一元二次方程知识点和易错点总结

初二学数20 10937

2

一元次二程方识知点结总知识结

构梳 理（）含有 个1未知数。（ ）未2知的数最高次是 数3）是 方程。（（4） 一二次元方程的般形式一 （是）1一 元。

一 元二次 方 程

1概、念

。

法

，适用于化能 x  m为 2 )n n 

0



的

二次方程

2（ ），法把方即程变形为ab=0 的 形， 式、解2法 （ab， 为两个式）, 因 则=0 或 （a3） 法 4）（ ，其法中根求公式

是 当，时程方有两个相等不的数根实 。（）5 当 ，时方程有两个相等的实数。根当 时，方有没程的有数实根 可用。于某些求解题 值（1 一元）二方次的应程用（2） （3 可）于解用实际决问题的骤 （步）4 （） 5（） 知6识点归 建立一类二元次方模程型知 识点 一一元二次方程的定义 如果个一方通过移程项以使可右为边 ，0而左边只含一个未知数的有次二多 项，那么式这的方样叫程做一元次方二程 注意。：元一二方程次须必时满同以下足三点①：程是方式方程。②它整只有 一个未知数。 含未③知数最高的数次是 2同.还时要注在判意时断，将方需程成一般化式。 例形下 关列 x于的 方程哪，是些元二一方次程？ ⑴

2 3  ；2x 0 ；⑵ x  2x  6 0； （3）x  x  ； 54）（（5） 2( xx 3) 2x 2 1  x5

知2识二 一元二点次方程一般形的式 一元次方程二一般的式形为 ax2 x bc  （0，bac ，是知已， a 数  ） 。其 中0 a，，b 分c叫做二别次系数、项次一项数、常数项系

。

1

初二

数 2学130920

7注意

：（ ）1二次、项次二项系数、一次项、一项次系，数常项数都包它前括 的面符号。（2）要准确找 出一一个二次方元的程次二项系数、一次系数项常和数 ，必项把它先化为须一形般。 （3）式形 如ax2 b  c x0 一定是不元二一方程，当且仅当次 a 0 时是 元二次方一程。 1例将 列下方程化一为般形式，并别指出它们分二次的项系数一、次项系和 数数项常。7 （1） 5 x  x 2 ；2（） x 2x 3   8； （）3 3x 4 x 3 x  22 2

例 2

已知关于 x 方的 程m 1 m

2x



2

m  x 1 2 0是元二次一方程时则 ， m

知点识三一元 次方程二的 解使程方左右、边两相等未知的的数值做叫程方解的，：当如 x 2 时

，

x  2x 3 2  0 所以 x 2是 2 x x  32 0 方程的。解一二元方次程的也

叫一元解次二程方根的

。识点知四 立建一元次方二模程 型建一元二立方次程型的模步骤：是审、设未知数题列方程。、注意 （1）：审过程题是找出知量已未、量知等量关系及 （2）；设未数知带要单位； （）建立3元一二方

次程模型的关是键题意依找等出量系。关 例 图（1如 ，有一）面个为 积150㎡ 的长方鸡形， 场场一鸡靠边（墙长墙1 8）m，另三 边竹用篱笆围成 ，若竹笆的长篱 35m，求为鸡的长场宽和各多为少 ？鸡 （只场设知未，数列出方程，将它化并一般形式。 ）

成

因分解式法、接开平直方法 识点知一因 式解分法解一元二方程次 如果个因两的式等于积 0那，这么个方两程中至少一有等个于 0，若即 p=0q时，则 p 0 =或 =0。 q用因分式解法一元二解次方程一般的步骤： （1将方）程的右化边为0 ； 2（）将 方左边程解分两成个次一式的因乘积。（ ）令每个因式3分别为 ，得两0个一元一 方次。 程4（）这两个一解一次元程，它们的解就方是方原的程解

。2

初

数学二201 09327

关点： 键1（）要将程方边右化为 0； 2（）熟掌握练多项因式分解式的方法 ，常方用有：法公式法，公提式法（方差平式公完全平，方式）公等。 例 用式分解法解因下方列： （程1 ）x5 2  4 ； （ 2x ）(2 x 2 3)  52 0

；

2（ ）3

x

2 x6 9 5 x2 。

知

点二识

直接平开法方解元二一次程

方

若x 2 aa 0 ， x 叫做 a 的平方则，根示表为 x a ，这 解一元种二 次方程的方叫法做接直开方平。 （ 法 ） 1 2 x aa  0  解的是 x   a ； （ 2） x  m nn 0 的 是

