椭圆中最值问题
第一类、椭圆的参数方程
题型1、求椭圆的内接多边形的周长及面积
x 2y 2
例1 、求椭圆2+2=1(a >b >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值。 a b
题型2、求轨迹
y 2x 2AM 1+=1上运动，点B （0，9）例2、已知点A 在椭圆、点M 在线段AB 上，且=，14436MB 2
试求动点M 的轨迹方程。
题型3、求函数的最值
x 2y 2
+=1，试求点P 到直线x +y -5=0的距离d 的最大例3 、设点P （x ，y ）在椭圆169
值和最小值。
题型4、求解有关离心率等入手比较困难的问题
x 2y 2
例4 、椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上a b
存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。
第二类、求离心率的最值问题
方法1、建立a , b , c 的不等式或方程
x 2y 2
例1、若A , B 为椭圆2+2=1(a >b >0) 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使a b
∠AQB =1200，求此椭圆离心率的最小值。
方法2、利用三角函数的有界性求范围
x 2y 2
例2、已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 两个焦点为F 1, F 2，如果曲线C 上存在一点Q ，使a b
FQ ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。 1
第三类、求点点（点线）的最值问题
方法1、建立相关函数并求函数的最值
x 2y 2
+=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭例1、点A 、B 分别是椭圆3620
圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF 。设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
方法四、利用椭圆定义合理转化
⎛2b 2⎫例2、定长为d d ≥⎪的线段AB 的两个端点分别在椭圆a ⎭⎝
x 2y 2
求AB 的中点M 到椭圆右准线l +=1(a >b >0) 上移动，a 2b 2
的最短距离。
方法五、利用垂线段小于等于折线段之和
例3、若椭圆x 24+y 2
3椭圆上的点M 使|MP |+2|MF |=1内有一点P (1,1)，F 为右焦点，
的值最小，则点M 的坐标为 （ ）
A
．(
3 B
．3 C ．(1,±3) 2D ．(1,)
32
同步练习
πx 2
+y 2=1，过左焦点F 作倾斜角为的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦1、已知椭圆：69
AB 的长。
2、中心在原点，一个焦点为F 1（0，）的椭圆截直线y =3x -2所得弦的中点横坐标为
1，求椭圆的方程。 2
y 2
+x 2=1上的动点P 到直线l :y =2x +8的距离的最大值与最小值. 3、求椭圆C :4
椭圆中最值问题
第一类、椭圆的参数方程
题型1、求椭圆的内接多边形的周长及面积
x 2y 2
例1 、求椭圆2+2=1(a >b >0) 的内接矩形的面积及周长的最大值。 a b
题型2、求轨迹
y 2x 2AM 1+=1上运动，点B （0，9）例2、已知点A 在椭圆、点M 在线段AB 上，且=，14436MB 2
试求动点M 的轨迹方程。
题型3、求函数的最值
x 2y 2
+=1，试求点P 到直线x +y -5=0的距离d 的最大例3 、设点P （x ，y ）在椭圆169
值和最小值。
题型4、求解有关离心率等入手比较困难的问题
x 2y 2
例4 、椭圆2+2=1(a >b >0) 与x 轴的正向相交于点A ，O 为坐标原点，若这个椭圆上a b
存在点P ，使得OP ⊥AP 。求该椭圆的离心率e 的取值范围。
第二类、求离心率的最值问题
方法1、建立a , b , c 的不等式或方程
x 2y 2
例1、若A , B 为椭圆2+2=1(a >b >0) 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使a b
∠AQB =1200，求此椭圆离心率的最小值。
方法2、利用三角函数的有界性求范围
x 2y 2
例2、已知椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 两个焦点为F 1, F 2，如果曲线C 上存在一点Q ，使a b
FQ ⊥F 2Q ，求椭圆离心率的最小值。 1
第三类、求点点（点线）的最值问题
方法1、建立相关函数并求函数的最值
x 2y 2
+=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭例1、点A 、B 分别是椭圆3620
圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF 。设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
方法四、利用椭圆定义合理转化
⎛2b 2⎫例2、定长为d d ≥⎪的线段AB 的两个端点分别在椭圆a ⎭⎝
x 2y 2
求AB 的中点M 到椭圆右准线l +=1(a >b >0) 上移动，a 2b 2
的最短距离。
方法五、利用垂线段小于等于折线段之和
例3、若椭圆x 24+y 2
3椭圆上的点M 使|MP |+2|MF |=1内有一点P (1,1)，F 为右焦点，
的值最小，则点M 的坐标为 （ ）
A
．(
3 B
．3 C ．(1,±3) 2D ．(1,)
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同步练习
πx 2
+y 2=1，过左焦点F 作倾斜角为的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦1、已知椭圆：69
AB 的长。
2、中心在原点，一个焦点为F 1（0，）的椭圆截直线y =3x -2所得弦的中点横坐标为
1，求椭圆的方程。 2
y 2
+x 2=1上的动点P 到直线l :y =2x +8的距离的最大值与最小值. 3、求椭圆C :4