开关电流技术讲义附图
开关电流结构和算法
[英]J．B ．Hughes ，N ．C ．Bird ，I ．C ．Macbeth
3.1 引 言
开关电流技术是电流模信号处理技术，它利用MOS 晶体管在其栅极开路时通过存储在栅极氧化电容上的电荷维持其漏极电流的能力。
虽然早在1972年就曾试图利用这种性能，但直到19世纪80年代后期才由许多研究人员各自独立地使其再流行起来。
开关电流像开关电容一样，目的在于为取样数据滤波提供一种技术，但只需要基于VLSI CMOS 工艺。
“第一代”电路模块这个术语来描述开关电流，该模块包括用于状态变量滤波器和有源梯形滤波器中的延迟单元和积分器。模块建立在由简单电流镜发展来的但要容许由晶体管失配产生的必然误差的存储单元基础上。虽然验证只适用于低Q 滤波器，但仍然是确立了至今还在采用的技术及其结构。
电流拷贝器的引入能够克服这种缺点，并且开发了所谓“第二代”开关电流电路。本章研究的对象就是这第二代电路。
开关电容电路与开关电流系统的原理区别。
先描述存储单元，然后用于开发延迟线、积分器和微分器，作为滤波器的标准部件。用基于级联双二次节的低通滤波器的设计来论证开关电流滤波器综合。
3.2 开关电容基础知识
三种原理性开关电容积分器标准部件
图3.1 开关电容电路
3.2.1 同相积分器
v o (n ) =v o (n −1) +α1v 1(n −1)
z 域传递函数为 (3.1)
v o (z ) α1z −1
H 1(z ) == −1v 1(z ) 1−z (3.2)
这是同相连续时间无耗积分器传递函数[H (s ) =
[s →(1−z ) /Tz ]，式中α1=T /RC 。 −1−11]的前向欧拉z 变换sRC
3.2.2 反相积分器
v o (n ) =v o (n −1) −α2v 2(n )
z 域传递函数为 (3.3)
H 2(z ) =v o (z ) α2= v 1(z ) 1−z −1 (3.4)
这是反相积分器传递函数[H (s ) =−1−1]的后向欧拉z 变换[s→(1−z ) /T ]，式中sRC
α2=T /RC 。
3.2.3 反相放大器
v o (n ) =v o (n −1) −α3[v 3(n ) −v 3(n −1)]
z 域传递函数为 (3.5)
H 3(z ) =v o (z ) =−α3 v 1(z ) (3.6)
这种放大作用是向由电容C 和运算放大器构成的积分环路提供与输入信号微分成正比的电流的结果。应该注意，这种放大器将响应连续时间输入，因而通常应供给取样和保持信号。图3.1所示的所有电路就像连续时间积分器一样都有无限大的直流增益，而且从不会单独使用。
3.2.4 通用积分器
运算放大器的虚地是电流求和结点。将图3.1所示电路的输入支路组合起来。 v o (n ) =v o (n −1) +α1v 1(n −1) −α2v 2(n ) −α3[v 3(n ) −v 3(n −1)]−α4v o (n ) (3.7) 对此式作某些处理和z 变换之后．得到
v o (z ) =1−z −1
1+α4α1−1z 1+αv 1(z ) −1−z −11+α4α21+αv 2(z ) −α3(1−z −1) 1+α1−z −11+α4v 3(z ) (3.8)
信号流图(SFG)如图3.2(b)所示。显然，额外的反馈支路(α4C ) 将阻尼引入积分器。通用积分器是偶次状态变量滤波器经常采用的一种标准部件。每个双二次节在反馈环路中都包括一个无耗积分器或阻尼积分器的组合，可以进行能够做“精密”滤波器设计的双线性z 变换[s→ 2(1−
z −1) /(1+z −1) T 。
图3.2 开关电容通用积分器
3.2.5 减法积分器
第二种有用的标准部件是图3.3(a)所示的减法积分器。
图3.3 开关电容减法积分器
v o (n ) =v o (n −1) +α1[v 1(n −1) −v 2(n )]−α3[v 3(n ) −v 3(n −1)] （3.9） z 变换之后，得到
v o (z ) =α1
1−z −1[v (z ) z −v 2(z )]−α3v 3(z ) 1−1 （3.10）
这可用图3.3(b)所示SFG 表示。可以将这个电路看成是图3.2(a)所示通用积分器。α4=0和α2=α1时的特殊倩况，但避免了分开支路(α1C 和α2C ) 产生的失配误差。它在用无耗梯形原型仿真方法设计的滤波器设计中找到实际应用。
3.2.6 开关电容特性
归纳起来，开关电容技术可以表征如下。
开关电容系统通常是由将开关电容积分器代入已很好确立的有源RC 电路结构而构成
的。
这使得开关电容系统能够保持其模块性和对部件性能参差保持低灵敏度。
积分器实现由其微分方程确定的算法，包括处理过去和当前的电压取样；低电源电压
工作必然意味着性能降低。
电压取样的处理通过在浮置电容间转移电荷来完成。为了线性工作，这些电容也应是线
性的(不过，某些近期著作指出在内部可以采用非线性电容) ，因此，开关电容电路不完全与数字VLSI 工艺兼容。
已经明确，标准部件是通用的(通用积分器) 、自主的(只有积分器内部的电容需要临界匹
配) 和具有低的设计相互制约的(模块被其他模块加载时不显著改变模块性能) 。这些是导向设计自动化的体系设计的必要属性。
3.3 开关电流系统
与以电压取样表示信号的开关电容电路相反。
开关电流系统的应用与开关电容系统的应用有很多相同之处，即滤波器、A ／D 和
D ／A 转换器、一般信号处理等。
但主要目标是应该采用标准VLSI CMOS 工艺来实现开关电流电路。
在开关电流电路中(即使不在实际上) 。 用电流表示信号时，所需电压摆幅不大。