2解

 x n m； （3） mx    nmc 0 ,c且 0 的解是 x

2



nc 。m

例

直用接平方法解开列下一二元方次

程 22

2（1

） 9 x2  61 0 ；（） x 2 5 16 0 ；（ 3） x 5 3x  1

知识三点

灵活运

用式因解法分直和接平开法解方元一二方次

程形 如xa b 2 k 0  k0 方程的既，可因用式分法分解解也可，用直 开接平方解。法例 用运式分解因法直接开平方法和解列下一二元次程方。（ 1）4x  52 6 30 ；2）（ 1  x22  3 0

3

初二数学 201

30279

知识点四

用提公因 式法解元二一方次程 把方程左边的多式项（程右方边 为0 时）公的式提出因，将项式多写因 出的乘式形式，积后利用然“若p q= 0时，则p =0或 q =”0解一元二次方程的方 法，来为称公提因式。法

t

2 t2  0 ， 原将 方程 变 形为 t00.1 ：如 00. 1 t2 0， 此 可 由 得出t

 或000t . 2 0 即，t1  0, 2 t2 0

0意注 ：解方在时， 千程万注不能意方程两把边都时同以一除含个有知数未式子，的 否可则丢能失方程的根原。知识点五 形如“ x2    bx a  b 0a ,为b 常数 的”程的方法。

解对于如“ 形 2x  a b xb 0a b

,

为常数”的 方（或程过整通理符 其合式形）的 ， 将 可左 边分解 因 式 ， 方程 变 形为 x x  a b ，0 则

 x a0 x或  b 0，即 x1  a,x 2 b 。

意 ： 应注用 这 种 法 方解一 二元次 方 程 时 ， 要 熟 悉 x“ 2 a  b  xb  0,a b为常 ”型数程方特征。 例 的解下列方程 （：1 x） 2 x5 6  0 （；2 x）2 x 1 2  0

配方法知 点一识 配方 解法元一次二方时， 程在程的左方加上边一次系数一项半平的，再方减这个 去数，使含未得数的知在一项个完全方式里平这，种方叫做法配，配方方后就可 用因式以解分法或接直开方平法了这，样解一元二次方程的方法叫配做方。 注法意 用：配法方解元一二次方程 2  px xq  0 当，方对程的左配方边时 一定，记在住方的左程加边一次上系数项的一的半方后平还要再减去这，个。 例 用配方法解数列下方程 7：（ 1） x 2 x6 5 ； 02） x（2  x 2  0

2

4

初二学数20 139270

知点二 用识方配解二法项系数次 1 的为元一二次方程 配方法用解次二系项为 1数的一 二次方元程的骤： 步1（） 在方的左边程加一上项系数次一半的的平，再减方去个数； （这2） 原方程把变为   x2m n 的形。式 3）（ 若 n0 用直，开平接方求法 x 的出，值 n﹤0，原方若程无解 。 解例列方程下：x 2  x  4 3

知识0点

三配方法解二用项次数不系是1 的 一元次二程方

当一元二次方程形的式 为a2x bx c 0a  0 , a 1，时配用方法解一元二次方 的程步骤 （：）先把二次1项系的化为 1：数方的程左、右两同时边以二项 的系除； 数2) (项：移方程的左边加上在一次系数的一半的项平，再减去方这个 ，把数方原化程为  x m2 n 的 式；形 例 3（）若 n0 ，直用开平方法或因接式分法解变形后解方的。程 用方配解下法列方程：（2） x 2  4x  3 

01（ 3）x 29 x  2 0 

公式；法 知点识

一

一二元次方程求根公式

的一元

二方次程ax2  bx  c 0a 0  的根公求是式 x：



b b 24 a ca2

求根用式公法一解二元方次程步骤的是： （） 1把程方化为 x2 a b  c x 0a 0的 式，确形的定 a, 值bc.（ 注意符号 ）；（ ）2求出b 2  4 ca的 ； 值3）（若 b2 4ca ，

0

b b2 4ac  a, 则. b及 b 把4a c 的代人值根求式公x  求出 x，1 , x 。 22a2

5

初二数

2学103907

例2

用公法式解下方程

列（1）2 2 x x3 1 ； 02（2x）x



2

1 0 ； （3 ） x 2 x 52

0

识知点 选二择合的方法适解元一次二方

程 直接开方法平用解于边左含的未知有的平方式数右，是一边非负个数或也 一个是含知未数的平式的方程 因方式分要解方求右程必须边是 ，左边能0分解因式 ；式公是由法配方推法而导来的，要比方配法单简 注意。：一元二方程次解法选择，的遵应先特循，再殊一般即，先虑考能否用直接开平 法或因方分式法解，能用这两种不殊方法时特再选，用式法，公没有殊要特 ，求般一不用配采法，因为配方方法题解较比麻。 烦例用 当的方适解下法列元一二次程：方 （）1 x 232  92 x 32； （）2 x2 8x   6 ； （3）x0 2 x (1  0)

