第二章补充作业习题：
用大M法和两阶段法求解下面LP问题：
2x1⎧minz=
⎪s.t.2x-3x⎪12⎨
-x1+x2
⎪⎪x1,x2≥0⎩
解： 标准化为
+4x2≥2≥3
⎧maxz'=-2x1-4x2⎪s.t.2x-3x-x3⎪12⎨
-x1+x2
⎪⎪x1,x2,x3,x4≥0⎩
（1）大M法
=2-x4
=3
引入人工变量x5,x6，得到下面的LP问题
⎧max=-2x1-4x2⎪s.t.2x-3x-x3⎪12⎨
-x1+x2
⎪⎪xj≥0,j=1, ,6⎩
-Mx5-x4
-Mx6+x5
+x6
=2
=3
因为人工变量x6为4>0，所以原问题没有可行解。
（2）两阶段法：
增加人工变量x5,x6，得到辅助LP问题
⎧maxg=-x5-x6⎪s.t.2x-3x-x⎪123⎨
-x1+x2
⎪⎪xj≥0,j=1, ,6⎩
初始表
+x5
-x4
+x6
=2=3
因为辅助LP问题的最优值为4>0，所以原问题没有可行解。
习2.1 解：
设x1为每天生产甲产品的数量，x2为每天生产乙产品的数量，则数学模型为
maxz
=300x1+200x2s.t.x1+2x2≤20
3x1+x2≤18
x1≤5x1,x2≥0
最优解为：X*=(3.2,8.4)，最优值为：z = 2640。
T
2.2 （1）
最优解为：X*=(1.5,0.5)，最优值为：z = 4.5。
T
（2）
无可行解
（3）
⎛10⎫T*
有无穷多最优解，其中一个为：X= ,0⎪，另一个为：X2=(0,10)，
⎝3⎭
*1
T
最优值为：z = 20。
（4）
无界解
2.3 解：
设x1为雇佣A的天数，x2为雇佣B的天数，则数学模型为
minz=25x1+22x2s.t.x1+x2≥5
3x1+2x2≥12
3x1+6x2≥18x1,x2≥0
最优解为：X*=(2,3)，最优值为：z = 116。即雇佣A2天，雇佣B3天，共花费116元。
T
2.4
解：m=2，n=5。约束方程组的系数矩阵为：
⎛11410⎫⎛10⎫
⎪ ，易见()()A= =P,P,P,P,PP,P=1234515 026-11⎪ 01⎪⎪是一个基。令非基变
⎝⎭⎝⎭
量x2,x3,x4=0，由方程组可解出x1=6，x5=8，因此得到基解X(0)=(6,0,0,0,8)，也
T
是基可行解。其对应的典式为：
minz=5x1+2x2+x3+3x4s.t.x1
x5
+x2+2x2
+4x3+6x3
+x4-x4
=6 =8
x1, ,x5≥0
⎛11⎫
另外(P1,P2)= 02⎪⎪也是一个基。令非基变量x3,x4,x5=0，由方程组可解出x1=2，
⎝⎭x2=4，因此得到基解X(1)=(2,4,0,0,0)，也是基可行解。其对应的典式为：
T
minz=5x1+2x2+x3+3x4s.t.x1
x2
+x3+3x3
+1
x421-x42
1x521+x52-
=2
=4
x1, ,x5≥0
2.5
'，x4=x4'-x4''，标准化后有 （1）令x1=-x1
')-4x2+2x3-5(x4'-x4'')maxz'=-3(-x1
')+x2+3x3-(x4'-x4'')+x5s.t.-(-x1
')-x2+2x3-(x4'-x4'')-4(-x1
')+3x2-x3+2(x4'-x4'')2(-x1',x2,x3,x4',x4'',x5,x6≥0 x1
化简后有：
=14=-2 -x6
=2
'-4x2+2x3-5x4'+5x4''maxz'=3x1''+x4''s.t.x1+x2+3x3-x4'+x2-2x3'-x4''-4x1+x4'+3x2-x3+2x4'-2x4''-2x1',x2,x3,x4',x4'',x5,x6≥0 x1
+x5
-x6
=14
=2 =2
'，标准化后有 （2）令z'=-z，x1=-x1
')-x2+4x3)maxz'=-(-3(-x1
')+2x2+x3s.t.-(-x1'-x1-x2+x3-x4',x2,x3,x4≥0 x1
=5
=-6
化简后有：
'+x2-4x3maxz'=-3x1
'+2x2+x3s.t.x1
'+x2-x3+x4x1',x2,x3,x4≥0 x1
2.6 （1）
=5 =6
maxz=300x1+200x2s.t.x1+2x2≤20
3x1+x2≤18
x1≤5x1,x2≥0
（2）
解：令z'=-z，标准化后有
maxz'=x1-x2s.t.3x1
-x1
+2x2+3x2
-x3
+x4
=24
=3
x1,x2,x3,x4≥0
引入人工变量x5后有
max=x1-x2-Mx5s.t.3x1
-x1
+2x2+3x2
-x3
+x4
+x5
=24
=3
x1,x2,x3,x4,x5≥0
因为x3的检验数为1/3>0，但a3j
（1）解：标准化后有：
maxz=4x1+2x2+2x3s.t.2x1
x1
2x1
+x2+2x2+4x2
+x3+x3
-x4
+x5
+x6
=4=10 =8
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
引入人工变量x7后有
max=4x1+2x2+2x3-Mx7s.t.2x1
x1
2x1
+x2+2x2+4x2
+x3+x3
-x4
+x5
+x6
+x7
=4=10
=8
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
第一个最优解为：X(1)=(4,0,0,4,6,0,0)
T
由于非基变量x3的检验数为0，以x3入基，x1出基，迭代得到下表