图32(a)所示通用开关电容积分器的开关电流对应物应具有下列差分方程：
i o (n ) =i o (n −1) +α1i 1(n −1) −α2i 2(n ) −α3[i 3(n ) −i 3(n −1)]−α4i o (n )
取z 变换，得 （3.11）
i o (z ) =1−z −1
1+α4α1−1z 1+α4i 1(z ) −1−z −11+α4α21+α4i 2(z ) −α3(1−z −1) 1+α41−z −11+α4i 3(z ) （3.12）
上面用算法描述的开关电流通用积分器可直接用来构成开关电流系统，这个系统采用的结构与早先用于有源RC 系统和开关电容系统是对偶的。这样，开关电流系统理应继承开关电容系统的合乎需要的品质(模块化、部件不敏感性) ，正如开关电容继承更早的有源RC 电路一样。
3.4 延迟模块
延迟模块的基础是单晶体管电流存储器或电流拷贝器。
3.4.1 电流存储单元
图3.4 单晶体管电流存储单元
(a)电路拓扑结构 (b)时钟波形
在φ1相，开关S 闭合，这样通过开关提供输人电流i 。这个输入电流加到偏置电流J 上，并且电流J+i开始流人已放电的栅--源极电容C 。随着C 充电, 栅—源极电压V gs 升高．当它超过阈值电压时，T l 导通。最后，当C 完全充电后，全部电流J+i流入T 1的漏极。
在φ2相期间，开关S 断开，φ1相结束时的V gs 值保持在电容C 上，并且维持T l 漏极小的电流J+i。由于输入开关现在已断开，输出开关已闭合，偏置电流J 和漏极电流J+i之间不平衡，迫使输出电流i o1在整个φ2相期间等于-i 。输出电流i o1是输入电流i 的存储。当然，这是依靠保持在电容C 的电荷来完成的。电流存储器工作不需要线性浮置电容，从而保留了与数字VLSI 工艺兼容的重要优点。
3.4.2 延迟单元
图3.5 延迟单元
在人为地称为周期(n -1) 的时钟周期的φ2相，输入信号电流i (n -1) 与晶体管T 1中的第一个偏置电流相加。
在属于下一个时钟周期(n ) 的下一个φ1相，T 1保持电流J+i(n -1) ，并且在第二个电流存储器(T2) 中取样输出电流-i (n -1) 。
在下一个φ2相(仍在时钟周期(n ) 内) ，T 2保持电流J-i (n -1) ，而输出电流i o1 (n ) ＝i (n -1) 。 在整个时钟周期(n ) 的φ1相和φ2相期间，任选级输出电流i o2保持在i (n -1) 。
3.4.3 延迟线
延迟线可以用级联延迟单元来产生，但这会增加传输误差和降低模拟性能。
较好的方法如图3.6所示。电路是一个由N +1个并联存储单元组成的阵列，且由图3.7所示的时钟序列控制。
图3.6 延迟线
图3.7 延迟线的定时图
在时钟的φ0相，存储单元M 0。接受输入信号，而单元M 1提供其输出。类似地，在φ1相，单元M 1接受输人信号，而单元M 2提供其输出。这个过程一直继续到单元M N 接受其输入信号，单元M 0已提供其输出信号以后为止，然后重复循环。显然，每个单元都是在其下一个输入之前一个周期，即在其前一个输出相N 个周期(NT ) 之后，提供其输出信号的。如取N ＝l ，则延迟线是一个反相单位延迟单元，或在用连续输入信号时，它是一个取样和保持电路。请注意，对于循环的N -1个时钟相，每个存储单元既不接受信号也不提供信号。在这些时刻，存储晶体管上的漏电压变化到迫使每个偏置电流(实际上由PMOS 晶体管产生) 和保持在其有关存储晶体管中的电流之间匹配。给出z 域传递特性为
H (z ) =−z −N (3.13)
3.5 积分模块
3.5.1 同相积分器
图3.8(a)示出将输出电流i f (与图3.5中i o1等效) 反馈到输入求和结点的延迟单元。 可以将该电路简化为图3.8(b)所示的电路。
图3.8 同相无耗积分器
(a) 具有反馈的延迟单元 (b) 简化机构
在时钟周期(n -1) 的φ2相，晶体管T1是二极管连接，并从输入接受电流i (n -1) ，从偏置接受电流2J ，从晶体管T 2接受电流-[J -i o (n -1)/α1]。因此，T l 中的电流I l 为
I 1=J +i (n −1) +
i o (n −1)
α1
(3.14)
在时钟周期(n ) 的下一个φ1相，晶体管T 2是二极管连接，通过的电流I 2为
I 2=2J −I 1=J −i (n −1) −
i o (n −1)
α1
(3.15)
i o (n ) =α1(J −I 1) =i o (n −1) +α1i (n −1)
取z 变换，得出
(3.16)
H (z ) =
α1z −1
1−z
−1
(3.17)
将分子和分母乘以z 1/2并代人z =ej ωT 求出实际频率的精确性能。经某些代数运算之后，可以证明，同相无耗积分器的传递函数为
⎡ωT α/T ⎢
H (e j ωT ) =[1]⎢j ω⎢sin 2⎣
⎤
⎥−j ωT /2
⎥e
⎥⎦
(3.18)
式(3.18)有三项：第一项对应于具有增益常数α1/T的无耗连续时间同相积分器的频率响应；第二项(ωT /2)／sin(ωT /2)是取样数据积分器与理想响应的偏差；第三项e -j ωT/2是过剩的相位滞后。
3.5.2 同相阻尼积分器
这种积分器可以是阻尼的，如图3.9所示。它包含一个权重为α4的额外反馈级(T4和电流源) ，输出级权重为α1。
图3.9 同相阻尼积分器
在时钟周期(n -1) 的φ2相，晶体管T 1通过电流为
I 1=J +i (n −1) +
i o (n −1)
α1
(3.19)
在下一个时钟周期(n ) 的φ1相，晶体管T 2和T 4是并联的二极管连接，T 2中电流I 2为