识知三

点一二元方次程根判别式的

一

二元方程 次xa 2 x b c 0a  根的0别式判△ = b2 4 c a运根的判别用，不式方解程就，可以定判一二元方程的根次的情：况（1） △= b2 4a c0﹥  方有程两个不等相实数根；的 2）（△= b  4ac 20= 方有两个相程的实数根；等 3） （= △ b2  a4c 0 ﹤方程没 有实数根 ；用根利判别式的判定一元二次方根程的情的步况骤：把所有①元二次一方化程 为一般形；式②定确 , b.c a的；③计值算b 2 4ca的值；④ 据根b 2  ac 的4符号判 定程方的情况。

6根

初二数

201学3907

2

例

不解程方判断下，列一二次方元程根的情况

：1）（ 2 x2 3x 5 0 ； 2（ 9 x）2  30 x 25； （3） 2 x 6x 10 0

知点四

根识的别式的判逆用

在方

程a 2x bx  c 0 a 0 中， （）1程有方个两相不等实的数  b根2  4a c﹥0 2（方）程两有相个的实数等根 b 2 4a c=0 3）方（程有没实数 根b 2 4 a ﹤0 c注意 逆：用元二次方一程根判别的求式知数未的值或取值围范，不能但略忽次二项系数不 为0 这一件。 条例

m为何 时，方程值 2 m 1 2 x4mx  2 m3 0 的满足根下列况：

情（）3没有实数根

b；， a

（

1）有两不个相等的实；数（ 2）两个有等的相实数；根知识点 五 一二元次程的方与根系的关数

系若

x1 ,x 是一2元次方程二ax 2 bx c  0 a0 的 两个根，有则x 1 x2  

1x x 2b a 根一据元二次程方根与系数的的关求值系常的转化用关系

：

1）（x 1 2 2 x 2x1  2 2 x2x1 x2

2）（

x

x 2 11  x11x2 x 1x

2（3）

( x1 a)(x 2a ) x1  2x ax1 x2   a ； 2（4│ ）1x x 2│

=

x1 x 22

=x 1 2x2  4 1 xx

72

初二

数 学0213907

2例

知方已程2 x 2 5 x  3 0 两的根为x1 , x2 不，解方程求，下各列式的值 （1。 ）12x x2 2 （；）2 x 1 x 2 2

知识点。六根 代据数的关式系列一元二方次程

利用一元二方程次决解关有代数的问题时，要善式用于元一二方程表示题次 中数的量系关（列即方程出），然 将后方程理整一成般形求式解，最后答。作例 当 取x什么值，代数式时x 2 x 6 0与代数式 3x  2 的相值？

等元一二次方程的应用知识 点一列 元一次二程解方用应题的般一步骤 1（） 题，审（ ）2设未数， 知（）3列方程，（ 4解方）程 （，）5检验， （6作）答。 关点键：出找题中的量等关。系 识知二 用一元二点方次解程与增长（或率降率低有关得到问题）增长率 题与降问低问题率数的量系关及示表法 （1：）若数为基 ，a增率 x长 为则一，增次后的值为长a 1 x  ，次增长后的两为值a 1 x2； （2 ）基数为若 ，a降低率 x 为则，一次降低的后值 为a 1x 两，降低次后值的为 a 1 x 2 例 某农。场粮食产量两在内由年3 00 吨增0到 36加0 吨3，设这两年的平年均长 增率 x ，为列出于关 的方程x为 识点知 三一元二用次程解方市场与经济关有问的题与 市经济场关有问题的如：：销营问、水题电问题、水利问等题。与利相润关 常用的系关有式 （1）：件每利=销润售价成-价本 ；（2）润利率=销售价（进— 价）货÷进价×货100%； （）3售销=额售×价销售量例 商店某如将进果价为 8 货元商品每的件10 元出，售天每可售 02 件， 0现采在取高提价售，少减进价的方法货增加利，润已这知种商每品涨价 .50 ，元 其销减量 少0 1件 。1）要（使天获得 7每00元， 你帮忙确定请价。 （售2当售价）为定少时多，使每能天获得利润最多？并的出求最大润。

易错利知识辨：析 （1）判断个方一程是是一元二不方程，应把次它进整理行，成化般一式后 再进形行判断注意，一元次二方程般一式形中a  0 . （ ）用2式公法和式因解分方的法方程解要先时化成一般形. （3式）配用法方时二项次系数要 1. （4）化用直接平开的方方时法要得取正、记负

.