T
第二个最优解为：X(2)=(0,0,8,4,10,0,0) 第三个最优解为：X=
1(1)1(2)TX+X=(2,0,4,4,8,0,0) 22
（2）解：标准化后有：
maxz'=4x1+6x2-10x3s.t.2x1
x1
-5x2+x2
+x3+x3
-x4
=10
=7
x1,x2,x3,x4≥0
引入人工变量x5,x6后有：
max=4x1+6x2-10x3-Mx5-Mx6s.t.2x1
x1
-5x2+x2
+x3+x3
-x4
+x5
+x6
=10
=7
x1,
x2,x3,x4,x5,x6≥0
T
⎛454⎫
原问题的唯一最优解为：X= ,,0,0,0,0⎪，最优值为-204/7。
⎝77⎭
（3）解：标准化后有：
maxz=5x1+4x2+x3s.t.2x1
x1
x1
+3x2+2x2+x2
+x3-x3
-
x4
+x5
=20=4 =5
x1,x2,x3,x4,x5≥0
引入人工变量x5,x6后有：
max=5x1+4x2+x3-Mx6-Mx7s.t.2x1
x1
x1
+3x2+2x2+x2
+x3-x3
-x4
+x5
+x6
+x7
=20=4 =5
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
因为最优单纯形表中人工变量x7为11>0，所以原问题无可行解。
（4）解：标准化后有：
maxz=2x1+2x2-x3s.t.
x1-2x1
+x2+x2+x2
+x3-2x3
-x4
-x5
+x6
=6=2 =0
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
引入人工变量x7,x8后有：
max=2x1+2x2-x3-Mx7-Mx8s.t.
x1-2x1
+x2+x2+x2
+x3-2x3
-x4
-x5
+x6
+x7
+x8
=6=2
=0
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥0
因为非基变量x4的检验数为5/4>0，但a4j
maxz=5x1+6x2+3x3s.t.
x12x1x1
+x2+3x2+x2
+2x3+x3
+x4
+x5
=18=16 =10
x1,x2,x3,x4,x5≥0
引入人工变量x6后有：
max=5x1+6x2+3x3-Mx6s.t.
x12x1x1
+x2+3x2+x2
+2x3+x3
+x4
+x5
+x6
=18=16 =10
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
T
原问题的唯一最优解为：X=(6,0,4,4,0,0)，最优值为42。
2.9证明：
X(1), ,X(k)是k个不同的最优解∴CX(1)=CX(2)= =CX(k)=z0而且满足约束条件
AX(1)=AX(2)= =AX(k)=bX(j)≥0,j=1, ,k
若能证明CX=z0，AX=b，X≥0，则X就是最优解而
CX=C∑αiX
i=1kk
(i)
=∑αiCX
i=1k
k
(
(i)
)=∑αz
ii=1k
ii=1
k
=z0∑αi=z0
i=1k
i
k
AX=A∑αiX
i=1k
(i)
=∑αiAX
i=1
(
(i)
)=∑αb=b∑α
i=1
=b
显然X=∑αiX(i)≥0
i=1
所以X是最优解。
2.12解：
（1）由最终表得到X(1)
3⎛⎫T
= 0,2,,0,0⎪，以x4入基，x3出基可得到X(2)=(0,5,0,3,0)
2⎝⎭
T
X(3)
111⎛31⎫⎛733⎫T
=X(1)+X(2)= 0,2,,0,0⎪+(0,5,0,3,0)= 0,,,,0⎪ 222⎝22⎭⎝242⎭
TT
（2）由最优单纯形表可以知道原问题求max，其初始基变量为x4,x5，最优基的逆阵为
B
-1
1⎫⎛1
-⎪。 =22⎪
⎝-12⎭
-1
由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b'=Bb，Pj'
=B-1Pj,σj=cj-CBPj',j=1, ,5，
⎛aj1⎫⎛b1⎫
⎪,j=1, ,5，C=(c1,c2,c3)，则 其中b和Pj都是初始数据。设b= b⎪⎪，Pj= ⎪a⎝2⎭⎝j2⎭
131⎫⎛b⎫⎛3⎫⎧1⎛1⎧b1=8⎪b-b=-1 ⎪ ⎪12'，即，解得 ⎪b=Bb⇒2⎨⎨2222⎪ b⎪= 2⎪ ⎩b2=5⎪⎩-b1+2b2=2⎝-12⎭⎝2⎭⎝2⎭
-1
1⎫⎛a⎛1
- ⎪ 11
Pj'=BPj⇒22 ⎪ a-12⎝⎭⎝21
-1
a12
a22=925=2=1 =1
101⎫a13⎫⎛ ⎪，即 1⎪=
10⎪a23⎪⎭ ⎝2⎭
1⎧1
a-⎧⎪2112a21=1
⎪a11⎪1⎪⎪-a11+2a21=
⎪a212⎪
⎪1⎪1
，解得a-a=0⎨12⎨a1222
2⎪2⎪a
-a+2a=122⎪12⎪22
1⎪1⎪a13
a-a=11323⎪2⎪2
⎩a23⎪-a+2a=0
23⎩13
=4
=2
11⎫⎛
-⎪ 122⎪，即 σj=cj-CBPj'⇒(-3,0,-4)=(c1,0,0)-(c3,c2) 1 -12⎪ ⎪⎝2⎭
1⎧
c-c-c2=-33⎪1
2⎧c1=7⎪⎪⎪1
-c+c=0，解得⎨c2=4 ⎨32
⎪c=8⎪2
1⎩3⎪c3-2c2=-4⎪⎩2
所以原问题为：
maxz=7x1+4x2+8x39
x1+x2+4x325
x1+x2+2x32
x1,x2,x3≥0s.t.
