1.4角平分线
一、选择题
1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，
C 分别在D ′,C ′的位置，若 ∠ EFB=65°，则∠AED ′等于 （ ）
A ．70° B ．65° C ．50°D ．25°
2．如图1—102所示．在ABC 中，AC=BC，∠C=90°，AD 平
分∠CAB 交BC 于点
D ，DE ⊥AB 于点E ．若AB=6 cm，则DEB 的周长为 （ ）
A ．12 cm B ．8 cm C ．6 cm D ．4 cm
3．如图1—103所示，D ，E 分别是△ABc 的边AC ．Bc 上的点，
若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为 （ ）
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
4．如图1—104所示，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂
足分别为A ，B ，下列结论不一定成立的是 （ ）
A ．PA=PB B ．PO 平分∠APB
C ．OA=OB D ．AB 垂直平分
OP
二、填空与解答题
5．补全“求作∠AOB 的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分
别截取OD ，OE ．使OD =OE；②分别以D ，E 为圆心，以 为
半径画弧，两弧在∠AOB 内交于点C ；③连接OC ．则OC 即
为∠AOB 的平分线．
6．如图1—105所示，D ，E ，F 分别是,ABC 的三边上的点，CE=BF，
△DCE 和△DBF 的面积相等．求证AD 平分∠BAC ．
7．如图1—106所示，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，
EF 交AD 于点M ，求证AM ⊥EF ．
8．如图1—107所示，, 在EAABC 中，∠B=90°，AB=7，BC=24，
AC=25．△ABC 内是否有一点P 到各边的距离相等？? 如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没
有，请说明理由．（简要说明作图过程即可）
9．某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附
近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000 m ．根据这些
资料，考古队员很快找
到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图l —108上找到古城的遗址（比例
尺为1：100000）．
10．学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个
在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如图1—109所示
的RtAABC 的斜边AB 上取点E ，使BE=BC，然后作DE ⊥
AB 交AC 于点D ，那∠BD 就是∠ABC 的平分线．你认为他
的作法有道理吗？说说你的看法．
11．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20 m，30m ，40
m ，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同
的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．
12．如图1—110（1）所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用
该图形画一对以OP 所在直线为公共边的全等三角形．请你
参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
（1）如图1一110（2）所示，在∠ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点F ，请你写出FE 与FD 之间的数量关系；（不要求写证明）
（2）如图1-110（3）所示，在AABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否
仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C [提示：折痕EF 恰为∠DED ′的角平分线，∴∠DEF=∠D ′EF ．
又∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED ′=65°×2=130°∴∠AED ′=180°一∠DED ′=50°．]
２．Ｃ［提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，∴BE ＋DE ＋BD=BD＋DC ＋BE ＝BC ＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6 cm．]
3．D[提示：易证∠C=∠DBE=∠DBA ，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]
4．D[提示：证明△OAP ≌△OBP ，可得答案．]
5. 大于DE 长．
6．证明：如图1一l11所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G ，因为S △DCE =S△DBF , 所以C Ｅ•DG=BF•DH ，又CE=BF，所以DG=DH，所以点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．
