期中考试试题
1. 窄带高斯白噪声有哪两种表达式？它们各个有什么样的统计特性？（10分） 参考答案：(1) ξ(t)=aξ(t)cos⎡aξ(t)≥0⎣ωct+φξ(t)⎤⎦
2
aξ(t)的一维分布为瑞利分布，(t)，其包络 一个均值为零，方差为σ ξ的窄带平稳高斯过程ξ
φξ(t)的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，a相位 t是统计独立的。 t与φξ()ξ()
f(aξ)=
aξ
σξ
1
2
⎡aξ2
exp⎢-2
2σ⎢ξ⎣ ,
⎤
⎥,⎥⎦
aξ≥0
f(φξ)=
2π
0≤φ≤2π
(2) ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct
同相分量 ξc(t)=aξ(t)cosϕξ(t)正交分量 ξs(t)=aξ(t)sinϕξ(t)
ξs 一个均值为零、方差为σ ξ2 的窄带平稳高斯过程，假定它是平稳的，则它的 ξc(t)、(t)也平
稳，而且均值均为零，方差也相同，有：
E⎡⎣ξ(t)⎤⎦=E⎡⎣ξc(t)⎤⎦=E⎡⎣ξs(t)⎤⎦=0
σξ=σξ=σξ
c
222
s
Rcs(0)=Rsc(0)=0 (互相关系数)
2写出香农公式表达式，简述香农公式的意义？（10分） 参考答案：香农公式为
S⎫⎛ Ct=Blog2 1+⎪N⎝⎭
式中 S － 信号平均功率 （W）； N － 噪声功率（W）； B － 带宽（Hz）。
(b/s)
当S → ∞，或n0 → 0时，Ct → ∞。
当给定S / n0时，若带宽B趋于无穷大，信道容量不会趋于无限大，而只是S / n0的1.44倍。这是因为当带宽B增大时，噪声功率也随之增大。
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
C=Blog 1+S⎪=Blog 1+Eb/Tb⎪=Blog 1+Eb⎪t2 2 2 ⎪⎪nBnBn0⎪00⎝⎭⎝⎭⎝⎭
式中 Eb －每比特能量；
Tb = 1/B － 每比特持续时间。
上式表明，为了得到给定的信道容量Ct，可以增大带宽B以换取Eb的减小；另一方面，在接收功率受限的情况下，由于Eb = STb，可以增大Tb以减小S来保持Eb和Ct不变。
3DSB与SSB调制系统的抗噪声性能是否相同？为什么？（10分） 参考答案：相同。
在输入条件相同下，即解调器输入端的信噪比相同:
(S0N0
)DSB=
SiN0Bb
，(
S0N0
)SSB=
SiN0Bb
4.什么是门限效应？它出现在哪些调制系统中？（10分）
参考答案：门限效应，是当包络检波器的输入信噪比降低到一个特定的数值后，解调器的输出信噪比出现急剧恶化的一种现象。开始出现门限效应的输入信噪比称为门限值。这种门限效应出现在AM，FM非相干解调系统中，由非线性解调作用引起的。 5.有一角度调制信号的表达式为S(t)=10cos(108πt+3sin2π103t)(v),设负载电阻为50Ω,（1）求信号的平均功率（2）若为调频波，求最大的频率偏移，求调制信号的表达式。（3）若为调相波，求最大的相位偏移，求调制信号的表达式。（15分） 参考答案： （1）P=U/R=
2
10/2R
2
=1W
（2）SFM(t)=Acos(ωct+Kf⎰m(τ)dτ)=10cos(108πt+3⨯2π103⎰cos2π103t)(v),最大频率偏移为3⨯10Hz. m(t)=
3
6π10cos2π10
K
f
33
（3）SPM(t)=Acos(ωct+Kpm(t))=10cos(10πt+3sin2π10t)(v),最大相位偏移为3rad/s, m(t)=
3sin2π10
Kp
3
83
6. 12个不同的消息信号，带宽均为0-10kHz, 采用SSB-FDM方式进行传输，试计算系统所需要带宽？（10分）
参考答案：
每路信号的带宽为0~10kHz,为了在已调信号间留有防护频带，设每路信号取11khz,则系统所需要的带宽为11*12=132kHz.
