第十二讲 函数的凹凸性
一、 曲线的凹凸性：
1、 定义：f (x ) 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的下方，则称f (x ) 在(a , b ) 内为凹函数。
f (x ) 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的上方，则称f (x ) 在(a , b ) 内为凸函数。
2、 凹凸性的判断：在(a , b ) 内，f
''(x ) >0, 函数是凹的，f ''(x )
图1 凹函数
图2 凸函数
注意：【拐点：二阶导数为零的点；驻点：一阶导数为零的点】
例1：求y =e
-x 2
的凹凸区间和拐点？
-x 2
解：
y ' =-2xe ; y '' =(4x -2) ⋅e
2
-x 2
, y =±
2
+∞) f (x
) 凸区间：(-1-1
2
f (x ) 的拐点：(-e e 2)
22f (x ) 凹区间：(-∞, 例2：求y 2的凹凸区间和拐点？
25--1233
解：y ' =(x -4) , y '' =-(x -4) , x =4, y '' 不存在
39
f (x ) f (x ) 凸区间：(4,+∞) f (x ) 的拐点：(4,2)
二、
曲线的水平与垂直渐近线
1、 水平渐近线：lim f (x ) =a , 则f (x ) =a 为函数的水平渐近线
x →∞
2、 垂直渐近线：lim f (x ) =∞, 则x =x 0为函数的垂直渐近线
x →x 0
3、 定义：若lim f (x ) =b , 则f (x ) =b 是f (x ) 的水平渐近线，若lim f (x ) =∞, 则x =x 0为f (x ) 的垂直渐近线
x →∞
x →x 0
例1：求y =
1
+2的水平和垂直渐近线？ 2
(x -3)
解：lim
11
+2=2，y =2为水平渐近线；lim +2=∞, x =3是垂直渐近线
x →∞(x -3) 2x →3(x -3) 2
例2：求y 解：lim e
x →∞
=e 的水平和垂直渐近线？
-x 2
-x 2
=0, y =0为水平渐近线；
1求y =x +的水平和垂直渐近线？例3：
x
解：lim x +
x →0
1
=∞，x =0为垂直渐近线 x
三、 函数的性态研究
1、 步骤：
（1）、求定义域；
（2）、求水平、垂直渐近线；
（3）、f ‘(x)、f ‘’(x),求出f ‘ , f ‘’ 为零或不存在的点，从小到大划分定义域为若干小区间； （4）、列表 2、 举例：
例1：求y
=x 3-3x -2的增减区间、极值、凹凸区间，拐点？
)
；
解：（1）、定义域为(-∞+, ∞
（2）、没有渐近线； （3）、y ' =3x -3, ' ' y 6, =xy 0(=, ) （4）、列表如下：
2
1拐点y =-, 1（驻点）y =； （驻点）
f (x ) 单增区间：(-∞, -1) ，(1,+∞) f (x ) 单减区间：(-1,0) ，(0,1)f (x ) 凸区间：(-∞, -1) ，(-1,0) f (x ) 凹区间：(0,1)，(1,+∞) 极大值f (-1) =0, 极小值f (1)=-4拐点为(0,-2)
函数图像如下：
例2：
y =1+
36x
的单调区间，极值，凹凸区间，拐点？ 2
(x +3)
解：（1）、定义域x ≠-3；
36x （2）、lim1+36x =1, y =1为水平渐近线；lim1+=-∞, x =-3为垂直渐近线
x →∞x →-3(x +3) 2(x +3) 2
（3）、y ' =-36(x -3) , y '' =72(x -6) , x =3(驻点) ，x =-3(没定义) ，x =6(拐点)
(x +3) 3(x +3) 4（4）、列表如下：
f (x ) 单增区间：(-3,3)
f (x ) 单减区间：(-∞, -3) ，(3,6),(6,+∞) f (x ) 凸区间：(-∞, -3) ，(-3,3) ，(3,6)f (x ) 凹区间：(6,+∞) 极大值f (3)=4
11
拐点为)
3
函数图像如下：
第十二讲 函数的凹凸性
