第一章 函数的有关概念
函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
◆ 相同函数的判断方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x，y) 的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象．C 上每一点的坐标(x，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x，y) ，均在C 上 .
(2) 画法
A. 描点法 B.图象变换法 :平移变换 对称变换 翻折变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）”
对于映射f ：A →B 来说，则应满足：
(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
6. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
7. 复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
（数学1必修）第一章 函数及其表示[基础训练A 组]
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） (x +3)(x -5) ⑴y 1=，y 2=x -5；⑵y 1=x +1x -1，y 2=(x +1)(x -1) ； x +3
⑶f (x ) =x ，g (x ) =
x 2；⑷f (x ) =
F (x ) = ⑸f 1(x ) =(2x -5) 2，f 2(x ) =2x -5。
A ．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2．函数y =f (x ) 的图象与直线x =1的公共点数目是（ ）
A ．1 B．0 C．0或1 D．1或2
3．已知集合A ={1, 2,3, k }, B ={4,7, a 4, a 2+3a }，且a ∈N *, x ∈A , y ∈B ，使B 中元素y =3x +1和A 中的元素x 对应，则a , k 的值分别为（ ）
A ．2,3 B．3, 4 C．3,5 D．2,5
⎧x +2(x ≤-1) ⎪4．已知f (x ) =⎨x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
A ．1 B．1或33 C．1，或
22
5．为了得到函数y =f (-2x ) 的图象，可以把函数y =f (1-2x ) 的图象适当平移，这个平移是（ ）
1个单位 2
1C ．沿x 轴向左平移1个单位 D．沿x 轴向左平移个单位 2A ．沿x 轴向右平移1个单位 B．沿x 轴向右平移
⎧x -2, (x ≥10) 6．设f (x ) =⎨则f (5) 的值为（ ） f [f (x +6)],(x
A ．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题
⎧1x -1(x ≥0), ⎪⎪2若f (a ) >a . 则实数a 的取值范围是。 1．设函数f (x ) =⎨1⎪(x
2．函数y =x -2的定义域 2x -4
3．若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (-2,0), B (4,0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。
4
．函数y =0
的定义域是_____________________。
三、解答题
1
．求函数f (x ) =
的定义域。 x +2．求函数y =x 2+x +1的值域。
3．x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1) x +m +1=0的两个实根，又y =x 12+x 22，求y =f (m ) 的解析式及此函数的定义域。
4．已知函数f (x ) =ax 2-2ax +3-b (a >0) 在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。
（数学1必修）第一章 函数及其表示[综合训练B 组]
一、选择题
1．设函数f (x ) =2x +3, g (x +2) =f (x ) ，则g (x ) 的表达式是（ ）
A ．2x +1 B．2x -1 C．2x -3 D．2x +7
cx 3, (x ≠-) 满足f [f (x )]=x , 则常数c 等于（ ） 2．函数f (x ) =2x +32
A ．3 B．-3 C．3或-3 D．5或-3
1-x 21(x ≠0) 3．已知g (x ) =1-2x , f [g (x )]=，那么f () 等于（ ） x 22
A ．15 B．1 C．3 D．30
4．已知函数y =f (x +1) 定义域是[-2，3]，则y =f (2x -1) 的定义域是（ ）
5A ．[0，] B. [-1，4] C. [-5，5] D. [-3，7] 2
5
．函数y =2 ）
A ．[-2,2] B．[1,2] C．[0,2] D
．[
21-x 1-x 6．已知f (，则f (x ) 的解析式为（ ） ) =1+x 1+x 2
2x x x 2x -- B． C． D． 22221+x 1+x 1+x 1+x
二、填空题 A ．
⎧3x 2-4(x >0) ⎪1．若函数f (x ) =⎨π(x =0) ，则f (f (0))= ．
⎪0(x
2．若函数f (2x +1) =x 2-2x ，则f (3) 3
．函数f (x ) =的值域是 。
⎧1, x ≥04．已知f (x ) =⎨，则不等式x +(x +2) ⋅f (x +2) ≤5的解集是。 -1, x
5．设函数y =ax +2a +1，当-1≤x ≤1时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。
三、解答题
1．设α, β是方程4x 2-4mx +m +2=0,(x ∈R ) 的两实根, 当m 为何值时, α2+β2有最小值? 求出这个最小值.