7.试画出线性调制系统的抗噪声性能的分析模型，并对模型中模块和信号进行解释。（10分）
SS0(t)
解 调
no(t)
其中Sm(t)为已调信号，n(t)为信道加性高斯白噪声。带通滤波器的作用是滤除已调信号频带以外的噪声，噪声ni(t)为平稳窄带高斯白噪声。So(t)为解调器输出的有用信号。no(t)输出噪声信号。
8.在移动通信信道中，反映信道频率选择性的信道参数是__，反映信道时变性的信道参数是____多谱勒扩展_（相干时间）_____。并请给出理由。（10分）
注意：这道题目很多同学答案为幅频特性，相频特性，恒参信道，请大家注意移动通信信道是随参信道，幅频特性，相频特性是用来描述恒参信道特性的。
理由：（1）各路径长度不同使得信号到达时间不同，基站发送一个脉冲信号，则接收信号中不仅含有该信号，还包含有它的各个时延信号。这种由于多径效应使接收信号脉冲宽度扩展的现象，称为时延扩展。相干带宽是一特定频率范围，在该范围内，两个频率分量有很强的幅度相关性。在无线通信系统中，如果信号的带宽小于信道的相干带宽，则接收信号会经历平坦衰落过程，此时发送信号的频谱特性在接收机内仍能保持不变。然而，由于信道增益的起伏，接收信号的强度会随时间变化。反之，如果信号的带宽大于信道的相干带宽，则接收信号会经历频率选择性衰落，此时接收信号的某些频率比其他分量获得了更大的增益，使接收信号产生了失真，从而引起符号间干扰。相干带宽为信道在两个频移处的频率响应保持强相关时的最大频率差。相干带宽越小，时延扩展越大；反之，相干带宽约大，时延扩展越小
（2）由于用户的高速移动在频域引起了多普勒频移，在相应的时域上其波形产生了时间选择性衰落。相干时间是描述多谱勒扩展的：相干时间在时域描述信道的频率色散的时变特性。相干时间与多普勒扩展成反比，是信道冲激响应维持不变的时间间隔的统计平均值。如果基带信号的符号周期大于信道的相干时间，则在基带信号的传输过程中信道可能会发生改变，导致接收信号发生失真，产生时间选择性衰落，也称快衰落；如果基带信号的符号周期小于信道的相干时间，则在基带信号的传输过程中信道不会发生改变，也不会产生时间选择性衰落，也称慢衰落。定义相干时间一般是用来划分时间非选择性衰落信道和时间选择性衰落信道，或叫慢衰落信道和快衰落信道的量化参数。如果信道的最大多普勒频移为fm，那么信道的相干时间Tc=0.423/fm。
9.设有一离散信源X的取值于{A，B}。信源每次输出一个符号，前后符号之间有统计相关性。前一次输出X’和当前输出X之间的转移概率P(X|X’)为
P(A|A)=0.8，P(B/A)=0.2，P(A|B)=0.6，P(B|B)=0.4 (1) 求信源输出A或B的概率P(A)和P(B).
(2) 分别求前一次输出为A或B条件下的条件熵H(X|A)和H(X|B)，并求H(X|X’).