I 2=[2+α4) J −I 1]
1i (n −1) i o (n −1)
=J −−
1+α41+α4α1(1+α4)
(3.21)
I o =α1(J −I 1) =
取z 变换并整理，得
α1i (n −1)
i (n −1) −o
1+α41+α4α1−1
z 1+α4
(3.22)
H 1(z ) =
i o (z )
=i (z ) 1−
z −1
1+α4
(3.23)
按照前面的方法，对于ωT
⎛α1⎞⎜⎟⎜α⎟
j ωT 4H 1(e ) =e −j ωT /2
⎤⎡
⎥⎢ω⎥1+j ⎢
4⎥⎢⎢⎦⎣T 2+α4⎥
(3.24)
显然，除了过剩的相位滞后项e -j ωT/2之外，这与阻尼连续时间积分器的响应等效。低频增益
α0和截止频率ωo 分别为
α0=ω0=
α1
α4
(3.25)
2α4
T 2+α4
(3.26)
图3.10 同相积分器的仿真响应
用CAD 仿真的同相积分器的频率响应。时钟频率为1MHz(T ＝1µs) ，并且积分器模型是理想的，即忽略寄生参数。给出在高频与理想响应的偏差。按照式(3.25)和式(3.26)，引入阻尼(α4＝0.1) 的影响是将低频增益限制到α0＝10，而产生的-3dB 截止频率f o ＝15.15kHz 。 3.5.3 灵敏度
给和出α0和ωo 对系数α4变化的灵敏度为
α0S α=4
α4∂α0
=−1
α0∂α4
(3.27)
ω0
=S α4
2α4∂ω0
(3.28)=
α0∂α42+α4
3.5.4 反相阻尼积分器
图3.11 反相阻尼积分器
与同相阻尼积分器的区别仅在于是在φ1相而不是在φ相对输入电流取样。
在φ1相，输入电流流入T 2(是二极管连接) ，而输出电流i o 立即被映射成镜像。这种电路的分析给出下列z 域传递特性：
H 2(z ) =
i o (z )
=−i (z ) 1−
α2−1
z 1+α4
z −1
1+α4
(3.29)
按照前面的方法，对于ωT
⎛α2⎞⎜⎜α⎟⎟
j ωT 4H 2(e ) =−e −j ωT /2
⎤⎡
⎥⎢ω⎥1+j ⎢
4⎥⎢⎢⎦⎣T 2+α4⎥
(3.30)
显然，除了过剩的相位滞后项e -j ωT/2之外，这与阻尼连续时间积分器的响应等效。低频增益
α0和截止频率ωo 分别为
α0=−ω0=
α2
α4
(3.31)
2α4
T 2+α4
(3.32)
3.5.5 反相阻尼放大器
图3.12 反相阻尼放大器
除了输入电流i 3不通过开关而是直接馈送到求和结点以外，它与积分器相同。
在φ2相，输入电流具有i 3 (n -1) 值，并输入T 1，而在φ1相，输人电流具有i 3 (n ) 值，并流入T 2。当然，在φ1相，存储的电流也从T 1流人T 2，在T 2中给出有效输人信号i 3 (n )- i 3 (n -1) ，因而由输入信号的偏差有效地驱动阻尼积分器。分析给出z 域传递响应为
H 3(z ) =
i o (z )
=−i (z ) 1−
α3
(1−z −1) 1+α4
z −1
1+α4
(3.33)
按照前面的方法，对于ωT
⎛α3⎞⎜⎜α⎟⎟
j ωT 4H 3(e ) =−(j ωT ) e −j ωT /2
⎤⎡
⎥⎢ω⎥1+j ⎢
4⎥⎢⎢⎦⎣T 2+α4⎥
(3.34)
显然，除了过剩的相位滞后项e -j ωT/2之外，这与阻尼连续时间反相放大器的响应等效，并且
它由一个微分器(jωT 项) 和一个反相阻尼积分器的级联得到。结出低频增益α0和截止频率ωo 分别为
α0=−ω0=
α3
α4
(3.35)
2α4
T 2+α4
(3.36)
请注意，当α4＝0 (无耗) 时，响应仅是反相放大器的响应。
3.5.6 通用积分器
图3.13 通用积分器
由同相输人、反相输人和放大输入叠加构成的通用积分器结构。输入电流被α1、α2和α3加权，用对提供这些电流的输出级的权重(W /L 比) 定标的办法来完成加权，而输出级有单位权重。这就为每一个输入获得一个独立的增益常数。利用式(3.23)、(3.29)和3.33) 的叠加，给出z 域输出电流为
i o (z ) =
1−z −1
1+α4
α1−1
z 1+α4
i 1(z ) −
1−z −1
1+α4
α21+α4
i 2(z ) −
α3
(1−z −1) 1+α4
1−z −1
1+α4
i 3(z ) (3.37)
图3.14 通用积分器(α4=0) 的仿真响应
图3.14示出用CAD 仿真的通用无耗(α4=0)积分器的频率响应。时钟频率为1MHz ，而且积分器是理想的(忽略寄生参数) 。同相和反相积分器的响应是很难区分的。
3.5.7 双线性z 变换积分器
令i 1(z ) ＝-i 2(z ) ＝i (z )/2，i 3(z ) ＝0和α1＝α2=α[在式(3.37)中]，能够构成双线性z 变换积分器，如图3.15所示，则z 域传递响应变为
α
H (z ) =
i o (z )
=i (z ) 1−
(1+z −1) z −1
1+α4
(3.38)
按照前面的方法，对于ωT
⎛1+α4⎞
⎟α4⎟j ωT ⎝⎠ H 3(e ) =
⎡2+α4⎤ωT 1+j ⎢tan ⎥2⎣α4⎦
α⎜⎜
(3.39)
这再一次与阻尼连续时间积分器响应等效，并且像双线性积分器所期望的那样，有频率曲折，
但既没有过剩相位，也没有幅度失真。
图3.15 双线性z 变换积分器
3.5.8 与开关电容积分器的比较
在开关电容电路中，通过将电荷包从输入取样电容转移到密勒积分电容来实现积分；在
开关电流电路中，由包含两个电流存储单元的电流积分器环路产生等效功能，因为不涉及电荷转移，所以只要寄生接地电容就足够了。
