=
⎰
，β=⎰
x 2dx ，γ=⎰
10
，则有关系式[ ]成立。
(A)γ > α > β； (B) α > γ > β ；(C) γ > β > α；(D) β > α > γ.
二、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共6小题, 每小题4分, 共24分）
1. lim(1+sin 3x )
x →0
12x
=________． 2. 方程x 5 – 5x – 1 = 0在(1, 2) 内共有______个根.
π
3.
⎰π(x
2-2
7
+1)sin 2xdx =_________.
4.
=________．
5. 球体半径的增长率为0.02m/s，当半径为2 m时，球体体积的增长率为_________.
6. 微分方程y '' + 2y ' - 3y = 0的通解为y = _________. 三、计算题(6分⨯4 = 24分)
⎧x =ln t d 2y 1. 设⎨, 求2. 3
dx t =1⎩y =t
2. 求lim
1⎫⎛1-⎪. x →0x 2x tan x ⎝⎭
3.
求
2.
4．求微分方程(x – y ) y d x – x 2d y = 0的通解.
四、(10分) 设y = x e -x (0 ≤ x
五、(8分) 在曲线上任一点M (x , y ) 处切线在y 轴上的截距为2xy 2, 且曲线经过点M 0(1, 2)，求此曲线的方程.
x ⎧x 2, 0≤x ≤1
六、(8分) 设f (x ) =⎨适当选取a , b 值，使f (x ) 成为可导函数，令ϕ(x ) =⎰f (t ) dt ，并求出
x >1, ⎩ax +b ,
ϕ(x ) 的表达式.
七、(6分) 设f (x ) 具有二阶连续导数，且f (a ) = f (b ), f '(a ) > 0, f '(b ) > 0, 试证：∃ξ∈(a , b ) ，使f ''(ξ) = 0. 答案：一、1．(C) 2.(A) 3.(B ) 4 .(D). 5.(A) 二、1. e 2.1 3.
32
π
4. 2+C 5. 0.32π 6. C 1e -3x + C 2e x . 2
x
1x 1三、1. 9. 2. . 3.
2arcsin -C . 4. x =Ce y .
322
四、极大值y (1)=
123π⎛513⎫⎛2⎫
, 拐点 2, 2⎪，面积A =-2，体积V = 2-4⎪。 e e e 4⎝e e ⎭⎝e ⎭
五、y =
2x . 2
2x -1
⎧x 3
, ⎪⎪3六、a = 2, b = -1, ϕ(x ) =⎨
⎪x 2-x +1, ⎪3⎩
x ≤1
.
x >1
十、高等数学试题 2008/1/14
一．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
⎧n 2+n
n 为奇数⎪⎪n 1．数列f (n ) =⎨，当n →∞时，f (n ) 是 [ ]．
⎪1 n 为偶数⎪⎩n
(A) 无穷大；(B) 无界但非无穷大；(C) 无穷小； (D) 有界但非无穷小． 2．设y =cos(2x +(A) 2n cos[2x +
π
4
) ，则y (n ) = [ ]．
2n +1n π
π]； (B) 2n cos[2x +]； 44n π2n +1]； (D) cos[2x +π]． (C) cos[2x +24
3．设F (x ) =
⎰
x +2πx
e sin t sin t d t ，则F (x ) 为 [ ]．
(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 恒为零 (D) 不为常数．
4．设y =y (x ) 是方程y ''+3y '=e 的解，且y '(x 0) =0，则y (x ) 在 [ ]． (A) x 0的某个邻域内单调增加； (B) x 0的某个邻域内单调减少； (C) x 0处取极小值； (D) x 0处取极大值． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分） 1. y -e
3
2x
2x
+sin(xy ) =0在x =0处的切线方程是．
2. 一个圆锥形容器，深度为10m ，上面的顶圆半径为4m ，则灌入水时水的体积V 对水面高度h 的变化率
为 ．
3．曲线y =x 3-6x 2+12x +4的拐点为
⎧d y 2x ⎪=(1+y ) e
4．满足微分方程初值问题⎨d x 的解为y ＝
⎪y =1 ⎩x =0
⎧3-x 2
, 0≤x ≤1; ⎪⎪2
三、（7分）设 f (x ) =⎨ 试研究函数f (x ) 在[0, 2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件.