8

初

数学 2二100397

2一元二次方程试测题

一、选题择

、1关若于 x的一 二次元方(程m-)12x5x++2m3-+m=0 2一个根为 有，则 0m 值的等 于（） 、1A B2、C 、 1或 2D、 0 、2中日报巴：今讯年我小春市粮油再获收丰全市产量预计由前年的 ，4 5吨提万升到 05万吨 设，从前年到年今市我粮油的产量平均增长率为 x年 则可，方程 列为（ ） A． 5  42x 50 B． 5(1 4x 2) 05 ．C50(1 x)2 4 D． 4551(  2) x 50



b 3a已、知 a， b关是于x 的 元一二方次程 x2 n  x 10 的实数两，根则式  的 子 a b是（值 ）

A

．2 n

2

． Bn2 2

C n ．2 2

D ． n 2 2

、 4知 a、b、c已 别分三角形的是边三则

，

方程a + ()b2x+ c2x+ a ( b)+＝0的根 情的是况（ ）B．可能且有只一个实有根 数D．有个两不等相的实数根

A

．有没数根 C．有两个相等实的数根实

5已知 、m n ,是程方x 2  x 2 1 0 的根，且 (两7m 2 1m 4 a(3n 2) n 67 ) 8 ， 则 a 值等的于（ A－． 5 ）B. 5C.9 -.9D

6、已

方知程 2x b  a  x 0有个一是根 a(a 0) ，则下 代数式列的值恒常为的 是（ 数）a A． a b ． B．C a b ． aD b b 、7x 2 2x  2 0一的较小为 x根 , 下1对x面1的 估正计确的 是（ ． A2  1 x 1B． 1  x 1  C0 ． 0 x1  1 ）

D．

1 x1 2

8 、关于x 的一元 二次方 x程 2 x  2 mm 1 0 的 个两实数根别分是x 、x2 ，且

2 x112 x2  7则 ( x1 ， x )22 的是值（

）

C1．3 D2．5

A

1

．

B．2

1

9

二初数 学2030917

2

、某9校年九学级毕生业时每个，学都同自将的己片相向全班他其学同各送一 张表示留念全，班共送 2450 了相片，如张果班全 有 x名学生根据， 题，列出方意程(为 )

x( x 1 ) 2540 2( xx 1)  24 05 D A、x、( x1 ) 2450 B、(x x 1 )  4520 、 2C

221 0 若关、 于x 的元一次二方 程 k1x  x k  0 的一 根为个1 ， 则k 值为的

(

)

A－1． ．B0 ．1CD． 0 或 ）

111

、 设，a 是方程 b2 x   200x9 0 的两个实 数根， a则2  a2 的值为（ b．A0026 B2．007C 20．08 D2．090

1、2对于元二一方程 次xa2b+x+=Oc(≠a)，下列说0：法 ① 若+ca0，=方 ax程+ x+b=O c必实有数根 ②若 ；2+ba4

①

B．①③

2、二填空

1题 若一、二元次程 方x－2a+2(x)+2a0 的=个两实根数别分是3、 ，b则 a+ = 2b、 x设、1x 是2元一次方程二 2x4+－x3=0 的个根，两2 x(x12+52x－3)+2a=2， 则a= ．． ．

3、 程方x（﹣1）（x + 2）=2（ x+2） 的是根

2

4、 知已关于x 的 一元次方程二 xa b x  1 0a( 0) 两有相个的等数实根

，ab2

22 求 ( a2 ) b  4的为值__________

．、在等5△腰ABC 中，三 分边别为a 、 、b c， 其中 a  5，若 关 于x 的程

方x2

  b 2   6 x b 0

两有个等相的实根数则，ABC 的△长周为_________．_

1

0

初

数学二 21300927

22 6、知关于已x 的一元 次方程二  6 xx k  0（k 常数）为．

设 x1， x 2 方程为的个两实数根且， x1 2 x2  1 4， 则 的K为__值_______．

2_2 7、已知 m、n 方程是x 200x  3004 2 0 两的，根 则(n  204n 020 50)与

( 2m 2 004m  0250)的积是

.

、三简题答1、

已 知 是 一 元 二x次 方程

x35 x  2  2 x  2 的 值 ．x 3 x 6x

2 3  1 x0 的实 数根， 求 代数 式：

2、 知已于 x 的关一元次二程 （1）求方实 数m 的取范围；值

2x  2m 1x  m 2 0

有两

个实根数 1 x和x 2 。

2 （22当 x1） x2  0，时 求 的m。

（友值情示：提 若1 、 x 2 是x一元次方二程

1x x2 b c x 1x2  a，a ）

ax 2 b x c  0a 0

两，则根有

1

1

二初学 2数0310927

3、某

品产一季第度件每本成 为05元 ，第、二季度每三件品产均降平成低本百 分率的 为。 x（）衣用含1 x的代式数表第二示度每季件产的成本品 （2；）果第如季度每件产品成本三比第一度季少9. 元5试求 ， x值；的