开关电容积分器通过使寄生电容顺序放电的输入开关结构变成寄生不敏感性的；开关电
流积分器利用寄生的栅氧化电容，因而避免出现问题。
开关电容积分器在每个工作周期期间内都要将其取样电容复原到零电压；类似地开关电
流积分器在每个周期期间内都要将其输入电流复原到零。
3.5.9 基于积分器的双二次节
图3.13所示的通用积分器可用来根据已知的开关电容拓扑结构实现滤波器。因为开关电容滤波器中的电容比与开关电流对应物中的W /L 比之间有直接对应关系，变换是直截了当的。
作为一个例子，现在由已知的开关电容双二次节导出开关电流双二次节。类似的方法也可以用于其他双二次节或有源梯形逼近。方法如下：
1． 选择适当的开关电容结构；
2． 鉴别积分器及其类型(前向欧拉等) ； 3． 确定等效开关电流积分器； 4． 建立开关电流滤波器结构。
对于为这个实例选择的特定双二次节是众所周知的，但在这里为了完整性起见，还要进行描述。通用s 域双二次传递函数如下：
x 0(s ) k 2s 2+k 1s +k 0
H (s ) ==
x (s ) s 2+0s +ω2
Q
(3.40)
式中，x (s ) 和x o (s ) 为输入和输出信号(电压、电流等) ，k 0、k 1、k 2为常数，ω0和Q 为极点频率和品质因数。交叉相乘并重新整理式(3.40)，得
⎫ω1⎧
x 0(s ) =−⎨(k 1+k 2s ) x (s ) +0x 0(s ) −ω0x 1(s ) ⎬
s ⎩Q ⎭
式中
⎫1⎧k
x 1(s ) =−⎨0x (s ) +ω0x 0(s ) ⎬
s ⎩ω0⎭
(3.41)
有许多分解式(3.40)的方法，并且每种方法都得到一种特定的电路结构。由式(3.41)所示的这
种分解选择得到如图3.16所示SFG 表示的系统。可以看出，第一个积分器由加权的输入和输出信号x (s ) 和x 0(s ) 以两个信号的全反相方式馈给；第二个积分器由加权的输入、输出和中间信号x (s ) 、x 0(s ) 和x 1(s ) 馈给，以得出反相积分、同相积分和反相放大的混合。
图3.16 双二次函数的的s 域SFG
图3.17 双二次函数的的z 域SFG
z 域SFG 可以用显示相同性能的对应积分器构成，并如图3.17所示。不难证明，得出传递函数为
x 0(z ) (a 5+a 6) z 2+(a 1a 3−2a 6−a 5) z +a 6
=− (3.42) H (z ) =2
x (z ) (1+a 4) z +(a 2a 3−a 4−2) z +1
现在，如果能够做到使式(3.40)与(3.42)的双线性z 变换匹配，则得到的传递函数将是“精确
的”，既没有幅度失真，也没有剩余相位误差。为此，首先将双线性z 变换[s →
2(1−z −1) /(1+z −1) T ]用于式(3.40)。这样，在某些代数运算之后，得到
⎡4k 2+2k 1T +k 0T 2⎤2⎡2k 0T 2−8k 2⎤⎡4k 2−2k 1T +k 0T 2⎤
⎢⎥z +⎢⎥z +⎢⎥X X X ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ H (z ) =
20T ⎡⎤2
T ω++40⎢⎥2⎡2ωT 2−8⎤Q
z +1⎢⎥z +⎢0⎥X X ⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
式中
(3.43)
X =ω0T 2−
与式(3.42)比较系数，得
2ω0T
+4 (3.44) Q
22T 4k 2−2k 1T +k 0T 24k 1T 4ω0T 4ω04k 0T 2
，a 5=，a 4=，a 2a 3=，a 1a 3= a 6=
X X QX X X
这样，如果根据式(3.44)~(3.49)来选择系数，则即使不使用双线性z 变换积分器，也可以实
现双二次函数的双线性z 变换。事实上，利用双线性z 变换积分器能够实现同样的传递函数，但是，因为它们需要双极性输入信号，结构将更复杂。
双二次SFG(图3.17) 的电路实现，是用具有适当输入类型(反相或同相积分，反相放大) 的积分器替代来完成的。著名的开关电容双二次节如图3.18所示，它是由开关电容积分器[图3.2(a)]替代得到的。为了实现开关电流双二次节，用具有适当输入类型的积分器(图3.13) 以完全一样的方式来替代。所得到的开关电流双二次节如图3.19所示。当然，给定开关电容
电路，只用积分器的直接代换，就可以导出开关电流电路。
图3.18 双二次函数的开关电容实现
图3.19 基于开关电流积分器的双二次节
通过完成双线性z 反变换
z →2+ST 2−ST (3.50)
可以求出对应于式(3.42)给出的z 域传递函数的s 域传递函数。这样得出下列传递函数的表达式
⎡4a 6+2a 5−a 1a 3⎤2⎡4a 5⎤⎡4a 1a 3⎤s +⎢s +⎢2⎢⎥⎥D T D ⎦⎣T D ⎥⎣⎦⎣⎦ H (s ) =⎡4a 4⎤⎡4a 2a 3⎤s 2+⎢s +⎢2⎥⎣T D ⎦⎣T D ⎥⎦
式中 (3.51) D =2a 4−a 2a 3+4 (3.52)
比较式(3.51)和(3.40)，得到
k 0=4a 1a 34a 54a 6+2a 5−a 1a 32=；；=；ωk k =012T 2D T D D T 1a a ；Q =a 2a 3D 2a 4D
式(3.52)~(3.57)给出与式(3.44)~(3.49)的逆相关关系。
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开关电流技术讲义附图