⎪1, 1
四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1.
x →.
1x
2. lim x →0
⎛sin x ⎫
⎪. ⎝x ⎭
⎧d 2y ⎪x =ln 3.
设⎨， 计算2．
d x ⎪⎩y =arctan t
4. 计算积分
ln(x x ． ⎰15.
计算积分
x ． 6. 求微分方程y ''+4y =x cos x 的通解．
22
五、（7分）由曲线y =0，x =8，y =x 围成曲边三角形OAB ，其中A 为y =0与x =8的交点，B 为y =x 与
x =8的交点．在曲边OB 上求一点，过此点作y =x 2的切线，使该切线与直线段OA ，AB 所围成的三角形面积
为最大．
六、（7分）求心形线r =a (1+cos θ) 与圆r =3a cos θ所围图形公共部分. 七、（7分）设当x >-1时，可微函数f (x ) 满足
f '(x ) +f (x ) -
1. 求f '(x ) ；
1x
f (t )d t =0， f (0) =. 1
x +1⎰0
2. 证明：当x ≥0时，f (x ) ≥e ．
八、（4分）设f (x ) 在[a , b ]上二阶可导，且f ''(x ) >0，证明答案：一、1. B. 2. A. 3. A. 4.C.
二、1. y =
-x
⎰
b a
f (x )d x ≥(b -a ) f (
a +b
) ． 2
14πx +1. 2. πh 2. 3. (2,12). 4. y =tan(e x +-1) . 3254
πd 2y 1+t 21-=-四、1.2. 2.1, 3. ,
4. 5. , x ln(x C 23
4dx t
6. y =C 1cos 2x +C 2sin 2x + 五. (
12
x cos x +sin x . 39
16256
, ) . 3952
六. πa 。
4
八．提示：f (x ) 在x =
七。提示：两边求导解微分方程。
a +b
处的一阶Taylor 公式为 2
十一、高等数学试题 2009/1/16
一．单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共计15分）
1．f '(x 0) = 0, f ''(x 0) > 0是函数y = f (x ) 在x 0 = x 0处取得极小值的一个[ ]．
(A) 必要充分条件；(B) 充分条件非必要条件；(C) 必要条件非充分条件； (D) 既非必要条件也非充分条件． 2．设C 为任意常数，且F '(x ) = f (x ), 则[ ]． (A) (C)
⎰f (x ) dx =F (x ) +C ； (B) ⎰F '(x ) dx =f (x ) +C ；
⎰F (x ) dx =f '(x ) +C ； (D) ⎰f '(x ) dx =F (x ) +C ．
2
3．设x →0时，(1 – cosx )ln(1 + x 2) 是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n 是比(e x -1) 高阶的无穷小，则正整数n =[ ]． (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4．
4．设函数f (x ) 在区间(a , b ) 内可导，x 1 , x 2是(a , b ) 内任意两点，且x 1
(A) f (b ) – f (a ) = f '(ξ)(b – a ), ξ ∈ (a , b ) ； (B) f (b ) – f (x 1) = f '(ξ)(b – x 1), ξ ∈ (x 1, b ) ； (C) f (x 2) – f (x 1) = f '(ξ)(x 2 – x 1), ξ ∈ (x 1, x 2) ； (D) f (x 2) – f (a ) = f '(ξ)(x 2 – a ), ξ ∈ (a , x 2) ． 5．设函数f (x ) =
x
在(-∞, +∞) 上连续，且lim f (x ) =0，则常数a , b 满足［ ］
x →-∞a +e bx
(A)a 0, b > 0； (C) a ≤ 0, b > 0； (D) a ≥ 0, b
1
⎧
⎪(cosx ) x 2
1. 已知f (x ) =⎨
⎪a ⎩
x ≠0在x =0处连续，则a = ．
x =0
2. 设函数f (x ) 可导，y = f (sin2x ) ，则d y 3．函数f (x ) = ex 的３阶麦克劳林公式为 ． 4．质点以速度t sin t 2(米/秒)
做直线运动，则从时刻t 1=
秒)
到t 2=
秒) 内质点所经过的路程等于＿＿＿(米) ．
5．以y 1 = cos2x , y 2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为＿＿＿＿．
1⎧2
x sin ⎪
三、（８分）设函数 f (x ) =⎨x
⎪⎩x sin x
x >0x ≤0
，求f '(x ).