2.13
解：设第j时段开始上班的人数为xj,j=1, ,6，则
≤8
≤5
minz=3⋅8x1+3⋅8x2+(3⋅4x3+4⋅4x3)+(4⋅5x4+5⋅3x4)+(4⋅1x5+5⋅7x5)+(5⋅4x6+3⋅4x6)s.t.x1+x2≥70
x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x6+x1≥60x6≤4
xj≥0且为整数，j=1, ,6
即
minz=24x1+24x2+28x3+35x4+39x5+32x6s.t.x1+x2≥70
x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x6+x1≥60x6≤4
xj≥0且为整数，j=1, ,6
解得
2.14
解：设A产品含甲原料x11(x1)吨，B产品含甲原料x12(x2)吨，C产品含甲x13(x3)吨；A
产品含乙原料x21(x4)吨，B产品含乙原料x22(x5)吨，C产品含乙x23(x6)吨；A产品含丙原料x31(x7)吨，B产品含丙原料x32(x8)吨，C产品含丙x33(x9)吨。 则所有产品的销售额
z1=3.060(x11+x21+x31)+2.565(x12+x22+x32)+2.025(x13+x23+x33)
所有产品的加工费
z2=0.450(x11+x21+x31)+0.360(x12+x22+x32)+0.270(x13+x23+x33)
所有原料的成本
z3=1.8(x11+x12+x13)+1.35(x21+x22+x23)+0.9(x31+x32+x33)
利润z=z1-z2-z3
对产品A成分的约束条件有：
x11≥0.6(x11+x21+x31)x31≤0.2(x11+x21+x31)
对产品B成分的约束条件有：
x12≥0.15(x12+x22+x32)x32≤0.6(x12+x22+x32)x33≤0.5(x13+x23+x33)
对原料的约束条件有：
对产品C成分的约束条件有：
x11+x12+x13≤2000x21+x22+x23≤2500 x31+x32+x33≤1200
对A产量的约束有：
x11+x21+x31≥0.4(x11+x21+x31+x12+x22+x32+x13+x23+x33)
整理后的模型为：
maxz=0.81x11+0.405x12-0.045x13+1.26x21+0.855x22+0.405x23+1.71x31+1.305x32+0.855x33s.t.0.4x11-0.6x21-0.6x31≥0
0.2x11+0.2x21-0.8x31≥00.85x12-0.15x22-0.15x32≥00.6x12+0.6x22-0.4x32≥00.5x13+0.5x23-0.5x33≥0x11+x12+x13≤2000x21+x22+x23≤2500x31+x32+x33≤1000
0.6x11-0.4x12-0.4x13+0.6x21-0.4x22-0.4x23+0.6x31-0.4x32-0.4x33≥0xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3
解得
2.15
解：设大型卡车运往北分配点x11(x1)次，运往东分配点x12(x2)次，运往南分配点x13(x3)次，运往西分配点x14(x4)次；中型卡车运往北分配点x21(x5)次，运往东分配点x22(x6)次，运往南分配点x23(x7)次，运往西分配点x24(x8)次；小型卡车运往北分配点x31(x9)次，运往东分配点x32(x10)次，运往南分配点x33(x11)次，运往西分配点x34(x12)次。 则数学模型为：
minz=80x11+63x12+92x13+75x14+50x21+60x22+55x23+42x24+20x31+15x32+38x33+22x34s.t.5x11+2x21+x31≥14
5x12+2x22+x32≥105x13+2x23+x33≥205x14+2x24+x34≥8x11+x12+x13+x14≤9x21+x22+x23+x24≤12x31+x32+x33+x34≤15
xij为正整数,i=1,2,3;j=1,2,3,4
解得
2.16
解：设白昼时间电视广告x1个，热门时间电视广告x2个，广播广告x3个，杂志广告x4个 数学模型为：
maxz=40x1+90x2+50x3+2x4s.t.30x1+40x2+20x3+x4≥200
8x1+15x2≤100x1≥3x2≥25≤x3≤105≤x4≤10
8x1+15x2+6x3+3x4≤160xj为正整数,j=1,2,3,4
解得
2.17解：设生产A产品x1个单位，生产B产品x2个单位，卖出C产品x3个单位 数学模型为：
maxz=5x1+10x2+3x3-(2x2-x3)s.t.x3≤10
2x1+3x2≤2003x1+4x2≤240xj为正整数,j=1,2,3
解得
2.18解：列出所有的切割方案如下： 1.6 1.1 0.7 剩料 模型为：
方案1 1 0 2 0
方案2 0 2 1 0.1
方案3 0 0 4 0.2
方案4 1 1 0 0.3
方案5 0 1 2 0.5
minz=x1+x2+x3+x4+x5s.t.x1+x4=100
2x2+x4+x5=2002x1+x2+4x3+2x5=400xj为正整数,j=1,2,3,4,5