开关电流结构和算法
[英]J．B ．Hughes ，N ．C ．Bird ，I ．C ．Macbeth
3.1 引 言
开关电流技术是电流模信号处理技术，它利用MOS 晶体管在其栅极开路时通过存储在栅极氧化电容上的电荷维持其漏极电流的能力。
虽然早在1972年就曾试图利用这种性能，但直到19世纪80年代后期才由许多研究人员各自独立地使其再流行起来。
开关电流像开关电容一样，目的在于为取样数据滤波提供一种技术，但只需要基于VLSI CMOS 工艺。
“第一代”电路模块这个术语来描述开关电流，该模块包括用于状态变量滤波器和有源梯形滤波器中的延迟单元和积分器。模块建立在由简单电流镜发展来的但要容许由晶体管失配产生的必然误差的存储单元基础上。虽然验证只适用于低Q 滤波器，但仍然是确立了至今还在采用的技术及其结构。
电流拷贝器的引入能够克服这种缺点，并且开发了所谓“第二代”开关电流电路。本章研究的对象就是这第二代电路。
开关电容电路与开关电流系统的原理区别。
先描述存储单元，然后用于开发延迟线、积分器和微分器，作为滤波器的标准部件。用基于级联双二次节的低通滤波器的设计来论证开关电流滤波器综合。
3.2 开关电容基础知识
三种原理性开关电容积分器标准部件
图3.1 开关电容电路
3.2.1 同相积分器
v o (n ) =v o (n −1) +α1v 1(n −1)
z 域传递函数为 (3.1)
v o (z ) α1z −1
H 1(z ) == −1v 1(z ) 1−z (3.2)
这是同相连续时间无耗积分器传递函数[H (s ) =
[s →(1−z ) /Tz ]，式中α1=T /RC 。 −1−11]的前向欧拉z 变换sRC
3.2.2 反相积分器
v o (n ) =v o (n −1) −α2v 2(n )
z 域传递函数为 (3.3)
H 2(z ) =v o (z ) α2= v 1(z ) 1−z −1 (3.4)
这是反相积分器传递函数[H (s ) =−1−1]的后向欧拉z 变换[s→(1−z ) /T ]，式中sRC
α2=T /RC 。
3.2.3 反相放大器
v o (n ) =v o (n −1) −α3[v 3(n ) −v 3(n −1)]
z 域传递函数为 (3.5)
H 3(z ) =v o (z ) =−α3 v 1(z ) (3.6)
这种放大作用是向由电容C 和运算放大器构成的积分环路提供与输入信号微分成正比的电流的结果。应该注意，这种放大器将响应连续时间输入，因而通常应供给取样和保持信号。图3.1所示的所有电路就像连续时间积分器一样都有无限大的直流增益，而且从不会单独使用。
3.2.4 通用积分器
运算放大器的虚地是电流求和结点。将图3.1所示电路的输入支路组合起来。 v o (n ) =v o (n −1) +α1v 1(n −1) −α2v 2(n ) −α3[v 3(n ) −v 3(n −1)]−α4v o (n ) (3.7) 对此式作某些处理和z 变换之后．得到
v o (z ) =1−z −1
1+α4α1−1z 1+αv 1(z ) −1−z −11+α4α21+αv 2(z ) −α3(1−z −1) 1+α1−z −11+α4v 3(z ) (3.8)
信号流图(SFG)如图3.2(b)所示。显然，额外的反馈支路(α4C ) 将阻尼引入积分器。通用积分器是偶次状态变量滤波器经常采用的一种标准部件。每个双二次节在反馈环路中都包括一个无耗积分器或阻尼积分器的组合，可以进行能够做“精密”滤波器设计的双线性z 变换[s→ 2(1−
z −1) /(1+z −1) T 。
图3.2 开关电容通用积分器
3.2.5 减法积分器
第二种有用的标准部件是图3.3(a)所示的减法积分器。
图3.3 开关电容减法积分器
v o (n ) =v o (n −1) +α1[v 1(n −1) −v 2(n )]−α3[v 3(n ) −v 3(n −1)] （3.9） z 变换之后，得到
v o (z ) =α1
1−z −1[v (z ) z −v 2(z )]−α3v 3(z ) 1−1 （3.10）
这可用图3.3(b)所示SFG 表示。可以将这个电路看成是图3.2(a)所示通用积分器。α4=0和α2=α1时的特殊倩况，但避免了分开支路(α1C 和α2C ) 产生的失配误差。它在用无耗梯形原型仿真方法设计的滤波器设计中找到实际应用。
3.2.6 开关电容特性
归纳起来，开关电容技术可以表征如下。
开关电容系统通常是由将开关电容积分器代入已很好确立的有源RC 电路结构而构成
的。
这使得开关电容系统能够保持其模块性和对部件性能参差保持低灵敏度。
积分器实现由其微分方程确定的算法，包括处理过去和当前的电压取样；低电源电压
工作必然意味着性能降低。
电压取样的处理通过在浮置电容间转移电荷来完成。为了线性工作，这些电容也应是线
性的(不过，某些近期著作指出在内部可以采用非线性电容) ，因此，开关电容电路不完全与数字VLSI 工艺兼容。
已经明确，标准部件是通用的(通用积分器) 、自主的(只有积分器内部的电容需要临界匹
配) 和具有低的设计相互制约的(模块被其他模块加载时不显著改变模块性能) 。这些是导向设计自动化的体系设计的必要属性。
3.3 开关电流系统
与以电压取样表示信号的开关电容电路相反。
开关电流系统的应用与开关电容系统的应用有很多相同之处，即滤波器、A ／D 和
D ／A 转换器、一般信号处理等。
但主要目标是应该采用标准VLSI CMOS 工艺来实现开关电流电路。
在开关电流电路中(即使不在实际上) 。 用电流表示信号时，所需电压摆幅不大。