一、 曲线的凹凸性：
1、 定义：f (x ) 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的下方，则称f (x ) 在(a , b ) 内为凹函数。
f (x ) 在(a,b)任意一点的切线都在曲线的上方，则称f (x ) 在(a , b ) 内为凸函数。
2、 凹凸性的判断：在(a , b ) 内，f
''(x ) >0, 函数是凹的，f ''(x )
图1 凹函数
图2 凸函数
注意：【拐点：二阶导数为零的点；驻点：一阶导数为零的点】
例1：求y =e
-x 2
的凹凸区间和拐点？
-x 2
解：
y ' =-2xe ; y '' =(4x -2) ⋅e
2
-x 2
, y =±
2
+∞) f (x
) 凸区间：(-1-1
2
f (x ) 的拐点：(-e e 2)
22f (x ) 凹区间：(-∞, 例2：求y 2的凹凸区间和拐点？
25--1233
解：y ' =(x -4) , y '' =-(x -4) , x =4, y '' 不存在
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f (x ) f (x ) 凸区间：(4,+∞) f (x ) 的拐点：(4,2)
二、
曲线的水平与垂直渐近线
1、 水平渐近线：lim f (x ) =a , 则f (x ) =a 为函数的水平渐近线
x →∞
2、 垂直渐近线：lim f (x ) =∞, 则x =x 0为函数的垂直渐近线
x →x 0
3、 定义：若lim f (x ) =b , 则f (x ) =b 是f (x ) 的水平渐近线，若lim f (x ) =∞, 则x =x 0为f (x ) 的垂直渐近线
x →∞
x →x 0
例1：求y =
1
+2的水平和垂直渐近线？ 2
(x -3)
解：lim
11
+2=2，y =2为水平渐近线；lim +2=∞, x =3是垂直渐近线
x →∞(x -3) 2x →3(x -3) 2
例2：求y 解：lim e
x →∞
=e 的水平和垂直渐近线？
-x 2
-x 2
=0, y =0为水平渐近线；
1求y =x +的水平和垂直渐近线？例3：
x
解：lim x +
x →0
1
=∞，x =0为垂直渐近线 x
三、 函数的性态研究
1、 步骤：
（1）、求定义域；
（2）、求水平、垂直渐近线；
（3）、f ‘(x)、f ‘’(x),求出f ‘ , f ‘’ 为零或不存在的点，从小到大划分定义域为若干小区间； （4）、列表 2、 举例：
例1：求y
=x 3-3x -2的增减区间、极值、凹凸区间，拐点？
)
；
解：（1）、定义域为(-∞+, ∞
（2）、没有渐近线； （3）、y ' =3x -3, ' ' y 6, =xy 0(=, ) （4）、列表如下：
2
1拐点y =-, 1（驻点）y =； （驻点）
f (x ) 单增区间：(-∞, -1) ，(1,+∞) f (x ) 单减区间：(-1,0) ，(0,1)f (x ) 凸区间：(-∞, -1) ，(-1,0) f (x ) 凹区间：(0,1)，(1,+∞) 极大值f (-1) =0, 极小值f (1)=-4拐点为(0,-2)
函数图像如下：
例2：
y =1+
36x
的单调区间，极值，凹凸区间，拐点？ 2
(x +3)
解：（1）、定义域x ≠-3；
36x （2）、lim1+36x =1, y =1为水平渐近线；lim1+=-∞, x =-3为垂直渐近线
x →∞x →-3(x +3) 2(x +3) 2
（3）、y ' =-36(x -3) , y '' =72(x -6) , x =3(驻点) ，x =-3(没定义) ，x =6(拐点)
(x +3) 3(x +3) 4（4）、列表如下：
f (x ) 单增区间：(-3,3)
f (x ) 单减区间：(-∞, -3) ，(3,6),(6,+∞) f (x ) 凸区间：(-∞, -3) ，(-3,3) ，(3,6)f (x ) 凹区间：(6,+∞) 极大值f (3)=4
11
拐点为)
3
函数图像如下：