解得
2.19解：设加工原料x1公斤，用于深加工普通洗衣粉x2公斤，用于深加工普通洗涤剂x3公斤，则
maxz=8(0.55x1-x2)+12(0.35x1-x3)+24⋅0.6x2+55⋅0.3x3-(5+1.5)x1-3(0.6x2+0.3x3)s.t.0.55x1-x2≥0
0.35x1-x3≥00.55x1-x2≥1000x1≤10000xj≥0,j=1,2,3,4,5
解得
2.20
解：设产品I在A1设备上加工x11单位，在A2设备上加工x12单位，在B1设备上加工x13单位，在B2设备上加工x14单位，在B3设备上加工x15单位；产品II在A1设备上加工x21单位，在A2设备上加工x22单位，在B1设备上加工x23单位；产品III在在A2设备上加工
x32单位，在B2设备上加工x34单位。
约束有：
（1）设备有效台时约束
5x117x126x134x147x15
+10x21+9x22+8x23
+12x32+11x34
≤6000≤10000≤4000 ≤7000≤4000
（2）工序加工的约束（各产品在A1和A2设备上加工的单位数应等于在B1、B2和B3设备上加工的单位数）
x11+x12=x13+x14+x15x21+x22=x23x32=x34
目标函数= 销售收入-原料费-设备费用
（1）销售收入
z1=2.5(x11+x12)+4(x21+x22)+5.6x32
（2）原料费
z2=0.5(x11+x12)+0.7(x21+x22)+1.0x32
（3）设备费用
600
(5x11+10x21)+642(7x12+9x22+12x32)+500(6x13+8x23)[1**********]00 1566400
(4x14+11x34)+ +⨯7x15
70004000z3=
目标函数为：z=z1-z2-z3，化简后有：
z=
1.5x11+1.5506x12-0.75x13-0.8949x14-0.7x15 +2.3x21+2.7222x22-x23+3.83x32-2.461x34
2.21
解：设第j年投入的资金为xj（j=1,2,3,4），则各年的投资情况如下表： 第一年 第二年 第三年
x1
x1
x2
x2
x3
第四年 第五年 maxz=2x4
x3x4
x4
s.t.
x1
+x
2+x1≤1002x2
+x3≤2x1
2
x3
+x4≤2x22x4
≤2x32
xj≥0,j=1,2,3,4
解得
2.22解：设A产品在第j个月的生产量为xAj，A产品在第j个月的库存量为yAj，B产品在第j个月的生产量为xBj，B产品在第j个月的库存量为yBj。 约束有：
（1） 第一个月的资源约束
8xA1+4xB1≤320006xA1+9xB1≤40000 4xA1+3xB1≤15000
（2） 第二个月的资源约束
8xA2+4xB2≤320006xA2+9xB2≤40000 4xA2+3xB2≤15000
（3） 第三个月的资源约束（不生产A产品）
4xB3≤320009xB3≤40000 3xB3≤25000
（4） 第四个月的资源约束（不生产B产品）
8xA4≤320006xA4≤40000 4xA4≤25000
（5） A产品各个月的订单约束
xA1+1000-yA1≥1800xA2+yA1-yA2≥1800yA2-yA3≥1800xA4+yA3-yA4≥1800
（6） A产品第四个月的库存约束
yA4≥1000
（7） B产品各个月的订单约束
xB1+1000-yB1≥2500xB2+yB1-yB2≥2000xB3+yB2-yB3≥3000yB3-yB4≥1000
（8） B产品第四个月的库存约束
yB4≥1000
目标函数＝收入－库存费用 收入有两种计算方法：
第一种：按销售量计算收入： （1）A产品销售收入
zA=17(xA1+1000-yA1)+17(xA2+yA1-yA2)+15(yA2-yA3)+15(xA4+yA3-yA4)
（2）B产品销售收入
zB=14(xB1+1000-yB1)+14(xB2+yB1-yB2)+16(xB3+yB2-yB3)+16(yB3-yB4)
第二种：按订单计算收入： （1）A产品订单收入
)+15⨯(1800+1800) zA=17⨯(1800+1800
（2）B产品销售收入
zB=14⨯(2500+2000)+16⨯(3000+1000)
库存费用：
（3）A产品各月库存费用
z'A=yA1+yA2+yA3+yA4
（4）B产品各月库存费用
z'B=yB1+yB2+yB3+yB4
'第一种的目标函数化简后为：max z=zA+zB-z'A-zB（WINQSB，X-22.LPP）
用WINQSB求解后有（用QM求解不了，X-22.INT）
最后目标函数值为223177元。
第二种的目标函数化简后为：（X-22-1.INT）
用QM求解最小库max z=242200-(yA1+yA2+yA3+yA4)-(yB1+yB2+yB3+yB4)，存得到
最后目标函数值为234077元。
第二章补充作业习题：
用大M法和两阶段法求解下面LP问题：
2x1⎧minz=
⎪s.t.2x-3x⎪12⎨
-x1+x2
⎪⎪x1,x2≥0⎩
解： 标准化为
+4x2≥2≥3
⎧maxz'=-2x1-4x2⎪s.t.2x-3x-x3⎪12⎨
-x1+x2
⎪⎪x1,x2,x3,x4≥0⎩