2 24若、于 x 的关一元次方二 x  程22 (k ) x  k 12 0 实有数根  、

求．数 实k 的取范值围

t

； 

k设

，

求 的t小最值

．12

初二学数20 10937

2

一元次二程方识知点结总知识结

构梳 理（）含有 个1未知数。（ ）未2知的数最高次是 数3）是 方程。（（4） 一二次元方程的般形式一 （是）1一 元。

一 元二次 方 程

1概、念

。

法

，适用于化能 x  m为 2 )n n 

0



的

二次方程

2（ ），法把方即程变形为ab=0 的 形， 式、解2法 （ab， 为两个式）, 因 则=0 或 （a3） 法 4）（ ，其法中根求公式

是 当，时程方有两个相等不的数根实 。（）5 当 ，时方程有两个相等的实数。根当 时，方有没程的有数实根 可用。于某些求解题 值（1 一元）二方次的应程用（2） （3 可）于解用实际决问题的骤 （步）4 （） 5（） 知6识点归 建立一类二元次方模程型知 识点 一一元二次方程的定义 如果个一方通过移程项以使可右为边 ，0而左边只含一个未知数的有次二多 项，那么式这的方样叫程做一元次方二程 注意。：元一二方程次须必时满同以下足三点①：程是方式方程。②它整只有 一个未知数。 含未③知数最高的数次是 2同.还时要注在判意时断，将方需程成一般化式。 例形下 关列 x于的 方程哪，是些元二一方次程？ ⑴

2 3  ；2x 0 ；⑵ x  2x  6 0； （3）x  x  ； 54）（（5） 2( xx 3) 2x 2 1  x5

知2识二 一元二点次方程一般形的式 一元次方程二一般的式形为 ax2 x bc  （0，bac ，是知已， a 数  ） 。其 中0 a，，b 分c叫做二别次系数、项次一项数、常数项系

。

1

初二

数 2学130920

7注意

：（ ）1二次、项次二项系数、一次项、一项次系，数常项数都包它前括 的面符号。（2）要准确找 出一一个二次方元的程次二项系数、一次系数项常和数 ，必项把它先化为须一形般。 （3）式形 如ax2 b  c x0 一定是不元二一方程，当且仅当次 a 0 时是 元二次方一程。 1例将 列下方程化一为般形式，并别指出它们分二次的项系数一、次项系和 数数项常。7 （1） 5 x  x 2 ；2（） x 2x 3   8； （）3 3x 4 x 3 x  22 2

例 2

已知关于 x 方的 程m 1 m

2x



2

m  x 1 2 0是元二次一方程时则 ， m

知点识三一元 次方程二的 解使程方左右、边两相等未知的的数值做叫程方解的，：当如 x 2 时

，

x  2x 3 2  0 所以 x 2是 2 x x  32 0 方程的。解一二元方次程的也

叫一元解次二程方根的

。识点知四 立建一元次方二模程 型建一元二立方次程型的模步骤：是审、设未知数题列方程。、注意 （1）：审过程题是找出知量已未、量知等量关系及 （2）；设未数知带要单位； （）建立3元一二方

次程模型的关是键题意依找等出量系。关 例 图（1如 ，有一）面个为 积150㎡ 的长方鸡形， 场场一鸡靠边（墙长墙1 8）m，另三 边竹用篱笆围成 ，若竹笆的长篱 35m，求为鸡的长场宽和各多为少 ？鸡 （只场设知未，数列出方程，将它化并一般形式。 ）

成

因分解式法、接开平直方法 识点知一因 式解分法解一元二方程次 如果个因两的式等于积 0那，这么个方两程中至少一有等个于 0，若即 p=0q时，则 p 0 =或 =0。 q用因分式解法一元二解次方程一般的步骤： （1将方）程的右化边为0 ； 2（）将 方左边程解分两成个次一式的因乘积。（ ）令每个因式3分别为 ，得两0个一元一 方次。 程4（）这两个一解一次元程，它们的解就方是方原的程解

。2

初

数学二201 09327

关点： 键1（）要将程方边右化为 0； 2（）熟掌握练多项因式分解式的方法 ，常方用有：法公式法，公提式法（方差平式公完全平，方式）公等。 例 用式分解法解因下方列： （程1 ）x5 2  4 ； （ 2x ）(2 x 2 3)  52 0

；

2（ ）3

x

2 x6 9 5 x2 。

知

点二识

直接平开法方解元二一次程

方

若x 2 aa 0 ， x 叫做 a 的平方则，根示表为 x a ，这 解一元种二 次方程的方叫法做接直开方平。 （ 法 ） 1 2 x aa  0  解的是 x   a ； （ 2） x  m nn 0 的 是