四、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）． 1. lim x (
x →+∞
π
2
-arctan x ) .
2.
⎰
2x .
d 2y
3. 设函数y = y (x ) 由y = 1 + xe 确定，求2．
d x
y
4. 设函数f (x ) 连续，且
⎰
x 3-10
f (x )d x =x ，求f (7)．
5. y ''+4y =x cos x 的通解．
⎧(1+x 2) y ''=2xy '
五、(8分) 求解微分方程的初值问题：⎨．
⎩y (0)=1, y '(0)=3
⎧xe -x ,
六、（８分）设函数f (x ) =⎨
⎩1+x ,
x ≥0x
，计算
⎰
20
f (x -1)d x .
七、（８分）在抛物线y = – x 2 + 1(x > 0)上求一点P , 过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及两坐标轴所围成的面积最小．
八、(8分) 设函数f (x ) 在[1, +∞) 上连续，由曲线y = f (x ), 直线x = 1, x = t (t > 1)与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周形成旋转体的体积为
V (t ) =
又已知f (2)=
π
3
[t 2f (t ) -f (1)]，
2
，求f (x ) . 9
九、（６分）设函数y =f (x ) 在(-1, 1)内具有二阶连续导数且f ''(x ) ≠0， (1)证明对于(-1, 1)内任一x ≠ 0, 存在惟一的θ (x ) ∈ (0, 1),使
f (x ) = f (0) + xf '[θ (x ) ⋅x ]
成立；
(2)求lim θ(x ) ．
x →0
答案：一、1. B. 2. A. 3. B. 4.C. 5. D
1x 2x 3
++o (x 3) . 4. . 二、1. a =e . 2. dy =sin 2xf '(sinx ) dx . 3. f (x ) =1+x +
226
-
1
2
3
5. y ''+ 4y = 0.
11⎧2x sin -cos , x >0⎪x x ⎪x C , x
2. 2arcsin 三、f '(x ) =⎨sin x +x cos x ,
2⎪0x =0
⎪⎩1d 2y e 2y (3-y )
f (7)=3. , 4. 五. y = x 3 + 3x + 1. =23
12dx (2-y )
六.
32
-2e -1。 七.
P ) 23
八．y =
x
1+x 3
十二、高等数学试题 2010/01/16
一．单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1．x = 0是函数f (x ) =
21+e
3x
+
sin x
的[ ]间断点． |x |
(A) 可去；(B) 跳跃；(C) 震荡； (D) 无穷．
ln[f (1)f (2)⋅⋅⋅f (n )]
= [ ]．
n →∞n 2ln 2e
(A) ln2； (B) ； (C) 2； (D) ．
22
2．设 f (x ) = 2x , 则lim 3．函数f (x ) =
⎰
x +π
x -π
e sin t sin tdt ，则f (x ) = [ ]．
(A) 正常数； (B) 负常数； (C) 零； (D) 非常数．
4．设y 1 , y 2是二阶线性方程y " + P (x ) y ' + Q (x ) y = 0的两个解， 那么y = C 1y 1 + C 2y 2 (C 1, C 2是任意常数) 是该方程通解的充分必要条件是[ ]．
(A) y 1'y 2+y 2'y 1=0； (B) y 1'y 2+y 2'y 1≠0； (C) y 1'y 2-y 2'y 1=0； (D) y 1'y 2-y 2'y 1≠0． 5．若f (x ) 在[a , b ]上有二阶导数，且f (x ) > 0, 能使不等式f (b )(b -a )
⎰
b
a
f (x ) dx
f (b ) +f (a )
成立的是
2
［ ］
(A)f '(x ) 0, f "(x ) > 0； (C) f '(x ) > 0, f "(x ) 0． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1
⎧x ⎪
1. 若函数f (x ) =⎨(1+x )
⎪⎩a
x ≠0在x =0处连续，则a = ．
x =0
2. 函数
f (x ) =
πx -sin x +在(0,) 内的极小值为 ．
222
x →0
3．函数f (x ) 在(-∞, +∞) 是可导的偶函数，且lim 为 ． 4．若
f (3-x ) -f (3)
=1, 则y = f (x ) 在点(-3, f (-3)) 处的切线斜率
2x
⎰
x
f (t ) dt =
14
x ，则f (1) =＿＿＿． 2
π
5．若f (x ) 在[-
ππ
, ]上连续，则⎰2π[f (x ) -f (-x )]sin2xdx =
-222
x →0
6．若方程y ' + y tanx = -2cos2x 有一个特解y = f (x ), 且f (0) = 0, 则lim 三、计算下列各题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）．
f (x )
=＿＿＿＿． x
dy a 2x arcsin (a > 0), 求. 1.