图32(a)所示通用开关电容积分器的开关电流对应物应具有下列差分方程：
i o (n ) =i o (n −1) +α1i 1(n −1) −α2i 2(n ) −α3[i 3(n ) −i 3(n −1)]−α4i o (n )
取z 变换，得 （3.11）
i o (z ) =1−z −1
1+α4α1−1z 1+α4i 1(z ) −1−z −11+α4α21+α4i 2(z ) −α3(1−z −1) 1+α41−z −11+α4i 3(z ) （3.12）
上面用算法描述的开关电流通用积分器可直接用来构成开关电流系统，这个系统采用的结构与早先用于有源RC 系统和开关电容系统是对偶的。这样，开关电流系统理应继承开关电容系统的合乎需要的品质(模块化、部件不敏感性) ，正如开关电容继承更早的有源RC 电路一样。
3.4 延迟模块
延迟模块的基础是单晶体管电流存储器或电流拷贝器。
3.4.1 电流存储单元
图3.4 单晶体管电流存储单元
(a)电路拓扑结构 (b)时钟波形
在φ1相，开关S 闭合，这样通过开关提供输人电流i 。这个输入电流加到偏置电流J 上，并且电流J+i开始流人已放电的栅--源极电容C 。随着C 充电, 栅—源极电压V gs 升高．当它超过阈值电压时，T l 导通。最后，当C 完全充电后，全部电流J+i流入T 1的漏极。
在φ2相期间，开关S 断开，φ1相结束时的V gs 值保持在电容C 上，并且维持T l 漏极小的电流J+i。由于输入开关现在已断开，输出开关已闭合，偏置电流J 和漏极电流J+i之间不平衡，迫使输出电流i o1在整个φ2相期间等于-i 。输出电流i o1是输入电流i 的存储。当然，这是依靠保持在电容C 的电荷来完成的。电流存储器工作不需要线性浮置电容，从而保留了与数字VLSI 工艺兼容的重要优点。
3.4.2 延迟单元
图3.5 延迟单元
在人为地称为周期(n -1) 的时钟周期的φ2相，输入信号电流i (n -1) 与晶体管T 1中的第一个偏置电流相加。
在属于下一个时钟周期(n ) 的下一个φ1相，T 1保持电流J+i(n -1) ，并且在第二个电流存储器(T2) 中取样输出电流-i (n -1) 。
在下一个φ2相(仍在时钟周期(n ) 内) ，T 2保持电流J-i (n -1) ，而输出电流i o1 (n ) ＝i (n -1) 。 在整个时钟周期(n ) 的φ1相和φ2相期间，任选级输出电流i o2保持在i (n -1) 。
3.4.3 延迟线
延迟线可以用级联延迟单元来产生，但这会增加传输误差和降低模拟性能。
较好的方法如图3.6所示。电路是一个由N +1个并联存储单元组成的阵列，且由图3.7所示的时钟序列控制。
图3.6 延迟线
图3.7 延迟线的定时图
在时钟的φ0相，存储单元M 0。接受输入信号，而单元M 1提供其输出。类似地，在φ1相，单元M 1接受输人信号，而单元M 2提供其输出。这个过程一直继续到单元M N 接受其输入信号，单元M 0已提供其输出信号以后为止，然后重复循环。显然，每个单元都是在其下一个输入之前一个周期，即在其前一个输出相N 个周期(NT ) 之后，提供其输出信号的。如取N ＝l ，则延迟线是一个反相单位延迟单元，或在用连续输入信号时，它是一个取样和保持电路。请注意，对于循环的N -1个时钟相，每个存储单元既不接受信号也不提供信号。在这些时刻，存储晶体管上的漏电压变化到迫使每个偏置电流(实际上由PMOS 晶体管产生) 和保持在其有关存储晶体管中的电流之间匹配。给出z 域传递特性为
H (z ) =−z −N (3.13)
3.5 积分模块
3.5.1 同相积分器
图3.8(a)示出将输出电流i f (与图3.5中i o1等效) 反馈到输入求和结点的延迟单元。 可以将该电路简化为图3.8(b)所示的电路。
图3.8 同相无耗积分器
(a) 具有反馈的延迟单元 (b) 简化机构
在时钟周期(n -1) 的φ2相，晶体管T1是二极管连接，并从输入接受电流i (n -1) ，从偏置接受电流2J ，从晶体管T 2接受电流-[J -i o (n -1)/α1]。因此，T l 中的电流I l 为
I 1=J +i (n −1) +
i o (n −1)
α1
(3.14)
在时钟周期(n ) 的下一个φ1相，晶体管T 2是二极管连接，通过的电流I 2为
I 2=2J −I 1=J −i (n −1) −
i o (n −1)
α1
(3.15)
i o (n ) =α1(J −I 1) =i o (n −1) +α1i (n −1)
取z 变换，得出
(3.16)
H (z ) =
α1z −1
1−z
−1
(3.17)
将分子和分母乘以z 1/2并代人z =ej ωT 求出实际频率的精确性能。经某些代数运算之后，可以证明，同相无耗积分器的传递函数为
⎡ωT α/T ⎢
H (e j ωT ) =[1]⎢j ω⎢sin 2⎣
⎤
⎥−j ωT /2
⎥e
⎥⎦
(3.18)
式(3.18)有三项：第一项对应于具有增益常数α1/T的无耗连续时间同相积分器的频率响应；第二项(ωT /2)／sin(ωT /2)是取样数据积分器与理想响应的偏差；第三项e -j ωT/2是过剩的相位滞后。
3.5.2 同相阻尼积分器
这种积分器可以是阻尼的，如图3.9所示。它包含一个权重为α4的额外反馈级(T4和电流源) ，输出级权重为α1。
图3.9 同相阻尼积分器
在时钟周期(n -1) 的φ2相，晶体管T 1通过电流为
I 1=J +i (n −1) +
i o (n −1)
α1
(3.19)
在下一个时钟周期(n ) 的φ1相，晶体管T 2和T 4是并联的二极管连接，T 2中电流I 2为
