三角形的旋转
例1. 如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900
到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
例2. 如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B =135°，P ′A ：P ′C =1：3，则P ′A ：PB =【 】。
A ．1
B ．1：2 C
2 D ．1
例3. 如图，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD =45°，将三角形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则
11
(B ) (C
(D
32
OC
的值为【 】 CD
A ．π B
C
．
3π11π D
． 412 (A )
例4. 如图，直角三角板ABC 的斜边AB =12㎝，∠A =30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A 'B 'C '的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为【 】
A . 6㎝ B . 4㎝ C . （6
－）㎝ D .
（6）㎝
例5. Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =900，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论
①(BE +CF
)=
1
BC ，②S ∆AEF ≤S ∆ABC ，③S 四边形AEDF =AD ·EF ，④AD ≥EF ，⑤AD 与EF
4
1 / 8
可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例6. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC
，∠ACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有π的式子表示）
例7. 两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了 度，线段CE 旋转过程中扫过的面积为 ．
例8. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，将△ABC 沿AB 向下翻折后，再绕点A 按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC ），得到Rt △ADE ，其中斜边AE 交BC 于点F ，直角边DE 分别交AB 、BC 于点G 、H ．
（1）请根据题意用实线补全图形； （2）求证：△AFB ≌△AGE ．
例9. 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF
2 / 8
的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =a 时，P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示) ．
例10. 如图1，在菱形ABCD 中，AC =2，BD =2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．
①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．
9
2
3 / 8
三角形的旋转
例1. 如图，把一个斜边长为2且含有30角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
A ．π B
C
．
3π11π D
． 412【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD
计算即可：
在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，
1
AB =1，∠B =90°－∠BAC =60°
。∴AC ==
2
1∴S ∆ABC =⨯BC ⨯AC =
2设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC =DC ，∴△BCD 是等边三角形。∴BD =CD =1。 ∴点D 是AB 的中点。
11∴S ∆ACD =S ∆ABC =S 。 =
22∴∆ABC 扫过的面积
=S 扇形ACA 1+S 扇形BCD +S ∆ACD
∴BC =
60⨯π⨯123ππ11π故选D 。 =++=+=+
3604612
例2. 如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B =135°，
P ′A ：P ′C =1：3，则P ′A ：PB =【 】。
A ．1
B ．1：2 C
2 D ．1
【分析】如图，连接AP ，
∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°。 又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′。
在△ABP 和△CBP ′中，∵ BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ∴AP =P ′C 。∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A 。
连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形。∴∠BP ′P =45°，PP ′= 2 PB 。 ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°－45°=90°，∴△APP ′是直角三角形。 设P ′A =x ，则AP =3x ，在Rt △APP ′
中，
PP '==在Rt △APP
′中，PP '=。
，解得PB =2x 。∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2。 故选B 。
例3. 如图，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD =45°，将三角形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则
OC
的值为【
】 CD
。
4 / 8
(A )
11
(B ) (C
(D
32
【分析】由旋转的性质，旋转角∠ECN =750，CN =CE 。 ∵∠ECD =45°，∴∠OCN =60°。 ∴在直角三角形OCN 中，cos ∠OCN=
1OC OC
，即=。
2CE CN
1OC 又在等腰直角三角形CDE
中，CN =
，∴，即。故选C 。 =
CD 22
例4. 如图，直角三角板ABC 的斜边AB =12㎝，∠A =30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A 'B 'C '的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为【 C 】
A . 6㎝ B . 4㎝ C . （6
－）㎝ D .