(3) 若信源的输出符号统计独立，且A，B的出现概率相等，求H(X|X’).（15分） 答案：
(1) P（AB）=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),又P(A)+P(B)=1, 因此P(A)=0.75,P(B)=0.25
(2)
H(X|A)=-P(B/A)logP(B/A)-P(A/A)logP(A/A)=-(0.2log20.2+0.8log20.8)=0.72 bit/符号 H(X|B)=-P(B/B)logP(B/B)-P(A/B)logP(A/B)=-(0.4log20.4+0.6log20.6)=0.97 bit/符号 H(X|X’)=P(A)H(X|A)+P(B)H(X|B)=0.75*0.72+0.25*0.97=0.785 bit/符号 (3)P(A)=1/2,P(B)=1/2 bit/符号; H(X|X’)=log22=1 bit/符号
期中考试试题
1. 窄带高斯白噪声有哪两种表达式？它们各个有什么样的统计特性？（10分） 参考答案：(1) ξ(t)=aξ(t)cos⎡aξ(t)≥0⎣ωct+φξ(t)⎤⎦
2
aξ(t)的一维分布为瑞利分布，(t)，其包络 一个均值为零，方差为σ ξ的窄带平稳高斯过程ξ
φξ(t)的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言，a相位 t是统计独立的。 t与φξ()ξ()
f(aξ)=
aξ
σξ
1
2
⎡aξ2
exp⎢-2
2σ⎢ξ⎣ ,
⎤
⎥,⎥⎦
aξ≥0
f(φξ)=
2π
0≤φ≤2π
(2) ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct
同相分量 ξc(t)=aξ(t)cosϕξ(t)正交分量 ξs(t)=aξ(t)sinϕξ(t)
ξs 一个均值为零、方差为σ ξ2 的窄带平稳高斯过程，假定它是平稳的，则它的 ξc(t)、(t)也平
稳，而且均值均为零，方差也相同，有：
E⎡⎣ξ(t)⎤⎦=E⎡⎣ξc(t)⎤⎦=E⎡⎣ξs(t)⎤⎦=0
σξ=σξ=σξ
c
222
s
Rcs(0)=Rsc(0)=0 (互相关系数)
2写出香农公式表达式，简述香农公式的意义？（10分） 参考答案：香农公式为
S⎫⎛ Ct=Blog2 1+⎪N⎝⎭
式中 S － 信号平均功率 （W）； N － 噪声功率（W）； B － 带宽（Hz）。
(b/s)
当S → ∞，或n0 → 0时，Ct → ∞。
当给定S / n0时，若带宽B趋于无穷大，信道容量不会趋于无限大，而只是S / n0的1.44倍。这是因为当带宽B增大时，噪声功率也随之增大。
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
C=Blog 1+S⎪=Blog 1+Eb/Tb⎪=Blog 1+Eb⎪t2 2 2 ⎪⎪nBnBn0⎪00⎝⎭⎝⎭⎝⎭
式中 Eb －每比特能量；
Tb = 1/B － 每比特持续时间。
上式表明，为了得到给定的信道容量Ct，可以增大带宽B以换取Eb的减小；另一方面，在接收功率受限的情况下，由于Eb = STb，可以增大Tb以减小S来保持Eb和Ct不变。
3DSB与SSB调制系统的抗噪声性能是否相同？为什么？（10分） 参考答案：相同。
在输入条件相同下，即解调器输入端的信噪比相同:
(S0N0
)DSB=
SiN0Bb
，(
S0N0
)SSB=
SiN0Bb
4.什么是门限效应？它出现在哪些调制系统中？（10分）
参考答案：门限效应，是当包络检波器的输入信噪比降低到一个特定的数值后，解调器的输出信噪比出现急剧恶化的一种现象。开始出现门限效应的输入信噪比称为门限值。这种门限效应出现在AM，FM非相干解调系统中，由非线性解调作用引起的。 5.有一角度调制信号的表达式为S(t)=10cos(108πt+3sin2π103t)(v),设负载电阻为50Ω,（1）求信号的平均功率（2）若为调频波，求最大的频率偏移，求调制信号的表达式。（3）若为调相波，求最大的相位偏移，求调制信号的表达式。（15分） 参考答案： （1）P=U/R=
2
10/2R
2
=1W
（2）SFM(t)=Acos(ωct+Kf⎰m(τ)dτ)=10cos(108πt+3⨯2π103⎰cos2π103t)(v),最大频率偏移为3⨯10Hz. m(t)=
3
6π10cos2π10
K
f
33
（3）SPM(t)=Acos(ωct+Kpm(t))=10cos(10πt+3sin2π10t)(v),最大相位偏移为3rad/s, m(t)=
3sin2π10
Kp
3
83
6. 12个不同的消息信号，带宽均为0-10kHz, 采用SSB-FDM方式进行传输，试计算系统所需要带宽？（10分）
参考答案：
每路信号的带宽为0~10kHz,为了在已调信号间留有防护频带，设每路信号取11khz,则系统所需要的带宽为11*12=132kHz.