2．求函数y =
3+x 的值域 4-x
（数学1必修）第一章 函数及其表示[提高训练C 组]
一、选择题
1．若集合S ={y |y =3x +2, x ∈R }，T ={y |y =x 2-1, x ∈R }，则S T 是( )
A ．S B. T C. φ D.有限集
2. 函数y =x
x +x 的图象是（ ）
3．若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ], 值域为[-25，-4]，则m 的取值范围是（ ） 4
333+∞）A ．(0, 4] B．[，4] C．[， 3] D．[，222
4．若函数f (x ) =x 2，则对任意实数x 1, x 2，下列不等式总成立的是（ ）
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) x +x f (x 1) +f (x 2) ) ≤ B．f (12)
x +x f (x 1) +f (x 2) x +x f (x 1) +f (x 2) C ．f (12) ≥ D．f (12) > 2222A ．f (
2⎧⎪2x -x (0≤x ≤3) 5．函数f (x ) =⎨2的值域是（ ） ⎪⎩x +6x (-2≤x ≤0)
A ．R B．[-9, +∞) C．[-8,1] D．[-9,1]
二、填空题
1．函数f (x ) =(a -2) x 2+2(a -2) x -4的定义域为R ，值域为(-∞,0]，则满足条件的实数a 组成的集合是 。
2．设函数f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数f (x -2) 的定义域为__________。
⎧x 2+1(x ≤0) 3．已知函数f (x ) =⎨，若f (x ) =10, 则x = ⎩-2x (x >0)
三、解答题
1．求函数y =x +-2x 的值域。
2x 2-2x +32．求函数y =2的值域。 x -x +1
3．已知a , b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24, 则求5a -b 的值。
4．对于任意实数x ，函数f (x ) =(5-a ) x 2-6x +a +5恒为正值，求a 的取值范围。
第一章 函数的有关概念
函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
◆ 相同函数的判断方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A) 中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x，y) 的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A) 的图象．C 上每一点的坐标(x，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x，y) ，均在C 上 .
(2) 画法
A. 描点法 B.图象变换法 :平移变换 对称变换 翻折变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）”
对于映射f ：A →B 来说，则应满足：
(1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。
6. 分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
7. 复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f 、g 的复合函数。
（数学1必修）第一章 函数及其表示[基础训练A 组]
一、选择题
1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） (x +3)(x -5) ⑴y 1=，y 2=x -5；⑵y 1=x +1x -1，y 2=(x +1)(x -1) ； x +3
⑶f (x ) =x ，g (x ) =
x 2；⑷f (x ) =
F (x ) = ⑸f 1(x ) =(2x -5) 2，f 2(x ) =2x -5。
A ．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸
2．函数y =f (x ) 的图象与直线x =1的公共点数目是（ ）
A ．1 B．0 C．0或1 D．1或2
3．已知集合A ={1, 2,3, k }, B ={4,7, a 4, a 2+3a }，且a ∈N *, x ∈A , y ∈B ，使B 中元素y =3x +1和A 中的元素x 对应，则a , k 的值分别为（ ）
A ．2,3 B．3, 4 C．3,5 D．2,5
⎧x +2(x ≤-1) ⎪4．已知f (x ) =⎨x 2(-1
⎪2x (x ≥2) ⎩
A ．1 B．1或33 C．1，或
22
5．为了得到函数y =f (-2x ) 的图象，可以把函数y =f (1-2x ) 的图象适当平移，这个平移是（ ）
1个单位 2
1C ．沿x 轴向左平移1个单位 D．沿x 轴向左平移个单位 2A ．沿x 轴向右平移1个单位 B．沿x 轴向右平移
⎧x -2, (x ≥10) 6．设f (x ) =⎨则f (5) 的值为（ ） f [f (x +6)],(x