若y =
dx 2a
2. 求极限lim(x -x sin ) .
x →∞
2
3. 计算不定积分(arcsinx ) dx ．
23
1x
⎰
4.
计算定积分
⎰
50
x ． 3
⎧x =t , d 2y ⎪5
．若⎨，求2
3dx t =π
⎪⎩y =t , 4
6．如果y = f (x )
满足∆y =
x +o (∆x ) ，且f (1) = 1, 求f (x ) ．
四、(8分) 摆线⎨
⎧x =a (t -sin t ),
(a > 0)的第一拱(0 ≤ t ≤ 2π), 求(1)该摆线的弧长；(2)该摆线与x 轴围成的平面图
y =a (1-cos t ), ⎩
形绕x 轴旋转一周所得立体的体积．
五、（８分）若ϕ (x ) 连续，且满足方程ϕ(x ) =e x +初值问题；(2)求ϕ (x ).
六、（4分）若f (x ) 在[0, a ]上连续，且
⎰
x 0
t ϕ(t ) dt -x ⎰ϕ(t ) dt ，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程
x
⎰
a
f (x ) dx =0，证明至少存在一点ξ∈(0, a ) ，使得f (ξ) +⎰f (x ) dx =0.
ξ
答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.D. 5. D
二、1. e . 2. 三、
1.
π
. 3. 2. 4.2. 5.0 6. -2. 6
14
2. ,
3. x (arcsinx ) 2+x -2x +C , 4.6, 5.
6.
63
十三、高等数学试题 2011/01/14 一．单项选择题 1．x = 0是函数f (x ) =
(x +1)sin x
的[ ]间断点．
|x |
(A) 可去；(B) 跳跃；(C) 震荡； (D) 无穷． 2．下列结论中，正确的是[ ]
（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；（C ）收敛数列必有界；（D ）收敛数列必单调。 3．设C 1, C 2是任意常数， 则函数y = C 1e x + C 2e -2x + x e x 满足的微分方程式[ ]．
(A) y " + y ' - 2y = 3ex ； (B) y " + y ' - 2y = 3x e x ； (C) y " - y ' - 2y
． 4．设函数设f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续，其导函数f '(x ) (A) 一个极小值点和两个极大值点； (B) 两个极小值点和一个极大值点； (C) 三个极小值点和一个极大值点； (D) 两个极小值点和两个极大值点．
5．设f (x ) 连续，f (0) = 0, f '(0) ≠ 0, F (x ) =(A)1； (B)2； (C)3； (D)4． 二、填空题
1. 设y = lnx , y (n ) (1) = 2.
⎰
x
(x 2-t 2) f (t ) dt , 且当x → 0时，F '(x ) 与x 是同阶无穷小， 则k = [ ］
⎰
1-1
x =．
3．
(x +cos x 2) xdx =
4．位于y 轴右侧，x 轴上方，曲线y =
1
下方的平面图形的面积为＿＿＿． 1+x 2
5．水坝中有一直立矩形闸门，宽为3米，高为4米，闸门的上边平行于水面，顶部与水面相齐，则闸门所受到的
水压力为＿＿＿＿． 三、计算下列各题
1.
求极限x →0
2. 求函数. f (x ) =⎨
⎧ln(1-x ), x
的导数. x ≥0, ⎩sin x ,
⎧x =ln(1+t 2), d 2y
3. f (x ) =⎨求2．
dx ⎩y =t -arctan t , t =1
4. 确定曲线f (x ) =四、求下列积分 1．2
．
⎰
x 0
(t -1)(t -2) 2dt 的凹凸区间与拐点．
⎰⎰
10
x 2cos x dx x ．
五、解微分方程
⎧xy ''-y '=2x 3,
1. 求解初值问题⎨
'⎩y (1)=1, y (1)=2,
2．求y ''-3y '+2y =sin x 的通解.