（1）大M法
=2-x4
=3
引入人工变量x5,x6，得到下面的LP问题
⎧max=-2x1-4x2⎪s.t.2x-3x-x3⎪12⎨
-x1+x2
⎪⎪xj≥0,j=1, ,6⎩
-Mx5-x4
-Mx6+x5
+x6
=2
=3
因为人工变量x6为4>0，所以原问题没有可行解。
（2）两阶段法：
增加人工变量x5,x6，得到辅助LP问题
⎧maxg=-x5-x6⎪s.t.2x-3x-x⎪123⎨
-x1+x2
⎪⎪xj≥0,j=1, ,6⎩
初始表
+x5
-x4
+x6
=2=3
因为辅助LP问题的最优值为4>0，所以原问题没有可行解。
习2.1 解：
设x1为每天生产甲产品的数量，x2为每天生产乙产品的数量，则数学模型为
maxz
=300x1+200x2s.t.x1+2x2≤20
3x1+x2≤18
x1≤5x1,x2≥0
最优解为：X*=(3.2,8.4)，最优值为：z = 2640。
T
2.2 （1）
最优解为：X*=(1.5,0.5)，最优值为：z = 4.5。
T
（2）
无可行解
（3）
⎛10⎫T*
有无穷多最优解，其中一个为：X= ,0⎪，另一个为：X2=(0,10)，
⎝3⎭
*1
T
最优值为：z = 20。
（4）
无界解
2.3 解：
设x1为雇佣A的天数，x2为雇佣B的天数，则数学模型为
minz=25x1+22x2s.t.x1+x2≥5
3x1+2x2≥12
3x1+6x2≥18x1,x2≥0
最优解为：X*=(2,3)，最优值为：z = 116。即雇佣A2天，雇佣B3天，共花费116元。
T
2.4
解：m=2，n=5。约束方程组的系数矩阵为：
⎛11410⎫⎛10⎫
⎪ ，易见()()A= =P,P,P,P,PP,P=1234515 026-11⎪ 01⎪⎪是一个基。令非基变
⎝⎭⎝⎭
量x2,x3,x4=0，由方程组可解出x1=6，x5=8，因此得到基解X(0)=(6,0,0,0,8)，也
T
是基可行解。其对应的典式为：
minz=5x1+2x2+x3+3x4s.t.x1
x5
+x2+2x2
+4x3+6x3
+x4-x4
=6 =8
x1, ,x5≥0
⎛11⎫
另外(P1,P2)= 02⎪⎪也是一个基。令非基变量x3,x4,x5=0，由方程组可解出x1=2，
⎝⎭x2=4，因此得到基解X(1)=(2,4,0,0,0)，也是基可行解。其对应的典式为：
T
minz=5x1+2x2+x3+3x4s.t.x1
x2
+x3+3x3
+1
x421-x42
1x521+x52-
=2
=4
x1, ,x5≥0
2.5
'，x4=x4'-x4''，标准化后有 （1）令x1=-x1
')-4x2+2x3-5(x4'-x4'')maxz'=-3(-x1
')+x2+3x3-(x4'-x4'')+x5s.t.-(-x1
')-x2+2x3-(x4'-x4'')-4(-x1
')+3x2-x3+2(x4'-x4'')2(-x1',x2,x3,x4',x4'',x5,x6≥0 x1
化简后有：
=14=-2 -x6
=2
'-4x2+2x3-5x4'+5x4''maxz'=3x1''+x4''s.t.x1+x2+3x3-x4'+x2-2x3'-x4''-4x1+x4'+3x2-x3+2x4'-2x4''-2x1',x2,x3,x4',x4'',x5,x6≥0 x1
+x5
-x6
=14
=2 =2
'，标准化后有 （2）令z'=-z，x1=-x1
')-x2+4x3)maxz'=-(-3(-x1
')+2x2+x3s.t.-(-x1'-x1-x2+x3-x4',x2,x3,x4≥0 x1
=5
=-6
化简后有：
'+x2-4x3maxz'=-3x1
'+2x2+x3s.t.x1
'+x2-x3+x4x1',x2,x3,x4≥0 x1
2.6 （1）
=5 =6
maxz=300x1+200x2s.t.x1+2x2≤20
3x1+x2≤18
x1≤5x1,x2≥0
（2）
解：令z'=-z，标准化后有
maxz'=x1-x2s.t.3x1
-x1
+2x2+3x2
-x3
+x4
=24
=3
x1,x2,x3,x4≥0
引入人工变量x5后有
max=x1-x2-Mx5s.t.3x1
-x1
+2x2+3x2
-x3
+x4
+x5
=24
=3
x1,x2,x3,x4,x5≥0
因为x3的检验数为1/3>0，但a3j
（1）解：标准化后有：
maxz=4x1+2x2+2x3s.t.2x1
x1
2x1
+x2+2x2+4x2
+x3+x3
-x4
+x5
+x6
=4=10 =8
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
引入人工变量x7后有
max=4x1+2x2+2x3-Mx7s.t.2x1
x1
2x1
+x2+2x2+4x2
+x3+x3
-x4
+x5
+x6
+x7
=4=10
=8
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
第一个最优解为：X(1)=(4,0,0,4,6,0,0)
T
由于非基变量x3的检验数为0，以x3入基，x1出基，迭代得到下表
T
第二个最优解为：X(2)=(0,0,8,4,10,0,0) 第三个最优解为：X=
1(1)1(2)TX+X=(2,0,4,4,8,0,0) 22