2解

 x n m； （3） mx    nmc 0 ,c且 0 的解是 x

2



nc 。m

例

直用接平方法解开列下一二元方次

程 22

2（1

） 9 x2  61 0 ；（） x 2 5 16 0 ；（ 3） x 5 3x  1

知识三点

灵活运

用式因解法分直和接平开法解方元一二方次

程形 如xa b 2 k 0  k0 方程的既，可因用式分法分解解也可，用直 开接平方解。法例 用运式分解因法直接开平方法和解列下一二元次程方。（ 1）4x  52 6 30 ；2）（ 1  x22  3 0

3

初二数学 201

30279

知识点四

用提公因 式法解元二一方次程 把方程左边的多式项（程右方边 为0 时）公的式提出因，将项式多写因 出的乘式形式，积后利用然“若p q= 0时，则p =0或 q =”0解一元二次方程的方 法，来为称公提因式。法

t

2 t2  0 ， 原将 方程 变 形为 t00.1 ：如 00. 1 t2 0， 此 可 由 得出t

 或000t . 2 0 即，t1  0, 2 t2 0

0意注 ：解方在时， 千程万注不能意方程两把边都时同以一除含个有知数未式子，的 否可则丢能失方程的根原。知识点五 形如“ x2    bx a  b 0a ,为b 常数 的”程的方法。

解对于如“ 形 2x  a b xb 0a b

,

为常数”的 方（或程过整通理符 其合式形）的 ， 将 可左 边分解 因 式 ， 方程 变 形为 x x  a b ，0 则

 x a0 x或  b 0，即 x1  a,x 2 b 。

意 ： 应注用 这 种 法 方解一 二元次 方 程 时 ， 要 熟 悉 x“ 2 a  b  xb  0,a b为常 ”型数程方特征。 例 的解下列方程 （：1 x） 2 x5 6  0 （；2 x）2 x 1 2  0

配方法知 点一识 配方 解法元一次二方时， 程在程的左方加上边一次系数一项半平的，再方减这个 去数，使含未得数的知在一项个完全方式里平这，种方叫做法配，配方方后就可 用因式以解分法或接直开方平法了这，样解一元二次方程的方法叫配做方。 注法意 用：配法方解元一二次方程 2  px xq  0 当，方对程的左配方边时 一定，记在住方的左程加边一次上系数项的一的半方后平还要再减去这，个。 例 用配方法解数列下方程 7：（ 1） x 2 x6 5 ； 02） x（2  x 2  0

2

4

初二学数20 139270

知点二 用识方配解二法项系数次 1 的为元一二次方程 配方法用解次二系项为 1数的一 二次方元程的骤： 步1（） 在方的左边程加一上项系数次一半的的平，再减方去个数； （这2） 原方程把变为   x2m n 的形。式 3）（ 若 n0 用直，开平接方求法 x 的出，值 n﹤0，原方若程无解 。 解例列方程下：x 2  x  4 3

知识0点

三配方法解二用项次数不系是1 的 一元次二程方

当一元二次方程形的式 为a2x bx c 0a  0 , a 1，时配用方法解一元二次方 的程步骤 （：）先把二次1项系的化为 1：数方的程左、右两同时边以二项 的系除； 数2) (项：移方程的左边加上在一次系数的一半的项平，再减去方这个 ，把数方原化程为  x m2 n 的 式；形 例 3（）若 n0 ，直用开平方法或因接式分法解变形后解方的。程 用方配解下法列方程：（2） x 2  4x  3 

01（ 3）x 29 x  2 0 

公式；法 知点识

一

一二元次方程求根公式

的一元

二方次程ax2  bx  c 0a 0  的根公求是式 x：



b b 24 a ca2

求根用式公法一解二元方次程步骤的是： （） 1把程方化为 x2 a b  c x 0a 0的 式，确形的定 a, 值bc.（ 注意符号 ）；（ ）2求出b 2  4 ca的 ； 值3）（若 b2 4ca ，

0

b b2 4ac  a, 则. b及 b 把4a c 的代人值根求式公x  求出 x，1 , x 。 22a2

5

初二数

2学103907

例2

用公法式解下方程

列（1）2 2 x x3 1 ； 02（2x）x



2

1 0 ； （3 ） x 2 x 52

0

识知点 选二择合的方法适解元一次二方

程 直接开方法平用解于边左含的未知有的平方式数右，是一边非负个数或也 一个是含知未数的平式的方程 因方式分要解方求右程必须边是 ，左边能0分解因式 ；式公是由法配方推法而导来的，要比方配法单简 注意。：一元二方程次解法选择，的遵应先特循，再殊一般即，先虑考能否用直接开平 法或因方分式法解，能用这两种不殊方法时特再选，用式法，公没有殊要特 ，求般一不用配采法，因为配方方法题解较比麻。 烦例用 当的方适解下法列元一二次程：方 （）1 x 232  92 x 32； （）2 x2 8x   6 ； （3）x0 2 x (1  0)