A ．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题
⎧1x -1(x ≥0), ⎪⎪2若f (a ) >a . 则实数a 的取值范围是。 1．设函数f (x ) =⎨1⎪(x
2．函数y =x -2的定义域 2x -4
3．若二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (-2,0), B (4,0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。
4
．函数y =0
的定义域是_____________________。
三、解答题
1
．求函数f (x ) =
的定义域。 x +2．求函数y =x 2+x +1的值域。
3．x 1, x 2是关于x 的一元二次方程x 2-2(m -1) x +m +1=0的两个实根，又y =x 12+x 22，求y =f (m ) 的解析式及此函数的定义域。
4．已知函数f (x ) =ax 2-2ax +3-b (a >0) 在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值。
（数学1必修）第一章 函数及其表示[综合训练B 组]
一、选择题
1．设函数f (x ) =2x +3, g (x +2) =f (x ) ，则g (x ) 的表达式是（ ）
A ．2x +1 B．2x -1 C．2x -3 D．2x +7
cx 3, (x ≠-) 满足f [f (x )]=x , 则常数c 等于（ ） 2．函数f (x ) =2x +32
A ．3 B．-3 C．3或-3 D．5或-3
1-x 21(x ≠0) 3．已知g (x ) =1-2x , f [g (x )]=，那么f () 等于（ ） x 22
A ．15 B．1 C．3 D．30
4．已知函数y =f (x +1) 定义域是[-2，3]，则y =f (2x -1) 的定义域是（ ）
5A ．[0，] B. [-1，4] C. [-5，5] D. [-3，7] 2
5
．函数y =2 ）
A ．[-2,2] B．[1,2] C．[0,2] D
．[
21-x 1-x 6．已知f (，则f (x ) 的解析式为（ ） ) =1+x 1+x 2
2x x x 2x -- B． C． D． 22221+x 1+x 1+x 1+x
二、填空题 A ．
⎧3x 2-4(x >0) ⎪1．若函数f (x ) =⎨π(x =0) ，则f (f (0))= ．
⎪0(x
2．若函数f (2x +1) =x 2-2x ，则f (3) 3
．函数f (x ) =的值域是 。
⎧1, x ≥04．已知f (x ) =⎨，则不等式x +(x +2) ⋅f (x +2) ≤5的解集是。 -1, x
5．设函数y =ax +2a +1，当-1≤x ≤1时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。
三、解答题
1．设α, β是方程4x 2-4mx +m +2=0,(x ∈R ) 的两实根, 当m 为何值时, α2+β2有最小值? 求出这个最小值.
2．求函数y =
3+x 的值域 4-x
（数学1必修）第一章 函数及其表示[提高训练C 组]
一、选择题
1．若集合S ={y |y =3x +2, x ∈R }，T ={y |y =x 2-1, x ∈R }，则S T 是( )
A ．S B. T C. φ D.有限集
2. 函数y =x
x +x 的图象是（ ）
3．若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ], 值域为[-25，-4]，则m 的取值范围是（ ） 4
333+∞）A ．(0, 4] B．[，4] C．[， 3] D．[，222
4．若函数f (x ) =x 2，则对任意实数x 1, x 2，下列不等式总成立的是（ ）
x 1+x 2f (x 1) +f (x 2) x +x f (x 1) +f (x 2) ) ≤ B．f (12)
x +x f (x 1) +f (x 2) x +x f (x 1) +f (x 2) C ．f (12) ≥ D．f (12) > 2222A ．f (
2⎧⎪2x -x (0≤x ≤3) 5．函数f (x ) =⎨2的值域是（ ） ⎪⎩x +6x (-2≤x ≤0)
A ．R B．[-9, +∞) C．[-8,1] D．[-9,1]
二、填空题
1．函数f (x ) =(a -2) x 2+2(a -2) x -4的定义域为R ，值域为(-∞,0]，则满足条件的实数a 组成的集合是 。
2．设函数f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数f (x -2) 的定义域为__________。
⎧x 2+1(x ≤0) 3．已知函数f (x ) =⎨，若f (x ) =10, 则x = ⎩-2x (x >0)
三、解答题
1．求函数y =x +-2x 的值域。
2x 2-2x +32．求函数y =2的值域。 x -x +1
3．已知a , b 为常数，若f (x ) =x 2+4x +3, f (ax +b ) =x 2+10x +24, 则求5a -b 的值。
4．对于任意实数x ，函数f (x ) =(5-a ) x 2-6x +a +5恒为正值，求a 的取值范围。