（2）解：标准化后有：
maxz'=4x1+6x2-10x3s.t.2x1
x1
-5x2+x2
+x3+x3
-x4
=10
=7
x1,x2,x3,x4≥0
引入人工变量x5,x6后有：
max=4x1+6x2-10x3-Mx5-Mx6s.t.2x1
x1
-5x2+x2
+x3+x3
-x4
+x5
+x6
=10
=7
x1,
x2,x3,x4,x5,x6≥0
T
⎛454⎫
原问题的唯一最优解为：X= ,,0,0,0,0⎪，最优值为-204/7。
⎝77⎭
（3）解：标准化后有：
maxz=5x1+4x2+x3s.t.2x1
x1
x1
+3x2+2x2+x2
+x3-x3
-
x4
+x5
=20=4 =5
x1,x2,x3,x4,x5≥0
引入人工变量x5,x6后有：
max=5x1+4x2+x3-Mx6-Mx7s.t.2x1
x1
x1
+3x2+2x2+x2
+x3-x3
-x4
+x5
+x6
+x7
=20=4 =5
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
因为最优单纯形表中人工变量x7为11>0，所以原问题无可行解。
（4）解：标准化后有：
maxz=2x1+2x2-x3s.t.
x1-2x1
+x2+x2+x2
+x3-2x3
-x4
-x5
+x6
=6=2 =0
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
引入人工变量x7,x8后有：
max=2x1+2x2-x3-Mx7-Mx8s.t.
x1-2x1
+x2+x2+x2
+x3-2x3
-x4
-x5
+x6
+x7
+x8
=6=2
=0
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥0
因为非基变量x4的检验数为5/4>0，但a4j
maxz=5x1+6x2+3x3s.t.
x12x1x1
+x2+3x2+x2
+2x3+x3
+x4
+x5
=18=16 =10
x1,x2,x3,x4,x5≥0
引入人工变量x6后有：
max=5x1+6x2+3x3-Mx6s.t.
x12x1x1
+x2+3x2+x2
+2x3+x3
+x4
+x5
+x6
=18=16 =10
x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0
T
原问题的唯一最优解为：X=(6,0,4,4,0,0)，最优值为42。
2.9证明：
X(1), ,X(k)是k个不同的最优解∴CX(1)=CX(2)= =CX(k)=z0而且满足约束条件
AX(1)=AX(2)= =AX(k)=bX(j)≥0,j=1, ,k
若能证明CX=z0，AX=b，X≥0，则X就是最优解而
CX=C∑αiX
i=1kk
(i)
=∑αiCX
i=1k
k
(
(i)
)=∑αz
ii=1k
ii=1
k
=z0∑αi=z0
i=1k
i
k
AX=A∑αiX
i=1k
(i)
=∑αiAX
i=1
(
(i)
)=∑αb=b∑α
i=1
=b
显然X=∑αiX(i)≥0
i=1
所以X是最优解。
2.12解：
（1）由最终表得到X(1)
3⎛⎫T
= 0,2,,0,0⎪，以x4入基，x3出基可得到X(2)=(0,5,0,3,0)
2⎝⎭
T
X(3)
111⎛31⎫⎛733⎫T
=X(1)+X(2)= 0,2,,0,0⎪+(0,5,0,3,0)= 0,,,,0⎪ 222⎝22⎭⎝242⎭
TT
（2）由最优单纯形表可以知道原问题求max，其初始基变量为x4,x5，最优基的逆阵为
B
-1
1⎫⎛1
-⎪。 =22⎪
⎝-12⎭
-1
由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b'=Bb，Pj'
=B-1Pj,σj=cj-CBPj',j=1, ,5，
⎛aj1⎫⎛b1⎫
⎪,j=1, ,5，C=(c1,c2,c3)，则 其中b和Pj都是初始数据。设b= b⎪⎪，Pj= ⎪a⎝2⎭⎝j2⎭
131⎫⎛b⎫⎛3⎫⎧1⎛1⎧b1=8⎪b-b=-1 ⎪ ⎪12'，即，解得 ⎪b=Bb⇒2⎨⎨2222⎪ b⎪= 2⎪ ⎩b2=5⎪⎩-b1+2b2=2⎝-12⎭⎝2⎭⎝2⎭
-1
1⎫⎛a⎛1
- ⎪ 11
Pj'=BPj⇒22 ⎪ a-12⎝⎭⎝21
-1
a12
a22=925=2=1 =1
101⎫a13⎫⎛ ⎪，即 1⎪=
10⎪a23⎪⎭ ⎝2⎭
1⎧1
a-⎧⎪2112a21=1
⎪a11⎪1⎪⎪-a11+2a21=
⎪a212⎪
⎪1⎪1
，解得a-a=0⎨12⎨a1222
2⎪2⎪a
-a+2a=122⎪12⎪22
1⎪1⎪a13
a-a=11323⎪2⎪2
⎩a23⎪-a+2a=0
23⎩13
=4
=2
11⎫⎛
-⎪ 122⎪，即 σj=cj-CBPj'⇒(-3,0,-4)=(c1,0,0)-(c3,c2) 1 -12⎪ ⎪⎝2⎭
1⎧
c-c-c2=-33⎪1
2⎧c1=7⎪⎪⎪1
-c+c=0，解得⎨c2=4 ⎨32
⎪c=8⎪2
1⎩3⎪c3-2c2=-4⎪⎩2
所以原问题为：
maxz=7x1+4x2+8x39
x1+x2+4x325
x1+x2+2x32
x1,x2,x3≥0s.t.