六、求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时椎体的高 七、设f (x ) 在[0, 1]上可微，且f (1)=2
⎰
1
20
e 1-x f (x ) dx ，证明至少存在一点ξ∈(0, 1)，使得f '(ξ) =2ξf (ξ) .
2
答案：一、1. B. 2. C. 3. A. 4.D. 5. C
二、1. (-1)
n -1
(n -1)! . 2. arcsinex + C . 3.
2π
. 4. . 5. 24g(KN). 32
⎧1
, x
),(2,- 三、1. . 2. f '(x ) =⎨x -1, 3. , 4. 拐点(, -
423813⎪⎩cos x , x >0,
四、1. x sin x +2x cos x -2sin x +C . 2.
2
π
32
31x 4x 21
++. 2. y =C 1e x +C 2e 2x +cos x +sin x 五、1. y =
1010424
六、V max =
十四、高数2012/01/09 一、单项选择题
1．若f (x ) 在(-∞，+∞) 内可微，当∆x → 0时，在任意点x 处的∆y - dy 是关于∆x 的[ ] (A)高阶无穷小； (B)等价无穷小；(C)同阶无穷小；(D)低阶无穷小。
324π, h =。 813
x 5-1|x -1|
2．lim e
x →1x -1
(A)等于5； (B)等于0；(C)为+∞；(D)不存在但不为∞。 3．lim
1
a tan x +b (1-cos x )
=2，其中a 2 + c 2 ≠ 0, 则必有 -x x →0c ln(1-2x ) +d (1-e )
(A)b = 4d ； (B) b = -4d ；(C) a = 4c ；(D) a = -4c 。
二、计算
3
⎧π⎪x =a cos t ,
t = 1．求星形线⎨在时的切线方程。 3
6⎪⎩y =a sin t ,
2
．求
⎰
(a > 0)。
x 2
2
3．求lim
cos x -e x →0x 4
-
。
⎧dy
⎪=ky
4．求解初值问题⎨dt 。
⎪⎩y |t =0=y 0,
5．设f (x ) ∈ C [-a , a ] (a > 0), 证明：
⎰
a
-a
f (x ) dx =⎰[f (x ) +f (-x )]dx ，并计算⎰4π
a
dx
。
-1+sin x 4
π
6．确定常数a 和b ，使得当x → 0时，f (x ) = x – (a + b cos x )sin x 是关于x 的5阶无穷小。 7
．求序列1的最大项。
x 2y 2
三、计算由椭圆2+2=1所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的椭球体的体积。
a b ⎧-x 12⎪
四、函数f (x ) =⎨e
⎪⎩0
x ≠0，判断函数f (x ) 在x = 0处是否可导，如不可导请给出理由；如可导，请求出一阶和
x =0
二阶导数，并对n (n ≥ 3)阶导数值给出猜测。
五、设物体A 从点(0，1) 出发以常速度v 沿y 轴正向运动，物体B 以常速度2v 从点(-1，0) 与A 同时出发，方向始终指向A ，建立物体B 运动轨迹所满足的微分方程。
2n -12n 2-1
)
⨯(2n -1)
e
七、f (x ) 是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，并且对任意实数x ，f (x ) - f ''(x ) ≥ 0，证明：对任意实数x ，f (x ) ≥ 0。
八、对任意一个定义在[0, 1]上的连续函数f (x ) ，定义A (f ) =有连续函数时，A (f ) – B (f )的最大值。 答案
一、1.A; 2.C; 3.D. 二、
1. y -
⎰
1
x 2f (x ) dx ，B (f ) =⎰x (f (x )) 2dx ，求f (x ) 取遍所
1
141a =x ) ；
2. ln(x +C ；3. -；4. y =y 0e kt ；5.2；6. a =-, b =；
33128
7.