I 2=[2+α4) J −I 1]
1i (n −1) i o (n −1)
=J −−
1+α41+α4α1(1+α4)
(3.21)
I o =α1(J −I 1) =
取z 变换并整理，得
α1i (n −1)
i (n −1) −o
1+α41+α4α1−1
z 1+α4
(3.22)
H 1(z ) =
i o (z )
=i (z ) 1−
z −1
1+α4
(3.23)
按照前面的方法，对于ωT
⎛α1⎞⎜⎟⎜α⎟
j ωT 4H 1(e ) =e −j ωT /2
⎤⎡
⎥⎢ω⎥1+j ⎢
4⎥⎢⎢⎦⎣T 2+α4⎥
(3.24)
显然，除了过剩的相位滞后项e -j ωT/2之外，这与阻尼连续时间积分器的响应等效。低频增益
α0和截止频率ωo 分别为
α0=ω0=
α1
α4
(3.25)
2α4
T 2+α4
(3.26)
图3.10 同相积分器的仿真响应
用CAD 仿真的同相积分器的频率响应。时钟频率为1MHz(T ＝1µs) ，并且积分器模型是理想的，即忽略寄生参数。给出在高频与理想响应的偏差。按照式(3.25)和式(3.26)，引入阻尼(α4＝0.1) 的影响是将低频增益限制到α0＝10，而产生的-3dB 截止频率f o ＝15.15kHz 。 3.5.3 灵敏度
给和出α0和ωo 对系数α4变化的灵敏度为
α0S α=4
α4∂α0
=−1
α0∂α4
(3.27)
ω0
=S α4
2α4∂ω0
(3.28)=
α0∂α42+α4
3.5.4 反相阻尼积分器
图3.11 反相阻尼积分器
与同相阻尼积分器的区别仅在于是在φ1相而不是在φ相对输入电流取样。
在φ1相，输入电流流入T 2(是二极管连接) ，而输出电流i o 立即被映射成镜像。这种电路的分析给出下列z 域传递特性：
H 2(z ) =
i o (z )
=−i (z ) 1−
α2−1
z 1+α4
z −1
1+α4
(3.29)
按照前面的方法，对于ωT
⎛α2⎞⎜⎜α⎟⎟
j ωT 4H 2(e ) =−e −j ωT /2
⎤⎡
⎥⎢ω⎥1+j ⎢
4⎥⎢⎢⎦⎣T 2+α4⎥
(3.30)
显然，除了过剩的相位滞后项e -j ωT/2之外，这与阻尼连续时间积分器的响应等效。低频增益
α0和截止频率ωo 分别为
α0=−ω0=
α2
α4
(3.31)
2α4
T 2+α4
(3.32)
3.5.5 反相阻尼放大器
图3.12 反相阻尼放大器
除了输入电流i 3不通过开关而是直接馈送到求和结点以外，它与积分器相同。
在φ2相，输入电流具有i 3 (n -1) 值，并输入T 1，而在φ1相，输人电流具有i 3 (n ) 值，并流入T 2。当然，在φ1相，存储的电流也从T 1流人T 2，在T 2中给出有效输人信号i 3 (n )- i 3 (n -1) ，因而由输入信号的偏差有效地驱动阻尼积分器。分析给出z 域传递响应为
H 3(z ) =
i o (z )
=−i (z ) 1−
α3
(1−z −1) 1+α4
z −1
1+α4
(3.33)
按照前面的方法，对于ωT
⎛α3⎞⎜⎜α⎟⎟
j ωT 4H 3(e ) =−(j ωT ) e −j ωT /2
⎤⎡
⎥⎢ω⎥1+j ⎢
4⎥⎢⎢⎦⎣T 2+α4⎥
(3.34)
显然，除了过剩的相位滞后项e -j ωT/2之外，这与阻尼连续时间反相放大器的响应等效，并且
它由一个微分器(jωT 项) 和一个反相阻尼积分器的级联得到。结出低频增益α0和截止频率ωo 分别为
α0=−ω0=
α3
α4
(3.35)
2α4
T 2+α4
(3.36)
请注意，当α4＝0 (无耗) 时，响应仅是反相放大器的响应。
3.5.6 通用积分器
图3.13 通用积分器
由同相输人、反相输人和放大输入叠加构成的通用积分器结构。输入电流被α1、α2和α3加权，用对提供这些电流的输出级的权重(W /L 比) 定标的办法来完成加权，而输出级有单位权重。这就为每一个输入获得一个独立的增益常数。利用式(3.23)、(3.29)和3.33) 的叠加，给出z 域输出电流为
i o (z ) =
1−z −1
1+α4
α1−1
z 1+α4
i 1(z ) −
1−z −1
1+α4
α21+α4
i 2(z ) −
α3
(1−z −1) 1+α4
1−z −1
1+α4
i 3(z ) (3.37)
图3.14 通用积分器(α4=0) 的仿真响应
图3.14示出用CAD 仿真的通用无耗(α4=0)积分器的频率响应。时钟频率为1MHz ，而且积分器是理想的(忽略寄生参数) 。同相和反相积分器的响应是很难区分的。
3.5.7 双线性z 变换积分器
令i 1(z ) ＝-i 2(z ) ＝i (z )/2，i 3(z ) ＝0和α1＝α2=α[在式(3.37)中]，能够构成双线性z 变换积分器，如图3.15所示，则z 域传递响应变为
α
H (z ) =
i o (z )
=i (z ) 1−
(1+z −1) z −1
1+α4
(3.38)
按照前面的方法，对于ωT
⎛1+α4⎞
⎟α4⎟j ωT ⎝⎠ H 3(e ) =
⎡2+α4⎤ωT 1+j ⎢tan ⎥2⎣α4⎦
α⎜⎜
(3.39)
这再一次与阻尼连续时间积分器响应等效，并且像双线性积分器所期望的那样，有频率曲折，
但既没有过剩相位，也没有幅度失真。
图3.15 双线性z 变换积分器
3.5.8 与开关电容积分器的比较
在开关电容电路中，通过将电荷包从输入取样电容转移到密勒积分电容来实现积分；在
开关电流电路中，由包含两个电流存储单元的电流积分器环路产生等效功能，因为不涉及电荷转移，所以只要寄生接地电容就足够了。