（6）㎝ 【分析】如图，过B ′作B ′D ⊥AC ，垂足为B ′， ∵在Rt △ABC 中，AB =12，∠A =30°， ∴BC =
1
AB =6，AC =AB •sin 30°
= 2
由旋转的性质可知B ′C =BC =6，∴AB ′=AC －B ′C
=6。 在Rt △AB ′D 中，∵∠A =30°，∴B ′D =AB ′•tan 30°
=6
(
=6-cm ）。
例5. Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =900，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论
①(BE +CF
)=
1
BC ，②S ∆AEF ≤S ∆ABC ，③S 四边形AEDF =AD ·EF ，④AD ≥EF ，⑤AD 与EF
42
可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【分析】∵Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =900，
∴AD =DC ，∠EAD =∠C =450，∠EDA =∠MDN －∠ADN =900－∠AND =∠FDC 。 ∴△EDA ≌△FDC （ASA ）。∴AE =CF 。∴BE +CF = BE + AE =AB 。 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB
=设AB =AC =a ，AE =b ，则AF =BE = a －b 。 ∴S ∆AEF -S ∆ABC =
BC 。∴(BE +CF
)= BC 。∴结论①正确。 22
1
41111112
⋅AE ⋅AF -⋅⋅AB ⋅AC=b (a -b )-a 2=-(a -2b )≤0。 242288
∴S ∆AEF ≤S ∆ABC 。∴结论②正确。
5 / 8
1
4
如图，过点E 作EI ⊥AD 于点I ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，ADEF 相交于点O 。
∵四边形GDHF 是矩形，△AEI 和△AGF 是等腰直角三角形， ∴EO ≥EI （EF ⊥AD 时取等于）=FH =GD ， OF ≥GH （EF ⊥AD 时取等于）=AG 。
∴EF =EO ＋OF ≥GD ＋AG =AD 。∴结论④错误。 ∵△EDA ≌△FDC ， ∴S 四边形AEDF =S ∆ADC =
11
⋅AD ⋅DC =AD 2≤AD 2≤AD ⋅EF 。∴结论③错误。 22
又当EF 是Rt △ABC 中位线时，根据三角形中位线定理知AD 与EF 互相平分。 ∴结论⑤正确。综上所述，结论①②⑤正确。故选C 。
例6. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC
，∠ACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有π的式子表示）
【分析】如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC =1，AB =2BC =2，∠ABC =60°；点A 先是以B 点为旋转中心，顺时针旋转120°到A 1，再以点C 1为旋转中心，顺时针旋转90°到A 2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长：
∵Rt △ABC 中，AC
，∠ACB =90°，∠A =30°，∴BC =1，AB =2BC =2，∠ABC =60°。
的长，2∵Rt △ABC 在直线l 上无滑动的翻转，且点A 第3次落在直线l 上时，有3个AA 1 A 的长，∴点A 经过的路线长
=3⨯个A 12
120⨯π⨯2+2=π。
180(例7. 两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了 度，线段CE 旋转过程中扫过的面积为 ．
6 / 8
例8. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，将△ABC 沿AB 向下翻折后，再绕点A 按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC ），得到Rt △ADE ，其中斜边AE 交BC 于点F ，直角边DE 分别交AB 、BC 于点G 、H ．
（1）请根据题意用实线补全图形； （2）求证：△AFB ≌△AGE ． 解：（1）画图，如图：
（2）证明：由题意得：△ABC ≌△AED 。 ∴AB =AE ，∠ABC =∠E 。
在△AFB 和△AGE 中，∵∠ABC =∠E ，AB =AE ，∠α=∠α，∴△AFB ≌△AGE （ASA ）。 例9. 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =a 时，P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示) ．
【答案】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B =∠C =45°，AB =AC 。 ∵AP =AQ ，∴BP =CQ 。∵E 是BC 的中点，∴BE =CE 。
在△BPE 和△CQE 中，∵BE =CE ，∠B =∠C ，BP =CQ ，∴△BPE ≌△CQE （SAS ）。 （2）连接PQ 。
∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B =∠C =∠DEF =45°。
∵∠BEQ =∠EQC +∠C ，即∠BEP +∠DEF =∠EQC +∠C ， ∴∠BEP +45°=∠EQC +45°。∴∠BEP =∠EQC 。 ∴△BPE ∽△CEQ 。∴
9
2
BP BE
。 =
CE CQ
a BE
，即BE =CE
=。∴BC
=。 =
2BE 9a
2
∵BP =a ，CQ =a ，BE =CE ，∴
92
∴AB =AC =BC •sin 45°=3a 。∴AQ =CQ ﹣AC =a ，P A =AB ﹣BP =2a 。
5∴在Rt △APQ
中，
PQ =a 。
23
2