=f
(n )
42
三、πab 。四、f '(0)=f ''(0)=
3
n
⎧⎪2xy ''+=0
。 (0)=
0。五、⎨
⎪⎩y (-1) =0, y '(-1) =1
六、ln[1⨯3⨯5⨯
⨯(2n -1)]=∑ln(2i -1)
i =1
⎰
2n -1
1
ln xdx
i =1
n
2n +1
3
ln xdx
七、因f (x ) 是一个系数为正的最高阶为偶数的多项式，则存在最小值，设为f (x 0) 。
若f (x 0)
⎰[x
01
1
2
f (x ) -x (f (x )) ]dx =⎰xf (x )[x -f (x )]dx
2
1
31x f (x ) +x -f (x ) 21
) dx =⎰dx =。 ≤⎰x (
004216
十五、高数2013/01/08
一、单项选择题
1．当x → 0时，下列4个无穷小中比其它3个更高阶的无穷小是[ ]
x
(A) ln(1+x ) ； (B) e -1；(C) tan x -sin x ；(D) 1-cos x 。
⎧x 3⎪
2．设f (x ) =⎨3
⎪x 2⎩
x ≤1x >1
，则f (x ) 在x = 1处[ ]
(A)左、右导数都存在； (B) 左导数存在，但右导数不存在； (C) 右导数存在，但左导数不存在； (D) 左、右导数都存在。 3．设C 为任意实数，F '(x ) = f (x ), 则下列各式中正确的是[ ] (A) (C)
⎰F '(x ) dx =f (x ) +C ； (B) ⎰f (x ) dx =F (x ) +C ；
d
f (x ) dx =f (x ) +C ；(D) dx ⎰
x
-x
⎰f '(x ) dx =F (x ) +C 。
4．方程e +e =4+cos x 在(-∞, +∞) 内[ ]
(A)无实根；(B)有且仅有一个实根；(C) 有且仅有两个实根；(D) 有无穷多个实根。 5．微分方程y " + y = sinx 的一个特解的形式为[ ]
(A) Ax sin x ；(B) A cos x +B sin x ；(C) Ax cos x +B sin x ；(D) Ax cos x +Bx sin x 。 二、填空题
1⎧1
sin x +x sin ⎪
1．已知f (x ) =⎨x x
⎪b ⎩
x ≠0x =0
在x =0处连续，则b =
2．曲线y = lnx 在点y = 2x - 3. 3．已知F (x ) 是sin x 2的一个原函数，则d (F (x )) = 4．微分方程y ''-10y '+25y =0的通解是 。
2
⎛x +t ⎫
5．设f (x ) =lim t ⎪，则f ''(0)= 。 x →∞
⎝x -t ⎭
x
三、计算题 1．求lim
x →
π
2
ln sin x
。 2
(π-2x )
⎧x =a cos 3t d 2y 2．设⎨，求2。 3
dx y =a sin t ⎩
3．已知方程x -四、计算积分
2
1．求x cos xdx 。
⎰
y +x
1
e dt =⎰
t 2
x 2+x
cos tdt 确定函数y = y (x ) ，求
dy dx
。
x =0
⎰
2
．求
1。 2
五、求曲线y =x +
1
的凹凸区间、拐点及渐近线。 x
六、一密度为2.5⨯103（单位：kg/m3），底半径为r (单位：m) ，高为h(单位：m) 的金属圆柱体放入水中，上底面与水面相切，求将这个圆柱体捞出水面所做的功。
七、设函数f (x ) 满足方程xf '(x ) -3f (x ) =-6x 2，且由曲线y = f (x ) ，直线x = 1与x 轴围成的平面图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求D 的面积。 八、设函数f (x ) 在[0, 1]上非负连续，证明：
(1)存在x 0∈(0,1)，使在[0,x 0]上以f (x 0) 为高的矩形面积S 1等于在[x 0,1]上以y = f (x ) 为曲边的曲边梯形面积S 2。 (2)若函数f (x )在(0, 1)内可导，且f '(x ) >- 答案
十六、高数2014/01/13
一 单项选择题（每小题4分，共24分） 1 若函数f (x ) 满足
n
2f (x )
，则(1)中的x 0是唯一的。 x
f ' (x ) =e f (x ) ，且f (0) =1 ，则 f (n ) (0) =（ ）.
n
A: (n -1)! ⋅e , B: n ! ⋅e , C: (n -1)! ⋅e
sin x
-2-sin x ) dx , 则 I 2 对于积分 I =⎰(2
02π
n -1
, D: n ! ⋅e
n -1
.