2.13
解：设第j时段开始上班的人数为xj,j=1, ,6，则
≤8
≤5
minz=3⋅8x1+3⋅8x2+(3⋅4x3+4⋅4x3)+(4⋅5x4+5⋅3x4)+(4⋅1x5+5⋅7x5)+(5⋅4x6+3⋅4x6)s.t.x1+x2≥70
x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x6+x1≥60x6≤4
xj≥0且为整数，j=1, ,6
即
minz=24x1+24x2+28x3+35x4+39x5+32x6s.t.x1+x2≥70
x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x6+x1≥60x6≤4
xj≥0且为整数，j=1, ,6
解得
2.14
解：设A产品含甲原料x11(x1)吨，B产品含甲原料x12(x2)吨，C产品含甲x13(x3)吨；A
产品含乙原料x21(x4)吨，B产品含乙原料x22(x5)吨，C产品含乙x23(x6)吨；A产品含丙原料x31(x7)吨，B产品含丙原料x32(x8)吨，C产品含丙x33(x9)吨。 则所有产品的销售额
z1=3.060(x11+x21+x31)+2.565(x12+x22+x32)+2.025(x13+x23+x33)
所有产品的加工费
z2=0.450(x11+x21+x31)+0.360(x12+x22+x32)+0.270(x13+x23+x33)
所有原料的成本
z3=1.8(x11+x12+x13)+1.35(x21+x22+x23)+0.9(x31+x32+x33)
利润z=z1-z2-z3
对产品A成分的约束条件有：
x11≥0.6(x11+x21+x31)x31≤0.2(x11+x21+x31)
对产品B成分的约束条件有：
x12≥0.15(x12+x22+x32)x32≤0.6(x12+x22+x32)x33≤0.5(x13+x23+x33)
对原料的约束条件有：
对产品C成分的约束条件有：
x11+x12+x13≤2000x21+x22+x23≤2500 x31+x32+x33≤1200
对A产量的约束有：
x11+x21+x31≥0.4(x11+x21+x31+x12+x22+x32+x13+x23+x33)
整理后的模型为：
maxz=0.81x11+0.405x12-0.045x13+1.26x21+0.855x22+0.405x23+1.71x31+1.305x32+0.855x33s.t.0.4x11-0.6x21-0.6x31≥0
0.2x11+0.2x21-0.8x31≥00.85x12-0.15x22-0.15x32≥00.6x12+0.6x22-0.4x32≥00.5x13+0.5x23-0.5x33≥0x11+x12+x13≤2000x21+x22+x23≤2500x31+x32+x33≤1000
0.6x11-0.4x12-0.4x13+0.6x21-0.4x22-0.4x23+0.6x31-0.4x32-0.4x33≥0xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3
解得
2.15
解：设大型卡车运往北分配点x11(x1)次，运往东分配点x12(x2)次，运往南分配点x13(x3)次，运往西分配点x14(x4)次；中型卡车运往北分配点x21(x5)次，运往东分配点x22(x6)次，运往南分配点x23(x7)次，运往西分配点x24(x8)次；小型卡车运往北分配点x31(x9)次，运往东分配点x32(x10)次，运往南分配点x33(x11)次，运往西分配点x34(x12)次。 则数学模型为：
minz=80x11+63x12+92x13+75x14+50x21+60x22+55x23+42x24+20x31+15x32+38x33+22x34s.t.5x11+2x21+x31≥14
5x12+2x22+x32≥105x13+2x23+x33≥205x14+2x24+x34≥8x11+x12+x13+x14≤9x21+x22+x23+x24≤12x31+x32+x33+x34≤15
xij为正整数,i=1,2,3;j=1,2,3,4
解得
2.16
解：设白昼时间电视广告x1个，热门时间电视广告x2个，广播广告x3个，杂志广告x4个 数学模型为：
maxz=40x1+90x2+50x3+2x4s.t.30x1+40x2+20x3+x4≥200
8x1+15x2≤100x1≥3x2≥25≤x3≤105≤x4≤10
8x1+15x2+6x3+3x4≤160xj为正整数,j=1,2,3,4
解得
2.17解：设生产A产品x1个单位，生产B产品x2个单位，卖出C产品x3个单位 数学模型为：
maxz=5x1+10x2+3x3-(2x2-x3)s.t.x3≤10
2x1+3x2≤2003x1+4x2≤240xj为正整数,j=1,2,3
解得
2.18解：列出所有的切割方案如下： 1.6 1.1 0.7 剩料 模型为：
方案1 1 0 2 0
方案2 0 2 1 0.1
方案3 0 0 4 0.2
方案4 1 1 0 0.3
方案5 0 1 2 0.5