7．证明：因为AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，所以DF=DE． 在Rt △ADF 和Rt △
12
所以Rt △ADF ≌Rt △AD （HL ）．所AF=AE．在△AMF 和△AME 中， 所以△AMF ≌△AME （ＳＡＳ），所以∠AMF=∠AME ．又因为∠AMF ＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM ⊥EF
8．解：有，如图1一112所示，作∠BAC ，∠ACB 的平
分线，它们的交点P 即为符合要求的点．理由：作PD ⊥
AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，因为AP 是∠BAC 的平分线，所以PD=PF．又CP 是∠ACB 的平分线，所以PE=PF，所以PD=PE=PF．连接PB ，设PD=PE=PF=x ，由题意S △APB ＋S △A ＰC ＋S △ＣP B= S△ＡＢＣ，即× 7x ＋× 24x ＋× 25x =×24×7，解这
个方程，得x =3．即这个距离为3．
9．解：作两条河岸夹角的平分线，再以古塔所在的位置为圆心，以3 cm长为半径画
弧，弧线与角平分线的交点即为所求．图略．
10．解：小明的作法是有道理的．根据他的画法我们可以用HL 证明12121212
Rt △BCD ≌Rt △BED ，得∠CBD=∠EBD ．
11．解：如图1一113所示，AC=20，BC=30，AB=40，
作出该三角形空地ABC 的三条角平分线的交点P ，连接
PA ，PB ，PC ，则S △ACP ： S △BCP ：S △ABP ＝2：3：4．理由：
作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，垂足分别为D ，F ，E ，由角平分线的性质定理，可知PD=PE=PF，∴S △ACP ： S △BCP ：S △ABP =（PF ·AC ）：（PE ·BC ）：（PD ·AB ）=AC：BC ：AB=2：3:4．
12．解：在OM ，ON 上分别取OA ，OB ，使OA=OB，再在OP 上任取一点D ，连接AD ， 121212
BD ，则△OAD 与△OBD 全等，如图l 一114（1）所示．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE=FD．
（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC 上截取AG=AE，连接FG ，则△AEF ≌△AGF ，所以∠AFE=∠AFG ，FE=FG．由∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠
CFD ．由∠3=∠4及FC 为公共边，可得△CFG ≌△CFD ，所以FG=FD
，
所以FE=FD．证法2：如图1—114（3）所示，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ，FI ⊥AC 于点I ．因为∠B=60°，且AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B ＋∠1，所以∠GEF=∠HDF ．因此由∠EGF=∠DHF ，∠GEF=∠HDF ，FG=FH可证AEGF ≌△DHF ，所以FE=FD
1.4角平分线
一、选择题
1．如图1—101所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，
C 分别在D ′,C ′的位置，若 ∠ EFB=65°，则∠AED ′等于 （ ）
A ．70° B ．65° C ．50°D ．25°
2．如图1—102所示．在ABC 中，AC=BC，∠C=90°，AD 平
分∠CAB 交BC 于点
D ，DE ⊥AB 于点E ．若AB=6 cm，则DEB 的周长为 （ ）
A ．12 cm B ．8 cm C ．6 cm D ．4 cm
3．如图1—103所示，D ，E 分别是△ABc 的边AC ．Bc 上的点，
若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数为 （ ）
A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
4．如图1—104所示，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂
足分别为A ，B ，下列结论不一定成立的是 （ ）
A ．PA=PB B ．PO 平分∠APB
C ．OA=OB D ．AB 垂直平分
OP
二、填空与解答题
5．补全“求作∠AOB 的平分线”的作法：①在OA 和OB 上分
别截取OD ，OE ．使OD =OE；②分别以D ，E 为圆心，以 为
半径画弧，两弧在∠AOB 内交于点C ；③连接OC ．则OC 即
为∠AOB 的平分线．
6．如图1—105所示，D ，E ，F 分别是,ABC 的三边上的点，CE=BF，
△DCE 和△DBF 的面积相等．求证AD 平分∠BAC ．
7．如图1—106所示，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，
EF 交AD 于点M ，求证AM ⊥EF ．
8．如图1—107所示，, 在EAABC 中，∠B=90°，AB=7，BC=24，
AC=25．△ABC 内是否有一点P 到各边的距离相等？? 如果有，请作出这一点，并且说明理由，同时求出这个距离；如果没
有，请说明理由．（简要说明作图过程即可）
9．某考古队为进行考占研究，寻找一座古城遗址，根据资料记载，这座古城在森林附
近，到两河岸距离相等，到古塔的距离是3000 m ．根据这些
资料，考古队员很快找
到了这座古城的遗址．请你运用学过的知识在图l —108上找到古城的遗址（比例