（ ）.
A ：=2π B: =0 C：0 .
⎧x 3
, x ≥1⎪
3 设 f (x ) =⎨ ，则f (x ) 在[0，2]上满足的Lagrange 中值定理的ξ =（ ）.
2
⎪x +x -1, x
A：
777333
, B ： , C ： 或, D ：± 或.
444222
4 极限
lim
x →0
sin x x ⋅ln(1+x )
() =（ x
1
）.
A ：e B：e
5 若f (x ) 连续，且
16-16
C：e
-13
D ：e
13
⎰
-1
xf (x ) dx >0, ⎰xf (x ) dx >0, 则（ ）.
1
A ：当x ∈(-1, 1) 时，f (x ) 0， C ：f (x ) 在(-1, 1) 至少有一个零点. D: f (x ) 在(-1, 1) 必无零点.
6 若函数 F (x ) =
⎰
x
(2t -x ) ⋅f (t ) dt ， 其中f (x ) 在(-1, 1) 二阶可导，
并且f ' (x ) >0，当x ∈(-1, 1) 时, 则（ ）.
A: F (x ) 在x =0取极大值 ; B: F (x ) 在x =0取极小值 ;
C: F (x ) 在x =0不取极值 , 点(0, 0) 也不是曲线y =F (x ) 的拐点；
D: F (x ) 在x =0不取极值, 但是点(0, 0) 是曲线y =F (x ) 的拐点.
二 填空题（每小题4分，共24分） 7 函数
f (x ) =x 3-6x 2+1 在x ∈(-1,1) 的极大值是 （
）.
8 反常积分
⎰
∞
1x x -1
2
=（ ）.
2
22
9 曲线y =k (x -3) 在拐点处的法线经过原点，则常数k =（ ）.
10 曲线
y =⎰tan tdt 位于0≤x ≤π
x
4
的弧长是（ ）.
11 若f (x ), g (x ) 在(-∞, +∞) 连续，且 g (x ) ⋅
则
⎰
2
f (x ) dx =10x ,
⎰
1
g (x ) dx ⋅⎰f (x ) dx = （ ）.
2
12 若二阶常系数线性非齐次方程 y " +py ' +qy =f (x ) 的三个解是：
y 1=x (e -x +e -2x ) ，y 2=xe -x +e -2x ，y 3=xe -x +(x +1) e -2x ，
则p -4q ＝（ ）.
三 解答下列各题，应有必要的步骤或说明（共52分）
2
x 2-1
13 （8分）求f (x ) = 的间断点，并指出其类型.
sin(π⋅x )
14 （8分）若f (x ) 非负连续，且f (x ) ⋅
⎰
x
π
f (x -t ) dt =sin 4x , 求f () 的值.
2
15
x 4a 3b 2
+x +x +2x 在x =-2处 （8分） 确定a , b , ξ的值，使得f (x ) =
432
取极值，在x =ξ（ξ≠-2）处使f ' (ξ) =0，但f (ξ) 不是极值.
1⎧
y " +4y =(x +cos 2x ) ⎪2⎪
16 （8分）求解二阶初值问题：⎨y (0) =0.
⎪
⎪y ' (0) =0⎩
17 （8分）设
⎧1-t 2
⎪⎰x e dt , x ≥0
f (x ) =⎨,
-1⎪e , x
计算
⎰
-2
(x +1) 2f (x +1) dx .
18 （8分）求在上半平面由曲线
x =的平面图形，
（1）面积, （2）围绕
，y =2-x 2和y =-x 所围成
y 轴旋转一周的立体体积.