识知三

点一二元方次程根判别式的

一

二元方程 次xa 2 x b c 0a  根的0别式判△ = b2 4 c a运根的判别用，不式方解程就，可以定判一二元方程的根次的情：况（1） △= b2 4a c0﹥  方有程两个不等相实数根；的 2）（△= b  4ac 20= 方有两个相程的实数根；等 3） （= △ b2  a4c 0 ﹤方程没 有实数根 ；用根利判别式的判定一元二次方根程的情的步况骤：把所有①元二次一方化程 为一般形；式②定确 , b.c a的；③计值算b 2 4ca的值；④ 据根b 2  ac 的4符号判 定程方的情况。

6根

初二数

201学3907

2

例

不解程方判断下，列一二次方元程根的情况

：1）（ 2 x2 3x 5 0 ； 2（ 9 x）2  30 x 25； （3） 2 x 6x 10 0

知点四

根识的别式的判逆用

在方

程a 2x bx  c 0 a 0 中， （）1程有方个两相不等实的数  b根2  4a c﹥0 2（方）程两有相个的实数等根 b 2 4a c=0 3）方（程有没实数 根b 2 4 a ﹤0 c注意 逆：用元二次方一程根判别的求式知数未的值或取值围范，不能但略忽次二项系数不 为0 这一件。 条例

m为何 时，方程值 2 m 1 2 x4mx  2 m3 0 的满足根下列况：

情（）3没有实数根

b；， a

（

1）有两不个相等的实；数（ 2）两个有等的相实数；根知识点 五 一二元次程的方与根系的关数

系若

x1 ,x 是一2元次方程二ax 2 bx c  0 a0 的 两个根，有则x 1 x2  

1x x 2b a 根一据元二次程方根与系数的的关求值系常的转化用关系

：

1）（x 1 2 2 x 2x1  2 2 x2x1 x2

2）（

x

x 2 11  x11x2 x 1x

2（3）

( x1 a)(x 2a ) x1  2x ax1 x2   a ； 2（4│ ）1x x 2│

=

x1 x 22

=x 1 2x2  4 1 xx

72

初二

数 学0213907

2例

知方已程2 x 2 5 x  3 0 两的根为x1 , x2 不，解方程求，下各列式的值 （1。 ）12x x2 2 （；）2 x 1 x 2 2

知识点。六根 代据数的关式系列一元二方次程

利用一元二方程次决解关有代数的问题时，要善式用于元一二方程表示题次 中数的量系关（列即方程出），然 将后方程理整一成般形求式解，最后答。作例 当 取x什么值，代数式时x 2 x 6 0与代数式 3x  2 的相值？

等元一二次方程的应用知识 点一列 元一次二程解方用应题的般一步骤 1（） 题，审（ ）2设未数， 知（）3列方程，（ 4解方）程 （，）5检验， （6作）答。 关点键：出找题中的量等关。系 识知二 用一元二点方次解程与增长（或率降率低有关得到问题）增长率 题与降问低问题率数的量系关及示表法 （1：）若数为基 ，a增率 x长 为则一，增次后的值为长a 1 x  ，次增长后的两为值a 1 x2； （2 ）基数为若 ，a降低率 x 为则，一次降低的后值 为a 1x 两，降低次后值的为 a 1 x 2 例 某农。场粮食产量两在内由年3 00 吨增0到 36加0 吨3，设这两年的平年均长 增率 x ，为列出于关 的方程x为 识点知 三一元二用次程解方市场与经济关有问的题与 市经济场关有问题的如：：销营问、水题电问题、水利问等题。与利相润关 常用的系关有式 （1）：件每利=销润售价成-价本 ；（2）润利率=销售价（进— 价）货÷进价×货100%； （）3售销=额售×价销售量例 商店某如将进果价为 8 货元商品每的件10 元出，售天每可售 02 件， 0现采在取高提价售，少减进价的方法货增加利，润已这知种商每品涨价 .50 ，元 其销减量 少0 1件 。1）要（使天获得 7每00元， 你帮忙确定请价。 （售2当售价）为定少时多，使每能天获得利润最多？并的出求最大润。

易错利知识辨：析 （1）判断个方一程是是一元二不方程，应把次它进整理行，成化般一式后 再进形行判断注意，一元次二方程般一式形中a  0 . （ ）用2式公法和式因解分方的法方程解要先时化成一般形. （3式）配用法方时二项次系数要 1. （4）化用直接平开的方方时法要得取正、记负

.