例10. 如图1，在菱形ABCD 中，AC =2，BD =2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；
7 / 8
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．
①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．
解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 为直角三角形，且OA =
11
AC =1，OB =BD = 3。 22
在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB
==2。
（2）①△AEF 是等边三角形。理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC =2，∴△ABC 与△ACD 均为等边三角形。 ∴∠BAC =∠BAE +∠CAE =60°。
又∠EAF =∠CAF +∠CAE =60°，∴∠BAE =∠CAF 。
在△ABE 与△ACF 中，∵∠BAE =∠CAF ，AB =AC =2 ，∠EBA =∠FCA =60°， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴AE =AF 。∴△AEF 是等腰三角形。 又∵∠EAF =60°，∴△AEF 是等边三角形。 ②BC =2，E 为四等分点，且BE ＞CE ，∴CE =
13
，BE =。 22
由①知△ABE ≌△ACF ，∴CF =BE =
3
。 2
∵∠EAC +∠AEG +∠EGA =∠GFC +∠FCG +∠CGF =180°（三角形内角和定理）， ∠AEG =∠FCG =60°（等边三角形内角），∠EGA =∠CGF （对顶角），
∴∠EAC =∠GFC 。在△CAE 与△CFG 中，∵ ∠EAC =∠GFC ，∠ACE =∠FCG =60°，
3
CG CG CF 3
∴△CAE ∽△CFG 。∴，即==。解得：CG =。
18CE CA 22
8 / 8
三角形的旋转
例1. 如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转900
到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
例2. 如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B =135°，P ′A ：P ′C =1：3，则P ′A ：PB =【 】。
A ．1
B ．1：2 C
2 D ．1
例3. 如图，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD =45°，将三角形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则
11
(B ) (C
(D
32
OC
的值为【 】 CD
A ．π B
C
．
3π11π D
． 412 (A )
例4. 如图，直角三角板ABC 的斜边AB =12㎝，∠A =30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A 'B 'C '的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为【 】
A . 6㎝ B . 4㎝ C . （6
－）㎝ D .
（6）㎝
例5. Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =900，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论
①(BE +CF
)=
1
BC ，②S ∆AEF ≤S ∆ABC ，③S 四边形AEDF =AD ·EF ，④AD ≥EF ，⑤AD 与EF
4
1 / 8
可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
例6. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC
，∠ACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有π的式子表示）
例7. 两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了 度，线段CE 旋转过程中扫过的面积为 ．
例8. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，将△ABC 沿AB 向下翻折后，再绕点A 按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC ），得到Rt △ADE ，其中斜边AE 交BC 于点F ，直角边DE 分别交AB 、BC 于点G 、H ．
（1）请根据题意用实线补全图形； （2）求证：△AFB ≌△AGE ．
例9. 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF
2 / 8
的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =a 时，P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示) ．
例10. 如图1，在菱形ABCD 中，AC =2，BD =2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；
（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．
①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．
9
2
3 / 8
三角形的旋转
例1. 如图，把一个斜边长为2且含有30角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】
A ．π B
C
．
3π11π D
． 412【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD
计算即可：
在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，AB =2，
1
AB =1，∠B =90°－∠BAC =60°
。∴AC ==
2
1∴S ∆ABC =⨯BC ⨯AC =
2设点B 扫过的路线与AB 的交点为D ，连接CD ， ∵BC =DC ，∴△BCD 是等边三角形。∴BD =CD =1。 ∴点D 是AB 的中点。
11∴S ∆ACD =S ∆ABC =S 。 =
22∴∆ABC 扫过的面积
=S 扇形ACA 1+S 扇形BCD +S ∆ACD
∴BC =
60⨯π⨯123ππ11π故选D 。 =++=+=+
3604612
例2. 如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B =135°，
P ′A ：P ′C =1：3，则P ′A ：PB =【 】。
A ．1
B ．1：2 C
2 D ．1
【分析】如图，连接AP ，
∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°。 又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′。
在△ABP 和△CBP ′中，∵ BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ∴AP =P ′C 。∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A 。
连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形。∴∠BP ′P =45°，PP ′= 2 PB 。 ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°－45°=90°，∴△APP ′是直角三角形。 设P ′A =x ，则AP =3x ，在Rt △APP ′
中，
PP '==在Rt △APP
′中，PP '=。
，解得PB =2x 。∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2。 故选B 。
例3. 如图，OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD =45°，将三角形CDE 绕点C 逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则
OC
的值为【
】 CD
。
4 / 8
(A )
11
(B ) (C
(D
32
【分析】由旋转的性质，旋转角∠ECN =750，CN =CE 。 ∵∠ECD =45°，∴∠OCN =60°。 ∴在直角三角形OCN 中，cos ∠OCN=
1OC OC
，即=。
2CE CN
1OC 又在等腰直角三角形CDE
中，CN =
，∴，即。故选C 。 =
CD 22
例4. 如图，直角三角板ABC 的斜边AB =12㎝，∠A =30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A 'B 'C '的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板平移的距离为【 C 】
A . 6㎝ B . 4㎝ C . （6
－）㎝ D .
（6）㎝ 【分析】如图，过B ′作B ′D ⊥AC ，垂足为B ′， ∵在Rt △ABC 中，AB =12，∠A =30°， ∴BC =
1
AB =6，AC =AB •sin 30°
= 2
由旋转的性质可知B ′C =BC =6，∴AB ′=AC －B ′C
=6。 在Rt △AB ′D 中，∵∠A =30°，∴B ′D =AB ′•tan 30°
=6
(
=6-cm ）。
例5. Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =900，∠MDN 绕点D 旋转，DM 、DN 分别与边AB 、AC 交于E 、F 两点．下列结论
①(BE +CF
)=
1
BC ，②S ∆AEF ≤S ∆ABC ，③S 四边形AEDF =AD ·EF ，④AD ≥EF ，⑤AD 与EF
42
可能互相平分，其中正确结论的个数是【 】
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
【分析】∵Rt △ABC 中，AB =AC ，点D 为BC 中点．∠MDN =900，
∴AD =DC ，∠EAD =∠C =450，∠EDA =∠MDN －∠ADN =900－∠AND =∠FDC 。 ∴△EDA ≌△FDC （ASA ）。∴AE =CF 。∴BE +CF = BE + AE =AB 。 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB
=设AB =AC =a ，AE =b ，则AF =BE = a －b 。 ∴S ∆AEF -S ∆ABC =
BC 。∴(BE +CF
)= BC 。∴结论①正确。 22
1
41111112
⋅AE ⋅AF -⋅⋅AB ⋅AC=b (a -b )-a 2=-(a -2b )≤0。 242288
∴S ∆AEF ≤S ∆ABC 。∴结论②正确。
5 / 8
1
4
如图，过点E 作EI ⊥AD 于点I ，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，ADEF 相交于点O 。
∵四边形GDHF 是矩形，△AEI 和△AGF 是等腰直角三角形， ∴EO ≥EI （EF ⊥AD 时取等于）=FH =GD ， OF ≥GH （EF ⊥AD 时取等于）=AG 。
∴EF =EO ＋OF ≥GD ＋AG =AD 。∴结论④错误。 ∵△EDA ≌△FDC ， ∴S 四边形AEDF =S ∆ADC =
11
⋅AD ⋅DC =AD 2≤AD 2≤AD ⋅EF 。∴结论③错误。 22
又当EF 是Rt △ABC 中位线时，根据三角形中位线定理知AD 与EF 互相平分。 ∴结论⑤正确。综上所述，结论①②⑤正确。故选C 。
例6. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC
，∠ACB =90°，∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右滑动地旋转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为 （结果用含有π的式子表示）
【分析】如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC =1，AB =2BC =2，∠ABC =60°；点A 先是以B 点为旋转中心，顺时针旋转120°到A 1，再以点C 1为旋转中心，顺时针旋转90°到A 2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长：
∵Rt △ABC 中，AC
，∠ACB =90°，∠A =30°，∴BC =1，AB =2BC =2，∠ABC =60°。
的长，2∵Rt △ABC 在直线l 上无滑动的翻转，且点A 第3次落在直线l 上时，有3个AA 1 A 的长，∴点A 经过的路线长
=3⨯个A 12
120⨯π⨯2+2=π。
180(例7. 两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE 绕C 点按逆时针方向旋转，当E 点恰好落在AB 上时，△CDE 旋转了 度，线段CE 旋转过程中扫过的面积为 ．
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例8. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，将△ABC 沿AB 向下翻折后，再绕点A 按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC ），得到Rt △ADE ，其中斜边AE 交BC 于点F ，直角边DE 分别交AB 、BC 于点G 、H ．
（1）请根据题意用实线补全图形； （2）求证：△AFB ≌△AGE ． 解：（1）画图，如图：
（2）证明：由题意得：△ABC ≌△AED 。 ∴AB =AE ，∠ABC =∠E 。
在△AFB 和△AGE 中，∵∠ABC =∠E ，AB =AE ，∠α=∠α，∴△AFB ≌△AGE （ASA ）。 例9. 如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ；
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =a 时，P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示) ．
【答案】解：（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B =∠C =45°，AB =AC 。 ∵AP =AQ ，∴BP =CQ 。∵E 是BC 的中点，∴BE =CE 。
在△BPE 和△CQE 中，∵BE =CE ，∠B =∠C ，BP =CQ ，∴△BPE ≌△CQE （SAS ）。 （2）连接PQ 。
∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B =∠C =∠DEF =45°。
∵∠BEQ =∠EQC +∠C ，即∠BEP +∠DEF =∠EQC +∠C ， ∴∠BEP +45°=∠EQC +45°。∴∠BEP =∠EQC 。 ∴△BPE ∽△CEQ 。∴
9
2
BP BE
。 =
CE CQ
a BE
，即BE =CE
=。∴BC
=。 =
2BE 9a
2
∵BP =a ，CQ =a ，BE =CE ，∴
92
∴AB =AC =BC •sin 45°=3a 。∴AQ =CQ ﹣AC =a ，P A =AB ﹣BP =2a 。
5∴在Rt △APQ
中，
PQ =a 。
23
2
例10. 如图1，在菱形ABCD 中，AC =2，BD =2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；
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（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．
①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；
②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．
解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴△AOB 为直角三角形，且OA =
11
AC =1，OB =BD = 3。 22
在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB
==2。
（2）①△AEF 是等边三角形。理由如下：
∵由（1）知，菱形边长为2，AC =2，∴△ABC 与△ACD 均为等边三角形。 ∴∠BAC =∠BAE +∠CAE =60°。
又∠EAF =∠CAF +∠CAE =60°，∴∠BAE =∠CAF 。
在△ABE 与△ACF 中，∵∠BAE =∠CAF ，AB =AC =2 ，∠EBA =∠FCA =60°， ∴△ABE ≌△ACF （ASA ）。∴AE =AF 。∴△AEF 是等腰三角形。 又∵∠EAF =60°，∴△AEF 是等边三角形。 ②BC =2，E 为四等分点，且BE ＞CE ，∴CE =
13
，BE =。 22
由①知△ABE ≌△ACF ，∴CF =BE =
3
。 2
∵∠EAC +∠AEG +∠EGA =∠GFC +∠FCG +∠CGF =180°（三角形内角和定理）， ∠AEG =∠FCG =60°（等边三角形内角），∠EGA =∠CGF （对顶角），
∴∠EAC =∠GFC 。在△CAE 与△CFG 中，∵ ∠EAC =∠GFC ，∠ACE =∠FCG =60°，
3
CG CG CF 3
∴△CAE ∽△CFG 。∴，即==。解得：CG =。
18CE CA 22
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