19 （4分）若x ∈[0，1]时，f "(x ) >0，证明：对任意正常数α，
参考答案
一 A B A B C D ; 二 7: 1, 8:
⎰
1
f (x α) dx ≥f (
1
) . α+1
π1, 9: , 10: 2+1) , 11: 5, 12: 0. 232
三
13 间断点是 x =k , (k 是整数) ,……….. 2分
lim
x →1
x 2-12x -2
=lim =, …..x=1是第一类(可去) 间断点…. 4分, sin πx πx →1π⋅cos πx x 2-12x 2
=lim =, ….. x= -1是第一类(可去) 间断点…..6分, sin πx x →-1π⋅cos πx π
lim
x →-1
x 2-1
=∞, ….. x =k (k ≠±1) 是第二类(无穷) 间断点 ….. 8分. lim x →k (k ≠±1) sin πx
14 解
⎰
x
f (x -t ) dt x -t =u
⎰
x
, ……… 2 分 f (u ) du 记为F （x ）
则F ' (x ) =f (x ) , 于是
f (x ) ⋅
⎰
x
f (x -t ) dt =sin 4x ⇒⇒F '(x ) ⋅F (x ) =sin 4x ，
∴dF (x ) =2sin xdx ⇒⇒F (x ) =4分
24
∴f (x ) =F ' (x ) =
4……………………6分
ππ
,
则f () =取 x =
22
sin 4
π
=
=… 8分
15 解 显然 f ' (x ) =x 3+ax 2+bx +2…………… 1分 由题意知道 f ' (x ) =(x +2) ⋅(x -ξ) 2……. 4分, 比较 x +ax +bx +2≡(x +2) ⋅(x -ξ) 2, 则
a =-2ξ+2,
3
2
b =ξ2-4ξ, ξ2=1,
⎧ξ=1⎧ξ=-1⎪⎪
⎨a =0……. 6分 , ⎨a =4…………8分 .
⎪b =-3⎪b =5⎩⎩
16 解 特征方程 r +4=0, r 1, 2=±2i ,
齐次方程 y " +4y =0的通解是y h =C 1cos 2x +C 2sin 2x ……… 2分 显然非齐次方程 y " +4y =非齐次方程 y " +4y =
2
1x
x 的特解y 1p =, ……. 3分 28
1
cos 2x 的特解y 2p =x (a sin 2x +b cos 2x ) , 2
1x
不难求出a =, b =0, 则 y 2p =sin 2x ……………. 4分
88
x x
原方程通解为 y =C 1cos 2x +C 2sin 2x ++sin 2x …….6分
88
⎧x =0,
1⎪
代入⎨ y =0 , 则 C 1=0, C 2=-, 所求初值问题是
16⎪y ' =0
⎩
y =17
-1x x
sin 2x ++sin 2x , ……………………… 8分 1688
⎰
-2
(x +1) 2f (x +1) dx
1-11
令x +1=t ⎰t 2f （t ）dt ……………. 2分
=
⎰t
-1
2-1
e dt +⎰
t 3
f （t ）d （） ………… 4分
3
3t 1131-t 21f （t -⎰t （-e ）dt += 03303e
2111
+0-⎰t 2d （e -t ）
03e 6
112-t 211-t 21
-t e -e = 003e 661
= . ………. 8分
6
=
2
⎧y =2-x
18 解
⎨，交点 A (1, 1)，
⎩x =⎧y =2-x 2 ⎨交点B （-1，1） …………….2 分
y =-x ⎩
(1) A =
15122
(2-x ) dx --⎰0x dx 2=2 ………………..6分 ⎰-1
1
(2) V y
=2π⎰x (2-x ) dx -2π⎰x 3dx = π ………8分.
1
2
1
（ 或 V y =π⎰ydy +π⎰(2-y ) dy =π
1
12
…….8分）
19 证明(法1) 利用Taylor 定理
111112) +f '()(x -) +f "(ξ)(x -) α+1α+1α+12! α+1111) +f '()(x -) ………. 2分 ≥f (
α+1α+1α+1
111α
) +f '()(x α-) ……….. 3 分 ∴f (x ) ≥f (
α+1α+1α+1
f (x ) =f (
⎰
1
f (x α) dx ≥⎰f (
1
11111
) dx +f '() ⎰(x α-) dx =f (). ……4分 α+1α+10α+1α+1
证明 (法2) 左-右=
⎰
1α+10
[f (x α) -f (
1α+10
111)]dx +1[f (x α) -f ()]dx α+1α+1α+1
=f '(ξ) ⋅
⎰
111(x -) dx +f '(η) ⋅1(x α-) dx ， 0
α+1α+1α+1
α
(α+1) α-1
= ⋅[f '(η) -f '(ξ)] α+2
(α+1)
(α+1) α-1
⋅f ''(δ)(η-ξ) ≥0 . =
(α+1) α+2