8

初

数学 2二100397

2一元二次方程试测题

一、选题择

、1关若于 x的一 二次元方(程m-)12x5x++2m3-+m=0 2一个根为 有，则 0m 值的等 于（） 、1A B2、C 、 1或 2D、 0 、2中日报巴：今讯年我小春市粮油再获收丰全市产量预计由前年的 ，4 5吨提万升到 05万吨 设，从前年到年今市我粮油的产量平均增长率为 x年 则可，方程 列为（ ） A． 5  42x 50 B． 5(1 4x 2) 05 ．C50(1 x)2 4 D． 4551(  2) x 50



b 3a已、知 a， b关是于x 的 元一二方次程 x2 n  x 10 的实数两，根则式  的 子 a b是（值 ）

A

．2 n

2

． Bn2 2

C n ．2 2

D ． n 2 2

、 4知 a、b、c已 别分三角形的是边三则

，

方程a + ()b2x+ c2x+ a ( b)+＝0的根 情的是况（ ）B．可能且有只一个实有根 数D．有个两不等相的实数根

A

．有没数根 C．有两个相等实的数根实

5已知 、m n ,是程方x 2  x 2 1 0 的根，且 (两7m 2 1m 4 a(3n 2) n 67 ) 8 ， 则 a 值等的于（ A－． 5 ）B. 5C.9 -.9D

6、已

方知程 2x b  a  x 0有个一是根 a(a 0) ，则下 代数式列的值恒常为的 是（ 数）a A． a b ． B．C a b ． aD b b 、7x 2 2x  2 0一的较小为 x根 , 下1对x面1的 估正计确的 是（ ． A2  1 x 1B． 1  x 1  C0 ． 0 x1  1 ）

D．

1 x1 2

8 、关于x 的一元 二次方 x程 2 x  2 mm 1 0 的 个两实数根别分是x 、x2 ，且

2 x112 x2  7则 ( x1 ， x )22 的是值（

）

C1．3 D2．5

A

1

．

B．2

1

9

二初数 学2030917

2

、某9校年九学级毕生业时每个，学都同自将的己片相向全班他其学同各送一 张表示留念全，班共送 2450 了相片，如张果班全 有 x名学生根据， 题，列出方意程(为 )

x( x 1 ) 2540 2( xx 1)  24 05 D A、x、( x1 ) 2450 B、(x x 1 )  4520 、 2C

221 0 若关、 于x 的元一次二方 程 k1x  x k  0 的一 根为个1 ， 则k 值为的

(

)

A－1． ．B0 ．1CD． 0 或 ）

111

、 设，a 是方程 b2 x   200x9 0 的两个实 数根， a则2  a2 的值为（ b．A0026 B2．007C 20．08 D2．090

1、2对于元二一方程 次xa2b+x+=Oc(≠a)，下列说0：法 ① 若+ca0，=方 ax程+ x+b=O c必实有数根 ②若 ；2+ba4

①

B．①③

2、二填空

1题 若一、二元次程 方x－2a+2(x)+2a0 的=个两实根数别分是3、 ，b则 a+ = 2b、 x设、1x 是2元一次方程二 2x4+－x3=0 的个根，两2 x(x12+52x－3)+2a=2， 则a= ．． ．

3、 程方x（﹣1）（x + 2）=2（ x+2） 的是根

2

4、 知已关于x 的 一元次方程二 xa b x  1 0a( 0) 两有相个的等数实根

，ab2

22 求 ( a2 ) b  4的为值__________

．、在等5△腰ABC 中，三 分边别为a 、 、b c， 其中 a  5，若 关 于x 的程

方x2

  b 2   6 x b 0

两有个等相的实根数则，ABC 的△长周为_________．_

1

0

初

数学二 21300927

22 6、知关于已x 的一元 次方程二  6 xx k  0（k 常数）为．

设 x1， x 2 方程为的个两实数根且， x1 2 x2  1 4， 则 的K为__值_______．

2_2 7、已知 m、n 方程是x 200x  3004 2 0 两的，根 则(n  204n 020 50)与

( 2m 2 004m  0250)的积是

.

、三简题答1、

已 知 是 一 元 二x次 方程

x35 x  2  2 x  2 的 值 ．x 3 x 6x

2 3  1 x0 的实 数根， 求 代数 式：

2、 知已于 x 的关一元次二程 （1）求方实 数m 的取范围；值

2x  2m 1x  m 2 0

有两

个实根数 1 x和x 2 。

2 （22当 x1） x2  0，时 求 的m。

（友值情示：提 若1 、 x 2 是x一元次方二程

1x x2 b c x 1x2  a，a ）

ax 2 b x c  0a 0

两，则根有

1

1

二初学 2数0310927

3、某

品产一季第度件每本成 为05元 ，第、二季度每三件品产均降平成低本百 分率的 为。 x（）衣用含1 x的代式数表第二示度每季件产的成本品 （2；）果第如季度每件产品成本三比第一度季少9. 元5试求 ， x值；的

2 24若、于 x 的关一元次方二 x  程22 (k ) x  k 12 0 实有数根  、

求．数 实k 的取范值围

t

； 

k设

，

求 的t小最值

．12