7.试画出线性调制系统的抗噪声性能的分析模型，并对模型中模块和信号进行解释。（10分）
SS0(t)
解 调
no(t)
其中Sm(t)为已调信号，n(t)为信道加性高斯白噪声。带通滤波器的作用是滤除已调信号频带以外的噪声，噪声ni(t)为平稳窄带高斯白噪声。So(t)为解调器输出的有用信号。no(t)输出噪声信号。
8.在移动通信信道中，反映信道频率选择性的信道参数是__，反映信道时变性的信道参数是____多谱勒扩展_（相干时间）_____。并请给出理由。（10分）
注意：这道题目很多同学答案为幅频特性，相频特性，恒参信道，请大家注意移动通信信道是随参信道，幅频特性，相频特性是用来描述恒参信道特性的。
理由：（1）各路径长度不同使得信号到达时间不同，基站发送一个脉冲信号，则接收信号中不仅含有该信号，还包含有它的各个时延信号。这种由于多径效应使接收信号脉冲宽度扩展的现象，称为时延扩展。相干带宽是一特定频率范围，在该范围内，两个频率分量有很强的幅度相关性。在无线通信系统中，如果信号的带宽小于信道的相干带宽，则接收信号会经历平坦衰落过程，此时发送信号的频谱特性在接收机内仍能保持不变。然而，由于信道增益的起伏，接收信号的强度会随时间变化。反之，如果信号的带宽大于信道的相干带宽，则接收信号会经历频率选择性衰落，此时接收信号的某些频率比其他分量获得了更大的增益，使接收信号产生了失真，从而引起符号间干扰。相干带宽为信道在两个频移处的频率响应保持强相关时的最大频率差。相干带宽越小，时延扩展越大；反之，相干带宽约大，时延扩展越小
（2）由于用户的高速移动在频域引起了多普勒频移，在相应的时域上其波形产生了时间选择性衰落。相干时间是描述多谱勒扩展的：相干时间在时域描述信道的频率色散的时变特性。相干时间与多普勒扩展成反比，是信道冲激响应维持不变的时间间隔的统计平均值。如果基带信号的符号周期大于信道的相干时间，则在基带信号的传输过程中信道可能会发生改变，导致接收信号发生失真，产生时间选择性衰落，也称快衰落；如果基带信号的符号周期小于信道的相干时间，则在基带信号的传输过程中信道不会发生改变，也不会产生时间选择性衰落，也称慢衰落。定义相干时间一般是用来划分时间非选择性衰落信道和时间选择性衰落信道，或叫慢衰落信道和快衰落信道的量化参数。如果信道的最大多普勒频移为fm，那么信道的相干时间Tc=0.423/fm。
9.设有一离散信源X的取值于{A，B}。信源每次输出一个符号，前后符号之间有统计相关性。前一次输出X’和当前输出X之间的转移概率P(X|X’)为
P(A|A)=0.8，P(B/A)=0.2，P(A|B)=0.6，P(B|B)=0.4 (1) 求信源输出A或B的概率P(A)和P(B).
(2) 分别求前一次输出为A或B条件下的条件熵H(X|A)和H(X|B)，并求H(X|X’).
(3) 若信源的输出符号统计独立，且A，B的出现概率相等，求H(X|X’).（15分） 答案：
(1) P（AB）=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B),又P(A)+P(B)=1, 因此P(A)=0.75,P(B)=0.25
(2)
H(X|A)=-P(B/A)logP(B/A)-P(A/A)logP(A/A)=-(0.2log20.2+0.8log20.8)=0.72 bit/符号 H(X|B)=-P(B/B)logP(B/B)-P(A/B)logP(A/B)=-(0.4log20.4+0.6log20.6)=0.97 bit/符号 H(X|X’)=P(A)H(X|A)+P(B)H(X|B)=0.75*0.72+0.25*0.97=0.785 bit/符号 (3)P(A)=1/2,P(B)=1/2 bit/符号; H(X|X’)=log22=1 bit/符号