开关电容积分器通过使寄生电容顺序放电的输入开关结构变成寄生不敏感性的；开关电
流积分器利用寄生的栅氧化电容，因而避免出现问题。
开关电容积分器在每个工作周期期间内都要将其取样电容复原到零电压；类似地开关电
流积分器在每个周期期间内都要将其输入电流复原到零。
3.5.9 基于积分器的双二次节
图3.13所示的通用积分器可用来根据已知的开关电容拓扑结构实现滤波器。因为开关电容滤波器中的电容比与开关电流对应物中的W /L 比之间有直接对应关系，变换是直截了当的。
作为一个例子，现在由已知的开关电容双二次节导出开关电流双二次节。类似的方法也可以用于其他双二次节或有源梯形逼近。方法如下：
1． 选择适当的开关电容结构；
2． 鉴别积分器及其类型(前向欧拉等) ； 3． 确定等效开关电流积分器； 4． 建立开关电流滤波器结构。
对于为这个实例选择的特定双二次节是众所周知的，但在这里为了完整性起见，还要进行描述。通用s 域双二次传递函数如下：
x 0(s ) k 2s 2+k 1s +k 0
H (s ) ==
x (s ) s 2+0s +ω2
Q
(3.40)
式中，x (s ) 和x o (s ) 为输入和输出信号(电压、电流等) ，k 0、k 1、k 2为常数，ω0和Q 为极点频率和品质因数。交叉相乘并重新整理式(3.40)，得
⎫ω1⎧
x 0(s ) =−⎨(k 1+k 2s ) x (s ) +0x 0(s ) −ω0x 1(s ) ⎬
s ⎩Q ⎭
式中
⎫1⎧k
x 1(s ) =−⎨0x (s ) +ω0x 0(s ) ⎬
s ⎩ω0⎭
(3.41)
有许多分解式(3.40)的方法，并且每种方法都得到一种特定的电路结构。由式(3.41)所示的这
种分解选择得到如图3.16所示SFG 表示的系统。可以看出，第一个积分器由加权的输入和输出信号x (s ) 和x 0(s ) 以两个信号的全反相方式馈给；第二个积分器由加权的输入、输出和中间信号x (s ) 、x 0(s ) 和x 1(s ) 馈给，以得出反相积分、同相积分和反相放大的混合。
图3.16 双二次函数的的s 域SFG
图3.17 双二次函数的的z 域SFG
z 域SFG 可以用显示相同性能的对应积分器构成，并如图3.17所示。不难证明，得出传递函数为
x 0(z ) (a 5+a 6) z 2+(a 1a 3−2a 6−a 5) z +a 6
=− (3.42) H (z ) =2
x (z ) (1+a 4) z +(a 2a 3−a 4−2) z +1
现在，如果能够做到使式(3.40)与(3.42)的双线性z 变换匹配，则得到的传递函数将是“精确
的”，既没有幅度失真，也没有剩余相位误差。为此，首先将双线性z 变换[s →
2(1−z −1) /(1+z −1) T ]用于式(3.40)。这样，在某些代数运算之后，得到
⎡4k 2+2k 1T +k 0T 2⎤2⎡2k 0T 2−8k 2⎤⎡4k 2−2k 1T +k 0T 2⎤
⎢⎥z +⎢⎥z +⎢⎥X X X ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ H (z ) =
20T ⎡⎤2
T ω++40⎢⎥2⎡2ωT 2−8⎤Q
z +1⎢⎥z +⎢0⎥X X ⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
式中
(3.43)
X =ω0T 2−
与式(3.42)比较系数，得
2ω0T
+4 (3.44) Q
22T 4k 2−2k 1T +k 0T 24k 1T 4ω0T 4ω04k 0T 2
，a 5=，a 4=，a 2a 3=，a 1a 3= a 6=
X X QX X X
这样，如果根据式(3.44)~(3.49)来选择系数，则即使不使用双线性z 变换积分器，也可以实
现双二次函数的双线性z 变换。事实上，利用双线性z 变换积分器能够实现同样的传递函数，但是，因为它们需要双极性输入信号，结构将更复杂。
双二次SFG(图3.17) 的电路实现，是用具有适当输入类型(反相或同相积分，反相放大) 的积分器替代来完成的。著名的开关电容双二次节如图3.18所示，它是由开关电容积分器[图3.2(a)]替代得到的。为了实现开关电流双二次节，用具有适当输入类型的积分器(图3.13) 以完全一样的方式来替代。所得到的开关电流双二次节如图3.19所示。当然，给定开关电容
电路，只用积分器的直接代换，就可以导出开关电流电路。
图3.18 双二次函数的开关电容实现
图3.19 基于开关电流积分器的双二次节
通过完成双线性z 反变换
z →2+ST 2−ST (3.50)
可以求出对应于式(3.42)给出的z 域传递函数的s 域传递函数。这样得出下列传递函数的表达式
⎡4a 6+2a 5−a 1a 3⎤2⎡4a 5⎤⎡4a 1a 3⎤s +⎢s +⎢2⎢⎥⎥D T D ⎦⎣T D ⎥⎣⎦⎣⎦ H (s ) =⎡4a 4⎤⎡4a 2a 3⎤s 2+⎢s +⎢2⎥⎣T D ⎦⎣T D ⎥⎦
式中 (3.51) D =2a 4−a 2a 3+4 (3.52)
比较式(3.51)和(3.40)，得到
k 0=4a 1a 34a 54a 6+2a 5−a 1a 32=；；=；ωk k =012T 2D T D D T 1a a ；Q =a 2a 3D 2a 4D
式(3.52)~(3.57)给出与式(3.44)~(3.49)的逆相关关系。
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