minz=x1+x2+x3+x4+x5s.t.x1+x4=100
2x2+x4+x5=2002x1+x2+4x3+2x5=400xj为正整数,j=1,2,3,4,5
解得
2.19解：设加工原料x1公斤，用于深加工普通洗衣粉x2公斤，用于深加工普通洗涤剂x3公斤，则
maxz=8(0.55x1-x2)+12(0.35x1-x3)+24⋅0.6x2+55⋅0.3x3-(5+1.5)x1-3(0.6x2+0.3x3)s.t.0.55x1-x2≥0
0.35x1-x3≥00.55x1-x2≥1000x1≤10000xj≥0,j=1,2,3,4,5
解得
2.20
解：设产品I在A1设备上加工x11单位，在A2设备上加工x12单位，在B1设备上加工x13单位，在B2设备上加工x14单位，在B3设备上加工x15单位；产品II在A1设备上加工x21单位，在A2设备上加工x22单位，在B1设备上加工x23单位；产品III在在A2设备上加工
x32单位，在B2设备上加工x34单位。
约束有：
（1）设备有效台时约束
5x117x126x134x147x15
+10x21+9x22+8x23
+12x32+11x34
≤6000≤10000≤4000 ≤7000≤4000
（2）工序加工的约束（各产品在A1和A2设备上加工的单位数应等于在B1、B2和B3设备上加工的单位数）
x11+x12=x13+x14+x15x21+x22=x23x32=x34
目标函数= 销售收入-原料费-设备费用
（1）销售收入
z1=2.5(x11+x12)+4(x21+x22)+5.6x32
（2）原料费
z2=0.5(x11+x12)+0.7(x21+x22)+1.0x32
（3）设备费用
600
(5x11+10x21)+642(7x12+9x22+12x32)+500(6x13+8x23)[1**********]00 1566400
(4x14+11x34)+ +⨯7x15
70004000z3=
目标函数为：z=z1-z2-z3，化简后有：
z=
1.5x11+1.5506x12-0.75x13-0.8949x14-0.7x15 +2.3x21+2.7222x22-x23+3.83x32-2.461x34
2.21
解：设第j年投入的资金为xj（j=1,2,3,4），则各年的投资情况如下表： 第一年 第二年 第三年
x1
x1
x2
x2
x3
第四年 第五年 maxz=2x4
x3x4
x4
s.t.
x1
+x
2+x1≤1002x2
+x3≤2x1
2
x3
+x4≤2x22x4
≤2x32
xj≥0,j=1,2,3,4
解得
2.22解：设A产品在第j个月的生产量为xAj，A产品在第j个月的库存量为yAj，B产品在第j个月的生产量为xBj，B产品在第j个月的库存量为yBj。 约束有：
（1） 第一个月的资源约束
8xA1+4xB1≤320006xA1+9xB1≤40000 4xA1+3xB1≤15000
（2） 第二个月的资源约束
8xA2+4xB2≤320006xA2+9xB2≤40000 4xA2+3xB2≤15000
（3） 第三个月的资源约束（不生产A产品）
4xB3≤320009xB3≤40000 3xB3≤25000
（4） 第四个月的资源约束（不生产B产品）
8xA4≤320006xA4≤40000 4xA4≤25000
（5） A产品各个月的订单约束
xA1+1000-yA1≥1800xA2+yA1-yA2≥1800yA2-yA3≥1800xA4+yA3-yA4≥1800
（6） A产品第四个月的库存约束
yA4≥1000
（7） B产品各个月的订单约束
xB1+1000-yB1≥2500xB2+yB1-yB2≥2000xB3+yB2-yB3≥3000yB3-yB4≥1000
（8） B产品第四个月的库存约束
yB4≥1000
目标函数＝收入－库存费用 收入有两种计算方法：
第一种：按销售量计算收入： （1）A产品销售收入
zA=17(xA1+1000-yA1)+17(xA2+yA1-yA2)+15(yA2-yA3)+15(xA4+yA3-yA4)
（2）B产品销售收入
zB=14(xB1+1000-yB1)+14(xB2+yB1-yB2)+16(xB3+yB2-yB3)+16(yB3-yB4)
第二种：按订单计算收入： （1）A产品订单收入
)+15⨯(1800+1800) zA=17⨯(1800+1800
（2）B产品销售收入
zB=14⨯(2500+2000)+16⨯(3000+1000)
库存费用：
（3）A产品各月库存费用
z'A=yA1+yA2+yA3+yA4
（4）B产品各月库存费用
z'B=yB1+yB2+yB3+yB4
'第一种的目标函数化简后为：max z=zA+zB-z'A-zB（WINQSB，X-22.LPP）
用WINQSB求解后有（用QM求解不了，X-22.INT）
最后目标函数值为223177元。
第二种的目标函数化简后为：（X-22-1.INT）
用QM求解最小库max z=242200-(yA1+yA2+yA3+yA4)-(yB1+yB2+yB3+yB4)，存得到
最后目标函数值为234077元。