尺为1：100000）．
10．学完了“角平分线”这节内容，爱动脑筋的小明发现了一个
在直角三角形中画锐角的平分线的方法：在如图1—109所示
的RtAABC 的斜边AB 上取点E ，使BE=BC，然后作DE ⊥
AB 交AC 于点D ，那∠BD 就是∠ABC 的平分线．你认为他
的作法有道理吗？说说你的看法．
11．现有一块三角形的空地，其三边的长分别为20 m，30m ，40
m ，现要把它分成面积为2：3：4的三部分，分别种植不同
的花草，请你设计一种方案，并简单说明理由．
12．如图1—110（1）所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用
该图形画一对以OP 所在直线为公共边的全等三角形．请你
参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．
（1）如图1一110（2）所示，在∠ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，AD ，CE 相交于点F ，请你写出FE 与FD 之间的数量关系；（不要求写证明）
（2）如图1-110（3）所示，在AABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否
仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．C [提示：折痕EF 恰为∠DED ′的角平分线，∴∠DEF=∠D ′EF ．
又∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED ′=65°×2=130°∴∠AED ′=180°一∠DED ′=50°．]
２．Ｃ［提示：易知DE=DC，AE=AC=BC，∴BE ＋DE ＋BD=BD＋DC ＋BE ＝BC ＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6 cm．]
3．D[提示：易证∠C=∠DBE=∠DBA ，∠DEC=∠DEB=∠A=90°．]
4．D[提示：证明△OAP ≌△OBP ，可得答案．]
5. 大于DE 长．
6．证明：如图1一l11所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，DG ⊥AC 于G ，因为S △DCE =S△DBF , 所以C Ｅ•DG=BF•DH ，又CE=BF，所以DG=DH，所以点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．
7．证明：因为AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，所以DF=DE． 在Rt △ADF 和Rt △
12
所以Rt △ADF ≌Rt △AD （HL ）．所AF=AE．在△AMF 和△AME 中， 所以△AMF ≌△AME （ＳＡＳ），所以∠AMF=∠AME ．又因为∠AMF ＋∠AME=180°，所以∠AMF=∠AME=90°，即AM ⊥EF
8．解：有，如图1一112所示，作∠BAC ，∠ACB 的平
分线，它们的交点P 即为符合要求的点．理由：作PD ⊥
AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，因为AP 是∠BAC 的平分线，所以PD=PF．又CP 是∠ACB 的平分线，所以PE=PF，所以PD=PE=PF．连接PB ，设PD=PE=PF=x ，由题意S △APB ＋S △A ＰC ＋S △ＣP B= S△ＡＢＣ，即× 7x ＋× 24x ＋× 25x =×24×7，解这
个方程，得x =3．即这个距离为3．
9．解：作两条河岸夹角的平分线，再以古塔所在的位置为圆心，以3 cm长为半径画
弧，弧线与角平分线的交点即为所求．图略．
10．解：小明的作法是有道理的．根据他的画法我们可以用HL 证明12121212
Rt △BCD ≌Rt △BED ，得∠CBD=∠EBD ．
11．解：如图1一113所示，AC=20，BC=30，AB=40，
作出该三角形空地ABC 的三条角平分线的交点P ，连接
PA ，PB ，PC ，则S △ACP ： S △BCP ：S △ABP ＝2：3：4．理由：
作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，垂足分别为D ，F ，E ，由角平分线的性质定理，可知PD=PE=PF，∴S △ACP ： S △BCP ：S △ABP =（PF ·AC ）：（PE ·BC ）：（PD ·AB ）=AC：BC ：AB=2：3:4．
12．解：在OM ，ON 上分别取OA ，OB ，使OA=OB，再在OP 上任取一点D ，连接AD ， 121212
BD ，则△OAD 与△OBD 全等，如图l 一114（1）所示．（1）FE 与FD 之间的数量关系为FE=FD．
（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC 上截取AG=AE，连接FG ，则△AEF ≌△AGF ，所以∠AFE=∠AFG ，FE=FG．由∠B=60°，AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠
CFD ．由∠3=∠4及FC 为公共边，可得△CFG ≌△CFD ，所以FG=FD
，
所以FE=FD．证法2：如图1—114（3）所示，过点F 分别作FG ⊥AB 于点G ，FH ⊥BC 于点H ，FI ⊥AC 于点I ．因为∠B=60°，且AD ，CE 分别是∠BAC ，∠BCA 的平分线，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B ＋∠1，所以∠GEF=∠HDF ．因此由∠EGF=∠DHF ，∠GEF=∠HDF ，FG=FH可证AEGF ≌△DHF ，所以FE=FD